XXXX最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)

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第21章单变量二次方程21.1单变量二次方程

1。理解一元二次方程的概念，应用一元二次方程的概念解决一些简单的问题。2.掌握一元二次方程AX2+BX+C = 0(α≠0)的一般形式及相关概念。3.进行一元二次方程的简单试解；理解方程解的概念。

要点:一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索。难点:从实际问题中列出一元二次方程；准确理解二次和系数、一阶和系数和二次方程的常数项。

1。自学指导。(10分钟)问题1:

如图所示，有一块长方形的铁皮，长100厘米，宽50厘米，四角各有一个相同的方形切口。然后把突出的部分折叠起来，做成一个没有盖子的方形盒子。如果没有盖子的方形盒子的底部面积是3600平方厘米，从铁片的每个角上切下哪个正方形？

分析:如果切割正方形的边长为x cm，则盒子底部的长度为(100-2x) cm _ _，宽度为(50-2x) cm _ _。方程式_ _ (100-2x) ((50-2x) = 3600 _ _，被简化和排序。获取_ _ x2-75x+350 = 0 _ _。①

问题2:要组织一场排球邀请赛，每两个参赛队之间应进行一场比赛。根据场地和时间条件，日程安排为7天，每天4场比赛。组织者应该邀请多少队参加比赛？

分析:所有比赛的比赛次数为_ _ 4× 7 = 28 _ _。

将邀请x个团队参加竞赛。每支队伍都必须与其他_ (x-1)支队伍竞争，每支队伍一场比赛，因此比赛总数为x (x-1) x (x-1)场比赛。方程式_ _ = 28 _ _。经过简化，我们得到x2-x-56 = 0 _ _。②22问:方程①中的未知数有多少②

(1)？__1 _ _。(2)它们的最高次数是多少？__2次__ .

归纳:方程①(2)有一个共同的特点，即这些方程的两边都是_ _代数表达式_ _，并且只包含_ _一_ _个未知(一元)。未知数最多的是方程_ _ 2 _。

1。一个变量

的二次方程的定义是_ _代数表达式_ _，只包含_ _ 1 _ _个未知数(一个变量)，而未知数最多的是__2__(二次)方程，称为一元二次方程。2。一元二次方程的一般形式

一般来说，任何关于X的一元二次方程，经过整理后，都可以转换成如下形式:

ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0)。

被称为二次方程的一般形式。其中__ax2__是二次项，__a__是二次项

系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数。__c__是一个常数。分:二次项系数、一次项系数和常数项前面都应包含符号。二次项系数a≠0是一个重要条件，不能忽略。

2，自学考试:学生独立完成，分组展示，老师点评和检查。(6分钟)1。判断下列哪个方程是一元二次方程？(1)x3-2x 2+5 = 0；(2)x2 = 1；13(3)5x 2-2x-= x2-2x+；

45(4)2(x+1)2 = 3(x+1)；

(5)x2-2x = x2+1；(6) AX2+BX+C = 0。解决方案:(2) (3) (4)。

。直截了当地说:一些带字母系数的方程，虽然分母包含字母，只要分母中没有未知数，这样的方程仍然是积分方程。

2。将方程3x (x-1) = 5 (x+2)转换成二次方程的一般形式。写出二次项系数、一次项系数和常数项。

解决方案:移除支架，获得3x2-3x = 5x+10。移动术语并合并相似的术语，得到3x2-8x-10 = 0。其中二次项系数为3，主要项系数为-8，常量项为-10.

。直截了当地说:当把一个二次方程转换成一般形式时，第一项通常是负数到正数。(8分钟)

1。小组合作:小组讨论和交流解决问题的想法。小组活动后，小组代表展示活动结果。(8分钟)

1。验证:x (m2-8m+17) x2+2mx+1 = 0时的等式，无论m取什么值。这个方程是一个有一个变量的二次方程。

证明m2-8m+17 = (m-4) 2+1，87 (m-4) 2 ≥ 0，

∴(m-4) 2+1 > 0，即(m-4) 2+1 ≠ 0.

无论m取什么值，该方程都是一维二次方程。

点:为了证明无论m取什么值，这个方程都是一维二次方程，只要m2-8m+17 ≠ 0。

2。下列哪个数字是方程2x2+10x+12 = 0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.

解:代入上述数后，只有-2和-3满足方程，所以x =-2或x =-3是两个。二次方程2x2+10x+12 = 0的

点。要判断一个数是否是方程的根，只需将这个数代入方程。看看等式的两边是否相等。

2。后续练习:学生独立确定解决方案的想法，分组交流，在舞台上表演并解释这些想法。(9分钟)1。判断下列方程是否为二次方程。

(1)1-x2 = 0；(2)2(x2-1)= 3y；12

(3)2x 2-3x-1 = 0；(4)2-= 0；

xx(5)(x+3)2 =(x-3)2；(6) 9x2 = 5-4x。解决方法:(1)是；(2)否；(3)是；

(4)否；(5)否；(6)是。

2。如果x = 2是方程ax2+4x-5 = 0的根，则求a的值。解:x = 2是方程ax2+4x-5 = 0，8756的根；4a+8-5 = 0，3

给出a =-.

4

3。根据下列问题，列出关于x的方程，并将其转换成二次方程的一般形式:(1)四个相同正方形的面积之和是25，面积之和是0.1 (2)矩形的长度是其宽度的2倍，面积是100。求矩形的长度x解:(1) 4x2 = 25，4x 2-25 = 0；(2)x(x-2)=100，X2-2x-100 = 0.

学生总结了这节课的收获和困惑。(2分钟)

1。一元二次方程的概念及如何利用该概念判断一元二次方程。2.一个变量AX2+BX+C = 0 (A ≠ 0)的二次方程的一般形式。特别强调的是，A ≠ 0.3。有必要判断一个数是否是二次方程的根。到目前为止，已经学会了。请使用本课时对应的培训部分。(10分钟)

21.2求解单变量二次方程21.2.1公式法(1)

1。让学生用直接开平方法求解一元二次方程。2.渗透转化思想，掌握一些转化技巧。

键:用开平方法求解方程，形式为(x+m)2 = n(n≥0)；理解降阶变换的数学思想。难点:通过根据平方根的含义求解类似x2 = n (n ≥ 0)的方程，将知识转移到根据平方根的含义求解类似(x+m) 2 = n (n ≥ 0)的方程。

1。自学指导。(10分钟)

问题1:一桶特定的油漆可以刷1500 dm2的面积。小李刚刚用这只油漆桶刷完了10个立方体形状的盒子的外表面。你能计算盒子的边长吗？如果

将立方体的棱柱长度设置为x dm，则立方体的表面积为__6x2__dm2。根据一桶油漆的涂刷面积，方程式如下:

_ _ 10× 6x2 = 1500 _ _，因此_ _ x2 = 25 _ _，

根据平方根的含义，x = _ _ 5 _ _，即x1 = __5__，x2 = _ _ 5 _ _ .

可以验证_ _ 5 _ _ _和-5是方程式的根，但边长不能为负，因此立方体的边长为提问:你认为方程(2x-1) 2 = 5和方程x2+6x+9 = 4应该如何根据问题1中方程的求解过程来求解？

等式(2x-1) 2 = 5左边是代数表达式的平方，右边是非负数。根据平方根的含义，可以将方程转化为_ _ 2x-1 =+-5 _ _，将方程转化为_ _ 2x-1 = 5和_ _ 2x-1 =-5 _ _两个

1+51-5阶一元方程，从而得出方程(2x-1) 2 = 5的两个解是x1 = _，x2 = _ _ _ .

22 一元二次方程被“降阶”,并转换成两个一元二次方程，因此问题可以很容易地解决。

等式x2+6x+9 = 4的左侧完全平坦。这个方程可以转换成(x+_ _ 3 _ _) 2 = 4，降阶，和_ _ x+3 =+-.2 _ _，方程的根是x1 = _ _ 1 _ _，X2 = _-5 _ _ .

归纳法:当求解一个变量的二次方程时，通常通过“降阶”转换成一个变量的两个二次方程。如果方程可以转换成x2 = p (p ≥ 0)或(MX+n) 2 = p (p ≥ 0)，那么x =+-p或MX+n =+-p.

2，自学考试:学生独立完成，分组展示，评论，教师巡视。(6分钟)求解以下等式:

(1)2 y2 = 8(2)2(x-8)2 = 50；(3)(2x-1)2+4 = 0；(4) 4x2-4x+1 = 0。解决方案:(1) 2y2 = 8，(2) 2 (x-8) 2 = 50，y2 = 4，(x-8) 2 = 25，y = 2，x-8 = 5，

∴y1 = 2，y2 =-2；X-8 = 5或X-8 =-5，∴X1 = 13，x2 = 3；

(3)(2x-1)2+4=0，(4)4x2-4x+1=0，(2x-1)2=-4