九年级数学上册全册导学案
九年级数学上册全册导
学案
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
第二十一章一元二次方程
21．1一元二次方程
1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．
3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．
难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：
如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为
__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛
共x（x－1）
2__场．列方程__
x（x－1）
2＝28__，化简整理，得__x
2－x－56＝0__．②探究：
(1)方程①②中未知数的个数各是多少_
_1个__．
(2)它们最高次数分别是几次_
_2次__．
归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__
未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．
1．一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．
点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？
(1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；
(3)5x 2
－2x －14＝x 2－2x ＋35； (4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)；
(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.
解：(2)(3)(4)．
点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．
2．将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得3x 2－3x ＝5x ＋10.移项，合并同类项，得3x 2－8x －10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.
点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成
果．(8分钟)
1．求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0，无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1，
∵(m －4)2≥0，
∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2＋1≠0.
∴无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．
点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m ＋17≠0即可．
2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
1．判断下列方程是否为一元二次方程．
(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；
(3)2x2－3x－1＝0; (4)1
x2－2
x＝0；
(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；
(4)不是；(5)不是；(6)是．
2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，
∴4a＋8－5＝0，
解得a＝－3 4.
3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.
3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．2解一元二次方程
21．配方法(1)
1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．
2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．
重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
__10×6x2＝1500__，
由此可得__x2＝25__，
根据平方根的意义，得x＝__±5__，
即x1＝__5__，x2＝__－5__．
可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.
探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4
方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意
义，可将方程变形为，即将方程变为
__两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝2x2＝
2．
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．
方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝ __－1__，x2＝__－5__.
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
解下列方程：
(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2＝50；
(3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2－4x ＋1＝0.
解：(1)2y 2＝8， (2)2(x －8)2＝50，
y 2＝4， (x －8)2＝25，
y ＝±2， x －8＝±5，
∴y 1＝2，y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5，
∴x 1＝13，x 2＝3；
(3)(2x －1)2＋4＝0， (4)4x 2－4x ＋1＝0，
(2x －1)2＝－4<0， (2x －1)2＝0，
∴原方程无解； 2x －1＝0，
∴x 1＝x 2＝12.
点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成
果．(8分钟)
1．用直接开平方法解下列方程：
(1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24；
(3)9n 2－24n ＋16＝11.
解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.
点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．
2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值．
解：±1.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
用直接开平方法解下列方程：
(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；
(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；
(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；
(7)x 2＋2x ＋1＝4.
解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2；
(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；
(3)x 1＝－1，x 2＝13；
(4)x 1＝16，x 2＝－16；
(5)x 1＝92，x 2＝－92；
(6)x 1＝0，x 2＝－10；
(7)x 1＝1，x 2＝－3.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用直接开平方法解一元二次方程．
2．理解“降次”思想．
3．理解x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)中，为什么p ≥0
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21． 配方法(2)
1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．
2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．
重点：掌握配方法解一元二次方程．
难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．
(2分钟)
1．填空：
(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2；
(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2；
(3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2__)2.
2．若4x 2－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__±12__．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？
设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x 2＋6x －16＝0__．
探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0
对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解：移项，得x 2＋6x ＝16，
两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2＋bx ＋(b 2)2的形式，得
__x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，
左边写成平方形式，得
__(x ＋3)2＝25__，
开平方，得
__x ＋3＝±5__， (降次)
即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__，
解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
问题2：解下列方程：
(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；
(3)4x 2＋16x ＋16＝9.
解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52；
(3)x 1＝－72，x 2＝－12.
归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
(3)方程两边同时除以二次项系数a ；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)
1．填空：
(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；
(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；
(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.
2．解下列方程：
(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；
(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.
解：(1)移项，得x 2＋6x ＝－5，
配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2＝4，
由此可得x ＋3＝±2，即x 1＝－1，x 2＝－5.
(2)移项，得2x 2＋6x ＝－2，
二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－1，
配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54，
由此可得x ＋32＝±52，即x 1＝52－32，
x 2＝－52－32.
(3)去括号，整理得x 2＋4x －1＝0，
移项得x 2＋4x ＝1，
配方得(x ＋2)2＝5，
x ＋2＝±5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.
点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m /s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？
解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×12
×8×6， 即x 2－14x ＋24＝0，
(x －7)2＝25，
x －7＝±5，
∴x 1＝12，x 2＝2，
x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去．
答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．
点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．用配方法解下列关于x 的方程：
(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；
(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.
解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5；
(2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2；
(3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174；
(4)x 1＝62，x 2＝－62.
2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．
解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.
∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用配方法解一元二次方程的步骤．
2．用配方法解一元二次方程的注意事项．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21． 公式法
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式的推导．
(2分钟)
用配方法解方程：
(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0.
解：(1)x 1＝－2，x 2＝－1； (2)无解．
一、自学指导．(8分钟)
问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a
，x 2＝－b －b 2－4ac 2a
. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－
4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a
就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根． (2)x ＝－b±b 2－4ac 2a
叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．
(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；
(3)4x 2＋x ＋1＝0.
解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根；
(2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根；
(3)无实数根．
点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个实数根
D ．没有实数根
2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14.
3. 已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.
证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，
∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.
对于方程x 2＋mx ＝1－2m ，即x 2＋mx ＋2m －1＝0，
Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，
∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．利用判别式判定下列方程的根的情况：
(1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0；
(3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.
解：(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)无实数根；
(4)有两个不相等的实数根．
2．用公式法解下列方程：
(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0；
(3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；
(5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
(2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32；
(3)x 1＝1，x 2＝－3；
(4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；
(5)x 1＝0，x 2＝－2; (6)无实数根．
点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；
(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac ≥0的前提
下，把a ，b ，c 的值代入x ＝－b±b 2－4ac 2a
(b 2－4ac ≥0)中，可求得方程的两个根； (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1.求根公式的推导过程．
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c 的值，再算．
出b 2－4ac 的值、最后代．
入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21． 因式分解法
1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
重点：用因式分解法解一元二次方程．