三角函数线的作用

新课程中“单位圆与三角函数线”的教学作用
高一数学组 刘华泉
在三角函数的教学中，三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）一直是与三角函数图像并驾齐驱的两大解题法宝，是数形结合思想的完美体现。

但学生往往重后者而疏前者，因此老师们在“三角函数线的解题功能”方面有较多的探讨。

如今，随着新课程改革三角函数定义的单位圆化，给了三角函数线更宽的舞台，在三角函数这一章节知识的展开中，三角函数线起到了前所未有的作用。

本文旨在挖掘“单位圆——三角函数线”在教学中的功能。

教学作用一．三角函数“单位圆定义法”与原教材“终边定义法”之比较：
“终边定义法（r
y
=
αsin 等）”源于锐角三角函数，“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．
（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角
，它的终边与单位圆交点P(x ，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量
与函数值之间的对应关系，即
角（弧度）对应于点P 的纵坐标y ──正弦， 角
（弧度）对应于点P 的横坐标x ──余弦，
可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cos ，y= sin
是单位圆的自然的动态（解析）描述，其中，单位圆上点的坐标随着角
每隔2π（圆周长）
而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．所以作为任意角三角函数的定义，当然是选择能够表现周期性的单位圆更为恰当。

另外，该定义可以在学诱导公式前求特殊角的三角函数值，也可以判断三角函数在各象限内的符号。

教学作用二．单位圆中理解弧度制：
学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解．“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用圆的半径来度量角，当此圆为单位
圆时，由扇形弧长公式r l ⋅=α知，α=l 。

所以，在单位圆中，角度α就
是弧长l 。

这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数
（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了我们还可以这样来理解三角函数中自变量与
函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A （1，0
）
，数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）被缠绕到单位圆上的点P(cos ，sin )．
O x P Q 图1
α
教学作用三． “同角三角函数的基本关系”中的公式推导和应用（求值、证明）：
1．公式推导：如图2，关系式一“1cos sin 22=+αα”，即OMP RT ∆中 的勾股定理“12
2
=+OM MP ”。

关系式二“
αα
α
tan cos sin =”
，即相似三角 形比式“
AT OA
AT
OM MP ==”。

教学作用四．诱导公式的推导：
举两例，如图3，观察三角函数线可知，απ-与α 的正弦线相等，余弦相反；
所以 对于y 轴的轴对称性
sin(π－
)=sin
， cos(π－
)=－cos
；
如图4，
απ
-2
3的正弦线等于α的余弦线的相反数， 关于y=-x 对称ααπ
sin )23cos(-=-，
ααπ
cos )2
3sin(-=-。

同理以下结论都可以在单位圆中体现
● 对于圆心的中心对称性sin(π+)=－sin
，cos(π+
)=－cos ；
● 对于x 轴的轴对称性
sin(－
)=－sin ，cos(－)=cos
；
● 对于直线y=x 的轴对称性sin(－)=cos ，cos(－)=sin ；
教学作用五．利用正弦函数线作正弦曲线：
教材中采用将单位圆十二等份，然后平移出十二条正弦线，连接十二个平移出的P 点，得]2,0[,sin π∈=x x y 的图象。

即描出了12个点。

x
y O
图3
απ-α
x
y O
图4
α
π-2
3α
α
x
y
O
图5
P M
α
)
sin ,(ααM ’
P ’
x y O M P A T 图2
问题：如何给图5中的钝角α描点)sin ,(αα 横坐标α=x 等于劣弧OP 的长（由功能二可知），用一条柔软 的细线将劣弧OP 平展到射线Ox 上，得横坐标α=x 对应的点。

然 后，将α=x 的正弦线平移过去得纵坐标αsin ，得点)sin ,(αα。

教学作用六．三角函数的性质：“单位圆定义法”使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础．
如图6，当角x 的终边绕原点从x 的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时， 自变量x 的终边按照0→
2
π
→π→23π→π2→…的规律周而复始变化着，
所以三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性、单调性…一目了然
教学作用七：其它解题功能：主要功能：等式与不等式、比较大小。

1．由于单位圆中弧长||||x r x l =⋅=，从图6中易知当2
0π<≤x 时，
x x x tan sin <<。

此不等式能指导作图7，三者唯一的交点是原点。

2．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥)
2(21
cos )1(21sin x x (1)、(2)式的解x
8、9所示。

取公共部分得解集},26
5232|
{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ 从这个角度来看，新课程或许在告诉我们，可以将三角函数统一在单位圆
与三角函数线之下，让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生 学会用联系的观点看三角函数，数形结合地研究三角函数的定义、公式、图象与 性质，明白单位圆与三角函数线可以研究什么问题、怎样研究这些问题，动态地 分析问题。

图7
x
=y。