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全等三角形证明过程步骤练习

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三角形全等的判定方法5种例题+练习全面

三角形全等的判定方法5种例题+练习全面

教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”.注：必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在A ABC和A ABD中，/ A= / A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等.A例 1 如图，AC=AD, / CAB= / DAB,求证：A ACB义A ADB.AD例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AD〃BC, / ABC= /DCB, AB=DC, AE=DF 求证:BF=CE.例3.(1)如图①，根据“SAS"，如果BD=CE, =,那么即可判定4BDC24CEB； (2)如图②，已知BC=EC, NBCE二ACD,要使4ABC2△口£&则应添加的一个条件为例4. 如图，已知AD=AE,N1=N2, BD=CE,则有4ABD2，理由是△ABE义，理由是.例5.如图，在4ABC和4DEF中，如果AB=DE, BC=EF,只要找出N=N 或〃，就可得到4ABC2△DEF.A D例6.如图，已知AB〃DE, AB=DE, BF=CE,求证：4ABC24口£艮例 7.如图，点B 在线段AD 上，BC〃DE, AB=ED, BC=DB. 求证：NA二NE 例8.如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, NB=NC.求证: NA=ND.2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1.如图，在4ABC中，点D是BC的中点，作射线AD,线段AD及其延长线上分别取点E, F，连接CE，BF.添加一个条件，使得4BDF24CDE,你添加的条件是:.（不添加辅助线）例2. 如图，已知人口平分/8人&且N ABD=N ACD,则由“AAS”可直接判定△^A.B例 3.如图，在 RtA ABC 中，N ACB=90°, BC=2cm, CD^AB,在AC 上取一点E,使EC二BC, 过点E作EF^AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,那么AE=cm.例4.如图，AD〃BC,N ABC的角平分线BP与/8人口的角平分线AP相交于点P,作PE L AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为.例 5.如图，已知EC=AC, ZBCE=ZDCA, NA=NE.求证：BC=DC.例6.如图，在4ABC中，D是BC边上的点（不与B, C重合），F, E分别是AD及其延长线上的点，CF〃BE.请你添加一个条件，使4BDE24CDF （不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明.（1）你添加的条件是：；（2）证明：例7.如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC,N1=N2=N3,则DE的长等于（）A. DCB. BCC. ABD. AE+AC【基础训练】1 .如图，已知 AB = DC,NABC=NDCB,则有4ABC2，理由是；且有2 .如图，已知AD=AE,N1 = N2, BD = CE,则有4ABD2，理由是；△ ABF /，理由是.3 .如图，在4ABC 和ABAD 中，因为 AB = BA,NABC=NBAD, =，根 据“SAS”可以得到4ABC2ABAD.4 .如图，要用“SAS”证4ABC2AADE,若AB=AD, AC=AE,则还需条件（ ）.5 .如图，OA=OB, OC = OD,NO=50°,N D = 35°,则NAEC 等于（ ）.A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°A.NB = ND C.N1 = N2 BNC=NED.N3 = N4（第4皿（第56.如图，如果AE=CF, AD〃BC, AD = CB,那么^ADF和ACBE全等吗？请说明理由.律f题）7.如图，已知AD与BC相交于点O,NCAB = NDBA, AC = BD.求证: (1)NC=ND；(2)AAOC^ABOD.C第T题）8.如图，AACD和4BCE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=90°, AE交DC于F, BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.（第8题）9.如图，在4ABC 中，AB=AC, AD 平分/BAC.求证：NDBC=NDCB.（第KJ题）10.如图，4ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE〃BC.（第门题）角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”. 例1、如图，在4ABC中，N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点，试说明BH=AC.例 2、如图，N ACB=90°, AC二BC, BE±CE, AD±CE 于 D, AD=2.5cm, DE=1.7cm. 求BE的长.例3、如图，在4ABC中,AC±BC, CE±AB于E, AF平分/CAB交CE于点F,过F作FD〃 BC交AB于点D.求证：AC=AD.例 3.如图，AD 平分/BAC, DEXAB 于 E, DFXAC 于 F,且 DB二DC,求证：EB=FC例4.如图，在4ABC中，D是BC的中点，DELAB, DFXAC,垂足分别是E, F, BE=CF. 求证：AD 是4ABC的角平分线.例5.如图，在4ABC中，AB二CB,N ABC=90°, D为AB延长线上的一点，点E在BC 边上，连接 AE, DE, DC, AE二CD.求证：NBAE二NBCD.例6.如图，D是BC上一点，DEL AB, DF±AC, E, F分别为垂足，且AE=AF.(1)AAED与4AFD全等吗？为什么？(2)AD平分/BAC吗？为什么？例 7.如图，已知 ACLBC, BDLAD, BC 与 AD 交于 O, AC=BD.试说明：ZOAB=ZOBA.例8.如图，NACB 和/ADB都是直角，BC二BD, E是AB上任意一点.求证：CE=DE.例 9.如图，已知RtAABC^RtAADE,ZABC=Z ADE=90°, BC 与 DE 相交于点 F, CD, EB.连接(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF=EF.例10.如图，在四边形ABCD中，AC 平分/BAD,并且CB=CD.求/ABC+NADC的度数.例11. (1)如图①，A, E, F, C四点在一条直线上，AE二CF,过点E, F分别作DELAC, 8尸，八0连接BD交AC于点G,若AB二CD,试说明FG=EG.(2)若将4DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由.B BD D①. ②课后练习:1.如图，点C在线段AB的延长线上，AD = AE, BD = BE, CD = CE,则图中共有对全等三角形，它们是2.如图，若AB = CD, AC=BD,则可用“SSS”证 23.如图，已知 AB = DC, BE=CF,若要利用“SSS”得到4ABE2△DCF,还需增加的一个条件是.i第3题）（第-I题）4.如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在（）.A. AE 上B. EF 上C. CF 上D. AC 上5.如图，已知E、C两点在线段BF上，BE=CF, AB=DE, AC=DF.求证：AABC2A DEF.& E C F（第三⑦6.如图，在4ABC和4DCB中，AC与BD相交于点O, AB=DC, AC=BD.(1)求证：4ABC 2ADCB；(2)AOBC的形状是.(直接写出结论，不需证明)＜第6题)7、如图，在口ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC 与EF相交于点O.(1)过点B作AC的平行线BG,延长EF交BG于点H；(2)在(1)的图中，找出一个与4BFH全等的三角形，并证明你的结论.8、如图，已知BD±AB, DC,AC,垂足分别为点B、C, CD=BD, AD 平分/BAC吗，为什么？9.如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DELAG于E, BF#DE,交 AG于F.那NAF与BF+EF相等吗？请说明理由.B G C10.如图，BD、CE分别是4ABC的边AC和边AB上的高，如果BD = CE,试证明AB = AC.11.如图，在RtAABC和RtABAD中，AB为斜边，AC=BD, BC、AD相交于点E (1)请说明AE=BE 的理由；(2)若N AEC=45°, AC = 1,求 CE 的长.12.如图，在4ABC中，D是BC的中点，DELAB, DFLAC,垂足分别是点E、F, BE= CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.4练习21.如图，已知NB = NDEF, AB=DE,要证明△ ABC2△DEF.（1）若以“ASA”为依据，还缺条件；（2）若以“AAS”为依据，还缺条件£（第1期】《第2题）2.如图，已知AD平分/BAC,且NABD=NACD,则由“AAS”可直接判定△2 △.3.如图，已知AB=AC,要根据“ASA”得到以BE2AACD,应增加一个条件是 _______________（第3 （第4（第54.如图，点P是/AOB的平分线OC上的一点，PD±OA, PE LOB,垂足分别为点D、E, 则图中有对全等三角形，它们分别是.5.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去6.如图，已知AC平分/8八口，/1 = /2, AB与AD相等吗？请说明理由.C£第67.如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知NA=ND, 需要补充的一个条件是.（写出一个即可）NB = NC,要使4ABF 2ADCE,8.如图，在4ABC中，N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点，试说明BH=AC.A9.如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，且AD=BE,NA=NFDE,则AABC2A DEF.请你判断上面这个判断是否正确，如果正确，请给出说明；如果不正确，请添加一个适当条件使它成为正确的判断，并加以说明.10.已知：如图，AB=AE,N1 = N2,NB = NE.求证：BC=ED.21。

全等三角形判定经典

全等三角形判定经典

11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。

例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。

求证：△ABC ≌△DCB 。

A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。

证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

“ASA ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。

例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。

ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。

事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。

证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。

三角形全等例题+练习(常用方法)

三角形全等例题+练习(常用方法)

B
DE C
7
典型例题 5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例 5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD⊥BC，若 BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．
A
E
F
B DC
G
针对练习 1：如图２所示，已知 ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， BD 平分 ABC ， 求证： AB BC CD 。

0
60
，
C

400
，P，Q
分别在
BC，CA
上，并且
AP
、BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
A
B Q
P
C
截长补短 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ， 求证： A C 1800
A D
B
C
截长补短 5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
∠MBN 60 ，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长线）于
E，F ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，不需证明．
A
B
EM
A
B
EM
A B
CF

直角三角形全等判定hl证明过程

直角三角形全等判定hl证明过程

直角三角形全等判定hl证明过程在几何学中，全等三角形是指具有相同边长和角度的两个三角形。

直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

本文将通过证明过程来证明直角三角形的全等判定条件hl，即如果两个直角三角形的斜边和一个锐角边分别相等，则这两个三角形全等。

证明过程如下：假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠A、∠D为直角。

已知AC = DF，BC = EF，AB = DE。

我们需要证明三角形ABC ≌ 三角形DEF。

证明步骤如下：步骤1：根据直角三角形的定义，我们知道∠A= ∠D = 90度。

步骤2：根据已知条件AC = DF，BC = EF，我们可以得到两个等式。

步骤3：根据三角形的边-角-边（SAS）全等定理，如果两个三角形的一对角度和它们对应的两对边分别相等，则这两个三角形全等。

步骤4：根据步骤1中的结论，我们知道∠A = ∠D = 90度。

根据步骤2中的已知条件，我们得到AC = DF，BC = EF。

步骤5：根据SAS全等定理，我们可以得出三角形ABC ≌ 三角形DEF。

通过以上步骤，我们证明了直角三角形的全等判定条件hl。

全等三角形的概念在几何学中非常重要，它可以帮助我们解决许多与三角形相关的问题。

在实际应用中，我们经常需要判断两个三角形是否全等，以便进行进一步的推导和计算。

通过掌握全等三角形的判定条件，我们可以更准确地分析和解决这类问题。

除了全等三角形的判定条件hl，还有其他几个全等三角形的判定条件，如SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）等。

这些判定条件在不同的情况下具有不同的适用范围，我们需要根据具体的问题选择合适的判定条件。

在几何学中，证明是非常重要的一部分。

通过证明过程，我们可以推导出几何定理和公式，从而解决各种几何问题。

在证明过程中，我们需要运用各种几何知识和推理方法，如等式、等角、全等、相似等。

通过不断练习和思考，我们可以提高自己的证明能力，更深入地理解几何学的原理和概念。

全等三角形的判定方法五种的证明

全等三角形的判定方法五种的证明

全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。

在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。

下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。

一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。

我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。

所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。

由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。

我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。

这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。

如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。

通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。

【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。

在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。

正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。

2020年秋人教版八年级数学上册第12章《全等三角形证明过程训练》(讲义及答案)

2020年秋人教版八年级数学上册第12章《全等三角形证明过程训练》(讲义及答案)

人教版八年级数学上册第12章全等三角形证明过程训练（讲义、随堂测试、习题）➢ 课前预习1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______．要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ．③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ．D C BA ××AB CDOABCD图1图2图33. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后，完整书写过程．如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．➢ 知识点睛1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．2. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°，AB =A′B′，AC =A′C′．321DC BA求证：△ABC ≌△A′B′C′．C'B'A'CB A证明：如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中AB A'B'AC A'C'=⎧⎨=⎩（已知）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ）➢ 精讲精练1. 如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，则___________≌___________，从而BC ________BD ．D CBA 2. 如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，AE =AF ，则_____≌______，从而DE =______．ABCD EF3. 已知：如图，AB =CD ，AF =CE ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．求证：△ABF ≌△CDE ．ABCDEF4.已知：如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．ABC D ABCDE Fl第4题图第5题图5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长为_________．6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：△ACD≌△AED．E DC7. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，AC ∥DF 且AC =DF ，BE =CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．FE DC B A8. 如图，在正方形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AB =BC ，E ，F 分别是AB ，AD 上的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ． 求证：BE =AF ．ABCDEFM9. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：CF =AE ．10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，D ，E ，F 分别为边BC ，AB ，AC 上的点，且BE =CD ，∠EDF =60°．求证：ED =DF ．FED CBAAB DE F【参考答案】➢课前预习1.SAS，SSS，ASA，AAS3，边2.略3.解：如图∵AB∥CD∴∠1=∠3∵∠1=110°∴∠3=110°∵∠2+∠3=180°∴∠2=180°-∠3=180°-110°➢ 知识点睛 1. SAS ，SSS ，ASA ，AAS ，HL ➢精讲精练1. Rt △CAB ，Rt △DAB ，=2. Rt △AED ，Rt △AFD ，DF3. 证明：如图，∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠DEC =∠BFA =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩（已知）（已知） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） 4. AB =AD ，HLBC =DC ，HL ∠BAC =∠DAC ，AAS ∠BCA =∠DCA ，AAS 5. 36. 证明：如图，∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠DEA ∵AD 平分∠BAC ∴∠CAD =∠EAD 在△ACD 和△AED 中C DEA CAD AED AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△ACD ≌△AED （AAS ） 7. 证明：如图，21A BC DE F第8题图∵AC ∥DF∵BE =CF ∴BE +EC =CF +EC 即BC =EF在△ABC 和△DEF 中1 2 AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 8. 证明：如图，∵∠ABC =90° ∴∠ABF+∠MBC =90° ∵AE ⊥BF ∴∠CMB =90° ∴∠MBC +∠BCE =90° ∴∠ABF =∠BCE 在△ABF 和△BCE 中A EBC AB BC ABF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知）（已证） ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）∴AF =BE （全等三角形对应边相等） 9. 证明：如图，第9题图321A BDE F∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴∠F =∠AEC =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△BCF 和△CAE 中1 3 F AEC BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（已知） ∴△BCF ≌△CAE （AAS ）∴CF =AE （全等三角形对应边相等） 10. 证明：如图，∵∠B =60° ∴∠1+∠2=120° ∵∠EDF =60° ∴∠2+∠3=120° ∴∠1=∠3在△BDE 和△CFD 中1 3 BE CD B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已知） ∴△BDE ≌△CFD （ASA ）∴ED =DF （全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（随堂测试）1. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E 为AD 上一点，且BE =AC ，如果要使△BDE ≌△ADC ，那么还需要一个条件，这个条件可以是____________________，理由是_________；这个条件也可以是__________________，理由是_________； 这个条件也可以是__________________，理由是_________； 这个条件还可以是__________________，理由是_________．2. 已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，过点C 作 CF ⊥AD 于点F ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ． 求证：CF =BE ． 证明：如图，ED CB A 第10题图321A BCD E FF DCA【参考答案】1. DE =DC ，HLBD =AD ，HL ∠EBD =∠CAD ，AAS ∠BED =∠C ，AAS 2. 证明：如图，∵CF ⊥AD ，BE ⊥AD ∴∠CFD=∠BED =90° ∵D 为BC 边的中点 ∴CD =BD在△CFD 和△BED 中∴△CFD ≌△BED （AAS ）∴CF =BE （全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（习题）1 2 CFD BED CD BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）∠∠（对顶角相等）（已证）第2题图➢ 例题示范例1：已知：如图，在正方形ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E 为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交BC 于点G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明．要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，AB =CB ；BE =BF ；根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由SAS 可证两三角形全等．【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2在△ABE 和△CBF 中12AB CB BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知）∴△ABE ≌△CBF （SAS ）∴AE =CF （全等三角形对应边相等）➢ 巩固练习11. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，且PD =PE ，将上述条件标注在图中，易得___________≌___________，从而AD =__________．21G FE DCB A GABC DEF第1题图第2题图12. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，如果要使△ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．13. 已知：如图，C 为BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC =∠CDE =90°．若AB =4，DE =2，则BD 的长为______．14. 已知：如图，点A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ．15. 如图，点C ，F 在BE 上，∠1=∠2，BF =EC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF ．PEDCBADC B A ED CBAF E DC BA16. 已知：如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，且AC =BD ，BE ∥CF 证：△ABE ≌△DCF ．17. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD 与CE 相交于点H ，AE =CE ． 求证：AH =CB ．FDCBA HEA➢思考小结1.要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形_______；要证明三角形全等，需要准备_____组条件，其中有一组必须是_______相等．2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠B=∠D．EBC A第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）第二步：分析特征走通思路①要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B放在△ABC中，把∠D放在△ADE中，只需要证明这两个三角形全等即可．②要证明△ABC≌△ADE，需要找三组条件，由已知得AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用SAS可得两个三角形全等．第三步：规划过程过程分成三块：①由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；②由SAS得△ABC≌△ADE；③由全等得∠B=∠D．第四步：过程书写【参考答案】➢巩固练习1.Rt△ADP，Rt△AEP，AE2.AD=CB，HLAB=CD，SAS∠A=∠C，AAS∠ADB=∠CBD，ASA3. 64.证明：如图，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEB =∠DFA =90° ∵AE =BF ∴AE +EF =BF +EF 即AF =BE在Rt △CEB 和Rt △DFA 中BC AD BE AF =⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，∵BF =EC ∴BF +FC =EC+FC 即BC =EF在△ABC 和△DEF 中1 2 A D BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已知）∠∠（已知）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） 6. 证明：如图，∵AC =BD ∴AC -BC =BD -BC 即AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2 ∵∠1+∠3=180° ∠2+∠4=180° ∴∠3=∠4 ∵AE ∥DF ∴∠A =∠D在△ABE 和△DCF 中3 4 AB DC A D =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）（已证）∠∠（已证） ∴△ABE ≌△DCF （ASA ） 7. 证明：如图，第5题图4321A B CDF∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵CE ⊥AB∴∠AEH =∠CEB =90° ∴∠3+∠4=90° ∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3在△AEH 和△CEB 中3 1 AEH CEB AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）（已知）∠∠（已证） ∴△AEH ≌△CEB （ASA ）∴AH =CB （全等三角形对应边相等）➢ 思考小结1. 全等；3，边第6题图3124AB DEH。

sss证明三角形全等题目和解答过程

sss证明三角形全等题目和解答过程

1. 三角形全等的定义2. 全等三角形的性质3. 证明方法一：SSS（边-边-边）4. 证明方法二：SAS（边-角-边）5. 证明方法三：ASA（角-边-角）6. 证明方法四：AAS（角-角-边）7. 实例分析：利用SSS证明三角形全等的例题8. 实例分析：利用SAS证明三角形全等的例题9. 实例分析：利用ASA证明三角形全等的例题10. 实例分析：利用AAS证明三角形全等的例题11. 总结1. 三角形全等的定义三角形全等是指两个三角形的对应边相等，对应角相等的情况。

当两个三角形满足这些条件时，可以称它们是全等的。

全等的表示方法通常是用符号△ABC≌△DEF来表示。

2. 全等三角形的性质全等三角形的性质主要包括以下几点：- 对应边相等：若△ABC≌△DEF，则AB=DE, AC=DF, BC=EF。

- 对应角相等：若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F。

- 三角形的其他边和角也对应相等，并且全等的三角形每个角的对边也相等。

3. 证明方法一：SSS（边-边-边）SSS是Side-Side-Side的缩写，意思是通过证明三角形的三条边相等来证明两个三角形全等。

具体的证明方法如下：- 给出两个三角形△ABC和△DEF，需要证明△ABC≌△DEF。

- 分别计算出△ABC和△DEF的三条边的长度，分别记为AB, BC, CA 和DE, EF, FD。

- 若AB=DE, BC=EF, CA=FD，就可以得出△ABC≌△DEF。

4. 证明方法二：SAS（边-角-边）SAS是Side-Angle-Side的缩写，意思是通过证明三角形的两条边和夹角相等来证明两个三角形全等。

具体的证明方法如下：- 给出两个三角形△ABC和△DEF，需要证明△ABC≌△DEF。

- 分别计算出△ABC和△DEF的两条边和夹角的情况。

- 若在两个三角形中，有两边和夹角分别相等，即AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E，就可以得出△ABC≌△DEF。

全等三角形证明经典30题

全等三角形证明经典30题

全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF，延长直线段 CF 至点 X，使得 CX = CE。

步骤二：连接线段 AX。

步骤三：证明∠AXB = ∠EXF：由于∠A = ∠D，所以∠AXB = ∠DXE（共同的角度）。

又由于∠B = ∠E，所以∠DXE = ∠EXF。

因此，∠AXB = ∠EXF。

步骤四：证明∠ABX = ∠EFX：由于∠B = ∠E，所以∠ABX = ∠EXF（共同的角度）。

因此，∠ABX = ∠EFX。

步骤五：证明 AB = EF：由于 CX = CE，且∠ABX = ∠EFX，根据 SSS（边-边-边）全等三角形定理，则可得∆ABX ≌ ∆EFX。

因此，AB = EF。

综上所述，根据两角和相等定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。

2. SAS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，∠A = ∠D，且 AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 BC 和 EF。

步骤二：证明∠ABC = ∠DEF：由于 AB = DE，且∠A = ∠D，根据线段角度定理，可得∠ABC = ∠DEF。

步骤三：证明 BC = EF：由于 AC = DF，且∠ABC = ∠DEF，根据 SAS（边-角-边）全等三角形定理，可得△ABC ≌△DEF。

综上所述，根据SAS全等三角形定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。

3. SSS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，BC = EF，且AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 AC 和 DF。

步骤二：连接线段 BC 和 EF。

三角形全等的证明

三角形全等的证明

三角形全等的证明三角形的全等是指两个或多个三角形的所有对应元素（两边和夹角）都相等。

证明三角形全等的方法有很多种，其中包括使用SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）以及HL（斜边和对边的垂直高度）准则等。

以下将介绍四种常用的三角形全等证明方法。

1.使用SSS准则（边边边）证明三角形全等：SSS准则要求两个三角形的三条边长度相等。

即如果两个三角形的三条边长度分别相等，则这两个三角形全等。

证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,AC=DF。

画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度。

然后根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,AC=DF。

由于三角形的边长相等，根据SSS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。

2.使用SAS准则（边角边）证明三角形全等：SAS准则要求两个三角形的两边长度成比例，夹角大小相等。

即，如果两个三角形的两条边长度依次成比例，并且夹角大小相等，则这两个三角形全等。

证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。

画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度，以及已知的夹角。

根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。

由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据SAS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。

3.使用ASA准则（角边角）证明三角形全等：ASA准则要求两个三角形的两个角度大小相等，夹边长度相等。

即，如果两个三角形的两个角度大小依次相等，并且夹边长度相等，则这两个三角形全等。

证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。

画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应角度和边长。

根据已知条件，我们可以得出∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。

由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据ASA准则，三角形ABC和三角形DEF全等。

证明全等三角形的步骤

证明全等三角形的步骤

如何证明全等三角形
在几何学中，全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

证明全等三角形是几何学中非常重要的一部分，也是中考和高考考试的重点之一。

下面将介绍证明全等三角形的步骤和方法。

步骤一：确定已知条件和求证结论。

在证明全等三角形时，首先要明确已知条件和求证结论。

已知条件可以是已知的三角形或者已知的角度、边长等信息，求证结论则是要证明的两个三角形全等。

步骤二：寻找相关定理和公理。

在确定已知条件和求证结论后，需要寻找相关的定理和公理。

常用的定理有 SSS 定理、SAS 定理、ASA 定理、AAS 定理和 HL 定理等。

常用的公理有欧几里得公理和泰勒公理等。

步骤三：证明已知条件和求证结论之间的关系。

在找到相关的定理和公理后，需要证明已知条件和求证结论之间的关系。

这个关系可以通过已知条件和定理、公理的组合来证明。

证明的过程中需要注意使用正确的定理和公理，并且要按照定理和公理的格式进行证明。

步骤四：得出结论。

在完成上述步骤后，可以根据已知条件、定理和公理得出结论，即证明两个三角形全等。

除了以上步骤，还有一些常用的技巧可以帮助证明全等三角形。

比如，可以使用三角形相似性质，通过角度的相等来证明三角形全等;
也可以使用旋转、平移等变换，将一个三角形变换成另一个三角形，从而证明两个三角形全等。

证明全等三角形需要仔细分析已知条件和求证结论，并运用相关的定理和公理进行证明。

同时，也需要注意运用常见的技巧和方法，提高证明的效率和准确性。

全等三角形的证明过程

全等三角形的证明过程

全等三角形的证明过程引言：全等三角形是几何学中的基本概念之一，它意味着两个三角形的所有对应边长和对应角度完全相等。

全等三角形的证明过程可以通过多种方法展示，其中包括SSS（边边边）法、SAS（边角边）法、ASA（角边角）法、AAS（角角边）法和HL（斜边直角边）法等。

本文将重点介绍这些方法的证明过程，以帮助读者更好地理解全等三角形的概念和性质。

一、SSS法（边边边法）：SSS法是最直接和简单的证明方法之一。

它要求两个三角形的所有三条边分别相等，即边边边相等。

具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中AB = DE，BC = EF，AC = DF。

步骤2：由于AB = DE，BC = EF，AC = DF，所以三角形ABC和三角形DEF的三条边分别相等。

步骤3：根据边边边相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。

二、SAS法（边角边法）：SAS法是另一种常用的证明方法，它要求两个三角形的两条边和它们之间的夹角分别相等，即边角边相等。

具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中AB = DE，∠BAC = ∠EDF，BC = EF。

步骤2：由于AB = DE，∠BAC = ∠EDF，BC = EF，所以三角形ABC的两条边和夹角分别等于三角形DEF的两条边和夹角。

步骤3：根据边角边相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。

三、ASA法（角边角法）：ASA法要求两个三角形的两个角和它们之间的边分别相等，即角边角相等。

具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC = ∠EDF，AC = DF，∠ABC = ∠DEF。

步骤2：由于∠BAC = ∠EDF，AC = DF，∠ABC = ∠DEF，所以三角形ABC的两个角和边分别等于三角形DEF的两个角和边。

步骤3：根据角边角相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。

全等三角形的性质及判定(习题及答案)

全等三角形的性质及判定(习题及答案)

全等三角形的性质及判定（习题）例题示范例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．【思路分析】①读题标注：DDBB②梳理思路：要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．由已知得，CD=BE；根据条件C 为AB 中点，得AC=CB；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的夹角．由条件CD∥BE，得∠ACD=∠B．发现两边及其夹角相等，因此由 SAS 可证两三角形全等．【过程书写】先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应．证明：如图∵C 为AB 中点ACEACE∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC = CB（已证）ACD = B （已证） CD = BE （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）EC巩固练习1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论：①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个EAA1F EBC 2BDCD第 1 题图第 2 题图2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是，理由是．3. 如图，D 是线段 AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角形是，理由是．AC AG DFHB E B D第3 题图第4 题图4.如图，AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，还需要添加一组条件，这个条件可以是，理由是；这个条件也可以是，理由是；这个条件还可以是，理由是．BCDF5. 如图，将两根钢条 AA' ， BB' 的中点连在一起，使 AA' ， BB'可以绕着中点 O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B' 的长等于内槽宽 AB ．其中判定△OAB ≌△ OA'B' 的理由是 （）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AASA B'A'E第 5 题图第 6 题图6. 要测量河两岸相对的两点 A ，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF上取两点 C ，D ，使 CD =BC ，再定出 BF 的垂线 DE ，使 A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△E DC ≌△ABC ，得 ED =AB ，因此测得 ED 的长就是 AB 的长．判定△EDC ≌ △ABC 最恰当的理由是（ ） A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAA7. 已知：如图，M 是 AB 的中点，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：△AMC ≌△BMD ． 【思路分析】 ① 读题标注： ② 梳理思路： C DA要证全等，需要 组条件，其中必须有一组 相等．由已知得：=，= ．A OB根据条件，得= ．因此，由可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图8.已知：如图，点B，F，C，E 在同一条直线上，且BC=EF，AB∥DE，AB=DE．A求证：△ABC≌△DEF．CB F E【思路分析】①读题标注：②梳理思路：D要证全等，需要组条件，其中必须有一组相等．由已知得：= ，= ．根据条件，得= ．因此，由可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图思考小结1.两个三角形全等的判定有，， _，，其中AAA，SSA 不能证明三角形全等，请举反例进行说明．2.如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连接AC 并延长到D，使CD=CA；连接BC 并延长到E，使CE=CB ，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A，B 间的距离．你能说明其中的道理吗A ECB D【参考答案】 巩固练习1. B2. AC =DF ，SAS ；∠B =∠E ，ASA ；∠A =∠D ，AAS3. △BCD ≌△AED ，AAS4. AC =AE ，SAS ；∠B =∠D ，ASA ；∠C =∠E ，AAS5. A6. B7. ①略②3，边∠1，∠2；∠C ，∠DM 是 AB 的中点，AM ，BM AAS【过程书写】证明：如图， ∵M 是 AB 的中点 ∴AM =BM在△AMC 和△BMD 中C =D （已知） 1 = 2 （已知） AM = BM （已证） ∴△AMC ≌△BMD （AAS ） 8. ①略②3，边BC ，EF ， AB ，DE AB ∥DE ，∠B ，∠E SAS【过程书写】证明：如图， ∵AB ∥DE∴∠B =∠E在△ABC 和△DEF 中 AB = DE （已知）B = E （已证） BC = EF （已知）∴△ABC ≌△DEF （SAS ）思考小结1. SAS ，SSS ，ASA ，AASAAA 反例：大小三角板SSA 反例：作图略2. 证明：如图，在△ABC 和△DEC 中AC = DC （已知）ACB = DCE （对顶角相等） BC = EC （已知） ∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴AB =DE （全等三角形对应边相等） 即 DE 的长度就是 A ，B 间的距离。

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。

边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。

需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。

例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。

但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。

在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。

角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。

例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。

在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。

除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。

在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。

总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。

1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。

根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。

又因为AB=DC，所以BC=AC。

因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。

同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。

2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。

根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。

又因为AD=CE，所以BD=BE。

因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。

同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。

三角形全等定理证明过程

三角形全等定理证明过程

三角形全等定理证明过程嘿，咱今儿就来唠唠三角形全等定理的证明过程哈！你想啊，三角形，那可是几何世界里常见的小家伙呢！要证明两个三角形全等，就好像要找出它们之间那隐藏的“血缘关系”一样。

先来说说“边边边”定理吧。

就好比有两个三角形，它们的三条边都一模一样长，那它们肯定就是全等的啦！这就好像是两个人，从头到脚每个部位都长得一样，那不是同一个人还能是啥？这多直观呀！然后是“边角边”定理。

想象一下，一个三角形的两条边和它们夹角跟另一个三角形完全相同，那不就相当于给这两个三角形贴上了同样的标签嘛，它们肯定也是全等的呀！这就跟你找东西，有了关键特征，一下子就能锁定目标一样。

接着还有“角边角”定理呢。

如果两个三角形的两个角和夹边都一样，那它们也是全等的哟！这就好比是识别一个人的独特标志，有了这些关键的角和边，就能确定它们是“一家人”啦。

还有“角角边”定理呢！当两个三角形的两个角和其中一个角的对边相等时，它们也是全等的呢。

这就像是通过一些特别的线索，找到了两个三角形之间紧密的联系。

在证明这些定理的过程中，那可得仔细又认真呀！不能有一点马虎，不然就会得出错误的结论呢。

就好像走路一样，一步一步都得走稳了，不然就会摔跤。

咱举个例子哈，比如有两个三角形，它们的条件都符合“边边边”定理，那咱就能确定它们全等啦！然后再根据全等的性质，能推出好多其他的结论呢。

这感觉是不是很神奇？哎呀，三角形全等定理的证明过程就像是一场有趣的探索之旅，每一个定理都是一个小宝藏，等着我们去发现和挖掘。

通过这些定理，我们能更好地理解三角形的奥秘，也能在解决几何问题的时候更加得心应手呢！所以呀，可得好好掌握这些定理哦，它们可是几何世界的宝贝呢！怎么样，现在是不是对三角形全等定理的证明过程更清楚啦？。

全等三角形的证明过程

全等三角形的证明过程

全等三角形的证明过程全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

证明两个三角形全等的方法主要有以下几种：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA （角边角）、AAS（角角边）和HL（斜边和直角边）。

一、SSS（边边边）法SSS法是通过已知两个三角形的三边分别相等来证明两个三角形全等。

具体证明过程如下：已知：△ABC≌△XYZ证明：AB=XY，BC=YZ，AC=XZ证明过程：1. 画出△ABC和△XYZ，假设AB=XY，BC=YZ，AC=XZ；2. 分别连接AC和XZ，假设它们的交点为点O；3. 根据三角形的性质，△ABC和△XYZ的内角和相等，即∠ABC=∠XYZ，∠ACB=∠XZY；4. 根据三角形内角和为180°的性质，可得∠BAC=∠YXZ；5. 由∠BAC=∠YXZ，可得△ABC≌△XYZ，即两个三角形全等。

二、SAS（边角边）法SAS法是通过已知两个三角形的两边和夹角分别相等来证明两个三角形全等。

具体证明过程如下：已知：△ABC≌△XYZ证明：AB=XY，∠BAC=∠YXZ，BC=YZ1. 画出△ABC和△XYZ，假设AB=XY，∠BAC=∠YXZ，BC=YZ；2. 根据SAS法则，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则两个三角形全等；3. 可以得出结论：△ABC≌△XYZ。

三、ASA（角边角）法ASA法是通过已知两个三角形的两个角和夹边分别相等来证明两个三角形全等。

具体证明过程如下：已知：△ABC≌△XYZ证明：∠BAC=∠YXZ，AC=XZ，∠ACB=∠XZY证明过程：1. 画出△ABC和△XYZ，假设∠BAC=∠YXZ，AC=XZ，∠ACB=∠XZY；2. 根据ASA法则，如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则两个三角形全等；3. 可以得出结论：△ABC≌△XYZ。

四、AAS（角角边）法AAS法是通过已知两个三角形的两个角和一条边分别相等来证明两个三角形全等。

具体证明过程如下：已知：△ABC≌△XYZ证明：∠BAC=∠YXZ，∠ACB=∠XZY，AB=XY1. 画出△ABC和△XYZ，假设∠BAC=∠YXZ，∠ACB=∠XZY，AB=XY；2. 根据AAS法则，如果两个三角形的两个角和一条边分别相等，则两个三角形全等；3. 可以得出结论：△ABC≌△XYZ。

全等三角形证明过程

全等三角形证明过程

全等三角形证明过程假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

证明的基本思路是通过已知条件和推理来得出它们的对应角相等以及对应边相等。

证明过程如下：步骤一：首先，根据已知条件，找出可以推理出两个三角形全等的条件。

全等三角形的常见条件有以下几种：1.SSS条件（边-边-边）：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等。

2.SAS条件（边-角-边）：如果两个三角形的两个边和它们之间的夹角相等，则这两个三角形全等。

3.ASA条件（角-边-角）：如果两个三角形的两个角和夹在它们之间的边相等，则这两个三角形全等。

4.AAS条件（角-角-边）：如果两个三角形的两个角和一个不相邻的边相等，则这两个三角形全等。

步骤二：接下来，根据已知条件以及步骤一中得到的全等条件，通过推理找出可以证明两个三角形全等的条件。

例如，假设已知三角形ABC与DEF的两边AB与DE相等，边AC与DF 相等，以及角A与角D相等。

我们可以通过以下步骤证明这两个三角形全等：1.根据已知条件，我们可以得出AB=DE（已知），AC=DF（已知），以及∠A=∠D（已知）。

2.根据SAS条件，由于边AB=DE，边AC=DF，以及∠A=∠D，我们可以得出三角形ABC与DEF全等。

3.因此，我们可以得出结论：两个三角形ABC和DEF全等。

步骤三：最后，为了证明两个三角形全等，我们需要根据步骤二中得到的全等条件，得出它们的对应角相等以及对应边相等。

继续以上面的例子为例，我们可以得出以下结论：1.∠A=∠D（已知）。

2.AB=DE（已知）。

3.AC=DF（已知）。

4.根据全等三角形的性质，对应的角相等，即∠B=∠E（全等三角形ABC与DEF）。

5.根据全等三角形的性质，对应的边相等，即BC=EF（全等三角形ABC与DEF）。

通过以上步骤，我们证明了两个三角形ABC和DEF全等。

总结：全等三角形的证明过程基于几何定理和推理，根据已知条件找出可以推导出两个三角形全等的条件，通过推理得出全等条件，最终得出两个三角形的对应角相等以及对应边相等的结论。

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。

全等三角形证明过程

全等三角形证明过程

全等三角形证明过程设三角形ABC和DEF为全等三角形。

第一步：证明三角形ABC与三角形DEF的对应边相等。

我们需要证明AB=DE,AC=DF,BC=EF。

假设三角形ABC和DEF全等，我们可以用符号表示成：ΔABC≌ΔDEF。

由全等三角形的定义可知，两个全等三角形的相应边边长相等，我们需要证明AB=DE。

根据全等三角形的定义，我们可以得到四个条件：1.ΔABC的角A等于ΔDEF的角D。

2.ΔABC的角B等于ΔDEF的角E。

3.ΔABC的角C等于ΔDEF的角F。

4.ΔABC的边长比例与ΔDEF的边长比例相等。

由于我们要证明AB=DE，所以我们需要利用第四个条件：三角形的边长比例相等。

首先，我们可以通过角度的对应关系得到以下等式：∠B=∠E∠C=∠F接下来我们来证明∠A=∠D，从而得到ΔABC与ΔDEF对应的边相等。

由余弦定理可知，在三角形ABC中：AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(∠A)在三角形DEF中：DE^2 = DF^2 + EF^2 - 2 * DF * EF * cos(∠D)由于ΔABC≌ΔDEF，所以AB=DE，那么AB^2=DE^2根据对应边的性质，我们可以得到以下等式：AC=DFBC=EF将这些关系代入AB^2=DE^2的等式中，我们可以得到：AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(∠A) = DF^2 + EF^2 - 2 * DF * EF * cos(∠D)由于AC=DF，BC=EF，我们可以得到：AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(∠A) = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(∠D)进一步化简上述等式，我们可以消去相同的项：- 2 * AC * BC * cos(∠A) = - 2 * AC * BC * cos(∠D)由于AC*BC≠0，我们可以从上述等式中消去-2*AC*BC，得到：cos(∠A) = cos(∠D)由于∠A和∠D在0~180°之间，而且cos函数在0~180°范围内是单调递减的，我们可以得到：∠A=∠D因此，我们证明了三角形ABC与三角形DEF的∠A=∠D，同样的方法，我们可以证明∠B=∠E，∠C=∠F。

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
八年级全等三角形简单证明题及解 答(5道)
汇报人：XX
目 录
• 题目一：基本的全等三角形证明 • 题目二：利用角平分线性质证明 • 题目三：通过边边边条件证明 • 题目四：结合中线性质进行证明 • 题目五：综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一：基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$，其中$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle BAC = \angle EDF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知，△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步，因为BD=AD（已知），所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF（已知）， 所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步，交叉相乘得AD*EC=AE*CF，即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF（对顶角相 等），所以△ADE∽△ACF。
第三步，根据相似三 角形的性质，有 AB/AC = BD/DC。
综上，我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三：通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件，我们可以 直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF（已

全等三角形的证明(SSS)

全等三角形的证明(SSS)

D
在△ABC与△DEF中 与 中 AB=DE AC=DF BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS） ≌ （ ）
B
C
E
F
判断两个三角形全等的推理过程， 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形 全等。 全等。
已知：如图， 例1 已知：如图，AB=AD，BC=CD， ， ， 求证： 求证：△ABC≌ △ADC ≌ 分析：要证明两个三角形全等，需要那些条件？ 分析：要证明两个三角形全等，需要那些条件？
议一议： 议一议： 已知: 如图,AC=AD ,BC=BD. 已知 如图
求证: 求证 ∠C＝∠D. ＝
证明: 连结AB 证明 连结AB
在△ACB 和 △ADB中 中 AC = A D BC = BD
C B
A
A B = A B (公共边） 公共边） 公共边
∴△ACB≌△ADB SSS） D ≌ （ ）
已知 △ABC ，能画一个三角形与它全 A 等吗？怎样画？ 先量出三角形的各边长 和各个角的度数， 和各个角的度数，再作 出一个三角形使它的边， 出一个三角形使它的边， 角分别和已知三角形的 对应边和对应角相等。 对应边和对应角相等。 B
有没有更简单的办法呢? 有没有更简单的办法呢
C
1. 只给一个条件（一组对应边或一组对应 角）画出的三角形一定全等吗？ 2. 给出两个条件画三角形时，有几种 几种可能 几种 的情况？每种情况下作出的三角形一定 全等吗？分别按照下面的条件做一做。 （1）三角形的两条边分别为4cm、6cm; （2）三角形的一个内角为30°一条边4cm; （3）三角形的两个内角分别为30°和50°.
30◦ 4cm
30◦ 4cm
结论: 结论:一条边一个角对应相等的两个
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全等三角形训练
一、知识点填空
(1)能够 的两个图形叫做全等形，能够 的两个三角形叫做全等三角形. (2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 .
(3)全等三角形的 边相等，全等三角形的 角相等. (4) 对应相等的两个三角形全等（边边边或 ）.
(5)两边和它们的 对应相等的两个三角形全等（边角边或 ）. (6)两角和它们的 对应相等的两个三角形全等（角边角或 ）. $
(7)两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等（角角边或 ）.
(8) 和一条 对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或 ）.
(9)角的 上的点到角的两边的距离相等.
2.如图，图中有两对三角形全等，填空：
(1)△CDO ≌ ，其中，CD 的对应边是 ，
DO 的对应边是 ，OC 的对应边是 ；
(2)△ABC ≌ ，∠A 的对应角是 ，
∠B 的对应角是 ，∠ACB 的对应角是 . ]
3. 如图，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，填空：
(1)利用“角的平分线上的点到角的两边 的距离相等”，已知 ＝ ，
可得 ＝ ；
(2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”， 已知 ＝ ，可得 ＝ ； 4.如图，AB ⊥AC ，DC ⊥DB ，填空：
(1)已知AB ＝DC ，利用 可以判定 △ABO ≌△DCO ； ]
(2)已知AB ＝DC ，∠BAD ＝∠CDA ，利用
可以判△ABD ≌△DCA ；
(3)已知AC ＝DB ，利用 可以判定△ABC ≌△DCB ； (4)已知AO ＝DO ，利用 可以判定△ABO ≌△DCO ；
(5)已知AB ＝DC ，BD ＝CA ，利用 可以判定△ABD ≌△DCA. 二、推理填空，完成下面的证明过程：
5. 如图，OA ＝OC ，OB ＝OD. 求证：AB ∥DC.
】
证明：在△ABO 和△CDO 中，
OA OC ,
AOB __________,OB OD ,⎧=⎪
∠=⎨⎪=⎩
∴△ABO ≌△CDO （ ）.
∴∠A ＝ .
A B C
D E
O A
B
C
D
O 12
O
A B
C
∴AB ∥DC （ 相等，两直线平行）.
6. 如图，AB ∥DC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，BF ＝DE. —
求证：△ABE ≌△CDF. 证明：∵AB ∥DC ，
∴∠1＝ . ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB ＝ . ∵BF ＝DE ，
∴BE ＝ .
在△ABE 和△CDF 中，
￥
1______,BE ______,AEB _______,⎧∠=⎪
=⎨⎪∠=⎩
∴△ABE ≌△CDF （ ）.
7.如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，且AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，求证：ΔABC ≌ΔDEF 。

解：∵BE=CF （_____________）
∴BE+EC=CF+EC 即BC=EF
在ΔABC 和ΔDEF 中 ~
AB=________ （________________） __________=DF （_______________） BC=__________
∴ΔABC ≌ΔDEF （_____________）
8、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗说说你的理由 解：AB ∥CD :
理由如下：
∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）
∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） ∵BE=CF ， ∴BF=CE
在Rt △ 和Rt △ 中
∵⎩⎨
⎧==_______________________________
∴ ≌ （ ）
1
2
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B C D E F
;
∴= （）∴（内错角相等，两直线平行）
三、典型题目，加深理解
1、如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC ≌ADE。

》
2、已知：如图，AD=BC,AC=BD. 求证：∠OCD=∠ODC
3、已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，则∠EFD=∠BCA，请说明理由。

4、如图，AB＝AD，BC＝DC. 求证：∠B＝∠D.
^
5、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC.求证：∠1＝∠2.
A
B C D
2
1
A
)
6.如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC.
求证：DE＝AB.
|
7.如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：AB∥DE.
-
8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.
求证：AD是△ABC的角平分线.
}
四、综合运用，发展能力
1. 如图，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE. 求证：△ACD≌△CBE.
2.如图，要在S区建一个集贸市场，
使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处300米.如果图中1
厘米表示100米，请在图中标出集
贸市场的位置.
A
B
C
D
E
E
A
B
C
D
1
2
F
A
B
C
D
E
A
B C
D
E F。

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