自旋轨道耦合费米气体的研究【毕业作品】

BI YE SHE JI

（20 届）

自旋轨道耦合费米气体的研究

自旋轨道耦合费米气体的研究

摘要

本文对于自旋轨道耦合费米气体的研究，是从一维自旋轨道耦合费米气体与三维自旋轨道耦合费米气体这两个方面进行描述的。对一维自旋轨道耦合费米气体的分析是从内容、模型、以及相应处理三个方面进行，主要说明在横向磁场的在光学晶格中的一维自旋轨道耦合的费米气体这个模型，然后运用玻色化的预测进行处理，对自旋轨道耦合相互作用费米气体的相图分析，得出除了一个半填充绝缘相在强电场限制和一个带绝缘体，我们确定一个在弱场中的LE相和在强场中的另一个超导相的结论。在另一方面，对于三维自旋轨道耦合费米气体，我们是在塞曼场的平面内和平面外，对自旋轨道耦合的费米气体超流相进行系统的研究。描述了一些系统所拥有的特征，比如福尔德-弗雷尔配对、马约喇纳费米子、范尔费米子和无间隙的拓扑超流态。

关键词：费米气体、自旋轨道耦合、福尔德-弗雷尔配对、马约喇纳费米子、范尔费米子、拓扑超流态

ABSTRACT

The analysis of spin-orbit coupled Fermi gas consists of two aspects, one is the analysis of spin-orbit coupled one dimensional Fermi gas , and another is the analysis of spin-orbit coupled three dimensional Fermi gas. On the one hand, as for the analysis of spin-orbit coupled one dimensional Fermi gas, we investigate it for its introduces, model and research. We discussed that the model of a spin-orbit coupled interacting Fermi gas in the 1D optical lattice with a transverse magnetic field., and then study it by bosonization predition. Studying the phase diagram of a spin-orbit coupled interacting Fermi gas.Finally we conclude that besides a half-filled insulating phase in the strong field limit and a band insulator we identify a LE phase in the weak field and another superconducting phase in the strong field On the other hand, a systematic investigation of the superfluid phases of a spin-orbit coupled Fermi gas with both in-plane and out-of-plane Zeeman fields .There are some characteristics, such as Fulde-Ferrell pairing, Majorana fermions, Weyl fermions and gapless topological superfluidity

Key Words: Fermi gas, spin-orbit coupled，Fulde-Ferrell pairing, Majorana fermions, Weyl fermions ，topological superfluidity

目录

摘要

ABSTRACT

1在磁场中对一维自旋轨道耦合费米气体的数值分析

1.1对一维自旋轨道耦合费米气体的介绍；

1.2一维自旋轨道耦合费米气体的模型；

1.3一维自旋轨道耦合费米气体的玻色化预测。

2、三维旋轨道耦合的费米气体:福尔德-弗雷尔配对,马约喇纳费米子,范尔费米子和无间隙的拓扑超流态

3、总结

1、在磁场中对一维自旋轨道耦合费米气体的数值分析

我们用密度矩阵重整化群的方法（DMRG）和无限时间演变块抽取法（iTEBD）来研究在横向磁场的光学晶格中的一维自旋轨道耦合费米气体的基态。我们发现，当我们改变化学势和磁场强度时，这个有相互吸引力的系统具有一个偏振绝缘体（PI）相、一个超导相（SC）、一个路德金刚砂（LE）相和一个带绝缘体（BI）。自旋轨道耦合诱导在零动量的三重配对顺序，这个三重态配对顺序具有SC相或LE相的单态配对指数。相反，对于在不含自旋轨道耦合的自旋不平衡系统中发现的FFLO相，匹配在这两个相中的有限的动量有一个较大的指数。我们也发现了在数值结果和玻色化的预测之间的占主导地位的相关性良好的标志。我们对马约拉纳费米子的存在也进行测试。然而，与从平衡场研究的结果不同，在我们的系统中，我们没有发现马约拉纳费米子存在的有力证据。

1.1、介绍

近年来自旋轨道耦合(SOC)已经在凝聚态和冷原子系统中引起了广泛的关注。它在自旋霍尔效应，自旋电子设备和新的拓扑相方面起了至关重要的作用。在这些系统中，强大的自旋轨道耦合修改了带状结构和频带的拓扑结构。在冷原子系统中的合成自旋轨道耦合也产生了新的配对状态，如福尔德-费雷尔结构和有拓扑性质的Larkin-Ovchinnikov结构。在这种结构中，马约拉纳费米子是在理论调查中的孤子激发中被发现。

在冷原子实验中，光学晶格中的研究在一维量子的多体系统中已经有了新的进展。特别是在一维费米气体中有了新的发展。新颖的匹配方式，大的旋转现象，尺寸的交换和动力性能在理论和实践上都得到了广泛的讨论。由于强大的技术支持，比如Bethe ansatz方法，玻色化的方法，以及对一维系统各种数据工具的发展，使得人们对更好地理解和比较实验成为可能。

近年来，由于在费米线系中对马约拉纳费米子的不断认识，人们对一维自旋轨道耦合费米气体有了较深的研究。马约拉纳费米子，作为在容错拓扑计算中的基本单位，预计将被运用于一维P波超导体的研究中，然而这种直接的运用至今仍未实现。所以人们提出了等效模型，这个等效模型由在横向磁场中自旋轨道耦合的纳米线和一个临近S波超导体的邻近效应诱导的相应的电位组成。这个模型很快就被建立起来，并且马约拉纳费米子的存在也被查明。在冷原子方面，SOC模型很快在玻色系统中建立起来。而在费米系统中的进展也令人鼓舞。两组已经成功的运用冷的费米子和单一粒子谱产生的SOC在各自的试验中已经可以清晰的观察到。然而我们还无法确定这个被推荐的临近效应——作为马约拉纳费米子的一个关键成分，是否能够在冷原子系统中被诱导。

相反的，由费斯堡共振调谐的吸引相互作用对于冷原子系统中的匹配机制来说似乎是一个更简单的选项。一些理论研究已经表明，在一个类似的二维模型中，吸引相互作用可以稳定平均场水品以上的P-IP超导相。而对于一个一维系统而言，我们可以成功的稳定在谐波阱中的拓扑相。然而，使用了玻色化方法的另一个研究却得到了不同的结论，其中所说的相互作用只是转移了Luttinger参数的值。他们还考虑了一个稍微不同的方案：一个自旋轨道耦合线用一个幂律衰减规律的S波超导线连接起来。他们在实验中得到的主要结论是，这种单自旋轨道耦合线的模型不能表现出由两个以上的自旋轨道耦合线模型所得的马约拉纳简并和马约拉纳零模式。

一个最近的工作也研究了一个类似的系统。这个系统含有一个能使用贝特拟设精确解和共形场理论的纵向磁场。他们了解到超流体和密度波的临界指数都超过了SOC的宽广的范围，他们还发现超流体相关性总是有一个最小的指数。他们的结果也表明这个系统具有波矢的不稳定性，而这个波矢是由Flude-Ferrell-Larkin-Ovchinnikkov（FFLO）形成的，伴随一个自

旋轨道相关依赖的；当在实验设计中一列这种数耦合在一起时，这个波矢可能形成FFLO相，。

通过这些结果，我们用无偏差的数值方法来解决一个在一维超过大范围的相互作用强度的全部的相互作用模型。我们通过玻色化方法也研究了主要的相互作用关系。我们的计算结果是通过iTEBD和DMGR方法获得的。因为iTEBD方法便于我们研究在热力学限制中的相图，我们保持虚拟维度高达1000，并应用假想来到达基态。另一方面，DMRG方法是被用于对有限大小的系统的精确测量。在没有外磁场的情况下，DMRG方法允许我们决定自旋激励间隔。我们运用DMRG方法对系统多达200个点进行了测量，其中粒子数守恒的U（1）对称性是被考虑的。在DMRG方法中，我们保持m=300的虚拟状态和应用7扫描。在最坏的情况下，通过大约为10-6的参数的设置降低了相对密度矩阵特征值所减少的量。

我们的主要发现是，两个不同的超导态是在不含强磁场和高化学势区域的绝缘态下建立的。这两个超导态都有一个零动量三重态配对顺序。这种顺序具有相同的临界指数来作为单态配对顺序。有限的动量配对条件是，自旋不平衡系统的FFLO相中的SOC在两个超导态中是占据主要的。我们也研究了相空间，相空间被运用作为马约拉纳费米子在平均场研究中的拓扑相，但是没有明确的证据证明马约拉纳费米子是在我们的数据结果中发现的。

1.2、模型

我们考虑在横向磁场中，一维光学晶格内的一个自旋轨道耦合的费米原子，其哈密顿量可写为：

H=－t

－α

－h

＋U n i,

其中t是调频的强度，α是拉什巴自旋轨道耦合强度，h为x方向磁场，μ是化学势；n i=c i╂c i是密度算符。在这项研究中，我们采取T=α=1作为我们的能源单位，研究U＜0（有吸引力）的情况。

图一为在μ-h相中无相互作用系统的相图，PI和BI分别代表极化绝缘体和带绝缘体。M4F,M2F,M4FU以及所伴随的四个费米点，两个费米点和在上频带的所有四个费米点，都是金属相。

方程一中不存在相互作用，他可以被对角化来获得能量本征值。

ε+-=-2tcos(k)±

解出k的本征矢：

Iχ+（k）〉=

和

=

γ（k）被表示为：

γ（k）=

本征矢自旋方向受k的控制。除去k=0，在哈密顿量较小的情况下，当k＜0时，本征矢Iχ+（k）〉在+z方向有一个自旋分量；当k＞0时本征矢Iχ+（k）〉在-z方向有一个自旋分量；而本征矢Iχ-（k）〉则相反。因为自旋轨道耦合和横向磁场的相互作用，所以在

相等能量的情况下，在这两个带之间非零自旋重叠，而因为我们需要考虑吸引相互作用，所以我们引进三重态自旋配对零动量。

在费米能级的上带和下带的动量可由k+和k_表示。我们还定义：

2k F=k++k-,

δk F=｜k+-k｜

和

νF=2tsin(k F)-2Αcos(k F).

在图一中，我们显示了非相互作用系统的相图。我们知道自旋简并可以用自旋轨道耦合来表示。而且对于一个有限的动量而言，也可以用自旋轨道耦合来表示最小带能量的转移。在零动量的两个频带绞和在一起，横向磁场打开其间隙。因此，由化学势μ（或填充数n）决定的非相互作用系统可以经过几个阶段。我们重点研究上半满带；而由于粒子孔对称，所以下半满带的物理性质类似。在半满带μ=0和h〈2时，我们的相中有四个费米点，其中两个在低频带，两个在高频带。当μ增大，费米表面位于k=π间隙内，系统处于上半频带两个费米点的相中。当μ继续增大，相中的四个费米点将全部集中在上频带。当μ超过上频带的最大值时，所有频带都被占用，这样将形成带绝缘体（BI），在相图左上角部分，μ处在强磁场打开的间隙中，这样将形成占满低频带和空高频带的结果。在这种情况下，我们将在半满带处有一个绝缘体，由于强磁场和高磁化强度的系统。我们将它表示为一个偏振绝缘体（PI）。

1.3、玻色化的预测

我们研究了在费米点±K±最近邻谱的相互作用系统。我们集中研究在高频和低频带全部被占满的情况，在其中有低频带完全被占满而所有的四个费米点都在高频带的情况，这种情况绝大部分是相似的，由于在这两个频带中自旋分量的不同，动量的主分量的相关函数发生变化，而它们的物理图像却保持不变。

费米子运算符可以写成在ν=±频带处的左粒子和右粒子。

Ψσ（X）=

然后我们参考文献33中的约定，用下式来波色化费米子运算符

R±=，

L±=，

其中a0∽k f-1是短途截止，η±是克莱恩因素并且η+η—=i，是为了表示ν和θν

，Lν=

Rν=

手性密度可以写为

Rν?Rν==

Lν?Lν==

随后哈密顿量可以写为电荷φρ，θρ和自旋φσ，θσ模式定义为

φρ=

φσ=

θρ=

θσ=

二次部分的哈密顿量可以写为

=［］

下面的参考文献33唯一相关的扰动项为

=cos()

上式来自一对相对的运动粒子从相同能带υ散射到其他能带的运动过程，式描述自旋重叠的过程，由于这项是唯一相关的扰动，它决定了系统的相，正如我们下面的讨论。

拉廷格液体的参数和速度都可以由的一阶得到

[1+]

[1-]

1-（1+）

1-（-）

其中假设和γ（）

用重整化群（RG）的方法分析，我们确定相互作用参数的初始值为

（l=0）=2（）

=-

（l=0）=

得到的RG方程是标准的KT方程：

=，

=

根据相互作用强度U和γF，RG循环可以进行强化耦合或强化拉廷格液体（LL）的相。在图2中我们描绘了公式18的RG循环；对n=1.1和h=0.2的一系列的相互作用强度U，

yσ和yC的初始值。我们观察这些参数，发现在RG循环中的一个有吸引力的相互作用趋向于强耦合极限，事实上，在а=1，对于我们的选择，只要U<0，yσ的值总是处于M4F区域，而这意味着系统总是趋向于强耦合极限，如图2所示。尽管对于а

yσ将出现一个负值。我们发现在这些情况中，|y C|总是大于|yσ|。因此，我们得出结论，当相互作用存在时，在M4F区域中没有过渡到LL相。

为了确定在系统中的主要规律，我们写下了几个相关的玻色化形式的表达。不同的动量分量的系数取决于方程5中γ的值。在这里，我们近似γ（k±）γ（kF），；列出了在h 较小的情况下各序参量的最大相关系数的动量分量，有

图2，蓝色线条表示从18式中求出的RG循环，红色的初始值是yC和yσ在n=1.1和h=0.2时的值，U=0∽-5，两点之差△U=0.5.

我们注意到，对于h的平均值，系统有几种不同动量分量的慢衰减的相关性。这使得行为相关性复杂化。为了和我们的数值结果相匹配，我们将集中研究这里的小场的情况。自旋密度（OSDW）和电荷密度（OCDW）的有限的动量分量与最大的系数是

，

，

，

，

单态△s和多态△T匹配都有一个零动量项和有限的动量项

，

，

当RG循环趋向于强耦合的能量最小化极限时，在公式15中的θσ将对不同的正U或负U处于经典的极小值=或者=m。由于有吸引力的相互作用，我

们从上边的表述中发现，该系统有相同的最小指数1/Kρ的非振荡的单态和三重态匹配次序，在单态下的有限配对表示了一个FFLO型的不稳定性。然而，当系统处于强耦合极限时，这些项都有一个较大的指数。这些完全不同于没有SOC的情况，没有SOC时，FFLO 将占据相图的相当一部分。除了这个之外，剩下在这个系统的部分是2k F的电荷密度波，这