第九章 第二节 第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系

第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系

一、学前明考情——考什么、怎么考

[真题尝试]

1.[考查与圆有关的最值问题](2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )

A ．[2,6]

B ．[4,8]

C ．[2，32]

D ．[22，32] 解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距

离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2

＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的

最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12

|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．

2.[考查圆的一般方程](2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )

A ．－43

B ．－34 C. 3 D ．2

解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1

＝1，解得a ＝－43. 3.[考查直线与圆相交](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.

解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝

33

，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的

中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ，∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，

∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.

答案：4

[把握考情]

常规角度 1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题．

2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题．

主要以选择题、填空题形式考查，有时也会以解答题形式考查，难度中低档

创新角度

与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数相交汇考查最值或范围问题

二、课堂研题型——怎么办、提知能

圆的方程求法

[典例] (2018·F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.

(1)求l 的方程；

(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????

y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k

2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |

＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k

2. 由题设知4k 2＋4k

2＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．

因此l 的方程为y ＝x －1.

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，

所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，

即y ＝－x ＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，

则?

???? y 0

＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)2

2＋16. 解得????? x 0＝3，y 0＝2或?????

x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.

[方法技巧]

1．确定圆的方程必须有3个独立条件

不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，

因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．

2．几何法在圆中的应用

在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．

[针对训练]

1．(2019·湖北名校摸底)过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )

A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4

B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4

解析：选C 由题知直线AB 的垂直平分线为y ＝x ，直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.

2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )

A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1

C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1

D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1

解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)

关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则????? b －1a ＋1＝－1，

a －12－

b ＋12－1＝0，得?????

a ＝2，

b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.

直线与圆位置关系的判断

1．(2019·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

解析：选B 法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，

故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2

.再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1

.而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180

＜0，故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交．

法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0，

则由?????

x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－1， 即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．

2．(2019·湖北六市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．相交或相切

解析：选B 依题意得，直线l 的倾斜角为150°，所以直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －

1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1

＝2，故直线l 与圆相切．

3．直线y ＝－

33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )

A ．(3，2)

B ．(3，3) C.????33，233 D.?

???1，233 解析：选D 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |

1＋????332＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233

.

[方法技巧]

直线与圆位置关系问题的求解策略

(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．

(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决.

切线问题

[典例]已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

[解](1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.

因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，

所以点P在圆C上．

又k PC＝2－2－2

2＋1－1

＝－1，所以切线的斜率k＝－

1

k PC＝1.

所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0.

(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，

所以点M在圆C外部．

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，

又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，

即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．

当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，

即kx－y＋1－3k＝0，

则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|

k2＋1

＝r＝2，

解得k＝3

4.所以切线方程为y－1＝

3

4(x－3)，

即3x－4y－5＝0.

综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. 因为|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，

所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.

[方法技巧]

求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程2方法

几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程

代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即

可求出

[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．

[针对训练]

1．(2019·陕西高三质检)已知圆C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2,0)是圆C外一点，则过点M的圆的切线方程是()

A．x＋2＝0,7x－24y＋14＝0

B．y＋2＝0,7x＋24y＋14＝0

C．x＋2＝0,7x＋24y＋14＝0

D．y＋2＝0,7x－24y＋14＝0

解析：选C将圆C的方程转化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，则其圆心为(2,3)，半径为4，显然x＋2＝0是满足条件的一条切线，又圆心(2,3)到直线7x＋24y＋14＝0的距离d＝

14＋72＋14

49＋242

＝4，所以选项C满足，故选C.

2．(2019·沈阳市高三质量监测)已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝()

A．0 B. 3

C.

3

3或0 D.3或0

解析：选D因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝|－1＋3k|

1＋k2

＝1，

|－1＋3k|＝1＋k2，解得k＝0或k＝3，故选D.

弦长问题

[典例]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2

－4x＝0及点A(－1,0)，B(1，2)．

(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，

求直线l的方程；

(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA2|＋|PB2|＝12？若存在，求出点P的个数；若不存在，说明理由．

[解](1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，

所以圆心C(2,0)，半径为2.

因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为2－0

1－(－1)

＝1，设直线l的方程为x－y＋m＝0，

则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2

. 因为|MN |＝|AB |＝22＋22＝22，

|CM 2|＝d 2＋????|MN |22，所以4＝(2＋m )2

2＋2， 解得m ＝0或m ＝－4，

故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.

(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，

则(x －2)2＋y 2＝4，|PA |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，

即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，

因为|2－2|＜(2－0)2＋(0－1)2＜2＋2，

所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，

所以存在点P ，使得|PA |2＋|PB |2＝12，点P 的个数为2.

[方法技巧] 解决圆弦长问题的常用方法及结论

几何法

如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离

为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 2

代数法 若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝

1＋k 2·(x A ＋x B )2－4x A x B ＝ 1＋1k 2·|y A －y B

|(其中k ≠0)．特别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |

[针对训练]

1．(2019·丽水模拟)若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y ＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是( )

A ．(x －5)2＋y 2＝5

B ．(x ＋5)2＋y 2＝5

C ．(x －5)2＋y 2＝5

D ．(x ＋5)2＋y 2＝5

解析：选B 设圆心为(a,0)(a ＜0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，即

|a ＋2×0|

12＋22＝1，得a ＝－5，所以所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.

2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．

解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，

所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2

，由勾股定理得????2322＋????|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.

答案：4π

圆与圆的位置关系

[典例感悟]

1．(2019·内蒙古赤峰模拟)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是

( )

A ．相交

B ．外切

C ．相离

D ．内切

解析：选A 圆O 1圆心坐标为O 1(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2圆心坐标为O 2(0,2)，半径r 2＝2，两圆心距|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，因为2－1＜5＜2＋1，即r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2，所以圆O 1与圆O 2相交，故选A.

2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.

解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a

. 由题意知，22－(3)2＝1a ，解得a ＝1.

答案：1

3．已知M ，N 是圆A ：x 2＋y 2－2x ＝0与圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的公共点，则△BMN 的面积为________．

解析：由题意可知，联立?????

x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得直线MN 的方程为x －y ＝0，所以B (－1,2)到直线MN 的距离为|－1－2|2＝322，线段MN 的长度为2(5)2－???

?3222＝2，所以△BMN 的面积为12×322×2＝32

. 答案：32

[方法技巧]

圆与圆位置关系问题的解题策略

(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．

[提醒]圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．[课时跟踪检测]

[A级保分题——准做快做达标]

1．(2019·昆明模拟)若点A，B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1,1)，则直线AB的方程是()

A．x－y＝0B．x＋y＝0

C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0

解析：选D因为直线OD的斜率k OD＝1，所以直线AB的斜率k AB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.

2．(2019·湖北七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是()

A．3 B．4

C．2 3 D．8

解析：选B由题意知O1(0,0)与O2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，

可得5＜|m|＜3 5.再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2＝5＋20＝25，∴m＝±5，∴|AB|

2×5

＝25×5，解得|AB|＝4.故选B.

3．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()

A．(－∞，2) B．(2，＋∞)

C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)

解析：选C∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴2－b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6.综上，实数b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.

4．(2019·重庆一中模拟)若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为()

A．±1 B．±

2 4

C．±2 D．±

3 2

解析：选B由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直

线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a＋1|

1＋a2

＝1，解得a

＝±

2

4.

5．(2019·昆明高三质检)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B

两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()

A．3＋6或3－ 6 B．3＋26或3－2 6

C．9或－3 D．8或－2

解析：选A由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为6，取AB的中点为D，连接CD，

则CD⊥AB，在△ACD中，AC＝6，∠ACD＝60°，所以CD＝

6

2，由点到直线的距离公

式得|－3＋m|

(3)2＋1

＝

6

2，解得m＝3±6，故选A.

6．(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是()

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．以上情况都有可能

解析：选C由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝|2c|

a2＋b2

＞2，所以c2

＞a2＋b2，在△ABC中，cos C＝a2＋b2－c2

2ab＜0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．

7．(2019·武汉模拟)若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为________．

解析：圆x2＋y2－2x＋4y＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y＋m＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m＝0，得m＝0.

答案：0

8．(2019·成都摸底)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.

解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝13－4＝3.

答案：3

9．(2019·广西两市联考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为23，则圆C的标准方程为____________________．

解析：设圆心为(a ，b )(a ＞0，b ＞0)，半径为r ，则由题可知a ＝2b ，a ＝r ，r 2＝b 2＋3，解得a ＝r ＝2，b ＝1，所以所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.

答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4

10．(2019·广东佛山一中检测)已知圆C 经过点(0,1)且圆心为C (1,2)．

(1)写出圆C 的标准方程；

(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．

解：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，

所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.

(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y

－2k －1＝0，则|－k －3|1＋k 2

＝2， 所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，

故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.

由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝2 2.

11．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．

(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；

(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．

解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.

由?????

x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24

＝4. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44

＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．

(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，

故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，

圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.

由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0，

故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，

即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.

由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.

所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12

.

当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.

当m ＝－12

时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为????94，－12，圆M 的半径为854

，圆M 的方程为????x －942＋????y ＋122＝8516. [B 级 难度题——适情自主选做]

1．(2019·成都名校联考)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，

且|AB |＝3，则OA ―→·OB ―→的值是( )

A ．－12

B.12 C ．－43 D ．0

解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ―→·OB

―→＝1×1×cos 120°＝－12

. 2．(2019·天津南开中学月考)若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.23

B ．1 C.12 D ．34

解析：选B 因为a 2＋b 2＝43c 2，所以圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2

＝32，所以直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－d 2＝2×12

＝1，选B. 3．(2019·贵州安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．

(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围；

(2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455

时，求MN 所在直线的方程．

解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－3，

即实数a 的取值范围为(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)．

(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点．

∵|MN |＝455，∴|DM |＝255

.

又|MC|＝2，∴|CD|＝4－20

25＝

4

5

，

∴cos∠MCA＝4

5

2＝

2

5

，|AC|＝

|MC|

cos∠MCA

＝

2

2

5

＝5，

∴|OC|＝2，|AM|＝1.

∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，

圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，

∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0，或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y ＝0.