(中考复习)第10讲 不等式与不等式组
课时跟踪训练10：不等式与不等式组
A组基础达标
一、选择题
1．(2013·广东)不等式5x－1＞2x＋5的解集在数轴上表示正确的是
(D)
图9－1
2．(2013·绵阳)设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为
(C)
图9－2
A．■、●、▲
C．■、▲、●
B．▲、■、●
D．●、▲、■
3．若a (C) A．1个 C．3个 B．2个 D．4个 4．(2012·攀枝花)下列说法中，错误的是 (C) A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜0的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个 二、填空题 5．(2013·烟台)不等式的最小整数解是__x＝3__． 6．(2013·宁夏)点P(a，a－3)在第四象限，则a的取值范围是__0＜a＜3__．7．(2013·内江)一组数据3，4，6，8，x的中位数是x，且x是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是__5__. 8．已知不等式组的解集是－1 三、解答题 9．解不等式组：(1)(2013·北京) 解：由3x>x－2，得x>－1， 由>2x，得x<，∴－1 (2)(2013·毕节)把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负 整数解． 解：， 由①得：x≥－1， 由②得：x＜3， 不等式组的解集为：－1≤x＜3. 在数轴上表示如图9－3所示： 图9－3不等式组的非负整数解为2，1，0. 10．(2013·河北)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2((2－5)＋1 ＝2(－3)＋1 ＝－6＋1 ＝－5 (1)求(－2)⊕3的值； 解：(－2)⊕3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11. (2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图9－4所示的数轴上表示出 来． 图9－4 解：∵3⊕x<13，∴3(3－x)＋1<13， 9－3x＋1<13，－3x<3，x>－1， 在数轴上表示如图9－5 所示． 图9－5 B组能力提升 11．(2012·襄阳)若不等式组有解，则a的取值范围是( B ) A．a≤3 C．a＜2 B．a＜3 D．a≤2 12．若不等式组的解集为x>3，则m的取值范围是__m≤3__．13．(2013·乐山)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ①<1.493>＝1； ②<2x>＝2 ③若 ④当x≥0，m为非负整数时，有 ⑤ 其中，正确的结论有__①③④__(填写所有正确的序号)． 14．(2013·乐山)已知关于x、y的方程组的解满足不等式组求满足条件的m的整数值． 解：由②－①×2得7y＝4，y＝，x＝m＋，y＝满足不等式组∴ 解得－4 m为整数时，m＝－3或m＝－2，∴满足条件的m的整数值为－3或－2. 15．(2013·十堰)定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如： [5.7]＝5，[5]＝5，[－π＝]－4. (1)如果[a]＝－2，那么a的取值范围是__－2≤a＜－1__． (2)如果＝3，求满足条件的所有正整数x. 解：根据题意得3≤＜4，解得：5≤x＜7， 则满足条件的所有正整数为5，6. 16．(2012·湛江)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x－4＞0. 2 解：∵x－4＝(x＋2)(x－2)， 2 ∴x－4＞0可化为(x＋2)(x－2)＞0. 2 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①② 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜－2， ∴(x＋2)(x－2)＞0的解集为x＞2或x＜－2， 即一元二次不等式x－4＞0的解集为x＞2或x＜－2. 2 问题：(1)一元二次不等式x－16＞0的解集为__x>4或x<－4__； 2 －16＝(x＋4)(x－4) 解析：∵x2 －16>0可化为(x＋4)(x－4)>0 ∴x2 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①② 解不等式组①，得x>4， 解不等于组②，得x<－4， ∴(x－4)(x－4)>0的解集为x>4或x<－4， 即一元二次不等式x－16>0的解集为x>4或x<－4. 2 (2)分式不等式>0的解集为__x>3或x<1__； 解析：∵>0， ∴或 解得x>3或x<1. (3)解一元二次不等式2x－3x＜0. 2 －3x＝x(2x－3)， 解析：∵2x2 －3x<0可化为x(2x－3)<0 ∴2x2 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①② 解不等式组①，得0 解不等式组②，无解， －3x<0的解集为0 ∴不等式2x2 2 1 新课标人教版必修5高中数学第3章不等式单元检测试卷 1设b a ，d c ，则下列不等式中一定成立的是 2. A. a c b d B “a b 0”是“ ab ac bd C 2 ,2 a b ” 2 B ?必要而不充分条件 C.充要条件 D 3.不等式 ax b 的解集不可能是 A. B .R C 4.不等式 2 ax bx 2 1 0的解集是(一， 1 ), 2 3 A .— 14 B .14 C . —— 5.不等式 x | x | x 的解集是 A . {x| 0 x 1} B C . {x| 0 x 1或x 1} D 6.若1 1 0,则下列结论不正确的是 a b A. a 2 b 2 B . ab b 2 C b a 7.若 f (x) 3x 2 x 1 ,g(x) 2x 2 x 1 , A. f (x) g(x) B .f (x) g(x) C . &卜列各式屮最小值是 2的是 A.充分而不必要条件 a b C 则a 10 .{x| {x| (b a _X 2_5 vx 2 4 F 列各组不等式中，同解的一组是 A . \ x 2 0 与 x A. x + 上 B y x ?既不充分也不必要条件 b 的值等于 10 . 11 . .10 C. log 1 (3x 如果I x A. {a |a 右a,b 1 } 0,x 1} .|a| |b| |a b| 1| 8} 2) |x R ，则 0 与 3x 2 9| B. a 对任意实数 {a|a 8} f(x) g(x) D .随x 值变化而变化 ( ) tan x + cot x D _ x - x . 2 2 ( ) (x 1)(x 2) 与 x 2 x 1 戸1与 x 2 1 Y x 1 x 1 则f (x)与g(x)的大小关系为 ( D ( ) x 总成立，则a 的取值范围是 C. {a|a 8} D. 1 1 —与 ----- 的大小关系是 b a b {a|a 8} 第10课时 一元一次不等式（组） 一、选择题 1.已知不等式：①1x >，②4x >，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（ ） A ．①与② B ．②与③ C ．③与④ D ．①与④ 2.若0a b <<，则下列式子：①12a b +<+；②1a b >；③a b ab +<；④11a b <中，正确 的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3. 下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示 ( ) A ．21x x ≥?? <-? B ．21 x x ≤?? >-? C ． 21 x x >?? ≤-? D ．21 x x 的解集是 ． 8. 不等式组3010 x x -? ?， 有解，则实数a 的取值范围是 ． k 1x ＋b 第3题图 第38讲应用同余问题 一、知识要点 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的： 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5） 性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大 1 的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 二、精讲精练 【例题1】求1992×59除以7的余数。 应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。 因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。 练习1： 1、求4217×364除以6的余数。 2、求1339655×12除以13的余数。 2 3.4基本不等式的证明(1) 学习要求 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不 等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. 【课堂互动】 自学评价 １．算术平均数： ２．几何平均数 ３．设a ≥0,b ≥0则2 a b +与为 ４．基本不等式的证明方法： 【精典范例】 例1．.设a 、b 为正数, 求证明： 2 a b +3 点评： １．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法 ２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中 a=b 时成立． ３．把不等式 2a b +3 (a ≥0,b ≥0) 4.由本题可知，两正数的算术平均数不当两数相等时两者相5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦． 例2. 利用基本不等式证明下列不等式： (1) 已知a>0,求证 a+ 1 2a 3 (2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac . (3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (111 1)(1)(1)8x y z ---> 点评：1..基本不等式的变形公式： (1) 2 2 2(,)a b ab a b R +澄 (2) 22 (,)2 a b ab a b R +Ｎ (3) ,)a b a b R ++澄 (4) 2 ( )(,)2 a b ab a b R ++Ｎ 2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将 学习札记 第5课一元二次不等式应用题分层训练 1.某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍, 那么明、后两年每年的平均增长率至少 是．（精确到0.1％）. 2．要在长为800米,宽为600米的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的范围为 . 3.已知半圆的半径为1,其内接等腰梯形的一条 底边与半圆的直径重合,则当x= 时,梯形的周长最长. 考试热点 4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理, 实行征收附加税政策, 已知某种酒每瓶70元, 不加收附加税时, 每年大约销售100万瓶; 若政府征收附加税, 每销售100元要征税R元(叫做税率R%), 则每年的销售量将减少10R万瓶, 要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万, R应怎样确定? 5.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量 为a千瓦时,本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力成本价为0.3元/千瓦时,(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式. (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证 电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价－成本价)).拓展延伸 6.已知汽车刹车到停车所滑行的距离s (m)与速度v (km/h)的平方及汽车的总重量a(t)的乘积成正比, 设某辆卡车不装货物以50km/h行驶时, 从刹车到停车滑行了20m , 如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶, 并与前面的车辆距离为15m , 为了保证在前面车辆紧急停车时不与前面车辆相撞, 那么最大车速是多少? (假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1s , 答案精确到1km/h . ) 本节学习疑点： 呼伦贝尔学院 本科生毕业论文开题报告题目同余的应用 专业数学与应用数学 姓名______________________彭丽霞 学号2011071115 指导教师付莉 2014年11月7日 七、论文提纲 （一）前言 同余是《算术研究》中的一个基本研究课题，这个术语来自拉丁文，同余的概念的建立和同余符号的引入大大简化了数论中的许多问题，它的引入使得无限的整数被划分为有限类。而且同余在生产、生活中也有广泛的应用，如制作万年历、循环赛程、电话电缆的 （二）提纲 一、同余 1、同余的定义 2、同余的定理 3、同余的性质 4、完全剩余系定义 5、完全剩余系定理 6、一次同余式定义 7、孙子定理 二、同余的应用 1、求最大公约数 2、检验因子 3、检验整数计算 4、检验素数合数 5、循环赛程 6、万年历 （三）结论 通过本文的论证，我们发现同余的出现给很多问题的解决提供了简便的途径。同余的性质虽然只有固定的那几条，但它却能解决许多困扰我们的问题，在解决问题时开阔了我们的思路。同余的性质易懂，但在运用其解题时有一定的困难，所以在生活中我们要仔细观察。 八、参考文献 [1]苏亚丽，杨继明.孙子定理在两个数学竞赛题的应用[J].云南：玉溪师范学院学报（第27卷），2011年第4期. [2]郭小菊.同余法求最大公约数[J].读与写杂志，2012，4. [3]潘承洞，潘承彪.初等数论[M]北京大学出版社，1992. [4]刘合义.谈数论中的同余及其应用[J].河北：衡水师范专科学校.第4卷，第11期，2002， [5]姜浩瑞.初等数论在高中数学解题中的一些应用[J].中学数学教学，2006，第5期. [6]姚磊.整除性的若干解法[J].皖西学院学报2001，5 [7]王志兰.关于同余的几个问题[J].高师理科学刊.2009，28(5)：44—46 [8]颜松远.数论及应用[J]数学实践与认知，2002，19(4)：486—508 [9]原新生.一次同余方程的几种解法[J].牡丹江教育学院学报，2009，115(3)：115 [10]陈小辉.关于同余理论在中学奥数中的应用[J].数学通讯，2001，(5)：43—46 3.4 基本不等式： 2b a a b + ≤（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析 （一）教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节（第一课时），基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标 1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣； 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数 第11课时基本不等式的证明(2) 1. 理解最值定理的使用条件： 一正二定三相等． 2. 运用基本不等式求解函数最值问题． 【课堂互动】 自学评价 １．最值定理： 若x 、y 都是正数， (1)如果积xy 是定值P , 那么当且仅当x=y 时, 和x+y . (2)如果和x+y 是定值S , 那么当且仅当 x=y 时, 积xy 有最大值 2 4 1S ． ２．最值定理中隐含三个条件： 一正二定 三相等 ． 【精典范例】 例1．(1).已知函数y=x+16 2 x +(x>－2), 求此函数的最小值. (2)已知x<45, 求y=4x －1+1 45 x -的最 大值; (3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy 的最大值; (4)已知x , y ∈R + 且x+2y=1 , 求 11 x y +的最小值. 答案：（1）y 的最小值为6（x=2）． （２）y 的最大值为２(x=1)． （３）xy 的最大值为 720(x=2,y=7 10 )． （4） 11 x y +的最小值为223+ (2 2 1,12- =-= y x )． 例2. 错在哪里? （１）求2(x ∈R)的最小值. 解∵2 =2 ? ∴ y 的最小值为2 . .（２）已知x , y ∈R + 且x+４y=1，求 11 x y + 的最小值． 听课随笔 法一：由１＝xy y x 424≥+得 41≥xy 所以 11x y +82 ≥≥xy ． 所以原式最小值为８． 法二：由11x y +xy 2≥ （当且仅当x=y 时等号成立）．于是有?? ?=+=1 4y x y x 得 x=y=0.2．所以 11 x y +的最小值为5+5=10. 思维点拔： １．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立． ２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。 追踪训练一 1. 求函数y=4x 2+ 2 9 x 的最小值； 2. 已知x<0 , 求y=2 1x x +的最大值； 3. 已知x , y ∈R +, 且 x 1+y 9 =1 , 求x+y 的最小值; 4. 已知x>-2 , 求y= 2 3 2 x x -++的最大 值； 5. 已知x>1 ,0 第13课 基本不等式的应用(1) 分层训练 1.如果log 3m+log 3n ≥4, 那么m+n 的最小值是 ( ) A. 4 B. 43 C. 9 D. 18 2.已知正数x , y 满足x+2y=1 , 则y x 2 1+的最小值为_____________ 3.已知x>0 , y>0 , 且15 2=+y x , 则lgx+lgy 的 最大值为_________ 4.将一段圆木制成横截面是矩形的柱子, 若使横截面面积最大, 则横截面的形状是________ 5.周长为l 的矩形的面积的最大值为_________ , 对角线长的最小值为___________ . 考试热点 6.某种汽车购车时费用为10万元, 每年的保险、养路、汽油费用共9千元, 汽车的年维修费逐年以等差数列递增, 第1年为2千元, 第2年为4千元, 第3年为6千元, ……则这种汽车使用几年后报废最合算? (即汽车的年平均费用最低) 7.如图, 电路中电源的电动势为E , 内电阻为r , R 1为固定电阻, R 2是一个滑动变阻器, R 2调至何值时, 其消耗的电功率P 最大? 最大电功率是多少? (P=I 2R) 拓展延伸 8.投资生产某种产品, 并用广告方式促销, 已知生产这种产品的年固定投资为10万元, 每生 产1万件产品还需投入18万元, 又知年销量W(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为W= 1 1 ++x kx (x ≥0), 且知投入广告费1万元时, 可多销售2万件产品. 预计此种产品年销售 收入M(万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的150%与年广告费用50%的和. (1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数; (2)当年广告费为多少万元时, 年利润最大? 最大年利润是多少万元? 本节学习疑点： 第十五讲同余法解题 一、知识要点 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，52÷24=2……4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1、同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。记作：37≡44(mod7),“≡”读作同余。一般地，两个整数A 和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：A≡B(modM) 2、同余的性质 （1）A≡A(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若A≡B(modM)，那么B≡A(modM)（这称作同余的对称性） （3）若A≡B(modM)，B≡C(modM)，则A≡C(modM)（这称为同余的传递性） （4）若A≡B(modM)，C≡D(modM)，则A±C≡B±D(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D(modM)（称为同余的可乘性） （5）若A≡B(modM)，则A n≡B n (modM)，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果A≡B(modM),那么M｜(A－B)（A－B的差一定能被M整除）,这是为什么呢？ 3、同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。 2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。 3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。 【成才之路】2015版高中数学 3.4 基本不等式（第1课时）练习 一、选择题 1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为 ( ) A.2 5 B ．1 2 C.2 2 D ．1 [答案] B [解析] 令t ＝x (t≥0)，则x ＝t2， ∴f(x)＝x x ＋1＝t t2＋1. 当t ＝0时，f(x)＝0； 当t>0时，f(x)＝1t2＋1t ＝1t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤1 2. ∴f(x)的最大值为1 2. 2．若a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab≤1 2 B ．ab≥1 2 C ．a2＋b2≥2 D ．a2＋b2≤3 [答案] C [解析] ∵a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab ＝a(2－a)＝－a2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A 、B 错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C. 3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B ．a2＋b2 C ．2ab D ．a [答案] B [解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜1 2， 又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12， 即a2＋b2＞12.故选B. 解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则 2ab ＝49，a2＋b2＝59， ∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小 值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 [答案] B [解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B. 5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于 ( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] 1a ＋1b ＝12??? ?1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12??? ?b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x>0，y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则 a ＋ b 2cd 的最小值是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 a ＋ b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题 第2章方程与不等式 【精学】 考点一、不等式的概念 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 3、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 若＜，则+＜； 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若＞，＞0则＞（或＞）； 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若＞，＜0则＜（或＜） 考点三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 3、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知） 的解集是，即“小小取小”； 的解集是，即“大大取大”； 的解集是，即“大小小大中间找”； 的解集是空集，即“大大小小取不了” 【巧练】 题型一不等式的性质 例1 (2016四川乐山)下列说法不一定成立的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C． 【解析】 同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再 过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，少一二二：……-，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7 “三”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余, 记作.，一〔r ■ 2. 同余的性质 （1）-，-?:丄-「一（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若’一：°"，那么- 一n ‘ （这称作同余的对称性） （3）若:V，贝U - ■■■.（这称为同余的传递性）（4）若r- ': 1'：，—「—，，贝U丄―二-（一"）（这称为同余的可加性、可减性） 1- 」（称为同余的可乘性） （5）若'-:-1-'-- ° ,则r ；- T'■- :，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果詔 -：1- ■- '■- 那么日瑤严的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ ? d；- 上） a=充7〕4鬥 盘一B =切［+ 口一（舫2 +与） 二切-切-金） k也就是■二的公约数，所以有…一- ■ k\（a -町 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以诃(412-1羽，，|(412?笳6讷化57-1辺， 说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 (巧5, 124, 279) =31 所以a最大是31 o 例2. 除以19,余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 249.2(uodl9) 388 = 8(mod 19) 234要乳m初19) 234x 388x249 = 6x8x2(mod!93 6x8x2 = 所以一 I .： 1.： 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 222 (2) ' ------ V ------ ' 例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，于；这个数除以13,商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 222 (2) 吃这个数除以13,商是有规律的。 222 (2) 、-- V------- ' 1997个2 亠13= 170940170940... 商是170940六个数循环，那么1 -：1- - - = 1 - ....... 4 ,即"1_4 1'.，我们从左向右数“ 170940'的第4个数就是 我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9o 余数是几呢？ 222 (2) ' ----- V ------ ' ? 199亍个2 -^13 = 170^40170940.... 1995^ 6= 332 (4) 则'丄「」_ 所以商的个位数字应是“ 170940'中的第 4个，商应是9,相应的余数是5 【模拟试题】(答题时间：20分钟) 1. 求下列算式中的余数。 111......1 222 (2) 第10课时 不等式及不等式组 1．(2019·凉山)不等式1－x ≥x －1的解集是( ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．x ≤1 D ．x ≤－1 2．(2019·梧州)不等式组? ???? 2x ＋6>0，2－x ≥0的解集在数轴上表示为( ) 3．(2019·百色)不等式组? ???? 12－2x <20， 3x －6≤0的解集是( ) A ．－4 6．(2018·天门)若关于x 的一元一次不等式组? ?? 6－3()x ＋1 第18次 同余问题 一、知识要点和基本方法 14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余，记作14 ≡26（mod6）．同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余．应用同余性质，可以很简便地求一些较大算式或数除以某个自然数的余数． 有一些数学问题，与数的大小关系不大，而主要与这个数除以某数的余数有关．例如，自然数的个位数字，实际上就是这个自然数除以10的余数．还有一些数学问题，是要解决一些周期性变化的数字问题，这里不—一列举．利用同余性质，可以巧妙地解决上述的这些问题． 二、例题精讲 例11991和1769除以某一个自然数n，余数分别为2和l，那么n最小是多少？ 解1991－2＝1989能被n整除，同理1769－1＝1768也能被这个数n整除．所以n是1989与1768的最大公约数的约数，且应大于2． 因为（1989，1768）＝13 × 17，所以n最小是13． 例2把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几？ 解把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，一位数写了1 ×9＝9（个）数码，两位数写了2 ×90＝180（个）数码，5位数写了（201－9＝180）÷3＝4（个），即写到了99＋4＝103，因此由1开始的自然数依次写下来的201位数是由1开始的103个连续自然数组成的．经过观察发现，不论从哪开始，每连续3个自然数的各位上数字的和能被3整除．因为一共是103个自然数，所以103 ÷3＝34……l，前102个自然数（3 ×34＝102）的各位上数字之和都能被3整除，而201位数的最后三位数是103，所以： 103 ÷ 3＝34……1，即这个201位数除以3余数是1． 例3除以3余l，除以5余已除以7余4的最小三位数是几？ 解因为除以3余l，除以5余2的最小数是22，而3和5的最小公倍数是15，所以符合条件的数可以是22，37，52，67，…．又因为67 ÷7＝9……4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，…． 所以，符合条件的最小三位数是172． 例4有1991个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是多少？ 解因为9 999 ÷74＝135......9，即135 × 74＝9 990，这说明凡是9 990 (00) 形式的数均能被74整除，而1991个9可以分为若干段这种数（每一段中有3个9）．因为1991 ÷3＝663……2，余数为2，说明去掉这些663段后，还剩2个9．而99＋74＝1……25，所以由1991个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是25． 例5一串数1、2、4、7、11、16、22、29…这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依次类 新课标人教版必修5高中数学 第3章 不等式单元检测试卷 1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 （ ） A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ 2． “0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．不等式b ax >的解集不可能是 （ ） A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022 >++bx ax 的解集是)3 1 ,21(- ，则b a -的值等于 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．不等式||x x x <的解集是 （ ） A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．若 01 1<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2 +-=x x x f ，12)(2 -+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 （ ） A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 （ ） A ．y x ＋x y B ．4 522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是 （ ） A ．02>x 与0>x B ． 01) 2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ． 112≤--x x 与112 ≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 （ ） A. }8|{a a C. }8|{≥a a D. }8|{≤a a 11．若+ ∈R b a ,，则 b a 11+与b a +1 的大小关系是 . 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2 不等式与不等式组练习题及答案 1 ．a?m＜a?n D．3个 3 ） 5） A．≥1 B．＜5 C．?1≤x＜ D．x≤?1或x＜5 二、填空题 7．已知x的1与5的差不小于3，用不等式表示这一关系式为。 8．某饮料瓶上有这样的字样：Eatable Date 1months. 如果用x 表示Eatable Date，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为。 9．当3x?5的值大于5x +的值。 10．阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校， 如果用x表示他的速度，则x的取值范围为。 三、做一做 11．、解不等式 1?x1?2x?，并把它的解集表示在数轴上。7 ?5x?1?312 13 1470之间，你能求出这个两位数 五、实际应用 1．“x的一半与2的差不大于?1”所对应的不等式是．．不等号填空：若a a5 ? b5 ； 1a 1b ；2a?1 b?1． 3．当a时，a?1大于2．．直接写出下列不等式的解集： ①x?2?4；②?5x?10 ；③ ?5．当x时，代数式2x?5的值不大于零． 6．若x１，的正整数解是．不等式?x?3?0的最大整数解是． 9．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330g?10g，表明了这罐八宝粥的净含量x的范围是． 10．不等式?x>a?10的解集为x ?x??1?x?2 ?x?a ? 11．若a>b>c，则不等式组?x?b的解集是． ?x?c? 2x?a?1的解集是－１ ?x?2b?3 13．一罐饮料净重约为３００g，罐上注有“蛋白质含量?0.6”其中蛋白质的含量为 14．若不等式组?? x?a?x?3 的解集为x>３，则a的取值范围是． 二、选择题 15．不等式2x?6?0的解集在数轴上表示正确的是 C． D． A． B． 16．不等式6x?8>3x?8的解集为 A．x> 12 B ．x0D．x 12 17．不等式x?2 A ．1个 B ．2个C．个 D．4个18．下图所表示的不等式组的解集为 -2 A ．x?3B．?2?x? C． x?? D．?2?x? 三、解答题 19．5x?15?4x?120． 2x?13 ? 3x?46 x?21?4x??x?5?1?2x?x??不等式试卷及答案
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【小学六年级奥数】第38讲 应用同余问题
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不等式5课时作业
同余的应用的开题报告
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不等式13课时作业
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