微积分公式、三角公式和向量运算法则表

微积分公式、三角公式和向量运算法则表

一、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵()1

u

u x ux

-'= ⑶()sin cos x x '=

⑷()cos sin x x '=- ⑸()2

tan sec x x '= ⑹()2

cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x

x

e e '= ⑽()ln x

x

a a

a '= ⑾()1

ln x x

'=

⑿(

)1

log ln x

a

x a

'= ⒀(

)arcsin x '= ⒁(

)arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=

+ ⒃()2

1arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=

⒅

'=

二、导数的四则运算法则

()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2

u u v uv v v '''-??= ???

三、高阶导数的运算法则 （1）()()()

()

()

()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()()

()()n n cu x cu x =????

（3）()()()

()n n n

u ax b a u

ax b +=+????

（4）()()()

(

)

()()()0

n

n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????

∑

四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()

()

!n n

x

n = （2）()

()

n ax b n ax b e a e ++=? (3)()

()

ln n x x n a a a =

(4)()()

sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???

?? (5) ()()cos cos 2n n

ax b a ax b n π??+=++??? ????

? (6)()

()

()

1

1!

1n n n

n a n ax b ax b +???

=- ?+??

+ (7) ()()

()

()()

1

1!

ln 1n n n n

a n ax

b ax b -?-+=-????

+

五、微分公式与微分运算法则

⑴()0d c = ⑵()

1

d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =

⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2

tan sec d x xdx = ⑹()2

cot csc d x xdx =-

⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-?

⑼()

x x d e e dx = ⑽()

ln x x

d a a adx = ⑾()1ln d x dx x

=

⑿(

)1

log ln x

a

d dx x a

= ⒀(

)arcsin d x = ⒁(

)arccos d x =

⒂()21arctan 1d x dx x =

+ ⒃()2

1

arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则

⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2

u vdu udv

d v v -??= ???

七、基本积分公式

⑴kdx kx c =+?

⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻2

21sec tan cos dx xdx x c x ==+??

⑼2

21csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x

=++? ⑾

arcsin x c =+

八、补充积分公式

22

11arctan x dx c a x a a

=++? 22

11ln 2x a

dx c x a a x a

-=+-+?

arcsin x

c a =+

ln x c =+

九、下列常用凑微分公式

十、分部积分法公式

⑴形如n ax x e dx ?

，令n

u x =，ax dv e dx =

形如sin n x xdx ?令n

u x =，sin dv xdx =

形如cos n x xdx ?

令n

u x =，cos dv xdx =

⑵形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n

dv x dx =

形如ln n x xdx ?

，令ln u x =，n

dv x dx =

⑶形如sin ax e xdx ?

，cos ax

e xdx ?

令,sin ,cos ax u e x x =均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式

s i n x a t = (2) t a n x a t

= sec x a t = 【特殊角的三角函数值】

（1）sin 00= （2）1sin

6

2π

=

（3）sin 32

π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π=

（1）cos 01= （2）cos

6

π

=

（3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=-

（1）tan 00= （2）tan

6

π

=

（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=

（1）cot 0不存在 （2）cot 6

π

= （3）cot

3

π

=

（4）cot 02π=（5）cot π不存在

十二、重要公式

（1）0sin lim

1x x

x

→= （2）()1

0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=

（4）1n = （5）lim arctan 2

x x π

→∞

=

（6）lim tan 2

x arc x π

→-∞

=-

（7）lim arc cot 0x x →∞

= （8）lim arc cot x x π→-∞

= （9）lim 0x

x e →-∞

=

（10）lim x x e →+∞

=∞ （11）0

lim 1x

x x +

→= （12）0

101101lim

0n n n m m x m a n m

b a x a x a n m b x b x b n m

--→∞?=??+++?

=

>???

（系数不为0的情况） 十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）

sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2

11c o s 2

x x -

()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ?

+-?

十四、三角函数公式

1.两角和公式

sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()c o s

c o s

s i n s

A B A B A B -=+ tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=

- tan tan tan()1tan tan A B

A B A B --=+

cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ?-+=+ cot cot 1

cot()cot cot A B A B B A

?+-=-

2.二倍角公式

sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-

22tan tan 21tan A

A A

=

-

3.半角公式

sin

2A =

cos 2A =

sin tan

21cos A A A ==+

sin cot 21cos A A

A

==

- 4.和差化积公式

sin sin 2sin

cos 22a b a b a b +-+=? sin sin 2cos sin 22a b a b

a b +--=? cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=? cos cos 2sin sin 22

a b a b

a b +--=-?

()sin tan tan cos cos a b a b a b

++=

?

5.积化和差公式

()()1

sin sin cos cos 2

a b a b a b =-+--????

()()1

cos cos cos cos 2

a b a b a b =

++-????

()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =

++-???? ()()1c o s s i n s i n

s i n 2a b a b a b =+--???

?

6.万能公式

22tan

2sin 1tan 2

a

a a

=

+ 2

2

1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22t a n

2t a n 1t a n

2

a

a a

=- 7.平方关系

22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=

8.倒数关系

tan cot 1x x ?= s e c c o s 1x x ?= c sin 1cs x x ?=

9.商数关系

sin tan cos x x x =

cos cot sin x

x x

= 十五、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：

()()dy

f x

g y dx

= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ??= ???

3.一阶线性非齐次微分方程：

()()dy

p x y Q x dx

+= 解为：

()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -????=+????

? 向量运算法则

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

1、向量的加法OB+OA=OC 。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a 。

向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a ；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法

如果a 、b 是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0。0的反向量为0 向量的减法

AB-AC=CB 。即“共同起点,指向被 向量的减法减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y')。 3、数乘向量

实数λ和向量a 的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa ∣=∣λ∣·∣a ∣。 当λ＞0时,λa 与a 同方向； 向量的数乘

当λ＜0时,λa 与a 反方向；

向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa。

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb。

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）；

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律,即：由a·b=a·c (a≠0),推不出b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）。若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

a×（b+c）=a×b+a×c。

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。