反比例函数的图像和性质总结
函数的图象和性质总结
一次函数
正比例函数
反比例函数
注意事项总结：
1．关于点的坐标的求法：图象特殊点性质
与 x 轴交点
当 k0 时， y 随x
(1)
b
,0 ；的增大而增大；
k
(2) 当k0 时， y 随x
与 y 轴交点
的增大而减小．
0,b ．
与 x 、y轴交
(1) 当k0 时， y 随x
点是原 (0,0)
的增大而增大，且直线
经过第一、三象限；
(2) 当k0 时， y 随x
的增大而减小，且直线
经过第二、四象限．
与坐标轴没 (1) 当k 0时，双曲线
有交点，但与经过第一、三象限，在
坐标轴无限每个象限内，y 随x的
靠近．增大而减小；
(2) 当k 0时，双曲线
经过第二、四象限，在
每个象限内，y 随x的
增大而增大．
方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如
直线 y 2x 和 y x 3 的交点坐标，只需解方程组
y2x
y 就可以了．
x 3
2．对解析式中常数的认识：
一次函数 y kx b k 0 、反比例函数y k k0 ,不同常数对图像位置的影响各
x
不相同，它们所起的作用，一般是按其正、负情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数
的对应关系．
反比例函数知识点总结(供参考)
反比例函数知识点总结 李苗 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比 例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时， x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系 数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分 别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用 光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐 标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数 值的增减情况，如下表： 反比例 函数 x k y =（0k ≠） k 的 符号 0k > 0k < 图像 性质 ① x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠ ②当0k <时，函数图像
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = (k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = （0k ≠), ②1 kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠)； ⑸函数x k y = （0k ≠)与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =,就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y = （0k ≠)中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点２用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值，就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠,所以它的图像与ｘ轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永 远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线； ④画图像时,它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
《反比例函数的图像和性质》第一课时说课稿
人教版课程标准实验教科书八年级下册《17.1.2反比例的图象和性质》第一课时 说课稿 '
《反比例函数的图象和性质》说课稿 尊敬的评委老师们： 大家好！ 今天我说课的内容是人教版义务教育课程标准实验教材八年级下册第十七章第二节《反比例函数的图象和性质》第一课时的内容。下面我将从教材分析、教学目标、教学重点难点、教法与学法分析、教学过程等几个方面进行阐述。 一、教材分析 [ 本节课是全章的核心，学习的主要内容是画反比例函数的图象，让学生结合实例，通过列表、描点、连线等手段经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，并初步认识反比例函数的图象的特征，逐步明确反比例函数的直观形象，为学生探究反比例函数的图象的性质提供思维活动的空间，也为以后二次函数以及其它函数的学习奠定坚实的基础。 二、教学目标 结合我对这节课的理解和分析，制定教学目标如下： 知识技能 1.会用描点的方法画反比例函数的图象。 2.理解反比例函数的性质 数学思考 通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力。 ~ 解决问题 会画反比例函数的图象，并能根据反比例函数图象探究其性质。
情感态度 在自主探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图象的对称性。 三、教学重点和难点： 教学重点：画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质。 教学难点：理解反比例函数的性质，并能灵活应用。 四、教法与学法分析 针对八年级学生的认知结构和心理特征，我采用问题教学法和对比教学法，经过“创设情境——类比联想——探索比较——运用新知——归纳总结” 的学习活动过程，引导学生自主探究、合作交流。 ^ 本堂课立足于学生的“学”，要求学生经历动手操作——探究交流——总结规律的过程，让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。 五、教学过程 教学过程我安排了六个环节的教学活动: (一)、活动1：创设情境，引入课题 问题： 一次函数y=6x的图象是什么形状反比例函数6 的图象会是什么形状呢 y x 请大家猜猜看，我们可以采用什么方法画 通过创设问题情境，引导学生复习画一次函数图象的知识，激发学生参与课堂学习的热情，为学习画反比例函数的图象奠定基础。 （二）、活动2：类比联想，探究交流 !
【说课稿】反比例函数的图像与性质
【说课稿】反比例函数的图像与性质尊敬的各位评委： 今天我说课的内容是?反比例函数的图像与性质?， 下面我从六个方面来阐述对本节课的设计教材分析： 教材的地位和作用 人教版数学九年级上册第26章第1节。 本课时的内容是在已经学习了一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受到现实世界中存在各种函数。反比例函数的图象与性质是对一次函数图象与性质的复习和对比，同时为进一步学习反比例函数的实际应用以及学习二次函数打下坚实的基础。 鉴于对以上教材的分析，特制定三维目标如下： 2、教学目标 知识目标： (1)进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象. 〔2〕体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合. 〔3〕逐步提高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质. 能力目标： 〔1〕培养学生的观察、分析和独立解决问题的能力，[来源:学+科+网] 〔2〕培养学生的数形结合及类比的数学思想方法。 情感目标：由图像的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，通过图像的直观性激发学生学习数学的兴趣。 3、教学的重点和难点： 重点：反比例函数图象的画法及探究反比例函数的性质； 难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析． 【二】教学的指导思想：
新课标指出：教学活动应建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流过程中真正理解和掌握数学知识技能、数学思想方法，提高数学学习兴趣和问题解决能力。 【三】教学策略： 鉴于初三学生的年龄、心理特点及认知水平，本节课采用层层递进的问题启发学生的思考，让学生自主探究、合作交流中获取知识，探究过程中应给予学生充分的思考时间和思考空间，积极创造条件和机会，让学生发表自己的见解，以调动学生的积极性。 【四】教学手段：利用多媒体课件演示帮助同学理解反比例函数的图象与性质。 【五】学法指导： 本堂课立足于学生的〝学〞，要求学生多动手、多观察从而可以帮助学生形成分析、类比、归纳的思想方法。在类比和讨论中让学生在〝做中学〞，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。 教学过程： 活动一创设情境引入课题 〔1〕：回忆一次函数的解析式、图象和性质。 〔2〕：回忆画函数图象的方法与步骤 教师提出问题 通过创设问题情境，引导学生类比前面学习一次函数的图象和性质的方法，激发学生参与课堂的热情，开始本节课的探究，为学习画反比例函数的图象打好基础 学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善。 在活动中教师应重点关注： 学生对一次函数知识点的掌握情况； 学生对描点法画函数图象的基本步骤的掌握情况：列表，描点，连线。 活动二 ：画反比例函数y=6/x与y=-6/x的图象。
一次函数二次函数反比例函数性质总结
一次函数、二次函数、反比例函数性质总结 1.一次函数 一次函数)0(≠+=k b kx y ，当0=x 时，得到的y 的值也即b 叫做图象与坐标轴的纵截距，当0=y 时，得到的x 的值，叫做图象与坐标轴的横截距。 （1）当0=b 时，一次函数的解析式变为)0(≠=k kx y ，也称为正比例函数，此函数图象恒过原点)0,0(O ，且横，纵截距都为0。且0>k 时，函数图象过一、三象限，0>k 时，图象过二、四象限。 （2)当0≠b 时，)0(≠+=k b kx y 的图象及性质为 ① ② k 象限 ③ ④ 2.二次函数 二次函数的一般形式为)0(2 ≠++=a c bx ax y ，且a 决定开口方向和大小，当0 >a 时，抛物线开口向上，有最小值，值域为),44[ 2 +∞-a b ac 当0a 时 ②0c b a 时 ③ 0,0,0=> ③0,0,0=> 《反比例函数图像和性质》教学案例 一、教学目标： 知识技能：会用描述法画反比例函数图像。理解反比例函数的性质。 解决问题：会画反比例函数体香，由反比例函数图像天就性质。 情感态度：让学生初步感知反比例函数图像的对称性，创造审美观念。 二、教学重点、难点： 重点：画反比例函数图像，理解其性质。 难点：理解反比例函数性质，并能灵活应用。 三、教学流程： （一）创设情境，引入新课。 写出反比例函数一般表达式，并在黑板上写出一些较简单的反比例函数表达式。 （二）探究新知。 活动1：讨论。 一次函数6Y X =的图像是什么形状？ 反比例函数6Y X = 的图像会是什么形状？ 活动2： 问题1，画出反比例函数6Y X =与6Y X =-的图像。 师生互动，鼓励学生类比一次函数图像的画法，探索画反比例函数的图像。 教师提出问题，学生观察思考，回答问题并使学生了解反比例函数的图像是一条双曲线。 问题2，比较6Y X =与6Y X =-的图像，他们有什么共同特征，他们之间有什么关系。 再画出反比例函数3Y X =与3Y X =-的图像。 学生自主探究：小组讨论，得出结论。 活动3： 问题：观察函数6Y X =和6Y X =及3Y X =和3Y X =-的图像。 （1）你能发现他们的共同特征以及不同吗？ （2）每个函数的图像分别位于哪几个象限？ （3）在每一个象限内Y 随X 的变化如何变化？ 学生分组讨论、观察思考后进行分析，归纳得出反比例函数的性质： （1）反比例函数K Y X = （K 为常数，0K ≠）的图像是一条双曲线。 （2）当0K 时双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内Y 随X 的增大而减小。 （3）当0K 时双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内Y 随X 的增大而增大。 （三）拓展延伸。 问题： 1、3Y X =- 的图像在第几象限？ §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高 指数函数及其性质教案 一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景： 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。 问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课： 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以0 反比例函数定义 一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k大于0时，图像在一、三象限。k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。 反比例函数图像及性质 反比例函数图像： 1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或 第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每 一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。 反比例函数性质： 1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为 增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与 x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与 坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n^2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。 10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为 |k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.[对称性]反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也 是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 反比例函数知识点汇总 《指数函数的图像与性质》教学设计 一、教学目标 1．知识与技能 掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法 通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图像与性质. 3．情感、态度、价值观 通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质． 二、教学重难点 教学重点：指数函数的图像与性质 教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质. 三、教学方法：自主探究式 四、教学手段：多媒体教学 五、教学过程： （一）创设情境 1、复习： （1）指数函数的定义； （2）指数函数解析式的特征。 2、导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。 （二）自主探究 1．画一画：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、x y ?? ? ??=21的 2．说一说：通过图像，分析x y 2=、x y ?? ? ??=21的性质； 3.比一比：x y 2=与y ??? ??=21的图像有哪些相同点，哪些不同点？ 4．想一想：在平面直角坐标系中画出函数3x y =、13x y ?? = ??? 的图像，试分析性质。 5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数x a y =（1,0≠>a a 且） 的图像和性质如下： 例2. （2 3例1.（1） （四）当堂检测 1.课本第73页 练习1 1. 2.解下列不等式： 11 (1)3;81 x -> 1(2)4230.x x +--> （五）课堂小结 （1） 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2） 你学会了哪些数学思想方法？ （六）布置作业 必做题：课本77页，A 组.4,5，6 选做题：课本77页，B 组1，6. 六、教学反思 1 一次函数、二次函数、反比例函数性质总结 1.一次函数 一次函数)0(≠+=k b kx y ，当0=x 时，得到的y 的值也即b 叫做图象与坐标轴的纵截距，当0=y 时，得到的x 的值，叫做图象与坐标轴的横截距。 （1）当0=b 时，一次函数的解析式变为)0(≠=k kx y ，也称为正比例函数，此函数图象恒过原点)0,0(O ，且横，纵截距都为0。且0>k 时，函数图象过一、三象限，0>k 时，图象过二、四象限。 （1）当0,0==c b 时，函数的解析式变为)0(2 ≠=a ax y ，则 ①0>a 时 ②0b a 时 ③ ,0a 时 ②,0,0<>c a 2 ③ 0, 0,0=>k 时，函数图象过一、三象限，当0 第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质 2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点：利用函数的单调性求最值 2.教学难点：函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征. 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0 问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 0a =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x ＜0，x a ＜1 x ＜0，x a ＞1 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）. x y d =的图象，判断,,,a b c d 与1的大小关系； 例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B．C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B．C．D． 2．图象和性质 （1）已知函数是反比例函数， ①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________． （2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限． （3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限． （4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（）． A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 （5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）． A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限 （6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）． A．B．C．D． 3．函数的增减性 （1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）． A．正数B．负数C．非正数D．非负数 （2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，， 则函数值、、的大小关系是（）． A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜ （3）下列四个函数中：①；②；③；④． y随x的增大而减小的函数有（）． A．0个B．1个C．2个D．3个 （4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）． 《指数函数的图像与性质》导学案 一、学习目标 1．理解并掌握指数函数的图像与性质. 2．会利用指数函数的图像与性质比较大小，解指数不等式。 二、教学重难点 教学重点：指数函数的图像与性质 教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质. 三、教学过程： （一）创设情境 1.复习： （1）一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 . （2）指数函数解析式的特征：。 2.导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。 （二）自主探究（学生通过自主学习完成下列任务） 1.用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y2 =、 x y? ? ? ? ? = 2 1 的图像 2．通过图象，分析x y2 =、 x y? ? ? ? ? = 2 1 的性质（定义域、值域、单调性、特殊点） 3．比一比：x y 2=与y ?? ? ??=21的图象有哪些相同点，哪些不同点？ 4．画一画：在平面直角坐标系中画出函数3x y =、13x y ?? = ??? 的图像，试分析性质。 5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数x a y =（1,0≠>a a 且） 的图象和性质如下： （三）典例精讲 类型一 两个数比较大小 类型二 解指数不等式 例2.1 32 x x >（）求使不等式4成立的的集合； 45 a a > （2）已知求数的取值范围. （四）当堂检测 1.课本第73页 练习1 1. 2.解下列不等式： 11 (1)3;81 x -> 1(2)4230.x x +--> （五）课堂小结 （1） 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2） 你学会了哪些数学思想方法？ （六）布置作业 必做题：课本77页，A 组.4,5,6 选做题：课本77页，B 组1，6. 四、教学反思 0.80.7-0.10.10.70.8 330.750.750.80.7.例1.比较下列各题中两个数的大小： （1） 和；（2） 和；（3） 与 反比例函数图像与性质试题 一．选择题（共21小题） 1．（2013?安顺）若是反比例函数，则a的取值为（） A．1B．﹣l C．±l D．任意实数2．（1998?山西）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为（） A．m=﹣2B．m=1C．m=2或m=1D．m=﹣2或﹣1 3．反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0B．C．D．m ≥ 4．下列函数中，是反比例函数的为（） A．y=2x+1B．y=C．y =D．2y=x 5．下列函数中，y是x的反比例函数是（） A．B．C．D． 6．已知函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．2B．±2C．﹣2D． 7．若函数y=是反比例函数，则m的值为（） A．±2B．2C．±D．8．（2014?自贡）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D． 9．（2014?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D． 10．（2014?牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D． 11．（2014?海南）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A．B．C．D． 12．（2014?乐山）反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D． 13．（2014?怀化）已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（） 一次函数知识点总结： 一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一.中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一ic函数与二元一次方程组,一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。 函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k。即:y=kx+b(k,b为常数,k≠0）, ∵当x增加m，k （x+m）+b=y+km，km/m=k。 2。当x=0时,b为函数在y轴上的点，坐标为(0，b)。 3当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交; 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。 若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k，b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数 图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤: （1）列表. (2）描点;[一般取两个点,根据“两点确定一条直线"的道理,也可叫“两点法”. 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0)两点画直线即可. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点. (3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是—k分之b与0，0与b）. 2．性质: （1)在一次函数上的任意一点P(x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b）,与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0,y与x成正比例)： 当k〉0时，直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大; 当k〈0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小. y=kx+b时： 一次函数和反比例函数知识 点总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 一次函数知识点总结: 一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。 函数性质： 的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数 图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 （3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 指数函数及其图像与性质 数学学科刘春梅 学习情境：指数函数及其图像与性质（暂定一课时） 明确任务与咨讯 学习任务描述： ⑴能画出指数函数的简图； ⑵能使用指数函数的图像及性质判断指数函数的单调性； 学习目标: 通过本情境的学习，你应该： 1、能理解指数函数的概念、图像及性质； 2、能在老师的指导下会画出指数函数的简图； 3、能在老师的指导下熟练使用指数函数图象及性质判断指数函数的单调性；任务实施 班组成员分工，根据学生数量把全班分成4个班组，每组以7_——8人为宜，每组各选一名组长，并分配职责。 小组名称：工作理念：序号姓名职务岗位职责 1 组长全面组织协调、分配任务 2 解说员1 负责阐述本组观点或答案 3 解说员2 负责阐述本组观点或答案 4 记录员负责记录各小组探讨结果 5 监督员协助组长考核小组各成员表现 6 成果展示员1 负责板演所得结果 7 成果展示员2 负责板演所得结果 8 记分员负责统计各组分数 备注：各组所得分数为本组各成员得分，对组内表现优秀者再适当加分奖励（优秀者由老师根据课堂表现直接认定）。 引导问题1：某种物质的细胞分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……，知道分裂的次数x,如何求得细胞的个数y呢？ 引导问题2：上述问题得到的函数有什么特征？ 1、函数中的自变量是 2、函数中的自变量在什么位置？ 3、这个函数与以前我们所学过的函数有什么不同？ 引导问题3：通过引导问题2我们可以抽象出一个什么函数？ 引导问题4：研究一个函数最好的方式是什么？ 引导问题5： 在练习本上利用“描点法”作指数函数y =2x 和y =1()2 x 的图像。 注：老师在学生展示成果后，用多媒体展示指数函数y=2x ,y=3x ,y=5x ,y=0.3x ,y=0.5x ,y=0.7x 的图像 引导问题6：通过看指数函数y =2x 和y =1()2 x 的图像你能抽象出指数函数的图像具 有什么性质？ 引导问题7：完成下面的表格，完成之后请同学们互相对照。 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的性质 指数函数y=a x (a>0且a ≠1) 0反比例函数图像和性质
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