第七章-平面波的入射-林

β-FeSi2 的能带结构及光学性质的第一性原理研究

β-FeSi 2 的能带结构及光学性质的第一性原理研究? 闫万珺1，2，谢泉1 1．贵州大学电子科学与信息技术学院，贵阳，550025 2．安顺师范高等专科学校物理系，安顺，561000 摘 要：利用基于第一性原理的赝势平面波方法系统地计算了β-FeSi 2基态的几何结构、能带结构和光学性质。几何优化结果表明平衡时的晶格常数与实验值符合得较好；能带结构的计算表明β-FeSi 2属于一种准直接带隙半导体，禁带宽度为0.74eV ；计算了光学性质，给出了β-FeSi 2的介电函数实部1ε、虚部2ε以及相关光学参量。 关键词：β-FeSi 2，几何优化，能带结构，光学特性 PACC ：7125, 7115H, 7820D 1. 引 言 铁硅化合物β-FeSi 2，是由资源寿命较长的Fe 、Si 元素组成，能循环利用，对地球无污染，称为环境半导体材料，对这一材料的研究，对人类的生存和发展具有重要的意义。 β-FeSi 2具有Jahn-Teller 晶格匹配的荧光构造，在Si （100）基板上外延生长的格子错配度为 5.5%，和Si 、GaAs 材料比较，β-FeSi 2具有一系列优越特性，β-FeSi 2在红外的带隙为Eg=0.83～0.87eV [1,2]，光吸收系数很大（>105cm -1）， 因此，是作为光传感器、太阳能电池 的理想材料，而且，能够在Si(001)和Si(111)上外延生长[3，4，5，6]。目前在环境半导体材料β -FeSi 2薄膜的研究方面，还存在很多问题没有解决，如能带构造、吸收-发光机理、载流子密度的控制等光电子物性的正确把握，因此，深入研究β－FeSi 2的能带结构与光学特性是研究β－FeSi 2光电特性所不可缺少的理论基础。 尽管大量的文献对β-FeSi 2进行了研究，对于其带隙性质的争论仍然存在。有部分文献声称β－FeSi 2是属于直接带隙半导体[7,8,9,10,11]，但是也有作者认为存在只比直接带隙低几十毫电子伏左右的间接带隙[12,13]，把β-FeSi 2称为准直接带隙半导体。 自从20世纪60年代密度泛函理论(DFT)建立并在局域密度近似(LDA)下导出著名的 Kohn －Sham(KS)方程以来，DFT 一直是凝聚态物理领域计算电子结构及其特性最有力的工具。在基于DFT 的第一性原理的计算方法中赝势平面波方法，是目前计算机模拟实验中最先进、最重要的赝势能带方法之一，这些方法在对一些重要的 光电子材料特性认识起着越来越明显的作用。在这篇文章中 我们对β-FeSi 2在体系平衡时的结构进行了优化，第一性原理的赝势平面波方法对能带结构和光学特性进行了 计算。 2. 计算方法 β-FeSi 2属于正交晶系，空间群为（Cmca ），晶 格常数 h D 218图1 β-FeSi 2的原胞 ? 贵州省教育厅重点基金(批准号：05JJ002)，教育部博士点专项科研基金(批准号：20050657003)贵州大学人才引进基金(批准号：04RCJJ001)，教育部留学回国科研基金(批准号：教外司(2005)383)，贵州省留学人员科技项目(批准号：黔人项目(2004)03)，科技厅国际合作项目(批准号：黔科合G(2005)400102)及省委组织部高层人才科研特助项目资助。

超声波探伤的物理基础——(第四节超声平面在平界面上斜入射的行为)

第一章 超声波探伤的物理基础 第四节 超声平面在平界面上斜入射的行为 超声平面波以一定的倾斜角入射到异质界面上时，就会产生声波的反射和折射、并且遵循反射和折射定律。在一定条件下，界面上还会产生波型转换现象。 一、斜入射时界面上的反射、折射和波型转换 (1) 超声波在固体界面上的反射 1. 固体中纵波斜入射于固体——气体界面 图1–25中，L α为纵波入射角，1L α为纵波反射角，1S α为横波反射角，其反射定律可用下列数学式表示： 1 S 1S 1L 1 L L L sin C sin C sin C α=α=α (1–34) 因入射纵波L 与反射纵波L 1在同一介质内传播，故它们的声速相同，即1L L C C =，所以1L L α=α。又因同一介质中纵波声速大于横波声速，即1S 1L C C ＞，所以1S 1L αα＞。 2. 横波斜入射于固体——气体界面 图1–26中，S α为横波入射角，1S α为横波反射角，1L α为纵波反射角。由反射定律可知： 1 L 1 L 1S 1S S S sin C sin C sin C α=α=α (1–35) 图1–25 纵波斜入射 图1–26 横波斜入射 因入射横波S 与反射横波S 1在同一介质内传播，故它们的声速相同，即1S S C C =，所以1S S α=α。又因同一介质中1S 1L C C ＞，所以，1S 1L αα＞。 结论： 当超声波在固体中以某角度斜入射于异质面上，其入射角等于反射角，纵波反射角大于横波反射角，或者说横波反射声束总是位于纵波反射声束与法线之间。图(1–27)表示钢及铝材中纵波入射时的横波反射角，也可以看成横波入射时的纵波反射角。 (2) 超声波的折射 1. 纵波斜入射的折射 图1–28中L α为第一介质的纵波入射角，L β为第二介质的纵波折射角，S β为第二介质的横波折射角，其折射定律可用下列数学式表示： S 2S L 2L L L sin C sin C sin C β=β=α (1–36)

赝势平面波方法

第3章 赝势平面波方法(I) 基于密度泛函理论的赝势平面波方法可以计算很大范围不同体系的基态属性，它采用了平面波来展开晶体波函数，用赝势方法作有效的近似处理。由于平面波具有标准正交化和能量单一性的特点，对任何原子都适用且等同对待空间中的任何区域，不需要修正重叠误差。因此平面波函数基组适合许多体系，其简单性使之成为求解Kohn-Sham 方程的高效方案之一。另外，赝势的引入可以保证计算中用较少的平面波数就可以获得较为可靠的结果。该方法具有较高的计算效率，使之日益发展成为有效的计算方法。本章首先对赝势平面波方法进行重点讨论，其次介绍了基于第一性原理计算软件一般步骤，最后结合Materials Studio 软件包应用，对锐钛矿型TiO 2(101)表面及其点缺陷结构进行建模和计算。 3.1 基本原理 基于密度泛函理论的第一性原理计算实质是求解Kohn-Sham 方程。实际求解Kohn-Sham 方程时，由于原子核产生的势场项在原子中心是发散的，波函数变化剧烈，需要采用大量的平面波展开，因而计算成本变得非常大，所以在计算中选取尽可能少的基函数。计算中选择的基函数与最终波函数较接近则收敛较快，当然包含的维度也应该尽量少。众所周知，根据研究对象不同，选择基函数的方法也不同的，如原子轨道线性组合法(LCAO-TB)、正交平面波法(OPW)、平面波赝势法(PW-PP)、缀加平面波法(APW)、格林函数法(KKR)、线性缀加平面波法(LAPW)、Muffin-tin 轨道线性组合法(LMTO)等，选取典型代表方法在随后的章节中重点展开讨论。与LAPW ，LMTO 等精度较高的第一性原理计算方法比较，平面波赝势法是计算量较少的方法，适用于计算精度要求不严格，因原胞较复杂而导致计算量陡增加的体系。为此，本章将重点学习赝势平面波方法，先学习电子能带的平面波基底展开以及赝势等相关基本概念，然后再讨论赝势引入原理。 3.1.1 平面波展开与截断能 1. 平面波展开 平面波是自由电子气的本征函数，由于金属中离子芯与类似的电子气有很小的作用，因此很自然的选择是用它描述简单金属的电子波函数。众所周知，最简单的正交、完备的函数集是平面波exp[())i k G r +?，这里G 是原胞的倒格矢。根据晶体的空间平移对称性，布洛赫(Bloch)定理(将在第节中说明)证明，能带电子的波函数(,)r k ψ总是能够写成 (,)()exp()r k r ik r ψμ=? 式中k 是电子波矢，()r μ是具有晶体平移周期性的周期函数。对于理想晶体的计算，这是很自然的，因为其哈密顿量本身具有平移对称性，只要取它的一个原胞就行了。对于无序系统(如无定型结构的固体或液体)或表面、界面问题，只要把原胞取得足够大，以至于不影响系统的动力学性质，还是可以采用周期性边界条件的。因此，这种利用平移对称性来计算电子结构的方法，对有序和无序系统都是适用的。采用周期性边界条件后，单粒子轨道波函数可

二维TM波讨论平面波源(使用直接算方法)的加入

! TM波FDTD讨论平面波源的加入 module data_module implicit none integer,parameter::nx0=0,nx1=360,ny0=0,ny1=360,nz0=-100,nz1=1200 integer,parameter::nxl1=nx0+80,nxl2=nx1-80,nyl1=ny0+80,nyl2=ny1-80 !连接边界 real,parameter::f=2.0e8,c=3.0e8,delt=0.0177,deltt=delt/6.0e8,eps0=8.85e-12,miu0=1.2566e-6,pi= 3.14159 real,parameter::w=2*pi*f,s=-0.477369 real,parameter::p=-1.0/3.0,q=-miu0*c/6,r=-miu0*c/2,p1=1/(2*miu0*c),p2=1/(2*eps0*c) real,parameter::tal=2e-9,t0=0.8*tal,fai=pi/3.0 real cez,chx,chy integer,parameter::nt=2000,m0=200 integer n complex Ez3(nx0:nx1,ny0:ny1) real Ez4(nx0:nx1,ny0:ny1),Ez2(nx0:nx1,ny0:ny1) !记录幅值提取时的实部和虚部 real sita(nx0:nx1,ny0:ny1),Ez0(nx0:nx1,ny0:ny1) !记录幅值和相位 real Ez(nx0:nx1,ny0:ny1),Hx(nx0:nx1,ny0:ny1),Hy(nx0:nx1,ny0:ny1),Ez1(nx0:nx1,ny0:ny1) real Ei0(nz0:nz1),Hi0(nz0:nz1),Ei1(nz0:nz1) real Ezi(nx0:nx1,ny0:ny1),Hxi(nx0:nx1,ny0:ny1),Hyi(nx0:nx1,ny0:ny1) end module data_module !///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// subroutine inc() use data_module implicit none integer i,j,k real t,d t=n*deltt Ei1=Ei0 do k=nz0,nz1-1 Hi0(k)=Hi0(k)-p1*(Ei1(k+1)-Ei1(k)) end do !Ezi do i=nxl1,nxl2 do j=nyl1,nyl2 d=real(i-nxl1)*cos(fai)+real(j-nyl1)*sin(fai) Ezi(i,j)=(d-int(d))*Ei0(m0+int(d)+1)+(1-(d-int(d)))*Ei0(m0+int(d)) end do end do do k=nz0+1,nz1-1 Ei0(k)=Ei1(k)-p2*(Hi0(k)-Hi0(k-1)) ! 入射波的场量 end do

第3章 赝势平面波方法(I)

第3章 赝势平面波方法(I) 基于密度泛函理论的赝势平面波方法可以计算很大范围不同体系的基态属性，它采用了平面波来展开晶体波函数，用赝势方法作有效的近似处理。由于平面波具有标准正交化和能量单一性的特点，对任何原子都适用且等同对待空间中的任何区域，不需要修正重叠误差。因此平面波函数基组适合许多体系，其简单性使之成为求解Kohn-Sham 方程的高效方案之一。另外，赝势的引入可以保证计算中用较少的平面波数就可以获得较为可靠的结果。该方法具有较高的计算效率，使之日益发展成为有效的计算方法。本章首先对赝势平面波方法进行重点讨论，其次介绍了基于第一性原理计算软件一般步骤，最后结合Materials Studio 软件包应用，对锐钛矿型TiO 2(101)表面及其点缺陷结构进行建模和计算。 3.1 基本原理 基于密度泛函理论的第一性原理计算实质是求解Kohn-Sham 方程。实际求解Kohn-Sham 方程时，由于原子核产生的势场项在原子中心是发散的，波函数变化剧烈，需要采用大量的平面波展开，因而计算成本变得非常大，所以在计算中选取尽可能少的基函数。计算中选择的基函数与最终波函数较接近则收敛较快，当然包含的维度也应该尽量少。众所周知，根据研究对象不同，选择基函数的方法也不同的，如原子轨道线性组合法(LCAO-TB)、正交平面波法(OPW)、平面波赝势法(PW-PP)、缀加平面波法(APW)、格林函数法(KKR)、线性缀加平面波法(LAPW)、Muffin-tin 轨道线性组合法(LMTO)等，选取典型代表方法在随后的章节中重点展开讨论。与LAPW ，LMTO 等精度较高的第一性原理计算方法比较，平面波赝势法是计算量较少的方法，适用于计算精度要求不严格，因原胞较复杂而导致计算量陡增加的体系。为此，本章将重点学习赝势平面波方法，先学习电子能带的平面波基底展开以及赝势等相关基本概念，然后再讨论赝势引入原理。 3.1.1 平面波展开与截断能 1. 平面波展开 平面波是自由电子气的本征函数，由于金属中离子芯与类似的电子气有很小的作用，因此很自然的选择是用它描述简单金属的电子波函数。众所周知，最简单的正交、完备的函数集是平面波exp[())i k G r +?，这里G 是原胞的倒格矢。根据晶体的空间平移对称性，布洛赫(Bloch)定理(将在第4.1.1节中说明)证明，能带电子的波函数(,)r k ψ总是能够写成 (,)()exp()r k r ik r ψμ=? (3.1) 式中k 是电子波矢，()r μ是具有晶体平移周期性的周期函数。对于理想晶体的计算，这是很自然的，因为其哈密顿量本身具有平移对称性，只要取它的一个原胞就行了。对于无序系统(如无定型结构的固体或液体)或表面、界面问题，只要把原胞取得足够大，以至于不影响系统的动力学性质，还是可以采用周期性边界条件的。因此，这种利用平移对称性来计算电子结构的方法，对有序和无序系统都是适用的。采用周期性边界条件后，单粒子轨道波函数可

Bi2Se3拓扑绝缘体材料的电子结构研究

毕业论文 题目：Bi2Se3拓扑绝缘体材料的电子结构研究院（系）： 年级： 专业：物理学 班级： 学号： 姓名： 指导教师： 完成日期：

摘要采用基于第一性原理的赝势平面波方法系统地计算了Bi2Se3基态的电子结构、态密度和能带结构以及理论模型，为Bi2Se3的设计与应用提供了理论依据.计算结果表明Bi2Se3属于间接带隙半导体, 禁带宽度为0.3 eV,其能带图中有18条价带，6条导带; 其价带主要由Se的6p以及Bi的6p态电子构成,导带主要由Mg的6p以及Si的6p态电子构成;其能带图中有18条价带，6条导带. 关键词Bi2Se3 第一性原理电子结构理论模型态密度能带结构 一、引言 按照导电性质的不同，材料可分为“金属”和“绝缘体”两大类；而更进一步，根据电子态的拓扑性质的不同“绝缘体”和“金属”还可以进行更细致的划分。拓扑绝缘体就是根据这样的新标准而划分的区别于普通绝缘体的一类新型绝缘体材料。它的体内与普通绝缘体一样，是绝缘的，但是在它的边界或表面总是存在导电的边缘态，这也是它有别于普通绝缘体的最独特的性质.这样的导电边缘态是稳定存在的，且不同自旋的导电电子的运动方向是相反的,传统上固体材料可以按照其导电性质分为绝缘体和导体，其中绝缘体材料在它的费米能处存在着有限大小的能隙，因而没有自由载流子；金属材料在费米能级处存在着有限的电子态密度，进而拥有自由载流子,信息的传递可以通过电子的自旋，而不像传统导电材料通过电荷，这样不涉及能量耗散过程，从而克服了传统材料的发热问题。拓扑绝缘体作为一种新的量子物质态，完全不同于传统意义上的金属和绝缘体，其体电子结构为有带隙的绝缘体，但表面或边界却为无带隙的金属态.近年来，拓扑绝缘体因其独特的物理性质及良好的应用前景在凝聚态物理和材料科学领域引起了广泛的研究. 到目前为止，用于制作纳米材料的方法有很多种，如快速凝固技术[1]、分离法[2]、球磨法[3]、表面活性合成法[4]和热还原法[5]，等等. 与这些方法相比，水热合成法有很多优势，它具有较低的成本和较高的效率，而且不需要高纯度的原材料[6]，热压的样品在623K和80MPa具有高密度，高导电率和模式。目前，为实现量子计算机和自旋电子器件的应用人们正努力研发基于各种单晶衬底与

24平面波对理想介质界面的斜入射

§24 平面波对理想介质界面的斜入射 ［作业布置］ P257：6-24，6-26 （6-24）垂直极化的均匀平面波从水下以入射角i θ投射到水与空气的分界面上，已知淡水的0,1,81===σμεr r ，试求：（1）临界角；（2）反射系数及透射系数；（3）透射波在空气中传播一个波长的距离的衰减量（以dB 表示）。 解： ()()()dB e e e e e e j e j e j j k z k x k j z x jk r e jk i t i t c i j j c t t n t 8.158lg 20lg 2091.208.31sin 1cos 08.320sin 81sin sin ......389.132 .094.094 .0220sin 8120cos 20cos 232 .094.032 .094.020sin 8120cos 20sin 8120cos 238.681arcsin arcsin 12 2 22222200291.291.291.208.3)cos sin (2202 1 02 .190 20 00 04 .380 20 00 20 000012-====-=-=-==== >=+?= -+ = =+-= -+ -- = Γ=??? ? ? ?=???? ??=----+-?--⊥-⊥ λλπλθθθθθεεθθθεετεεεεεεεεθ

（6-26）频率Hz f 300=的均匀平面波从媒质1()0,4,10101===σεεμμ斜入射到媒质2()0,,20202===σεεμμ。（1）若入射波是垂直极化波，入射角 060=i θ，试问在空气中的透射波的传播方向如何？相速是多少？（2）若入射波 是圆极化波，且入射角060=i θ，试问反射波是什么极化波？ 解： ()()()00021212 2//0002122//83222t 0022202 1 000128060cos 414160sin arctan cos sin arctan 74.5760cos 4160sin arctan cos sin arctan 1 ..........1........2/1073.1sin 2)(2232cos sin /222 .31sin 1cos 360sin 4sin sin 304arcsin arcsin 1=?????? ??-=?????? ? ? ?-==?????? ??-=??????? ??-===>?== = ==+=+====-=-=-==== >=??? ? ??=???? ??=⊥⊥--?-θεεεθφθεεθφρρθθθπω π πθθπεμπεμωθθθεεθθθε εεεθππc i t t tx P x j z j tm y r k j tm y z x t t z t t x t i t i t c i c s m k f k v e e E e e E e r E j e e k e k e k m rad f k j t 故反射波为椭圆极化波。

25平面波对理想导体平面的斜入射

§25 平面波对理想导体平面的斜入射 ［作业布置］ P258：6-29，6-30 （6-29）有一正弦均匀平面波由空气斜入射到位于0=z 的理想导体平面 上，其电场强度的复数形式为m V e e z x E z x j y i /10),()86(+-= ，试求：（1） 入射波的频率f 与波长λ；（2）),,(t z x E i 和),,(t z x H i 的瞬时表达式；（3）入角i θ； （4）反射波的),(z x E r 和),(z x H r ；（5）总场的),(1z x E 和),(1z x H 。 解： ()()[] ()()m A e e e z x E e z x H m V e e z x E e e e e k k e e e k k k m A z x t e e e e e e t z x H m V z x t e e e e t z x E e e e z x E e z x H e e e e k k e s rad f Hz c f m k m rad k e e k z x j z x r r r z x j y r z x z x r r r z x r i r i i iz i z x t j z x j z x i y t j z x j y i z x j z x i i i z x z x i i i i i z x i /)68(1201),(1),(/10),(.,.........18.06.01086...............8649.38...........9.38...,.........108cos 3/)86103cos()68(1201)68(1201Re ),,(/)86103cos(1010Re ),,()68(1201),(1),(8.06.010 862/1032..........1978.4628.0103628.022,...../1086,........861)86(0)86(0 09)86(9)86() 86(0988 22----⊥+-+-+---=?=-=-=Γ-=-==-======--?+-=?? ????+-=--?==+-=?=+=+==?==?=?=====+=+= π ηθθθθπ ππηπωλπβπλωω