柯西中值定理的证明及应用

柯西中值定理的证明及应用

马玉莲

（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070）

摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.

关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

1.引言

微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导;

(3) '()f x 和'()g x 不同时为零;

(4)

()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得

()()()

()()()

f f b f a

g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用.

2.柯西中值定理的证明

2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理

罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且

()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得

因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.

2.2利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理

讨论 显然，当'()g x x =时， (1)式即为拉格朗日公式， 所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.

但若换一个角度，将()f t 和()g t 看成xy 平面上某条曲线()y F x =的参数方程，即()y F x =可以表示为：

(),

(),x g t y f t =??

=?

[,],t a b ∈ 易知()y F x =在[(),()]g a g b （或[(),()]g b g a ）

上连续, 在((),())g a g b （或((),())g b g a ）上可导，

由拉格朗日中值定理的几何意义，存在曲线上一点

(,())F ηη过该点的斜率,

()F η等于曲线两端连线的 斜率()()

()()

f b f a

g b g a --（如图1所示）. 设x η=对应于 (,)t a b ξ=∈， 则由参数形式函数的求导公式，有

'

()()()

()()()()

f f b f a F

g g b g a ξηξ''-==-.

所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的参数表达形式.

证明 由闭区间上连续函数的性质，以及()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且导数恒不为零，且不难证明，()g x 在[,]a b 上严格单调，不妨设()g x 严格单调增加.下证()g x 严格单调，只证()g x 在[,]a b 上严格单调递增.

取1x ，2x ∈[,]a b 规定21x x <由g 的连续性知21()()g x g x <那么

1212

()()

0g x g x x x ->-,

对上式求极限

12

1212

()()

lim

0x x g x g x x x →->-,

())f b

x

又

12

'1212

()()

()lim

x x g x g x g x x x →-=-,

得到'2()0g x >，由2x 的任意性知'()0g x >故()g x 在[,]a b 上严格单调递增. 同理可得()g x 在[,]a b 上严格单调递减, 故单调性得证.

记()g a α=，()g b β=，由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在[,]αβ上存在()g x 的反函数1()g y -，1()g y -在[,]αβ上连续，在(,)αβ可导，其导数

1'1

[()]'()

g y g x -=

， 并且1()g y -在[,]αβ上也是严格单调增加的.

考虑[,]αβ上的复合函数1()(())F y f g y -=，由定理条件和以上讨论，即知

()F y 在[,]αβ上满足拉格朗日中值定理条件，于是，存在(,)ηαβ∈，使得

11'

()()(())(())()()

()()()

F F f g f g f b f a F g b g a βαβαηβαβα-----===---.

由()g x 和1()g y -的关系，在(,)a b 中一定存在一点ξ，满足()g ξη'=，于是

{}

{}

1''

1

'

1

1

'

'()1()

()(())(())[()]()'()()

y y x g f F f g y f g y g y f x g x g η

η

ηξξηξ-'---'====??==?=?=??

??代入上式就得到了定理结论.

2.3利用闭区间套定理证明柯西中值定理

定义 如果一列闭区间{[,]}n n a b 满足条件 （1）11[,][,],1,2,3n n n n a b a b n ++?=??? ; （2）lim()0n n n a b →∞

-=,

则称这列区间形成一个闭区间套.

闭区间套定理 如果[,]n n a b 形成一个区间套，则存在惟一的实数ξ属于所有的闭区间[,]n n a b ，且 lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==.

引理1 设函数()f x 在[,]a b 上有定义，且在0x ∈(,)a b 处可导，又{[,]}n n a b 为一闭区间套，且0lim lim n n n n a b x →∞

→∞

==，则

'()()

()lim

n n n n n

f f f x βαβα→∞

-=-.

引理2 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则存在11[,][,]a b a b ?且

111

()2

b a b a -=-，使得

1111()()()()

f b f a f b f a b a b a

--=--.

现在把引理2推广为：

引理3 设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()g x 是单射，则存在

11[,][,]a b a b ?，且 111

()2

b a b a -=

-，使 1111()()()()

()()()()

f b f a f b f a

g b g a g b g a --=--.

下面证明柯西中值定理：

证明 首先证明，当,[,]a b αβ∈且αβ≠时，有()()g g αβ≠.

反设()()g g αβ=，由引理2，存在11[,][,]αβαβ?，且111

()2

βαβα-=-，使

1111()()()()

0g g g g βαβαβαβα

--==--,

从而11()()g g βα-. 在11[,]αβ上再次应用引理2有，存在2211[,][,]αβαβ?，

且22111

()2

βαβα-=-，使

112211

()()()()

0n n g g g g βαβαβαβα=-==--，

从而又有22()()g g βα=. 反复利用引理2，最终可得一个闭区间套{[,]}n n a b ，

满足lim()0n n n βα→∞

-=，且()()n n g g βα=，由闭区间套定理，存在[,][,]a b ξαβ∈?，

使

lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==,

根据引理1得：

'()()

()lim

0n n n n n

g g g βαξβα→∞-==-,

这与条件'()0((,))g x x a b ≠?∈相矛盾. 再根据引理3，存在11[,][,]a b a b ?，

且111

()2

b a b a -=-，使

1111()()()()

()()()()

f b f a f b f a

g b g a g b g a --=--,

反复利用引理3，类似与前面的证明，可得闭区间套{[,]}n n a b ，满足lim()0

n n n b a →∞

-=且

()()()()

()()()()

n n n n f b f a f b f a g b g a g b g a --=--.

由闭区间套定理存在[,]c a b ∈，使lim lim n n n n c αβ→∞

→∞

==。再由引理1有:

()()()()()

()()lim lim ()()()()()()()

n n n n n n n n n n n n n n

f b f a b a f b f a f c f b f a

g b g a g c g b g a g b g a b a ''→∞→∞----===----. 即柯西中值定理成立.

2.4利用达布定理证明柯西中值定理

达布定理 ()f x 在(,)a b 上连续且可导，

（1）若12,(,)x x a b ∈，12()()0f x f x <，则有12(,)c x x ∈，使得'()0f c =. （2）设12,(,)x x a b ∈，12()()f x f x ≠，则对介于'1()f x 与'2()f x 间的数η有点

ξ介于1x 与2x 之间，且'()f ξη=.

根据拉格朗日中值定理，我们易知有下列命题成立：

命题 设函数()f x 在(,)a b 上可导，对(,)x a b ?∈，有''()0(()0)f x f x ><或，则()f x 在(,)a b 上严格单调增加（减少）.

下面证明柯西中值定理： 证明 构造辅助函数

()[()()]()[()()]()F x g b g a f x f b f a g x =---,

显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()F a F b =. 现要证明存在(,)a b ξ∈，使'()0F ξ=.

假设对一切(,)a b ξ∈'()0F ξ≠，则由达布定理易知，要么'()0F ξ>，要么

'()0F ξ<，当'()0F ξ>时则由命题易知()F x 在(,)a b 内严格单调，从而在[,]

a b 上严格单调增（因()F x 在[,]a b 上连续）. 从而()()F a F b <与定理中的条件()()F a F b =矛盾，当'()0F ξ<时同样可推出矛盾故有'()0

F ξ=，即()()()

()()()

f f b f a

g g b g a ξξ''

-=-成立. 2.5利用坐标变换证明柯西中值定理

微分中值定理证明的难点在于构造辅助函数，而下列证明不通过构造辅助函数，利用坐标旋转变换来证明柯西中值定理.

证明 构造参数方程

(),

(),x g t y f t =??=?，a t b ≤≤, （3）

由定理条件知，方程（3）的图像是xoy 平面上一条连续且光滑的曲线L ，曲线L 'y

图2.坐标旋转变换图

由图2所示，AB 与x 轴正向夹角为α，AB r =，旋转x 轴使'ox 平行于AB ，

曲线L 在'ox 轴上的投影区间为''[(),g ()]g a b ，则曲线L 上任意一点M ((),())g t f t 在新坐标系''x oy 下的坐标为

''(,)(()cos ()sin ,()sin ()cos )x y g t f t g t x f t ααα=+-+,

而

()()

cos g b g a r

α-=

， ()()

sin f b f a r α-=

， 所以曲线L 在新坐标系''x oy 下是参数方程：

'

'()()()()()(),()()()()()(),

g b g a f b f a x g t f t r r

f b f a

g b g a y g t f t r r

--?=+???--?=-+?? （4）

显然，对于任意(,)t a b ∈，'dx dt ，'

dy dt

均存在.

设 '

0dx dt

≠，则方程（4） 在''[(),g ()]g a b 上满足罗尔定理条件，故存在(,)a b ξ∈，使得

'

'

'

()((),())g g a g b ξ∈且有'''

'

()

0x g dy dx

ξ==，

即存在(,)a b ξ∈，使得

'''

'

''()

()()()()

()

()0()()()()()()

x g t f b f a g b g a g t f t dy

r r g b g a f b f a dx g t f t r r ξξ

==---+=

=--+,

所以有

()()()

()()()

f f b f a

g g b g a ξξ''

-=-, 即存在(,)a b ξ∈使得定理成立.

3.柯西中值定理的应用3.1求极限

求

l i1)(0) n

x

→∞

>.

解由柯西中值定理，得

1

1

1

,0

1

n

c

n c

c

-

=>,

即

1

1

1

1ln

n

c x

n

-

=,

有

1

1)ln

n

n c x

=，

故

1

1

lim1)lim ln

n

n

n

n c x

-

→∞

→∞

-=,

因1

n

=

，故lim1)ln

n

n x

→∞

=.

3.2证明不等式

试证若()

f x，()

g x都是可微函数，且当x a

≥时，''

()()

f x

g x

≤，则当x a

≥

时，()()()()

f x f a

g x g a

-≤-.

证明令()()

G x g x x

ε

=+，则''

()()0

G x g xε

=+>.

而

'

'

()()()

1

()()()

f b f a f

G x G a G

ξ

ξ

-

=<

-

,

有

()()()()()()()

f x f a G x G a

g x g a x a

ε

-<-=-+-,

由于ε为任意小正数，令0

ε→，有

()()()()

f x f a

g x g a

-≤-.

3.3证明等式

试证 若10x >，

20x >则，211212(1)()x x x e x e e x x ξε-=--其中ξ在1x 与2x 之间. 证明 由于10x >，20x >，则0x =不在1x 与2x 之间，令()x e f x x =，1

()g x x

=，

则()f x ，()g x 在1x 与2x 所限定的区间上满足柯西中值定理，故

212

21222()

()(1)111()x x e e e e x x f e g x x ξξξξξξξξξ

''--===---,

整理得

211212(1)()x x x e x e e x x ξε-=--.

3.4证明单调性

设(0)0f =，()f x '在(0,)∞上单调增加，证明：()

f x x

在(0,)∞上单调增加. 证明 由柯西中值定理，得

()()(0)()

01

f x f x f f c x x '-==-， (0)c x <<， 又因'()f x 在(0,)∞上单调增加，故()()f c f x ''<，有

()

()f x f x x

'=<， 即

()()0xf x f x '->，

则

2

()()

0xf x f x x '->，

即

'

()[

]0f x x

>. 故

()

f x x

在(0,)+∞上单调增加.

3.5证明函数有界

设()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞上可导，已知函数2

()x e f x -'在(1,)+∞上有界，证明函数2

()x xe

f x -'在(1,)+∞上也有界.

证明 设2

()x e

f x M -'

≤,(1,)x ∈+∞.首先对函数2

()x e

f x -'，(1,)x ∈+∞，应用柯

西中值定理，可以证明它是有界的：

2

()x e

f x -'

2

2

''(1)(1)(1)()()222f f f f f M

e

e e

e

e

ξξξξξ=

+

<

+

≤+

, 其中(1,)x ξ∈. 进一步，对函数2

()x xe f x -'，(1,)x ∈+∞，也有

2

2

2

2

(1)

()()(1)

(1)()1(1)

x

x

x

x f xf x xf x f f xf x f e

e e e e e

--?≤

+

<

+

- 2

2

2

''(1)(1)()()()()2222f f f f f f M

e e e e e

ξξξ

ξξξξξξ+=+<+≤+ 3(1)324f M

e

<+. 3.6证明一致连续性

设()f x 在(0,]a

上可导，且()n x '→存在且有限，试证()f x 在(0,]a 上一

致连续.

证明 只要证0

lim ()n f x →存在0ε?>

，设0

()1n x '→=则存在000()a δδ><，

0:0x x δ?<<有

()11x '-<,

有

()11x '≤+, ,(0,)x y a ?∈,

由柯西中值定理

''()

()1f ξξ=,

其中ξ在x 与y 之间，因此

'()()(f x f y ξ-=

由0

n →

0211

ε

>+000()δδδ?><, 1212,:0,0,z z z z δδ?<<<<

有

211

ε

ε<

=+,

于是1212,:0,0x x x x δδ?<<<<有

'''()()()

2(11)

211

f x f y ε

ηε-=<+=+,

其中η在1x 与2x 之间，由柯西收敛原理知，0

lim ()n f x →存在且有限，令

(00),()(),

f F x f x +?=?

? 0,0,x x a =<≤ 易知)(x F 在],0[a 上连续，在),0(a 内可导，故)(x F 在],0[a 上一致连续，从而)(x F 在],0(a 上一致连续，即)(x f 在],0(a 上一致连续.

3.7研究定点问题

设)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导(0)a b ≤<，()()f a f b ≠. 试证存在

,(,)a b ξη∈，使

''

()()2a b f f ξηη

+=

. 证明 设2()g x x =，由0a ≥知()f x ，()g x 在[,]a b 上满足柯西中值定理，故至少存在(,)a b η∈使

22

()()'()

2f b f a f b a ηη

-=-, 即

()()'()2f b f a a b

f b a ηη

-+=-,

又)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件按，故至少存在(,)a b ξ∈，使

()()

'()f b f a f b a

ξ-=-,

由上知，存在,(,)a b ξη∈，使

''

()()2a b f f ξηη

+=

. 3.8作为函数与导数的关系

设)(x f 在(,)-∞+∞上连续可导，且

'sup ()x x R

e f x -∈<+∞，

证明 's u p ()x x R

xe f x -∈<

+∞. 证明 因为2

()x xe f x -在[1,1]-上连续，所以在[1,1]-上有界，剩下只要证明

(1,)∞与(,1)-∞-上都有界. 以(1,)+∞为例进行证明，(,1)-∞-的情况类似可证.

设1x >为任意数. 则由柯西中值定理有：

2

2

2

2

2

()()(1)

(1)()1(1)(1)

x

x

x

x xf x xf x f f xf x f f e

e e e e e --?=

+

≤

+

- 2

''

(())(1)

()x x xf x f e

e ξ

==

+

(1)x ξ<<， （5）

其中右端

222

2'''

(())11()(0)1(0)

()2202()x x xf x f f f e f e e e ξξξ

ξ

ξξξξ--=-≤

++- 2

2

2

''111()()(0)222e e f e f f ξξξξηξ

---≤

++

22''111

()()(0)(0)222

e f e f f ξηξηηξ--≤++<<, （6）

因2

'

()x e f x -有界，由（5）

、（6）知2

()x xe f x -亦有界.

3.9推导中值公式

设)(x f 在(,)a b 内二次可微，试证：0,(,)x x a b ?∈存在ξ在0,x x 之间，使 '"

200001()()()()()()2

f x f x f x x x f x x ξ=+-+-， （7）

成立（此即展开到一次幂Taylor 公式）.

证明 只证0x x >的情况（0x x <的情况类似可证，0x x =的情况显然）.（7）式可改写成

'"00020()()()()

()1()2

f x f x f x x x f x x ξ---=- , （8）

为了证明（8），只要令

'000()()()()()F x f x f x f x x x =---，201

()()2

G x x x =-，

则

'''0()()()F x f x f x =-，'0()G x x x =-,

由于00()()0F x G x ==，''00()()0F x G x ==，两次应用柯西中值定理，则

'0000200()()()()()()

()1()()()()2

f x f x f x x x F x F x F x G x G x G x x x ----==--

'''0''

'

0()()

()()()()

F F x F

G G G x ηηηη-==- """()()()

F f

G ξξξ==, 其中0(,)x x η∈，0(,)x ξη∈即有

'"

200001()()()()()()2

f x f x f x x x f x x ξ=+-+

-.

4．结语

本文用几种方法证明了柯西中值定理，并探讨了几种常见的应用. 证明方法可分为分析方法和几何方法，分析方法有构造辅助函数，利用反函数，借助实数完备性定理和有关连续函数的定理. 几何方法是坐标变换. 在应用方面包括求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式等.

The Proof and Applicating of Cauchy Mean-value Theorem

Ma Yu-lian

(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University,

Lanzhou 730070,China)

Abstract:This paper introduces the proof and application of Cauchy mean-value theorem from many angles. The methods of proof include: Roll theorem, Lagrange theorem, closed interval suit theorem, Darbou theorem and changing the direction of coordinate system; The applications contend: solving the problem of limitation, proving inequality, proving monotonicity, proving unanimously successive, proving the function have border, proving unanimously successive, researching the problem of fixed point,being the relationship between function and derivative,and demonstrating the mean-value formula.

Key words:Cauchy mean-value theorem; proof; application

参考文献

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[2] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第三版北京：高等教育出版社.2001

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2006, 57～60

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2007, 81～84