2020-2021学年江苏省扬州中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省扬州中学高二上学期12月月考数学试

题

一、单选题

1．下列命题为真命题的是( )

A ．0x ?∈R ，使2

00x <

B ．x ?∈R ，有20x ≥

C ．x ?∈R ，有20x >

D ．x ?∈R ，有20x <

【答案】B

【分析】根据x R ?∈，都有20x ≥可依次判断出各个选项的正误. 【详解】A 中，x R ?∈，都有20x ≥，则A 错误；B 正确；D 错误；

C 中，当0x =时，20x =，则C 错误.

故选：B

【点睛】本题考查含全称量词和特称量词的命题真假性的判定，属于基础题.

2．已知双曲线2

221(0)x y a a

-=>，则实数a 的值为（ ）

A ．

2

B ．

12

C ．1

D ．2

【答案】A

【分析】直接利用离心率公式计算得到答案.

【详解】曲线22

21(0)x y a a -=>=2a =

. 故选：A.

3．平行六面体1111ABCD A B C D -中，(1,2,4)AB =，(2,1,2)AD =-，1(0,1,10)CC =，则对角线1AC 的长为（ ）

A ．

B ．12

C ．

D ．13

【答案】D

【分析】()113,4,12AC AB AD CC =++=，然后可求出答案.

【详解】因为()113,4,12AC AB AD CC =++=，所以21313AC ==

故选：D

4．已知双曲线22

1412

x y -=右支上一点P 到右焦点的距离为4，则该点到左准线的距离

为（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

【答案】C

【分析】由双曲线方程及离心率公式可得2e =，结合双曲线的定义可得点P 到左焦点的距离为8，再由双曲线的第二定义即可得解.

【详解】由双曲线的方程可得2a =，b =4c ==，

所以该双曲线的离心率2c

e a

=

=， 因为右支上一点P 到右焦点的距离为4，所以点P 到左焦点的距离为248a +=， 所以该点到左准线的距离为8

4e

.

故选：C.

5．若直线l 过抛物线28y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，且|16|AB =，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离为（ ） A ．6 B ．8

C ．10

D ．12

【答案】A

【分析】由双曲线的定义可得12||4B x A x =++，再由中点坐标公式即可得解. 【详解】由题意，抛物线的准线为2x =-，

设()()1122,,,A x y B x y ，所以121||46x A x B =+=+，即1212x x +=， 所以点P 的横坐标为12

62

x x +=，所以点P 到y 轴的距离为6. 故选：A.

6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A ．3699块

B ．3474块

C ．3402块

D ．3339块

【答案】C

【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，

设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .

【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，

则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-?=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即

3(927)2(918)2(918)(99)

7292222

n n n n n n n n ++++-=-+

即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)

34022

n S S +?===.

故选：C 【点晴】

本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

7．数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且10a >.则“1q <-”是

“21221,2n n n n N a a a *

-+?∈+<”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】由等比数列的通项公式可得若要使“21221,2n n n n N a a a *

-+?∈+<”,则

()()221212212102n n n n a q q a a q a -+-=--+-<+，再结合充分条件、必要条件的定义

即可得解.

【详解】由题意，22211n n a a q --=，21

21n n a a q -=，1212n n a a q +=，

则()

22

212222112121121222n n n n n n n a q

a q a q a q q q a a a -+---=+-=----+

()()22121n a q q q -=--+，

因为10a >，()21

220n n q q --=>，

若要使21221,2n n n n N a a a *

-+?∈+<即2122102n n n a a a -++-<，

则需使()()210q q -+>，即2q >或1q <-，

所以“1q <-”是“21221,2n n n n N a a a *

-+?∈+<”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用等比数列的通项公式将条件转化为

()()210q q -+>.

8．关于x 的不等式()2

21ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3443,,2332????

-

- ?????? B ．3443,,2332??

??-

- ???????

C ．3443,,2

332????--? ??????

D ．3443,,2

332????--

????????

【答案】B

【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围. 【详解】由题：()2

21ax x -<

()

2

210ax x --<

()()()()11110a x a x +---<恰有2个整数解，

所以()()110a a +->，即1a >或1a <-，

当1a >时，不等式解为

1111x a a <<+-，因为110,12a ??

∈ ?+??

，恰有两个整数解即：1,2， 所以1231a <

<-，22133a a -<≤-，解得：43

32

a ≤<； 当1a <-时，不等式解为

1111

x a a <<+-，因为

11,012a ??

∈- ?-??，恰有两个整数解即：1,2--，所以1321a -≤

<-+，()()21131a a -+<≤-+，解得：34

23

a -<≤-， 综上所述：4332a ≤<或3423

a -<≤-. 故选：B

【点睛】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论.

二、多选题

9．已知数列0,2,0,2,0,2,

，则前六项适合的通项公式为（ ）

A ．1(1)n

n a =+-

B ．2cos

2

n n a π= C ．(1)2sin 2

n n a π

+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--

【答案】AC

【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．

【详解】对于选项A ，1(1)n

n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；

对于选项B ，2cos 2

n n a π

=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin

2

n n a π

+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC

10．已知命题:p 不存在过点(1,1)的直线与椭圆22212

x y

m +=相切.则命题p 是真命题的

一个充分不必要条件是（ ）

A ．m ≥

B ．m >

C ．0m <<

D ．3m =-

【答案】BD

【分析】根据点与椭圆的位置关系得到((

)

,2,m ∈-∞+∞，再根据充分不必

要条件转化为集合的包含关系得到答案.

【详解】命题:p 不存在过点(1,1)的直线与椭圆22

212

x y m

+=相切，即点在椭圆内，即

2112

1

m +<，

解得m >

m <，即((

)

,2,m ∈-∞+∞，

故命题p 是真命题的一个充分不必要条件对应集合为()

,-∞?+∞的真子

集.

BD 满足条件. 故选：BD.

【点睛】将切线问题转化为点与椭圆的位置关系，将充分不必要条件转化为集合的包含关系是解题的关键.

11．下列条件中，使点P 与,,A B C 三点一定共面的是（ ） A ．1233

PC PA PB =

+ B ．111

333

OP OA OB OC =

++ C ．OP OA OB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=

【答案】AB

【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面

(1)PC xPA yPB x y ?=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ?=++++=，对

选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A ：∵()()

12

33

OC OP OA OP OB OP -=

-+-， ∴1122

3333OC OP OA OP OB OP -=-+-，

∴2112

03333OP OP OP OA OB OC +-=+-=， 故12

33

OC OA OB =

+，故A 、B 、C 共线，故P 、A 、B 、C 共面；

或由12

33

PC PA PB =

+得：PA ，PB ，PC 为共面向量，故P 、A 、B 、C 共面； 对于B ：

111

1333

++=，故P 、A 、B 、C 共面； 对于C ：由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面.

对于D ：由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面. 故选：AB ．

【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件

(1)PC xPA yPB x y ?=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ?=++++=，考

查学生的推理能力与转化思想，属于基础题. 12．以下命题正确的是（ ）

A ．直线l 的方向向量为(1,1,2)a =-，直线m 的方向向量()1,2,1b =，则l m ⊥

B ．直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--，则l α⊥

C ．两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =-，()24,2,0n =-，则//αβ

D ．平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()1,,=n u t 是平面α的法向量，则1u t += 【答案】CD

【分析】根据空间直线的方向向量数量积的值是否为零判定两直线是否垂直，即可判断A ；根据空间直线的方向向量与平面的法向量是否共线判定B ；根据两平面法向量是否平行可判断C ；()1,1,1AB =-，()1,1,0BC =-，利用法向量与上面两向量的数量积为零，即可求得u t +的值，可判断D. 【详解】A:

(1,1,2)a =-，()1,21b =，，∴11122110a b ?=?-?+?=≠，

则,a b 不垂直，∴直线l 与m 不垂直，故A 不正确； B:若l α⊥，则a n ，

∴存在实数

λ，使得()()1,1,10,1,1λ--=-,无解，故B 错误；

C:

()12,1,0n =-，∴()214,2,02n n =-=-，

∴1n 与2n 共线，∴αβ，故C 正确；

D:

点(1,0,1)A -，(0,1,0)B ，(1,2,0)C -，

∴()1,1,1AB =-，()1,1,0BC =-.

向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，∴00

n AB n BC ??=?

?=?，

即1010u t u -++=??-+=?

，解得1u t +=，故D 正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 必须熟练掌握的知识和技能：

（1）空间两直线垂直的充分必要条件是其方向向量垂直；

（2）线面垂直的充分必要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行； （3）两个不同平面平行的充分必要条件是其法向量共线.

三、填空题

13．以()2,0F

为一个焦点，渐近线是y =的双曲线方程是_____________

【答案】2

2

13

y x -=

【分析】从焦点得到2c =

，从渐近线得到b

a

=222c a b =+联立即可.

【详解】因为()2,0F 为一个焦点，所以焦点在x 轴上，且2c =.

因为渐近线是y =

，所以

b

a

=因为双曲线满足2

2

2

c a b =+

，所以解得1a b =???=??

，即双曲线方程是22

13y x -=.

故答案为：2

2

13

y x -=.

14．已知正实数,a b 满足2

291a b ，则

3ab

a b

的最大值为_________

【答案】

212

【解析】设

3a ＝cosθ，b ＝sinθ，其中θ为锐角，＝，设t ＝sinθ＋cosθ，θ为锐角，则1

，

＝

，而1

，则

的最大值为

，此时t ＝

.

15．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，直线1A E 与平面1B BC 所成角的正弦值为_____________ 【答案】

13

【分析】取11A B 的中点F ，连接CF ，利用平移法，可知直线CF 与平面1B BC 所成角，也就是1B CF ∠即为所求，再借助三角函数，即可得解．

【详解】取11A B 的中点F ，连接CF ，则1//CE A F ，1CE A F =， ∴四边形1A FCE 为平行四边形，∴1//CF A E ，

∴直线CF 与平面1B BC 所成角就是直线1A E 与平面1B BC 所成角，连接1B C ， ∵1B F ⊥平面1B BC ，∴1B CF ∠即为所求， 设正方体的棱长为2，在1Rt CFB △中，111tan 22

B F B CF B

C ∠=

=， ∴11n 3

si B CF ∠=

， ∴直线1A E 与平面1B BC 所成角的正弦值为

13

.

故答案为：

13

.

四、双空题

16．数列{}n a 满足：1*

1151,2(),22

n n n a S a n N ++==--∈其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，

则n a =_______，若不等式2(2)2512n t a n n -≥--对*n N ?∈恒成立，则实数t 的最小值为_____. 【答案】1

322

4n n ??+?

??? 178

【分析】利用数列n a 与n S 的关系转化条件为11

1

222

n n n n a a ++=+，结合等差数列的通项公式可得13224n n a n ??+?

???=；将不等式化为()max

4422n n t -??-≥????，令()442n n n b -=，通过作差求得数列的最大项即可得解.

【详解】由题意，11122n n n S a ++=--，当2n ≥时，11

22

n n n S a -=--，

所以()()

111111

22222n n n n n n n n n n a S S a a a a +-++=-=-----=--，

所以122n

n n a a +=+即

111

222

n n n n a a ++=+， 又211251,222a S a ==--，所以27a =，2

12122

2a a =+， 所以数列2n n a ???

???

是以54为首项，公差为1

2的等差数列， 所以

()5113142242n n

a n n =+-=+，所以1322

4n n a n ??+? ???=； 所以()

213(2)2251224n t n n n -?+?≥--即()

()24425122132224

n

n n n n t n ----≥

=+?， 所以()max

4422n

n t -??

-≥????， 令()442

n n

n b -=

，则()()()11

1

4344452

2

2

n n n n

n n n n b b +++----=

-

=

，

所以当5n <时，10n n b b +->即1n n b b +>， 当5n =时，56b b =， 当5n >时，1

0n

n

b b 即1n n b b +<，

所以()56max

44182n

n b b -??===????，所以128t -≥即178t ≥，

所以实数t 的最小值为

178

. 故答案为：1

322

4n n ??+?

???；178.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造合理的新数列，求解数列的通项公式及求解数列的最大项.

五、解答题

17．已知集合{

}2

60A x

x x =--<∣，集合{

}

22

230(0)B x x ax a a =+-<>∣. （1）当1a =时，求A B ?；

（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()2,1-；（2）3a ≥.

【分析】（1）根据集合交集的定义，结合一元二次不等式解法进行求解即可； （2）根据必要条件对应的集合关系进行求解即可； 【详解】解：由题意可知，()()2,3,3,A B a a =-=-； （1）当1a =时，()3,1B =-，所以()2,1A B ?=- （2）

q 是p 的必要条件，A B ∴?，

23330a

a

a a -≥-??

≤?≥??>?

. 18．设等比数列{}n a 的公比不为1，3a 为1a ，2a 的等差中项. （1）数列{}n a 的公比； （2）若112a =

，设2log n n b a =，求1223

1

111

n n b b b b b b ++++

. 【答案】（1）12

-

；（2）

1n

n +. 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(1)≠q q ，由已知可得3122a a a =+，整理得

2210q q --=，即可求得数列{}n a 的公比1

2

q =-；

（2）由（1）可得1

1(1)2n n n

a -=-，则n

b n =-，从而11111n n b b n n +=-+，利用裂项相消法求和即可.

【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为(1)≠q q ，

3a 为12,a a 的等差中项，2312221a a a q q ∴=+?=+，即2210q q --=，

解得：1

2

q =-或1q =（舍去） 所以数列{}n a 的公比1

2

q =-

（2）112a =

，由（1）可得1111111()(1)222

n n n n n

a a q ---==-=- ()

1

222211

log log (1)log log 222

n n

n n n n b a n --∴==-=??= =??

-? []111111

(1)(1)1

n n b b n n n n n n +∴

===--?-+++ ∴

1223111111111111223111

n n n b b b b b b n n n n +++???+=-+-+???+-=-=+++ 【点睛】方法点睛：本题考查等差等比数列的性质，裂项相消法求和，常见的裂项相消求和技巧：

(1)()1111n n k k n n k ??=- ?++??；

（2

1

k =；（3）

()()1

111212122121n n n n ??=- ?-+-+??；（4）()()122121n n n +-- ()()()()

11

21212121n n n n ++---=-- 111

2121

n n +=

---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于中档题.

19．已知抛物线24x y =，过点()4,2P 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点

M ，N ．

（1）求k 的取值范围；

（2）若OMN ?为直角三角形，且OM ON ⊥，求k 的值． 【答案】（1

）2k >

2k < （2）1

2

k =-

【分析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680x kx k -+-=，解

2420k k -+>即可；

（2）结合韦达定理，计算0OM ON ?=的坐标表示即可. 【详解】解：（1）由题意，设直线l 方程为()24y k x -=-，

联立方程组()

2424x y

y k x ?=??-=-??，消去x 得241680x kx k -+-=，

要使直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ，则()2

1641680k k ?=-->，

即2420k k -+>，

解得2k >2k <

综上，k 的取值范围为2k >+2k <（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）可知1x ，2x 是241680x kx k -+-=的两个根，

则124x x k +=，12168x x k =-，

法一：因为OMN ?为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ?=，即12120x x y y +=，

因为()()12124242y y kx k kx k =-+?-+()()()2

212124242k x x k k x x k =--++-

()()()()22

221684424242k k k k k k =---+-=-，

所以有()2

168420k k -+-=， 解得1

2

k =或12k =-，

当1

2

k =

时，直线过原点，O ，M ，N 不能够构成三角形， 所以1

2

k =-.

法二：因为OMN ?为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ?=，即12120x x y y +=，

因为()2

22

1212124416x x x x y y =?=，所以()2

1212

016

x x x x +=， 因为120x x ≠，所以1216x x =-， 即16816k -=-，解得1

2

k =-

， 此时满足（1）中k 的取值范围，所以12

k =-

. 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.

20．各项为正的数列{}n a 满足()

2*111

2n n n a a a a n N λ

+==+∈，，

（1）当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比； （2）当2λ=时，令1

2

n n b a =

+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，1

2n n n T S ++为定值．

【答案】(1)

．(2) 定值2．证明见解析 【分析】(1)递推式两边同除n a ,得出关于1n n a a +的方程,

进而求得1n n a a +=

,得出结论；

(2)化简整理可得1

2n

n n a b a +=

,求出n S ,n T 关于n a 的表达式代入计算即可得出结论． 【详解】证明：(1)当1n a λ+=时, 211

n

n n n a a a a ++=+, ∴11

1n n

n n a a a a ++=+, 令10n n a q a +=>,则1

1q q =+,化为210q q --=,因为0q >

所以解得q =． ∴数列{}n a 是等比数列,

其公比q =

． （2）当2λ=时, 212

n n n a a a +=+,∴2

1(22)2n n n n n a a a a a +=++=,

∴1

1

22n n n n a b a a +=

=+． ∴1211232311

......2222n n n n n n a a a a

T b b b b a a a a ++==

?= 因为112a =

, 所以1111

1122n n n n a a a +++?=． 即11

112n n n T a ++?=

又2

1122n n n n n n a a b a a a ++=

=,因为

22

1122)2(n n n n n n a a a a a a ++=+?=- 所以

()2

1111

21122n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++-==-, ∴122311112111..11111

....n n n n n S b b b a a a a a a a a ++-+-=+++=

++-=-,又1

12a = 即1

1

2n n S a +=-

∴111

11

22

111222n n n n n n n a a T S ++++++=+?-=为定值． ∴对任意正整数n , 1

2n n n T S ++为定值2．

【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的判断,求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．

21．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =

，AF t =，

M 是线段EF 的中点.

（1）若1t =，求二面角A DF B --的大小；

（2）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值. 【答案】（1）

3

π

；（22. 【分析】（1）以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ADF 和平面BDF 的法向量，即可由法向量求出夹角；

（2）设CP CA λ=，求出,PF BE ，利用0PF BE ?=求出()2

210t λ--+=，即可

得出t 的最大值.

【详解】（1）正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，

则可得,,CD CB CE 两两垂直，则可以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系，

若1t =，则(

))()

2,0,2,0,0,2,

2,1B D F

,

则(

)2,2,0BD =

-

，()0,2,1DF =，

可知平面ADF 的一个法向量为()1,0,0n =， 设平面BDF 的法向量为(),,m x y z =，

则由00m DF m BD ??=??=?，可知20

220

z x +==，

不妨令1x =，则1y =，2z =-(1,1,2m =-， 设二面角A DF B --的平面角为θ， 因为θ为锐角，所以11

cos cos ,122

n m θ=<>=

=?， 所以二面角A DF B --的大小为3

π. （2）)()()2,2,0,0,0,0,0,0,A

C E t ，则(

)

2,2,0CA =

，

因为点P 在线段AC 上， 设CP CA λ=，其中[]

0,1λ∈， 则(

)

22,0CP λλ=

，从而P 点坐标为

)

22,0λλ，

于是(

)

2222,PF t λλ=

，而()

0,2,BE t =-，

则由PF BE ⊥可知0PF BE ?=，即()2

210t λ--+=，

所以()2

212t λ=-≤

，解得t ≤t

.

【点睛】方法点睛：此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解题更加简便.

22．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C

的离心率为2

，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于,P Q

两点，且||PQ = （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）若直线l 是圆2

2

8x y +=上的点(2,2)处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线,MA MB ，切点分别为,A B ，设切线的斜率都存在.求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（Ⅰ）22

184

x y +=；

（Ⅱ）直线AB 恒过定点(2,1). 【分析】（Ⅰ）由已知条件布列关于a ，b 的方程，即可得到C 的方程；（Ⅱ）由题意得到两切线MA ，MB 的方程，利用M 点在切线MA ，MB 上，得到为AB 的直线方程，从而问题解决．

【详解】（Ⅰ）由已知，设椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

因为PQ =

，不妨设点(P c -，代入椭圆方程得，2222

1c a b

+=，

又因为2

c e a =

=

， 所以21212b +=，b c =，所以24b =，2228a b ==， 所以C 的方程为22

184

x y +=.

（Ⅱ）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=， 设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，

由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-，

联立()

1122184y y k x x x y ?-=-??+=?

?

得，()

()()2221111

214280k x k y kx x y kx ++-+--=，

由相切得()

()

()2

2

2

211111682140k

y kx k y kx ???=--+--=??

，

化简得()2

21184y kx k -=+，即()

2

2

2

11118240x k x y k y --+-=，

因为方程只有一解，所以11111

22111

822x y x y x k x y y =

==---， 所以切线MA 的方程为

()1

111

2x y y x x y -=-

-，即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=， 又因为两切线都经过点()00,M x y ，所以101020

2028,

28x x y y x x y y +=??+=?， 所以直线AB 的方程为

0028x x y y +=，又004x y +=， 所以直线AB 的方程可化为()00248x x x y +-=，

即()02880x x y y -+-=， 令20,880x y y -=??-=?得2,1

x y =??=?，

所以直线AB 恒过定点()2,1.

【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法

（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；

（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．