工科数学分析考试题

工科数学分析（下）期末考试模拟试题

姓名：___________ 得分: _________

一、填空题（每小题3分，满分18分）

1、设()xz y x z y x f ++=2

,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→

→→→+-=k j i l 22的方向导数为

_________.

2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y

=?+?设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线

积分

1,()c

c x y x y ds +=+=??3.设曲线为则曲线积分 ___________

4、微分方程2

(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________

5、2

sin(xy)

(y)______________.y y

F dx x

=

?

的导数为 6、

{

,01,0x (x),2x e x f x ππ

ππ--≤<≤≤=

=则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于

_____________.

二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim

0→→y x ()xy y

x y x sin 1

12

3

2+-

(2) 2

20

)

(lim 22

0y x x y x y +→→

2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求x

v

x u ?????（中间为乘号）.

3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.

三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）

1. ∑∞

=1!.2n n n n

n

2.∑∞

=-1

!2)1(2

n n n

n

四、（

本小题8分）求向量场2

(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）

2(1sin )cos ,(0,1)

(0,1)y y l

x e x dy e xdx l x A B +--=-?计算其中为半圆到的一段弧。

六、（本小题8分）将函数2

31)(2

++=x x x f 展开成4+x 的幂级数.

(0)0,'()1(sin ()),()

0x

t f f x e t f t dt f x ==++-?七、(本小题9分)已知求

22

34

23(,)x y x dx dy u x y y y -+八、(本小题7分)验证是某个函数的全微分，并求出这个函数。

(y x,y z)0,G(xy,)0(y),z z(y),

z

F x x y --====九、(本小题7分)设方程组确定隐函数

其中F ，G 都具有一阶连续偏导数，求dx

dy

十、（本小题10分）求旋转椭球面14

2

2

2

=++z y x 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面 在三个坐标轴上的截距平方和最小.

工科数学分析（下）期末考试题答案

一、1. 3

5

3. 4. x

e Cx y 1

3

-

-= 5.

32

3sin 2sin y y y -

6.1+2e π

二、1.（1）1

2-

（2）

|)ln(|4)(|)ln(|0222

222

2

2

2y x y x y x y x ++≤+≤，

又 0ln 4lim )ln(4

)(lim 202

22220

0==+++→→→t t y x y x t y x ，

∴ 1)

(lim )22ln(22)

0,0(),(lim 2

222

0==++→→→y x y x y x y x y x e

y x 。

2.()()'211g y yf f x

v

x u ++=?????

三、1.解：11

11

)1(2lim )1()!1(2!

.2lim lim

-∞

→--∞→-∞→-=--=n n n n n n n n n

n n n n n n n u u 12)11(lim 21.<=-+=---∞→e n n n n n

由比值法，级数∑∞

=1!.2n n n n

n 收敛

2. 解： 12lim )!

1(2

!

2lim lim 12)1(122

>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n

由比值法，级数∑∞

=-1

!2)1(2

n n n

n 发散

四、108π（提示：高斯公式的应用）

五、103

六、解：设4+=x t 则4-=t x

1

1

21341)24(1)(---=+--+-=

t t t t x f

t t -+--

=112

121∑∑∞

=∞=+-=002)2(21n n n t t )2(

02)2(21n n n t t

七、解：，即)(sin )(x f x e x f x -+=''

x e x f x f x

sin )()(+=+'' 特征方程：.,012i r r ±==+

齐次方程通解为x C x C y sin cos 21+= 再考虑方程①的特解，设特解为

)sin cos (*x C x B x Ae y x

++= 代入方程①定出系数 0

,21

,21=-==C B A

于是

.cos 21

21*x x e y x -=

式的通解.

cos 21

21sin cos 21x x e x C x C y x -++=

将1

21

1)0(',0)0(21＝，＝－代入上式，得C C f f ==。

所求 .

cos 21

21cos 21sin )(x x e x x x f x -+-= 231

(,)1

x u x y y y =-+八、

1221221221111

[(1)]/[]

dx z FG xF G F G FG yF G dy y y y y =++--九、

十、设所取的点为()z y x M ,,，在点M 处切平面的法向量为?

?????

2,2,2z y x ，切平面方程为

()()()02

22=-+

-+-z Z z

y Y y x X x ，即 14

=++Z z yY xX （考虑到1422

2=++z y x ） 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：

x 1，y 1，z

4 问题即为求()z y x ,,，使得函数()2221611,,z y x z y x F ++=在条件??

???>>>=+

+0

,0,014

222z y x z y x 下求极值 令 ()???

? ??-+++++=141611,,,22

2222z y x z y x z y x G λλ 则 ??????

??????

?=-++==+-==+-==+-

=0

140220

22

022

22

2'

2'2'

2'

z y x G z z

G y y G x x G z y x λλλλ 解得 λ1822

2=

==z y x 代入约束条件得 14181812

=???

?

?++z 由 0,0,0>>>z y x 知 21=

=y x ，2=z ， ∴所求点为 ???

??2,21,21M