高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教学反思新人教A版选修1_2
反证法教学反思 在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。本节课主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。 在准备这节课时，首先从课程分析和学情分析着手。综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。学生从初中开始就对反证法有所了解，在选修2-1《常用逻辑用语》一章中学习了四种命题的关系，原命题与原命题的逆否命题同真同假，而反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。但并没有系统学习过反证法的步骤，因此对反证法的理解是零散的。 本节课意在改变传统教学过程中过于注重传授知识的倾向，让学生自己去发现问题，解决问题。先巧用故事《道旁苦李》引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从王戎判断“李为苦李”的过程中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的含义： 反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。 然后从生活实际问题出发：问题1、任找370个人，他们中生日肯定有相同的。这一结论是否正确？问题2、高二（1）班49名学生中，至少有5名学生的生日在同一个月份。这一结论是否正确？让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤。接着给出问题：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的步骤？经过小组讨论学生不难总结其步骤，教师对其不完整的地方给以补充： （1）、反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真； （2）、归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； （3）、存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.让学生在体验，探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。 在此基础上又开始应用反证法证明数学问题。 层层深入提出问题的目的是，引导学生意识到可以用反证法解决问题，并从中强化反证法的证明步骤及如何根据具体问题寻找矛盾。 最后通过两个练习题，使学生在运用数学方法解决问题的过程中巩固方法。
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理与演绎推理(1) 归纳推理 【要点梳理】 1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。 是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。 2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是 3、归纳推理有如下特点 （1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。 （2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。（填“能”或“不能”） （3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 【指点迷津】 1、运用归纳推理的一般步骤是什么？ 首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。 2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。 3、归纳推理的一般模式是什么？ S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P 【典型例题】 例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈' ='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则 )()(2005=x f A 、x sin B 、x sin - C 、x cos D 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='= ) ()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+ 故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有 x x f x f x f n n sin )(, cos )1()(2414-===++ x f x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++ 故选C 【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是 7 8 ；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 . 解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0 ∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数， ∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得 f(2.5)>f(1)>f(3.5) 故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5) 例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+c c b a b b c a a a c b 解析∵ a ，b ，c 全不相等 ∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。 ∴ 2，2，2b a c a c b a b a c b c +>+>+> 三式相加得6b c c a a b a a b b c c +++++> ∴ (1)(1)(1)3b c c a a b a a b b c c +-++-++-> 即 3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++> 练习 一、选择题 1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。 （A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ） 1845a a a a = 2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( ) (A)0 6030或 (B)0 6045或 (C)00 12060或 (D)0 015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++2 2 2 ；②()411≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()() ()2 2 222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、填空题 4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0 120，则a b a ．)2(-= 5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：第2章 推理与证明 2.2 第2课时
其次章 2.2第2课时 一、选择题 1．反证法是导学号 96660885 () A．从结论的反面动身，推出冲突的证法 B．对其否命题的证明 C．对其逆命题的证明 D．分析法的证明方法 [答案] A [解析]反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出冲突，从而确定结论的真实性． 2．(2021～2022学年度河南新野高二阶段测试)用反证法证明“a＋b＋c>3，则a、b、c中至少有一个大于1”时，“假设”应为导学号 96660886 () A．假设a、b、c中至少有一个小于1 B．假设a、b、c中都小于等于1 C．假设a、b、c至少有两个大于1 D．假设a、b、c都小于1 [答案] B [解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故“a、b、c中至少有一个大于1”的反面是“a、b、c中都小于等于1.” 3．应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用导学号 96660887 () ①结论相反推断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A．①②B．①②④ C．①②③D．②③ [答案] C [解析]由反证法的定义可知为①②③. 4．“M不是N的子集”的充分必要条件是导学号 96660888 () A．若x∈M则x∉N B．若x∈N则x∈M C．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉N D．存在x0∈M⇒x0∉N [答案] D [解析]按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N 的子集，只需存在x0∈M但x0∉N.选D. 5．用反证法证明命题：“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是导学号 96660889 () A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 [答案] A [解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选A. 6．用反证法证明命题“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是导学号 96660890 () A．a、b都是5的倍数B．a、b都不是5的倍数 C．a不是5的倍数D．a、b中有一个是5的倍数 [答案] B [解析]“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“都不是”． 二、填空题 7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．导学号 96660891 [答案]存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 [解析]“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________． 导学号 96660892 [答案] 1 3 [解析]假设a、b、c都小于 1 3 ，则a＋b＋c<1，“假设错误，故a、b、c中至少有一个数不小于1 3.” 三、解答题 9．证明：对于直线l：y＝kx＋1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．导学号 96660893 [解析]假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)直线AB的中点( x1＋x2 2 ， y1＋y2 2)在直线y＝ax
2021_2022学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案3新人教A版选修1_2
2.2.2 反证法 一，教法分析 ●三维目标 1．知识与技能 结合实例了解间接证明的一种根本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题． 2．过程与方法 使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤〞的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识． 3．情感、态度与价值观 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以与合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而开展学生的数学思维能力，提高思维品质． ●重点难点 重点：反证法概念的理解以与反证法的解题步骤． 难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾． 在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合条件或己知的其他的真命题，推导出和条件或的真命题相矛盾的地方；(3)否认所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点． 二，方案设计 ●教学建议 建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否认假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需
要注意以下几点：(1)书写格式与解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用X围与对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多〞“至少〞“全部〞“都〞或否认性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明． ●教学流程 创设问题情境，通过“道旁苦李〞的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式与应用X畴．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．引导学生分析例题1的条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式与证明的方法，完成例题2变式训练． 完成当堂双基达标，巩固所学知识与应用方法．并进展反应矫正．归纳整理，进展课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题与时指导．让学生自主分析例题3，教师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．教师组织解法展示，引导学生总结解题规律． 三、自主导学 课标解读1.了解反证法是间接证明的一种根本方 法．(重点) 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数 学问题．(难点) 反证法 【问题导思】 著名的“道旁苦李〞的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了
高中数学 第二章 推理与证明测评课后提升训练(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2
第二章测评 (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.用反证法证明“若x+y≤0,则x≤0或y≤0”时,应假设() A.x>0或y>0 B.x>0且y>0 C.xy>0 D.x+y<0 x+y≤0,则x≤0或y≤0”时,应先假设x>0且y>0. 2.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则S1 S2=1 4 ,推广 到空间可以得到类似结论:已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则S1 S2 =() A.1 8B.1 9 C.1 64 D.1 27 1∶3,故S1 S2=1 27 .故选D. 3观察下列各等式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,……则52 017的末四位数字是() A.3125 B.5625 C.8125 D.0625 5=3 125的末四位数字为3125;56=15 625的末四位数字为5625;57=78 125的末四位数字为8125;58=390 625的末四位数字为0625;59=1 953 125的末四位数字为3125……根据末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625,即末四位的数字是以4为周期变化的,故2 017除以4余1,即末四位数为3125.则52 017的末四位数字为3125. 4.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 例如,用十六进制表示E+D=1B,则A×B等于() A.6E B.72 C.5F D.B0 5.在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,则有EF∥BC.这个命题的大前提为() A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF为中位线 D.EF∥CB
2021高中数学人教A版选修1-2推理与证明试题练习含答案解析
2021年09月30日试卷 一、单选题(共25题；共0分) 1、(0分)在复平面内，复数 −2+3i 3−4i （i 是虚数单位）所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2、(0分)若复数z 满足 (3−4i )z =5，则z 的虚部为( ) A. 4 5 B. － 4 5 C. 4 D. －4 3、(0分)i ·z =1−i （i 为虚数单位），则z=( ) A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 4、(0分)已知复数 z =2−1+i ，则（ ） A. |z |=2 B. z 的实部为1 C. z 的虚部为﹣1 D. z 的共轭复数为1+i 5、(0分)若复数 z =(x 2−1)+(x −1)为纯虚数，则实数 x 的值为（ ） A. −1 B. 0 C. 1 D. −1或1 6、(0分)定义运算a ∗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则100(12 lg9−lg2) ∗(log 98• log 4√33 )的值为（ ） A. 1316 B. 9 2 C. 4 D. 6 7、(0分)执行如图所示的程序框图，若，取，则输出的值为（ ）
A. B. C. D. 8、(0分)某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是 A. 乙，丁 B. 甲，丙 C. 甲，丁 D. 乙，丙 9、(0分)下列说法正确的个数有 ①用刻画回归效果,当越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好； ②可导函数在处取得极值，则； ③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》优质课教案_7
反证法教学设计 一、教材分析 本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（A ）版》第二章中的2节反证法。反证法的理论依据是逻辑规律中的排中律；一个事物或者是A ，或者是非A ，二者必居其一。反证法即是证明结论的反面正确。由于互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，原命题为真时，则它的逆否命题也为真。在直接证明原命题有困难时，就可以转换为证明它的逆否命题成立。 二、教学目标 知识与技能：结合已经学过的数学证明方法，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生进行逻辑推理，培养他们的推理能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 三、教学的重点和难点 重点：1、理解反证法的概念 2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤 3、用反证法证明简单的命题。 难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。 四、教学过程 (一)温故知新： 复习综合法和分析法 请学生回答两种方法的证明过程和思考特点。得出两种方法的实质为 正确题设 正确推理 正确结论 （二）提出问题引入新课 +>为假。给几分钟我们思考一下。 学生讨论得出正确答案。 ()(2 23710205 2125+>∴+>>∴> 【设计意图】通过引例，我们来看看如何证明一道题是错的。错误题设 正确推理 错误结论 （三）思考交流形成概念 由此受到启发，我们看一看如何证明结论是正确的呢？学生讨论，师生共同完成。 命题 假设命题的否定成立 正确的推理 错误结论 假设错误 命题正确 我们依照思路，试一试这道题。 证明三角形中的三个内角至少有一个不小于60。。 请学生讨论一下，然后让同学比对刚才的思路讨论这道题的解法。
人教课标版高中数学选修1-2《反证法》疑难点拨
《反证法》疑难点拨 一、反证法的理解 反证法是间接证明的一种基本方法.反证法的一般形式可以概括为“否定——推理——否定”用反证法证明命题“若p,则的过程如下所示： 肯定条件p 否定结论q →导出逻辑矛盾→“若,p 则q ⌝”为假→“若,p 则q ”为真 反证法常用的否定形式如下表所示： 例1(★★☆)已知函数()()21.1 x x f x a a x -=+ >+用反证法证明方程()0f x =没有负数根. 解题导引 假设结论不成立→设0x 为()0f x =的负数根→得出矛盾→肯定结论 二、反证法的证题步骤与适用情形 (1)一般地,下列题型适宜用反证法:①问题或结论中出现“不存在”“不可能”等词语;②“唯—性”问题;③结论中出现“至多”“至少”等词语. (2)反证法的一般步骤： ①反设：假设所要证明的结论不成立,即假设结论的反面成立； ②归谬：由“反设”出发，通过正确的推理,导出矛盾（与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾）； ③结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，由于结论的反面不成立，从而肯定了结论成立. 注意 (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的. (2)必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证,否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法. (3)关键是在正确的推理下得出矛盾.可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、
公理、定理、事实矛盾，推导出的矛盾必须是明显的. 例2(★★☆)已知,,, ∈，且 1. a b c d R -= ad bc 求证:2222 1. +++++≠ a b c d ab cd 解题导引本题要证明的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理，因此想到了使用反证法来证明. α如图所示.求证: 直线b与平面α必相交. 例3(★★☆)已知//, a b a⋂平面=,A 解题导引假设直线b与平面α不相交→分bα bα两种情况讨论→推得 ⊂和// 矛盾肯定结论
人教A版2019高中数学选修1-2习题：第二章2.2-2.2.2反证法_含答案
第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法 A级基础巩固 一、选择题 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论． A．①②B．①②④ C．①②③D．②③ 解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的． 答案：C 2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．” 答案：A 3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤： ①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线． 则正确的序号顺序为( ) A．①②③B．③①② C．①③②D．②③① 解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②. 答案：B 4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 D ．a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数 解析：自然数a ，b ，c 中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D. 答案：D 5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1 解析：假设a ，b ，c 都小于13 ，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确． 答案：B 二、填空题 6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________． 解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交． 答案：b 与c 平行或相交 7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数． 解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数， 故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数． 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) 8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个． 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n . 答案：0 三、解答题 9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x <2中至少有一个成立．
最新人教版高中数学选修1-2《反证法》课堂导学
课堂导学 三点剖析 一、证明数学中的基础命题宜用反证法 【例1】求证:质数有无穷多. 证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下: p 1,p 2…p k ,令q=p 1p 2…p k +1. q 总是有质因数的,但我们可证明任何一个p i (1≤i≤k)都除不尽q.假若不然,由p i 除尽q,及p i 除尽p 1p 2…p k 可得到p i 除尽(q-p 1p 2…p k ),即p i 除尽1,这是不可能的.故任何一个p i 都除不尽q.这说明q 有不同于p 1,p 2, …,p k 的质因数.这与只有p 1,p 2, …,p k 是全体质数的假定相矛盾. 所以质数有无穷多. 温馨提示 用反证法证明结论是B 的命题,其思路是:假定B 不成立,则B 的反面成立,然后从B 的反面成立的假定出发,利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,从而判断“假设B 不成立”是错误的.则B 成立. 二、某些数学问题的证明可用反证法 【例2】已知a 、b 、c ∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 41. 证法一:假设三式同时大于41,即(1-a)b ＞41,(1-b)c ＞41,(1-c)a ＞4 1,三式相乘,得:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c ＞ 64 1. 又(1-a)a≤(221+-a )2=4 1. 同理,(1-b)b≤41,(1-c)c≤41. 以上三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ 641,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c ＞641矛盾,故结论得证. 证法二:假设三式同时大于 41. ∵0＜a ＜1, ∴1-a ＞0.2)1(b a +-≥b a )1(-＞41=2 1. 同理, 2)1(c b +->21,2)1(a c +->2 1. 三式相加得23＞23矛盾, ∴原命题成立. 温馨提示 要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲,如“是”的反面是“不是”，“有”的反面是“没有”，“等”的反面是“不等”，“成立”的反面是“不成立”，“有限”的反面是“无限”，以上这些都是相互否定的字眼，较为易找，应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”（不是“都不是”）；“都有”的反面为“不都有”，即“至少一个没有”（不是“都没有”）；“都不是”的反面为“部分是或全部是”，即“至少有一个是”（不是“都是”）；
高中数学选修1-2知识点总结
知识点总结 选修1-2知识点总结 第一章 统计案例 1．线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧ （最小二乘法） 其中，1 22 1n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx ==⎧ -⎪ ⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x . 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----= n i n i i i n i i i y y x x y y x x r 1 1 2 21 )()() )(( 注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3.条件概率 对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时 A 发生的条件概率. 记为P (A | B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ） P （A ） 4相互独立事件 (1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立． (2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ). (3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立． 5．独立性检验（分类变量关系）： (1)2×2列联表 设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量 121:,;B B B B = 通过观察得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为2×2列联表． (2)独立性检验
【金版学案】高中数学人教版选修1-2练习第二章推理与证明章末复习课含答案.docx
章末复习课 ------------- 提纲挈领复习知识 --------------- I. 进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数.③处理一类 问题的方法.④事物的相似性质等入手进行类比.要尽量从本质上去类比，不要被表面现象 迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误. 3. 进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出 归纳猜想. J. 推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步. 4. 注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能 为真也可能为假.合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要 有依据. ».用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据.书写证明过程时，一定要注意 不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式. b.分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件.分析法是逆推 证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性. -------------- 总结归纳专题突破 ----------------- 专题一合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理, 后面是由特殊到特殊的推理.但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，具有发现功能， 但推理的结论不一定为真，有待进一步证明. GDQ* ■•陕西卷》观察下列等式： 归纳推理 合情推理1」 — 类比推理 特殊到一般 特殊到特殊 演绎推理 — 三段论 — 一般到特殊 _________ —综合法一从已知条件出发 直接证 明一 _____ ____________ —分析法一从结论出发 间接证明 — 反证法 — 从否定结论岀发 结论都 是猜测・ 不一定 正确
高中数学 专题2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题
反证法 1．a ＞0，b ＞0，c ＞0，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个数不大于2 D ．至少有一个数不小于2 答案：D 2．设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，右焦点为F (c,0)，方程ax 2 ＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2上 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．以上三种情形都有可能 解析：∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2. 假设点P (x 1，x 2)不在圆x 2＋y 2＝2内， 则x 2 1＋x 22≥2，但x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋2c a ＝3c 2 4c 2＋2c 2c ＝74＜2，矛盾． ∴假设不成立，∴点P 必在圆x 2＋y 2 ＝2内． 故选C. 答案：C 3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP .用反证法证明时应分：假设________和________两类． 解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP ＝∠CAP 和∠BAP ＞∠CAP . 答案：∠BAP ＝∠CAP ∠BAP ＞∠CAP 4．完成下面的反证法证题的全过程． 已知：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个全排列．
