专题13【补充】巧用简谐运动中的对称性问题

简谐运动与弹簧问题

你需要知道并且熟记在心的几个点：

时间的对称性

加速度的对称性

合外力的对称性

速度对称性

能量对称性

1. 巧用时间的对称性

例1. 如图1所示，一质点在平衡位置O点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点，再经0.1s第2次通过M点。则此后还要经多长时间第3次通过M点，该质点振动的频率为多大？

图1

解析：由于质点从M→A和从A→M的时间是对称的，结合题设条件可知M→A所需时间为0.05s，所以质点从平衡位置O→A的时间为

，又因为，所以质点的振动周期为T＝

0.8s，频率。

根据时间的对称性可知M→O与O→M所需时间相等为0.15s，所以质点第3次通过M点所需时间为

2. 巧用加速度的对称性

例2. 如图2所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度a和重力加速度g 的大小。

图2

解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点B为弹簧为原长时端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置O为平衡位置。点A为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大位移处），点A”为与A对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点A和点A”的加速度的大小相等，设为a，小球在点B的加速度为g，由图点B在点A”和点O之间，所以。

例3. 如图3所示，质量为m的物体放在质量为M的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体m对平台的压力恰好为零，当m运动到最低点时，求m的加速度。

图3

解析：我们容易证明，物体m在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的压力为零，即知道物体m在运动到最高点时的加速度为g，由简谐运动的对称性知道，物体m运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度大小为g，方向竖直向上。

例4. 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块P。当系统上下振动时，欲使P、B 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？

图4

解析：从简谐运动的角度看，木板B和物块P的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即

；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a，即

，由以上两式可解为。当P和B在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P不可能和B分离，因此P和B分离的位置一定在上方最大位移处，且P和

B一起运动的最大加速度。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为

，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式，即得

。

3. 巧用速度的对称性

例5. 如图5所示是一水平弹簧振子在5s内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，以0.5s为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。

图5

解析：由速度的对称性可知，图5中与0.5s具有相同速率的时刻为1.5s、2.5s、3.5s、4.5s。结合动能定理可知，从0.5s到以上时刻所对应的时间内弹力所做的功均为零。

4. 巧用回复力的对称性

例6. 如图6所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。当A 运动到最高点时，木箱对地面的压力为（）

图6

A. Mg

B.

C. D.

解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对A的弹力为，所以A受到向上的合外力（回复力）为mg。当A运动到上方最大位移处时，由于简谐运动的回复力的对称性，A将受到竖直向下的合外力（回复力），其大小仍为mg，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力为Mg。选项A正确。

例7. 如图7所示，质量为m的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是

______________；欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过______________。

图7

分析与解答：物体对弹簧压力最大应是物体振动到最低点时，最小应是物体振动到最高点时。对物体进行受力分析，在最低点受两个力：重力和弹簧弹力，根据题中信息可知这两个力的合力大小为0.5mg，方向向上，充当回复力。根据力大小的对称性可知，物体振动到最高点时，回复力大小也应为0.5mg，方向向下，则物体在最高点所受弹簧的弹力应为0.5mg，方向向上，根据牛顿第三定律物体对弹簧的最小压力为0.5mg；物体脱离弹簧时应是弹簧恢复到自由伸长时，根据弹力F＝可知，在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅A就可恢复到原长，所以欲使物体不离开弹簧，其振幅不能超过2A。

例8. 如图8，用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一竖直向下的力F向下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是（）

图8

A. 7mg

B. 4mg

C. 3mg

D. 2mg

解析：没撤去力F时，物体A静止，所受合力为零，把力F撤去，物体A受合力大小为F，方向向上，开始向上振动，所以最大回复力为F，根据力大小的对称性，A振动到最高点时，回复力大小也为F，对物体A在最高点进行受力分析：重力3mg和弹簧的弹力F”，合力为

F。即；再对物体B进行受力分析，B恰好被提离地面可得：，所以力F的大小为4mg。选项B正确。

5. 巧用能量的对称性

例9. 如图9－1，原长为30cm的轻弹簧竖立于地面，下端固定于地面，质量为m＝0.1kg

的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26cm。如果物体从距地面130cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距地面22cm时（不计空气阻力，取g＝10m/s2）有：

图9-1 图9-2

A. 物体的动能为1J ；

B. 物块的重力势能为1.08J

C. 弹簧的弹性势能为0.08J

D. 物块的动能与重力势能之和为2.16J

解析：由题设条件画出示意图9－2，物体距地面26cm 时的位置O 即为物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体距地面22cm 时A ”位置的动能与距地面30cm 时A 位置的动能相等。因此只需求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律得。物体从A 到A ”的过程中弹性势能的增加为

，所以选项A 、C 正确。

可见，熟练掌握并准确应用简谐运动的对称性，能使解题有理有据，简捷明了，达到事半功倍的效果。

弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移）；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的．

在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理．

一、弹簧振子及解题方法

在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化．

例 1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法

是………………………………………（ ）

A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍

B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于

2T 的整数倍

C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等

D ．若Δt ＝2

T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．

对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．

对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是2

T ，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选

项C 正确．

对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为2

T ，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．

解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．

说明：比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．

B O

D C 图1 A 图2 B

E

F I t C D

G

H O

s

二、利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移、能量变化特征来巧解题

例2 物体A 与滑块B 一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所示，A 、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k ，A 、B 的质量分别m 和M ，则A 、

B （看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移的比

为 ，物体A 的回复力由 提供，其回复力跟位移的比

为 ，若A 、B 之间的静摩擦因数为μ，则A 、B 间无相对滑动的最大振幅为 ．

解析：因水平面光滑，平衡位置在弹簧原长处．

（A ＋B ）作为整体，水平方向只受弹簧弹力，故Kx F -=，由牛顿第二定律得：a m M F )(+=，x m

M k a +-=． 对于A 物体，水平方向只受B 对A 的静摩擦力F f ，故F f 即为A 的回复力．由于A 、B 间无相对滑动，所以任何时候A 与B 的位移x 和加速度a 都相同，故有kx F -=和x m

M mk ma F f +-==，k m M m K +=．当mg F F f f μ=→max 时，m a x

x x →，k g m M x )(max +=μ． 例3 （2004年石家庄市试题）如图所示，一轻弹簧的左端固定在竖直墙上，右端与质量为M 的滑块相连，组成弹簧振子，在光滑的水平面上做简谐运

动．当滑块运动到右侧最大位移处时，在滑块上轻轻放上一木块组

成新振子，继续做简谐运动．新振子的运动过程与原振子的运动过

程相比……………………………………………（ ）

A ．新振子的最大速度比原振子的最大速度小

B ．新振子的最大动能比原振子的最大动能小

C ．新振子的振动周期比原振子的振动周期大

D ．新振子的振幅比原振子的振幅小

解析：滑块振动到最大位移处加放木块，相当于增大滑块质量后从最大位移处由静止释放，振动过程中总能量不变，振动过程中仍能恰好到达该位置，即振幅不变，振子的最大弹性势能不变．由简谐运动中机械能守恒，故振子的最大动能不变，但最大速度变小（因振子质量变大了），可见选项A 对BD 错；又由周期随振子质量增大而增大，故知选项C 正确．

注：若改为“当滑块运动到平衡位置时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子”，那由于碰撞使总机械能减小． 例4 一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定，另一端与质量为m 、 B A M

m

带正电荷、电量为q 的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上，当施加水平向右的匀强电场E 后，（如图所示）小球开始做简谐运动，关于小球的运动有如下说法，正确的是 （填序号）．

①球的速度为零时，弹簧伸长qE /k ；

②球做简谐运动的振幅为qE /k ；

③运动过程中，小球的机械能守恒；

④运动过程中，小球动能改变量、弹性势能改变量、电势能改变量的代数和为零．

解析：由水平面光滑施加水平向右的匀强电场E ，而q 带正电，故平衡位置在原长右边，当qE ＝kx 0（设此时弹簧伸长x 0）时，k Eq x =

0此时球的速度最大，故①错．弹簧原长时速度为0，故振幅＝k

Eq x =0，②正确．由简谐运动的对称性可知，弹簧最大伸长量为2x 0，又由于电场力做功，所以机械能不守恒，③错．由动能定理k k k E E E W ?=-=12，电场弹簧W W W +=，故④正确．

例5 如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后……………（ ）

A ．振子的振幅将增大

B ．振子的振幅将减小

C ．振子的振幅将不变

D ．因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化

解析：未加电场时，振子的平衡位置在弹簧原长处，振子的振幅大小为释放处与弹簧原长处之间的距离．加电场后，振子平衡位置右移，振幅大小等于释放振子处与新的平衡位置间的距离，可见加电场后振子的振幅将增大，即选项A 对．

注：若改为“振动未过程中当弹簧伸长到最长时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场”展开讨论．

三、竖直弹簧振子作简谐运动过程中应用其特征巧妙解题，从而使复杂问题简单化 例6 （2005年海淀区试题）如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B 点．在B 点正上方A 处，有一质量为m 的物块，物块从静止开始自由下落．物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达

A

B

C 点时，物块的速度为零．如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）

A ．物块在

B 点时动能最大

B ．从A 经B 到

C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块的加速度的最大值大于g

C ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块做简谐运动

D ．如果将物块从B 点静止释放，物块仍能到达C 点

解析：物块与弹簧接触后，在弹力等于重力之前仍向下做加速运动，故物块在B 点的速度、动能都未能达到最大，可见选项A 错；若将物块从B 处由静止释放，则此时加速度最大为g ，由振动的对称性知，物块下降到最低点时向上的加速度大小也为g ，今从A 处释放，到达B 时已具有一定的初速度，故所能下降的最低点肯定在由B 释放时所能达到的最低点之下，弹簧向上的弹力大于由B 处释放时的情况，此时的加速度大于g ，即选项B 正确，且也知D 错误；另外，由于物块在A 、B 间运动时受恒定的重力作用，不符合简谐运动的动力学特征kx F -=，故其振动不是简谐运动，可见选项C 错误．答案：B ．

例7 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面高为h ，用力向下拉小球，使小球与地面接触，而后从静止放开小球（弹簧始终在弹性限度以内），则…………………（ ）

A ．球在运动过程中距地面的最大高度为2h

B ．球在上升过程中弹性势能不断减小

C ．球距地面高度为h 时，速度最大

D ．球在运动过程中的最大加速度是kh/m

解析：首先证明其运动为简谐运动，由平衡时mg ＝kx 0（x 0为弹簧伸长量）和下拉h 后弹力)(01h x k F +-=，（取竖直向下为正）回复力mg F F +=1kh mg h x k -=++-=)(0，符合简谐运动条件，振幅为h x h x =-+00，由简谐运动的对称性可知，A 正确．球在上升过程中在弹簧恢复原长之前弹性势能减小，但在弹簧原长时若小球还有向上速度，小球将继续压缩弹簧，故B 只是一种可能，由于一开始为平衡位置，故C 正确，由max ma F =，故D 正确．

例8 如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的m

最小压力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅最大为A 的多少倍？

解析：平衡位置处：mg ＝kx 0（x 0为弹簧压缩量）最低点时弹力F ＝1.5mg ＝kx 1，振幅A ＝x 1－x 0＝k

mg 5.0，由简谐运动的对称性可知，最高点时弹簧压缩量为k

mg k mg k mg A x x 5.05.002=-=-=，物体在最高点时弹簧压缩最小，故对弹簧压力最小，所以最小压力为mg kx F 5.02min ==．

要使物体在振动过程中不离开弹簧，物体到最高点时对弹簧没有压力，即弹簧为原长处，故最大振幅为A k

mg x A 200==-='． 例9 如图所示，三角架质量为M ，沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为m 的小球，原来三角架静止在水平面上．现使小球做上下振动，已知三角架对水平面的

压力最小为零，求：

（1）此时小球的瞬时加速度；

（2）若上、下两弹簧的劲度系数均为k ，则小球做简谐运动的振幅为多

少？

解析：（1）当小球上下振动过程中，三角架对水平面的压力最小为零，则此时上下两根弹簧对三角架的作用力大小为Mg ，方向向上，小球此时受弹簧的弹力大小为Mg ，方向向下，故小球所受合力为)g (M m +，方向向下，小球此时运动到上面最高点即位移大小等于振幅处．根据牛顿第二定律，小球的瞬时加速度的最大值为：m g m M a m )(+=

，加速度方向为竖直向下．

（2）小球由平衡位置上升至最高点时，上面的弹簧（相当于压缩x ）对小球会产生向下的弹力kx ，下面的弹簧（相当于伸长x ）会对小球产生向下的弹力kx ，两根弹簧对小球的作用力为2kx ，故k

Mg x 2=，小时平衡位置处，上面弹簧（相当于伸长x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，下面的弹kx 0簧（相当于压缩x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，2kx 0＝mg ，k

mg x 20=，故振幅k g m M x x A 2)(0+=+=． m M