函数的单调性(定义法)
函数的单调性
知识点：
1.函数单调性定义
(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D?I,x1＞x2 ,若f(x1)?f(x2)＞0则称f(x)在D 内
是单增，若f(x1)?f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.
(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D?I , x1＜x2,则有：①f(x1)?f(x2)
x1?x2
＞0?
f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)?f(x2)
x1?x2
＜0?f(x)是D上的单调递减函数.
(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)
2.复合函数的单调性：
3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+b
cx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +b
x
(ab≠0)
例1.多种方法判断下列函数的单调性：
(1).f(x)=x + 1
x x∈(0,1)(2).y=x?1
x
x∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;
(4).f(x)=
ax
x2?1
，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R
例2.(1).已知f(x)=x
（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的
x?a
在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=?x2+2ax,与g(x)=a
x+1
范围.(3).已知函数f（x）= √3?ax
（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则
a?1
实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x2+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围
(完整版)定义法判断函数的单调性
2.1定义判别法 使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义： 一般的，设函数)(x f 的定义域为I ： 1）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f <.那么就说)(x f 为D 上的增函数； 2）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f >，那么就说D x f 为)(上的减函数。 例1：已知βα、是方程)(01442R k kx x ∈=--的两个不等实根，函数1 2)(2+-=x k x x f 的定义域为[]βα，，判断函数)(x f 在定义域内的单调性，并证明。 证：令144)(2--=kx x x g ，则函数图象为开口向上的抛物线。 设βα≤<≤21x x ，则01440144222121≤--≤--kx x kx x ， ； 将上述两个式子相加得： 02)(4)(4212221≤-+-+x x k x x ， 由均值不等式，可得 2221212x x x x +≤； 02 1)(22121<-+-∴x x k x x ， 则[]) 1)(1(22)()(1212)()(222121211221122212+++-+-=+--+-=-x x x x x x k x x x k x x k x x f x f 又02 12)(22)(21212121>+-+>+-+x x x x k x x x x k ，
所以0)()(12>-x f x f ，故)(x f 在区间[]βα,上是增函数。 例2、求证x x x f -+=2)(在??? ? ?∞-47,上为增函数。 解：取2121212122)()()(4 7x x x x x f x f x x ---+-=-≤<，则， 分子、分母同时乘以2122x x -+-，得 2121212122) 122)(()()(x x x x x x x f x f -+---+--=-， 由2 12,212,02121≥->-<-x x x x ，所以0)()(21<-x f x f ， 函数在??? ? ?∞-47，为单调递增函数。 从上面两个例子可以看出，在应用定义判别法的时候，首先取定定义域中不等两点，对其函数值作差，判断其大小。但是，在做题过程中，不乏对不等式的灵活应用，因此，需熟练掌握一些常用的不等式。 知识链接： 常用的基本不等式 （1）、设R b a ∈、 ，则0)(022≥-≥b a a ，（当且仅当b a a ==,0时取等号）。 （2）、设R b a ∈、，则2 222222,2??? ??+≥+≥+b a b a ab b a （当且仅当b a =时取等号）。 （3）、设R c b a ∈、、，则ca bc ab c b a ++≥++222； ()32222c b a c b a ++≥++ （当且仅当c b a ==时取等号）。 （4）、均值不等式： a 、设)0(∞+∈，、 b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号）。
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则
).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我
高一数学中函数的单调性4种求法
高一数学中函数的单调 性4种求法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结 导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，
则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的'单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法 一、定义法 设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】 证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。 证明：令01111)()1ln()(>+=+-='+-=x x x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的 0)01ln(0)0()(=+-=>?f x f ，所以)1ln(x x +>。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性； ⑵ f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f (x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 三、同增异减法 是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； （2）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数. 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.
判断函数单调性地常用方法
1 江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 判断函数单调性的常用方法 一、定义法 设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】 证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。 证明：令01111)() 1ln()(>+=+- ='+-=x x x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的 0)01ln(0)0()(=+-=>?f x f ，所以)1ln(x x +>。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性； ⑵ f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 三、同增异减法 是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； （2）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数. 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增.
判断增减函数的两种常用方法
判断增、减函数常用的两种方法 有关函数的单调性问题是高考久考不衰的热点，判断函数单调性的基本方法有：①定义法②图像法③复合函数法④导数法等等。而定义法和导数法是做题中最常用的两种方法。今天我们主要来讲这两种方法，我们先来讲定义法。 现在一起来回顾下函数的单调性是怎么定义的。 定义：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个 自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或 都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 根据定义，我们可以归纳出用定义法证明函数单调性的思路为： （1）取值：设21,x x 为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如21x x <； （2）作差：计算)()(2 1x f x f -，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形；
（3）定号：判断)()(2 1x f x f -的符号，若不能确定，则可分区间讨论； （4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。 好，现在根据归纳出的思路来做几道题 例1试讨论函数2 ()=-1x f x x [(-1,1)]x ∈的单调性。 解：设12 -1<<<1x x 则122112122 2221212 (-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)x x x x x x f x f x x x x x . 12-1<<<1,x x Q 1221<1,<1,->0,x x x x ∴221212-1<0,-1<0,<1x x x x ，即12-1<<1x x ， ∴12+1>0x x 21122212(-)(+1)>0(-1)(-1)x x x x x x ∴ . 所以函数为减函数。 这个时候我们在题目上做个小变动，加个a 之后函数的单调性还一样吗我们同样可以用定义来证明。好，自己先动手做做。 例2试讨论函数2 ()=-1ax f x x [(-1,1)]x ∈的单调性. 解：设12 -1<<<1x x
函数的单调性(定义法)
函数的单调性 知识点： 1.函数单调性定义 (1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D?I,x1＞x2 ,若f(x1)?f(x2)＞0则称f(x)在D 内 是单增，若f(x1)?f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减. (2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D?I , x1＜x2,则有：①f(x1)?f(x2) x1?x2 ＞0? f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)?f(x2) x1?x2 ＜0?f(x)是D上的单调递减函数. (注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.) 2.复合函数的单调性： 3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+b cx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +b x (ab≠0)
例1.多种方法判断下列函数的单调性： (1).f(x)=x + 1 x x∈(0,1)(2).y=x?1 x x∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R; (4).f(x)= ax x2?1 ，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R
例2.(1).已知f(x)=x （x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的 x?a 在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=?x2+2ax,与g(x)=a x+1 范围.(3).已知函数f（x）= √3?ax （a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则 a?1 实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x2+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围
函数单调性的判定方法(高中数学).docx
v1.0可编辑可修改 函数单调性的判定方法 学生：日期 ;课时：教师： 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地，设 f 为定义在D上的函数。若对任何x1、x2 D ，当 x1x2时，总有 (1) f ( x1 ) f (x2 ) ，则称 f 为D上的增函数，特别当成立严格不等 f (x1 ) f ( x2 ) 时，称 f 为D上的严格增函数； (2) f (x1) f ( x2 ) ,则称 f 为D上的减函数，特别当成立严格不等式 f ( x1) f (x2 ) 时，称 f 为D上的严格减函数。 利用定义来证明函数y f ( x) 在给定区间 D 上的单调性的一般步骤： （ 1）设元，任取x1,x2 D 且 x1x2； （2）作差f (x1) f (x2)； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （ 4）断号（即判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 差与0的大小）； （ 5）定论（即指出函数 f (x)在给定的区间D上的单调性）。 例 1. 用定义证明 )3 f x x a a R ,) 上是减函数。 (() 在( 证明：设 x1,x2(,) ，且 x1x2，则 f ( x1 ) f (x2 )x13 a ( x23a)x23x13( x2x1 )( x12x22x1 x2 ). 由于 x12x22x1 x2(x1x2)23 x220 ， x2x10 24 则 f (x1 ) f ( x2 )( x2x1 )( x12x22x1 x2 )0 ，即f ( x1) f ( x2 ) ，所以 f (x) 在,上是减函数。
v1.0可编辑可修改 例 2. 用定义证明函数 f ( x)x k 0)在 (0,) 上的单调性。 ( k x 证明：设 x1、 x2 (0,) ，且x1x2，则 f ( x1 ) f (x2 )( x1k ) ( x2k )(x1x2 ) ( k k ) x1x2x1x2 (x1x2 ) k( x 2 x 1 ) ( x1x 2 ) k( x 1 x 2 ) ( x1x2)( x1 x2 k ) ，x1x2x1 x2x1 x2 又 0 x1x2所以 x1x20 ， x1 x20 ， 当 x1、x2(0,k ] 时x1x2k0 f ( x1 ) f (x2 )0 ，此时函数f ( x) 为减函数；当 x1、x2( k ,) 时x1x2k0 f ( x1 ) f ( x2 )0 ，此时函数 f (x) 为增函数。 综上函数 f ( x)x k (k0) 在区间(0,k ] 内为减函数；在区间 (k , ) 内为增函数。x 此题函数 f ( x) 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x1 x2k 与0的大小关系 ( k0) 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1 , x2当 x1x2时，容易得出 f ( x1 ) 与f( x2 ) 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比 较清晰，但通常过程比较繁琐。 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性 结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表： 函数函数表达式单调区间特殊函数图像 一当 k0 时，y在R上是增函数； 次 函y kx b(k0) 0 时，y在R上是减函数。 数当 k
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是 减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则 33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于04 3)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122 211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。
判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1 例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明解：任取x1、x2∈(-∞，+∞)，x1 函数单调性的判断或证明方法. （1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。 例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明． 解：设－1 所以 所以 设 则， 因为， 所以， 所以 所以 同理，可得 （2）运算性质法. ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减） ②若. ③当函数. ④函数二者有相反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例3.求函数的单调区间。 解： 在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为. （4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数 的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.） 设，，都是单调函数，则在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 例4.求函数的单调区间 解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的； 2.1 定义判别法 使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义： 一般的，设函数 f (x ) 的定义域为 I ： 1） 、如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x 1 , x 2 ，当 x 1 < x 2 时 都有 f (x 1 ) < f (x 2 ) .那么就说 f (x ) 为 D 上的增函数； 2） 、如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x 1 , x 2 ，当 x 1 < x 2 时 都有 f (x 1 ) > f (x 2 ) ，那么就说 f (x )为D 上的减函数。 例 1： 已知 、是方程 4x 2 - 4kx - 1 = 0(k ∈ R ) 的两个不等实根， 函数 f (x ) = 2x - k 的定义域为[，]，判断函数 f (x ) 在定义域内的单调性，并证明。x 2 + 1 证：令 g (x ) = 4x 2 - 4kx - 1，则函数图象为开口向上的抛物线。 设≤ x < x ≤ ，则4x 2 - 4kx - 1 ≤ 0，4x 2 - 4kx - 1 ≤ 0 ； 1 2 1 1 2 2 将上述两个式子相加得： 4(x 2 + x 2 ) - 4k (x + x ) - 2 ≤ 0 ， 1 2 1 2 由均值不等式，可得 2x x ≤ x 2 + x 2 ； 1 2 1 2 ∴ 2x 1 x 2 - k (x 1 + x 2 ) - 1 < 0 ， 2 则 f (x 2 ) - f (x 1 ) = 2x 2 - k x 2 + 1 - 2x 1 - k x 2 + 1 = (x 2 - x 1 )[k (x 1 + x 2 ) - 2x 1 x 2 + 2] (x 2 + 1)(x 2 + 1) 又k (x 1 + x 2 ) - 2x 1 x 2 2 + 2 > k (x 1 1 + x 2 ) - 2x 1 x 2 1 2 + 1 > 0 ， 2 函数单调性的判定方法 摘要：单调性是函数的一个重要性质，其在数学、经济学等诸多学科中均有广泛的应用。本文介绍了判断函数单调性的若干方法及一些结论，首先对于具体函数，由函数单调性的定义出发，依次给出了定义法、函数性质法、图像法、复合函数单调性判断法、导数法；其次对于没有给出具体函数表达式的抽象函数，给出了定义法和列表法，并且对于每种方法本文都给出了应用该方法的例子。对于同一个函数判定其单调性的方法可以有多种，而每种方法都有优缺点，在解题中应灵活选择方法，方可使解题过程更加简单。 关键词：复合函数抽象函数函数单调性导数 Several methods of judging functional monotonicity Abstract:Monotonicity is an important property of the function, and its in mathematics,economics, and so in many disciplines are widely used. This article describes a number of monotone functions to determine methods and some conclusions.For the specific function, by functional monotonicity definition ,it gives gives the definition method, function, properties, image method, the method of composite functional monotonicity judgment method, derivative method in turn .Did not give a specific function for the expression of abstract function, given the definition of law, and a list of law.Solving the flexibility to choose the appropriate method of problem solving can be more simple and convenient. Keywords:Composite function Abstraction function Monotonicity Derivative. 函数的单调性是函数的重要性质，反应了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在比较大小、解决函数图像、值域、最值以及在经济等诸多领域中均有广泛的应用，如：证券市场分析、财务管理等。在高中数学中我们已经学习和掌握了函数单调性的有关知识以及判断函数单调性的方法。学习函数单调性不仅仅是为了判断、证明函数单调性，更多是运用函数单调性解决相关的数学问题。 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 一、判断函数单调性的方法 1、定义法：利用定义严格判断 2、利用函数的运算性质：如若f(x)、g(x)为增函数，则（1）f(x)+g(x)为增函数； （2） 1 f(x)为减函数（f(x)≠0）； （3）f(x) 为增函数（f(x)≥0）； （4）f(x)·g(x)为增函数（f(x)>0,g(x)>0）; （5）- f(x)为减函数。 3、利用复合函数关系判断单调性。 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数。 4、图象法 5、导数法 （1）若f(x)在某个区间内可导，当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数； （2）若f(x)在某个区间内可导，当f(x)该区间上递增时，则f′(x)≥0；当f(x)该区间上递减时，f′(x)≤0。 二、对函数单调性的理解 1、单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性； 2、函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的 定义域。 3、函数的单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1 知识点: 1.函数单调性定义 (1).定义法,对任意的 x 1,x 2 €D,D? I,x 1 >x 2 ,若f(x 1) - f(x 2) >0 则称f(x)在 D 内是 单增，若f(x 1) - f(x 2) V 0则称f(x)在D 内是单减. >0 ? f(x)是D 上的单调递增函数；②f(x1)-f(x 2) V 0 ? f(x)是D 上的单调递减函数 X 1-X 2 (注意：函数的单调性的局部性 (注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义 域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单 调。求单调区间时，必须先求出函数的定义域； 单调区间只能用区间表示， 若有多个单调区, 应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、 复合函数、抽象函数、分段函数等情况.) 3.几种常见函数的单调性：f(x) = ax+^ (abcd 工0, bc 工ad); f(x) = ax + -(ab 工0) cx+d ' x 精品文档 函数的单调性 (2).对定义在 D 上的函数f(x) 设x 1 ,x 2 € D, I , x 1 V x 2 ,则有：① f(X 1)-f(X 2) X 1-X 2 例1.多种方法判断下列函数的单调性: (1).f(x)= 1 1 =x + - x €(0,1) (2) .y = x - - x €( 0, + ; (3) . y = x3 x € R; x x ⑷ f(x)= ax , x €( -1,1 ) ( a 工0) (5).f(x) = x + V1+ x2, x €R x2-1 (一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习： (二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1函数单调性判断或证明方法
定义法判断函数的单调性(可编辑修改word版)
函数单调性的判定方法
判断函数单调性的方法
函数的单调性(定义法)
函数单调性方法和各种题型