新课标立体几何常考平行证明题汇总

新课标立体几何常考平行证明题汇总

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。

3、如图，在体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE ，1A C 在平面BDE 外

∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定

5、已知体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设

11111

A C

B D O ?=，连结1AO

∵ 1111ABCD A B C D -是体 11A ACC ∴是平行四边形

∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形

111,C O AO AO ∴?

∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D

（2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又

1111

A C

B D ⊥∵， 1111B D A

C C ∴⊥面 1

11AC B D ⊥即 同理可证

11

A C AD ⊥， 又

1111

D B AD D ?=

∴1A C ⊥面11AB D

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

7、体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ?平面B 1D 1C ，B 1D 1?平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面

EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

10、如图，在体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .

证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ?平面BDG ，BD ?平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G

EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB

又1D E ?平面BDG ，GB ?平面BDG ∴1D E ∥平面BDG

1EF D E E

?=，∴平面1D EF ∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 证明：（1）设AC BD O ?=，

∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO

又1

AC ?平面BDE ，EO ?平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，1AA BD ⊥

A A

B 1

C 1 C

D 1

D

G E

F

D A 1

A F 又BD AC ⊥，1AC AA A

?=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ?平面BDE ，∴平面BDE ⊥

平面1A AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；

分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形

2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.

（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；

分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：

（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.

分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA

（第1题图）

4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;

分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：

AM ∥平面EFG 。

分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是形，O 是形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；

分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是

△B 1AC 的中位线

A

B

C

D

E

F G M

P

E

D

C

B

A （.3） 利用平行四边形的性质

9．体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;

分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2

1

DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；

分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

（I ）证法一：

因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=?， 所以90,EGF ABC ∠=??∽.EFG ? 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ， 连接AF ，由于FG//BC ，BC FG 2

1

=

在ABCD Y 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且BC AM 2

1

=

因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。

又FA ?平面ABFE ，GM ?平面ABFE ，所以GM//平面AB 。 (4)利用对应线段成比例

12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =ND

BN

， 求证：MN ∥平面SDC

分析：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形

13、如图形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证：MN ∥平面BEC

分析：过M 作MG//AB ，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形

(5)利用面面平行

14、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=o

，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；

分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面CMN//EFB

A F

E

B

C

D

M

N

D

C

A

B

B 1

A 1

C 1

10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：

//1C B 平面BD A 1.

.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，

ΘD 为AC 中点，∴PD//C B 1.

又ΘPD ?平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D

11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .

11.证明：（1）Θ M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD 又ΘBB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1 （2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点

Θ四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点

E 是AA 1的中点，∴EO 是?AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.

AC 1?面EB 1D 1 ，EO ?面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH

Θ AH ?HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1?面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1

（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH

因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又ΘBB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.

ΘBD ?DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDG

4、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；

（2）平面BEF ⊥平面PAD

1．运用中点作平行线

例1．已知四棱锥P ABCD -的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD ．

2．运用比例作平行线

例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等形，且ＡＭ=ＦＮ，其中M AC ∈，N BF ∈，求证：ＭＮ∥平面BCE

3. 运用传递性作平行线

例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行

(16)

第题图A C

N P D M

B G

图1 M F N

C E

D B

H m

l γ

σn k

４.运用特殊位置作平行线

例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？

2. （2012?）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．

（Ⅰ）求证：BE=DE；

（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC

．

3. ．（2012?）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点

M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．

4. （2011?上城区）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，

且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．

（1）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；

A B

C

E

F

N

M

B1

A１

C1

图5