晶体X射线衍射
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晶体结构与X射线衍射
提出晶胞学说 有理指数定律 大块晶体由晶 胞密堆砌而成 晶面指数都是 简单整数。
晶体对称定律 晶带定律 晶体只存在 1、2、3、4、6 五种旋转对称轴 晶体上任一晶面 至少同时属于 两个晶带。
创立了晶面符号 用以表示晶面 空间方向
推倒描述 晶体外形对称性 的32种点群
空间格子学说 晶体结构中的 平移重复规律 只有14种
GCFe
26.36
3.377
GCFeB
26.44
3.370
GCFeS
26.48
3.365
d＝ /(2sin) ＝90度时，能获得的d最小，等于波长的一半 0度时，d为无穷大 因此，理论上能检测到的面网间距范围为：/2
实际应用时，接近于0度的位置有入射光直射的干扰，因此总有一个衍射盲区，一般的衍射分析仪器，盲区为0－3度 因此，所检测的面网间距范围约为：0.8~30Å （Cu靶） 小角衍射仪，只分析0.5-5度范围的衍射 分析范围为：10~几百Å。
德国布鲁克
中科院化学所、清华、石油勘探研究院等
日本理学
荷兰帕纳科 德国布鲁克 日本理学 PIXCEL是最新、最独特的技术，是帕纳科独有的、XRD领域第一次推出的检测技术，是唯一提供了0D、1D、2D、3D四种模式的检测器，拥有最小的像素、最高的动态范围，使衍射能够非破坏性的查看固体物质的内部结构，高准确度定量检测如孔隙率等性能参数
衍射的强度
用于确定晶胞中的原子种类及其排列
劳埃方程 布拉格方程
确定了衍射的方向与晶体结构基本周期的关系
确定晶体的几何性质（对称类型和晶胞参数）
Sample
2Theta (002)
d002 (Å)
CFe
26.36
3.377
晶体对称定律 晶带定律 晶体只存在 1、2、3、4、6 五种旋转对称轴 晶体上任一晶面 至少同时属于 两个晶带。
创立了晶面符号 用以表示晶面 空间方向
推倒描述 晶体外形对称性 的32种点群
空间格子学说 晶体结构中的 平移重复规律 只有14种
GCFe
26.36
3.377
GCFeB
26.44
3.370
GCFeS
26.48
3.365
d＝ /(2sin) ＝90度时，能获得的d最小，等于波长的一半 0度时，d为无穷大 因此，理论上能检测到的面网间距范围为：/2
实际应用时，接近于0度的位置有入射光直射的干扰，因此总有一个衍射盲区，一般的衍射分析仪器，盲区为0－3度 因此，所检测的面网间距范围约为：0.8~30Å （Cu靶） 小角衍射仪，只分析0.5-5度范围的衍射 分析范围为：10~几百Å。
德国布鲁克
中科院化学所、清华、石油勘探研究院等
日本理学
荷兰帕纳科 德国布鲁克 日本理学 PIXCEL是最新、最独特的技术，是帕纳科独有的、XRD领域第一次推出的检测技术，是唯一提供了0D、1D、2D、3D四种模式的检测器，拥有最小的像素、最高的动态范围，使衍射能够非破坏性的查看固体物质的内部结构，高准确度定量检测如孔隙率等性能参数
衍射的强度
用于确定晶胞中的原子种类及其排列
劳埃方程 布拉格方程
确定了衍射的方向与晶体结构基本周期的关系
确定晶体的几何性质（对称类型和晶胞参数）
Sample
2Theta (002)
d002 (Å)
CFe
26.36
3.377
晶体的X射线衍射
由此可知，劳埃方程是反映衍射方向客观规律的
方程，它定量的联系了晶胞参数a、b、c和以h、k、l
表征的衍射方向。
由上所述可知，空间点阵的衍射方向应是分别以
三个互不平行的直线点阵为轴的三组圆锥面的共交
图 1.3-4
线，如图1.3-4。但三个圆锥面并不一定保证能同时相交，这可从分析劳埃方程有无确定
解来理解。
a(S - S0) = hλ
b(S - S0) = kλ c(S - S0) = lλ
式（1.3-2）
式中 h、k、l = 0，±1， ±2，…
这样劳埃方程可以用式（1.3-1）的三角函数形式或式(1.3-2)的向量形式来表达。式
中h、k、l为一组整数，称为衍射指标，分别表示在三个晶轴方向上波程差所含的波数。
在许多晶体X射线衍射的实验中，需使用波长一定的单色X光，可使用滤波片或单 色器将其余波长的X射线滤掉。
许多时候需要对X射线进行探测，探测X射线的工具主要有荧光屏、照相底片和计 数器等。 2. 晶体对X射线的衍射
由于X射线的波长很短，穿透物质的能力很强，大部分射线将穿透晶体，极少量射 线发生反射，其余部分则为吸收散射作用。可将X射线与晶体的作用归纳如下：
系与可见光反射定理很类似，但我们必须注意到衍射与反射的本质上的区别：不是随便
什么晶面或平面点阵都可对衍射产生“反射”关系，只有指标为h*k*l*的平面点阵或晶面
衍射hkl（nh*nk*nl*）才能产生“反射”；在反射定理中对入射角没有任何限制，而在衍
射中入射角需受到即将推引出来的布拉格方程的制约。
再考虑相邻点阵面间相互干涉的关系。由于指
所以有：I=I0exp[-(μ/ρ)ρt]=I0exp[-μρ ρt]。
晶体X射线衍射
e 4 I 0 1 cos2 2 1．电子散射X射线的强度 I e 2 2 2 Rm c 2
2．原子散射X射线的强度
I
, a
Ie Z
2
2
原子实际散射X射线的强度Ia 一般都比I’a小。可令
Ia Ie f
f被称为原子的散射因子,它对于某个给定的原子来说,并不是一个
常数,而是一个与散射方向和X射线的波长有关的函数。
X
X射线的发生
1. 高速电子流冲
击金属阳极,原子
n=3(M)
内层低能级电子
被击出; 2. 高能级电子跃 迁到低能级补充 空位, 多余能量以 n=2(L)
Kα1
Kα2
Kβ1
n=1(K)
X光放出.
X射线与晶体的作用
X晶体：
1. 大部分透过
2. 非散射能量转换:
热能
光电效应 3. 散射: 不相干散射 相干散射
在面心结构中，每个晶胞中含有四个原子，其分数坐标为: (0， 0，0)，(0,1/2,1/2),(1/2,0,1/2)和(1/2,1/2,0),将其坐标代入公式得：
1 1 Fhkl [ f cos 2 (0 h 0 k 0 l ) f cos 2 (0 h k l ) 2 2 1 1 1 1 f cos 2 ( h 0 k l ) f cos 2 ( h k 0 l )]2 2 2 2 2 1 1 [ f sin2 (0 h 0 k 0 l ) f sin2 (0 h k l ) 2 2 1 1 1 1 f sin2 ( h 0 k l ) f sin2 ( h k 0 l )]2 2 2 2 2 f 2 [1 cos(h k ) cos(h l ) cos(l k ) ]2
晶体X射线衍射
12
1．电子散射X射线的强度 2．原子散射X射线的强度
Ie
e4I0 R2m2c2
1 cos 2 2
2
I
, a
Ie
Z2
原子实际散射X射线的强度Ia 一般都比I’a小。可令
Ia Ie f 2
f被称为原子的散射因子,它对于某个给定的原子来说,并不是一个
常数,而是一个与散射方向和X射线的波长有关的函数。
§5.3 X射线衍射法
X射线衍射使我们了解了蛋白质晶体结构 1
一、 X射线的产生及晶体对X射线的相干散射
X 射线的波长 0.01—100 nm 用于测定晶体结构的X—ray 的波长： 0.05—0.25 nm 用X 光管在高压下加速电子，冲击Mo靶或Cu 靶产生X 射线，用金属滤片或单色器——单
色化。（ Mo 或Cu ）
这就是说在立方体心结构的晶体中，只有(h+k+l)是偶数如110，
200，112，220等的衍射才可能产生，而(h+k+l)为奇数时，如100，
111，120等均无衍射，这就是体心的消光规律。
15
证明面心点阵的消光条件是h，k，l奇偶混杂。
在面心结构中，每个晶胞中含有四个原子，其分数坐标为: (0， 0，0)，(0,1/2,1/2),(1/2,0,1/2)和(1/2,1/2,0),将其坐标代入公式得：
Fhkl
2
[f
cos 2 (0 h 0 k 0 l)
f
cos 2 ( 1 h
2
1 k 2
1 l)]2 2
[ f sin2 (0 h 0 k 0 l) f sin2 ( 1 h 1 k 1 l)]2
222
f 2[1 cos(h k l) ]2
1．电子散射X射线的强度 2．原子散射X射线的强度
Ie
e4I0 R2m2c2
1 cos 2 2
2
I
, a
Ie
Z2
原子实际散射X射线的强度Ia 一般都比I’a小。可令
Ia Ie f 2
f被称为原子的散射因子,它对于某个给定的原子来说,并不是一个
常数,而是一个与散射方向和X射线的波长有关的函数。
§5.3 X射线衍射法
X射线衍射使我们了解了蛋白质晶体结构 1
一、 X射线的产生及晶体对X射线的相干散射
X 射线的波长 0.01—100 nm 用于测定晶体结构的X—ray 的波长： 0.05—0.25 nm 用X 光管在高压下加速电子，冲击Mo靶或Cu 靶产生X 射线，用金属滤片或单色器——单
色化。（ Mo 或Cu ）
这就是说在立方体心结构的晶体中，只有(h+k+l)是偶数如110，
200，112，220等的衍射才可能产生，而(h+k+l)为奇数时，如100，
111，120等均无衍射，这就是体心的消光规律。
15
证明面心点阵的消光条件是h，k，l奇偶混杂。
在面心结构中，每个晶胞中含有四个原子，其分数坐标为: (0， 0，0)，(0,1/2,1/2),(1/2,0,1/2)和(1/2,1/2,0),将其坐标代入公式得：
Fhkl
2
[f
cos 2 (0 h 0 k 0 l)
f
cos 2 ( 1 h
2
1 k 2
1 l)]2 2
[ f sin2 (0 h 0 k 0 l) f sin2 ( 1 h 1 k 1 l)]2
222
f 2[1 cos(h k l) ]2
材料设计—10-晶体X射线衍射
2.由劳厄方程到布拉格公式
由劳厄方程和弹性散射：
得到：
消去k’，得到：
假设k和k’之间夹角为2θ
α
得到：
所以
三. 原子散射因子和几何结构因子
原子散射因子和几何结构因子
X射线衍射强度决定于电子密度函数的福利叶变换系数:
下面我们首先考虑最简单情况，每个正点阵的结点上只有一 个电子，求出其傅里叶变换系数：
对其做傅里叶展开：
其中展开系数为：
把电子密度的傅里叶级数代入，那么散射振幅可以写成：
当晶体足够大时候可以证明：
所以：
这就是劳厄定理：一组倒易点阵矢量Kh确定可能的X射线反 射，衍射强度正比于电子分布函数的傅里叶分量：
当入射光束是单色和一定方向的平行光，仅仅当波矢满足 时才可以观测到衍射束：
入射波矢与出射波矢之差为S，称为衍射矢量。上述方程称 为劳厄方程。
除了X射线，还有很多类似的衍射技术。比如 电子衍射，将电子束直接打到晶体上而得到。 电子与晶格的作用，不但包含电子束与晶体中 电子的相互作用，而且还会受到原子核的散射 。由于散射很大，电子波的穿透能力较弱。
除此以外，还有中子衍射。中子质量更大，其 波长更短。 中子主要受到原子核的散射，即使是较轻的原 子也有很强的散射，通常可以用来确定氢、碳 等原子的位置。
下面我们考虑更一般的情况，即复式晶格，元胞中包含不止 一个原子，此时电子密度需要对元胞内原子数求和
其傅里叶变化系数:
令
得到：
其中的F就是几何结构因子（对元胞内所有原子的散射因子求 和，但需要考虑相位因子）:
由此得到散射振幅和强度为：
实际中几何结构因子可以写成：
消光条件
从公式可以看到：
即使在满足劳厄条件的时候，加入其几何结构因子为0，其 振幅仍然可能为0。 这种几何结构因子导致的使空间点阵本来允许的某些反射 抵消，称为衍射消光。
晶体X射线衍射学衍射原理
则是一定厚度内许多间距相同晶面共同作用的结果。
26
反射级数
n为反射级数。
● 当晶面间距（d值）足够大，以致2dsinθ有可能为波长的两倍或者三
倍，甚至以上倍数时，会产生二级或多级反射。所以，对于一个固定 波长的入射线，能不能发生二级或多级反射，依赖晶面间距是否足够 大。
这样，把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间 距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。如果（hkl）的晶面间距是d， n(hkl)晶面间距是d/n。因此，反射级数是针对实际晶面（hkl） 而 言，对于虚拟晶面，例如n(hkl)，只有一级反射。
共交线。另外，α，β，γ不是完全彼此独立，这三个
参数之间还存在着一个函数关系：
F(α，β，γ)＝0 例如当α，β，γ相互垂直时，则有
α，β，γ共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方
程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。
19
为了获得衍射图必须增加一个变量
● 可采用两种办法：
1 一种办法是晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 固定），只 让X射线波长改变（λ改变）； 即：变λ，晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 不变）
干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射 线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。将衍 射看成反射，是布拉格方程的基础。 ●但是，衍射是本质，反射仅是为了使用方便。X射线的原 子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角 度投射到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反
射并不是任意的，只有当θ 、λ、d三者之间满足布拉格
22
● 根据图示，光程差：
● 干涉加强的条件是：
式中：d晶面间距，n为整
26
反射级数
n为反射级数。
● 当晶面间距（d值）足够大，以致2dsinθ有可能为波长的两倍或者三
倍，甚至以上倍数时，会产生二级或多级反射。所以，对于一个固定 波长的入射线，能不能发生二级或多级反射，依赖晶面间距是否足够 大。
这样，把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间 距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。如果（hkl）的晶面间距是d， n(hkl)晶面间距是d/n。因此，反射级数是针对实际晶面（hkl） 而 言，对于虚拟晶面，例如n(hkl)，只有一级反射。
共交线。另外，α，β，γ不是完全彼此独立，这三个
参数之间还存在着一个函数关系：
F(α，β，γ)＝0 例如当α，β，γ相互垂直时，则有
α，β，γ共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方
程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。
19
为了获得衍射图必须增加一个变量
● 可采用两种办法：
1 一种办法是晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 固定），只 让X射线波长改变（λ改变）； 即：变λ，晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 不变）
干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射 线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。将衍 射看成反射，是布拉格方程的基础。 ●但是，衍射是本质，反射仅是为了使用方便。X射线的原 子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角 度投射到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反
射并不是任意的，只有当θ 、λ、d三者之间满足布拉格
22
● 根据图示，光程差：
● 干涉加强的条件是：
式中：d晶面间距，n为整
固体物理学-晶体X射线衍射的实验方法
b、c，现在沿该晶体的［100］方向入射X射线。确定在哪些方向上出
现衍射极大？并指出在什么样的波长下，能观察到这些衍射极大。
解：
简单正交格子正格基矢：
՜ ՜ ՜
, ,
表示沿三个坐标轴方向的单
位矢量。
Solid State Physics
简单正交格子正格基矢：
其倒格基矢：
倒格矢：
据题意，入射的X射线的波矢
实的抽象，有严格的物理意义。
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没有特
定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。
(3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。但由
于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描述了X
射线在晶体中的衍射，故成为有力手段。
(4) 如需具体数学计算，仍要使用布拉格方程。
❖该 球 称 为 反 射 球
（Ewald 球）
Solid State Physics
➢ 入射、衍射波矢的起点
永远处于C点，末端永
远在球面上
S/
➢ 随2的变化，衍射波矢
C
可扫过全部球面。nKh
的起点永远是原点，终
nKh
点永远在球面上
2
nKh
2
2
0
nKh
O
Solid State Physics
4. 反射球球心C与倒易点的连线
即为衍射方向。
hklLeabharlann 2sC
0
O
Solid State Physics
如果没有倒易点落在球面上，则无衍射发生。
为使衍射发生，可采用两种方法。
hkl
2
现衍射极大？并指出在什么样的波长下，能观察到这些衍射极大。
解：
简单正交格子正格基矢：
՜ ՜ ՜
, ,
表示沿三个坐标轴方向的单
位矢量。
Solid State Physics
简单正交格子正格基矢：
其倒格基矢：
倒格矢：
据题意，入射的X射线的波矢
实的抽象，有严格的物理意义。
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没有特
定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。
(3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。但由
于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描述了X
射线在晶体中的衍射，故成为有力手段。
(4) 如需具体数学计算，仍要使用布拉格方程。
❖该 球 称 为 反 射 球
（Ewald 球）
Solid State Physics
➢ 入射、衍射波矢的起点
永远处于C点，末端永
远在球面上
S/
➢ 随2的变化，衍射波矢
C
可扫过全部球面。nKh
的起点永远是原点，终
nKh
点永远在球面上
2
nKh
2
2
0
nKh
O
Solid State Physics
4. 反射球球心C与倒易点的连线
即为衍射方向。
hklLeabharlann 2sC
0
O
Solid State Physics
如果没有倒易点落在球面上，则无衍射发生。
为使衍射发生，可采用两种方法。
hkl
2
多晶体X射线衍射分析方法
多晶体X射线衍射分析方法多晶体X射线衍射（XRD）是一种常用的结晶体学方法，用于分析和确定材料的晶体结构。
多晶体XRD方法利用物质对入射X射线的衍射现象，通过测量和分析得到的衍射图样，可以确定物质的晶体结构、晶格常数、晶胞参数、晶体取向等信息。
以下将介绍多晶体X射线衍射分析方法的原理、仪器设备以及实验步骤。
多晶体XRD的原理是基于入射X射线经过物质后发生衍射现象，产生衍射角和衍射强度的变化。
根据布拉格方程，衍射角和晶格常数之间有关系：nλ = 2dsinθ，其中n为衍射阶次，λ为入射X射线波长，d为晶面间距，θ为衍射角。
根据不同晶体平面的衍射，可以确定晶体结构和晶格参数。
多晶体XRD的仪器设备主要包括X射线源、样品支架、衍射仪、探测器等。
X射线源一般使用X射线管，产生入射X射线。
样品支架用于固定并调整样品的位置和角度。
衍射仪将入射X射线从样品上衍射出来，形成衍射图样。
探测器用于测量衍射图样中的强度信号。
多晶体XRD的实验步骤如下：1.准备样品：将待分析的多晶体样品制备成适当的尺寸和形状，如片状、粉末状等。
2.调整仪器：根据实验要求，选择合适的入射X射线波长和衍射装置。
调整X射线源和探测器的位置、角度和灵敏度。
3.定位样品：将样品固定在样品支架上，并调整角度和位置，使得入射X射线与样品表面垂直，并将样品调至最佳衍射位置。
4.开始测量：启动衍射仪，开始测量。
测量范围可以根据需要选择，一般为2θ角在10°至80°之间。
可以进行连续测量或定点测量，根据要求选择合适的参数。
5.数据处理：将测量得到的衍射图样进行数据处理。
去除背景噪声、进行适当的平滑处理，并进行峰的拟合和分析。
6.结果分析：根据峰的位置、形状和强度，确定晶体结构和晶格参数。
可以通过比对实验结果和已知标准模式的数据库，进行匹配和识别。
7.结果验证：对初步得到的结果进行验证和确认。
可以使用其他手段对样品进行进一步分析，如电子显微镜、能谱分析等。
x射线在晶体中的衍射
x射线在晶体中的衍射
晶体是由许多原子或分子按照一定规则排列形成的物质，它们的排列方式可以决定晶体的性质和结构。
为了研究晶体的结构，科学家们需要开发出一种能够观察晶体内部结构的方法。
20世纪初，德国物理学家鲁特福德发现了X射线，并发现它们可以穿透物质并在另一侧形成图像。
后来，英国物理学家劳厄提出了一种利用X射线研究晶体结构的方法——X射线衍射。
X射线衍射的原理是：X射线穿过晶体时，会被晶体内的原子或分子散射，形成一种特殊的衍射图案。
这个图案可以被记录下来，并通过计算机处理得到晶体的结构信息。
X射线衍射的应用十分广泛。
它不仅可以用于研究晶体结构，还可以用于研究生物分子的结构、材料的晶体结构等。
在药物研发、材料研究等领域，X射线衍射已经成为不可或缺的工具。
然而，X射线衍射也存在一些问题，比如需要高能量的X射线才能穿透物质，可能会产生辐射危害等。
因此，科学家们正在努力开发出更加安全、高效的衍射技术，以满足人类对于材料、生物等领域的研究需求。
- 1 -。
晶体对X射线的衍射
存在的hkl衍射
原始格子P 全部
无衍射效应的hkl
无
体心格子I
面心格子F
h+k+l=偶数
h,k,l全奇或全偶
h+k+l=奇数
h,k,l奇、偶混杂
把这种无衍射效应的面网符合存在的规律称 为系统消光规律。根据实际晶体衍射中存在的 这种规律性，可以判断其空间格子类型。实际 上，除了格子类型外，滑移面、螺旋轴等，也 都具有一定的消光规律。在专门的结构分析书 中有详细介绍。
2 劳埃方程式(Laue)
一个行列对X射线的衍射：
行列结点间距=a
入射X射线从So方向照射至该行列，与行列夹角α0。
每个被照射的原子作为二次X射线源，发出二次射线。 二次射线与入射线：波长相等、位相连续。
现在考察二次射线沿S1方向的光波合成情况。 S1方向与行列的夹角为αh。
沿S1方向相邻原子产生的X射线的光程差为： = AD – CB = AB cosαh－AB cosα0 = a0（ cosαh－ cosα0） = h h= 0,1, 2……
4 两种方程式的统一
对劳埃方程式变形后： （cosαh－ cosα0）= h/ a （cosβk－ cosβ0）= k/ b （cos l－ cos 0）= l/ c 左边的平方和经数学变换后为 4sin2 右边的平方和为 (h2/a2+k2/b2+ l2/c2) 2= 2/dhkl2 因此有 形式 ＝2dhklsin 此为布拉格方程式的标准
以上四个方程式统称为劳埃方程式。式中： a0,b0,c0 ：晶胞轴长； α 0,β 0,0：入射线夹角； α h,β k,l：衍射线夹角； 为X射线的波长。 h,k,l：整数,（衍射指数,等同于面网符号)
第二章：晶体的X射线衍射
例2：二维四方格子，其基矢为： a1 ai a2 2aj
此时可假设一个垂直于平面的单位矢量 a3 k
再计算：
b1
b2
二、正、倒格子之间的关系
1 、正格子基矢和倒格子基矢的关系： =2 (i=j)
ai· bj=2i j =0 (ij)
证明如下： a1· b1=2 a1 · ( a2a3) / a1 · ( a2a3) = 2 因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有： a2· b1=0 a3· b1=0
在 q 空间中， j q 是以倒 格矢 K h 为周期的周期函数，仍 可将波矢 q 限制在简约区或第 一布里渊区中
Kh
q
0
q
Kh
将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界 面上周期对应的两点间应满足关系：
Kh
q q K h q
q
0
q
Kh
q Kh q
2q K h K h
与X射线及晶体衍射有关的部分诺贝尔奖获得者名单
§2-2 倒格子和布里渊区
• 为了以后计算上的方便，我们引入一个新的概念:倒格子。 • 引入设想：如果晶格的基矢未知，只有一些周期性分布的点，
这些点与晶格中的每族晶面对应，通过对应关系求出未知晶 格的基矢，那么这些点组成的格子就是倒格子。
• 倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处理方法，它在分
2 k= s
k0 =
2
s0
则, Rm· (k-k0) =2 劳厄方程（倒空间） k-k0=nKh (n为整数,是衍射级数) 夫琅和费衍射
Kh
由晶面方程：
x
当x
矢 k 时，得到布里渊区界面方程
此时可假设一个垂直于平面的单位矢量 a3 k
再计算：
b1
b2
二、正、倒格子之间的关系
1 、正格子基矢和倒格子基矢的关系： =2 (i=j)
ai· bj=2i j =0 (ij)
证明如下： a1· b1=2 a1 · ( a2a3) / a1 · ( a2a3) = 2 因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有： a2· b1=0 a3· b1=0
在 q 空间中， j q 是以倒 格矢 K h 为周期的周期函数，仍 可将波矢 q 限制在简约区或第 一布里渊区中
Kh
q
0
q
Kh
将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界 面上周期对应的两点间应满足关系：
Kh
q q K h q
q
0
q
Kh
q Kh q
2q K h K h
与X射线及晶体衍射有关的部分诺贝尔奖获得者名单
§2-2 倒格子和布里渊区
• 为了以后计算上的方便，我们引入一个新的概念:倒格子。 • 引入设想：如果晶格的基矢未知，只有一些周期性分布的点，
这些点与晶格中的每族晶面对应，通过对应关系求出未知晶 格的基矢，那么这些点组成的格子就是倒格子。
• 倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处理方法，它在分
2 k= s
k0 =
2
s0
则, Rm· (k-k0) =2 劳厄方程（倒空间） k-k0=nKh (n为整数,是衍射级数) 夫琅和费衍射
Kh
由晶面方程：
x
当x
矢 k 时，得到布里渊区界面方程
X射线的晶体衍射
d
θ
A θ E B
d
4
X射线经两晶面反射 射线经两晶面反射 射线经 两束光的光程差为： 后，两束光的光程差为：
δ = AE + EB = 2d sin θ
布拉格公式
θ
A θ E B
d
时各层面上的反射光相干加强， 即当 2d ⋅sin ϕ = kλ 时各层面上的反射光相干加强，形成 亮点， 级干涉主极大。该式称为布喇格公式。 亮点，称为 k 级干涉主极大。该式称为布喇格公式。 X 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域， 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域， 而且用它可以作光谱分析， 而且用它可以作光谱分析，在科学研究和工程技术上 有着广泛的应用。 有着广泛的应用。 在医学和分子生物学领域也不断有新的突破。1953年 在医学和分子生物学领域也不断有新的突破。1953年 英国的威尔金斯、沃森和克里克利用X 英国的威尔金斯、沃森和克里克利用X 射线的结构分 析得到了遗传基因脱氧核糖核酸（ 的双螺旋结构， 析得到了遗传基因脱氧核糖核酸（DNA) 的双螺旋结构， 荣获了1962 年度诺贝尔生物和医学奖。 荣获了1962 年度诺贝尔生物和医学奖。
X射线的晶体衍射 射线的晶体衍射
1
一、X射线
X 射线
1895年德国的伦琴发现 射线。 年德国的伦琴发现X射线 年德国的伦琴发现 射线。 金属靶 克鲁斯克管 冷却液 1.X射线产生机制 射线产生机制 L • 一种是由于高能电子打到靶上后，电子受原子核电 一种是由于高能电子打到靶上后， 场的作用而速度骤减，电子的动能转换成辐射能---场的作用而速度骤减，电子的动能转换成辐射能 轫制辐射，X光谱连续。 轫制辐射， 光谱连续。 光谱连续 •其次是高能电子将原子内层的电子激发出来，当回 其次是高能电子将原子内层的电子激发出来， 其次是高能电子将原子内层的电子激发出来 到基态时，辐射出 X 射线，光谱不连续。 到基态时， 射线，光谱不连续。 2. X射线性质： 射线性质： 1. X 射线在磁场或电场中不发生偏转，是一种电磁波。 射线在磁场或电场中不发生偏转，是一种电磁波。 2.X射线穿透力很强，波长很短。 射线穿透力很强，波长很短。 射线穿透力很强 衍射现象很小。 4 × 10 −2 ~ 100nm 衍射现象很小。
晶体X射线衍射学基础
数据收集与分析
数据收集
通过探测器记录衍射后的X射线 数据，包括衍射角度、强度等 信息。
数据处理
对收集到的数据进行整理、校 正和解析，提取出晶体结构信 息。
结构解析
利用得到的晶体结构信息，通 过计算和模拟方法确定晶体的 原子坐标和分子结构。
结果验证
对解析得到的晶体结构进行验 证和优化，确保结果的可靠性
相鉴定与相含量
利用X射线衍射可以确定材料中存在的 晶相，并测定各相的相对含量，对于 材料的性能研究和优化具有重表征
X射线衍射可用于研究非晶材料的短程有序结构，了解其原子排列特征和短程有序程度。
结构演化与稳定性
通过X射线衍射可以研究非晶材料在退火、热处理等过程中的结构演化，以及其稳定性与性能之间的 关系。
非弹性散射
X射线与物质中的原子相互作用，不仅改变 方向而且改变频率的散射。
03
CATALOGUE
X射线衍射原理
衍射现象
衍射现象
当X射线遇到晶体时，波长与晶体 中原子间距相近的X射线会发生干 涉，形成特定的衍射图样。
衍射图样
衍射图样是由一系列明暗相间的 斑点组成，每个斑点代表特定方 向的X射线干涉。
晶体结构决定了晶体的物理和化学性 质，如硬度、熔点、导电性、光学性 质等。
晶体结构分类
根据晶体中原子或分子的排列方式， 可以将晶体结构分为金属晶体、离子 晶体、共价晶体、分子晶体等。
晶体性质
物理性质
晶体的物理性质包括硬度、熔点、导电性、光学性质等。
化学性质
晶体的化学性质包括稳定性、反应活性等。
晶体性质与结构关系
晶体完整性评估对于材料研究和制备具有重要意义，例如在药物开发和半导体制造中，需要确保使用的晶体具有高质量和纯 度。
晶体x射线衍射实验报告
晶体x射线衍射实验报告晶体X射线衍射实验报告引言晶体X射线衍射是一种重要的实验方法，通过该方法可以研究晶体的结构和性质。
本实验旨在通过X射线衍射技术，对晶体的结构进行分析和研究，从而深入了解晶体的内部结构和性质。
实验目的1. 了解晶体X射线衍射的基本原理和方法；2. 掌握晶体X射线衍射实验的操作技巧；3. 通过实验数据分析，研究晶体的结构和性质。
实验原理晶体X射线衍射是一种利用X射线照射晶体，观察其衍射图样来研究晶体结构的方法。
当X射线照射到晶体上时，由于晶体内部原子的周期性排列，X射线会发生衍射现象。
根据布拉格定律，可以通过测量衍射角和波长，推导出晶体的晶格常数和结构信息。
实验步骤1. 准备样品：选取适当的晶体样品，进行精细研磨和抛光处理；2. 调试仪器：调试X射线衍射仪器，确保X射线的稳定和准确性；3. 进行实验：将样品放置在X射线仪器中，进行X射线照射，并记录衍射图样；4. 数据分析：根据衍射图样，测量衍射角和波长，计算晶格常数和结构信息；5. 结果分析：根据实验数据，对晶体的结构和性质进行分析和讨论。
实验结果通过实验数据分析，我们成功测量了晶体的衍射角和波长，计算出了晶格常数和结构信息。
根据实验结果，我们得出了对晶体结构和性质的深入认识，并且验证了晶体X射线衍射的有效性和可靠性。
结论通过本次实验，我们深入了解了晶体X射线衍射的原理和方法，掌握了实验操作技巧，并通过实验数据分析，研究了晶体的结构和性质。
实验结果表明，晶体X射线衍射是一种有效的研究晶体结构的方法，对于深入了解晶体的内部结构和性质具有重要意义。
总结晶体X射线衍射实验是一项重要的实验方法，通过该方法可以研究晶体的结构和性质。
本次实验使我们对晶体X射线衍射的原理和方法有了更深入的了解，也提高了我们对晶体结构和性质研究的能力。
希望通过今后的实验和研究，能够进一步拓展晶体X射线衍射在材料科学和化学领域的应用。
晶体的X射线衍射理论课件
01
X射线衍射实验方法
通过X射线衍射实验，获取晶体的衍射图谱，进一步分析点阵参数。
02
点阵常数的计算
利用衍射图谱中的衍射角、波长等信息，计算晶体的点阵常数。
03
点阵类型的确定
根据点阵常数的计算结果和晶体对称性，确定晶体的点阵类型。
晶体结构解析实例
结构因子的计算
以具体晶体为例，计算 其结构因子，为后续的 晶体结构解析奠定基础。
倒易点阵与正点阵关系 倒易点阵是在倒易空间中描述晶体衍射的点阵，与正点阵 存在倒数关系，即正点阵中晶胞体积越大，倒易点阵中对 应点越密集。
倒易空间中矢量运算 倒易空间中矢量运算遵循与正空间相同的规则，如点乘、 叉乘等，方便进行衍射计算。
衍射几何关系建立
布拉格方程
01
布拉格方程描述了晶体衍射中入射X射线、衍射X射线和晶格平
X射线产生与特性
X射线产生
X射线管中的电子在高压电场下被 加速撞击金属靶而产生的。
X射线特性
波长短、穿透力强、散射能力强等。
晶体与X射线相互作用
衍射现象
X射线通过晶体时，受到晶体内部原子的散射而发生干涉现象，形 成衍射图谱。
布拉格方程
描述衍射现象的基本方程，可用于计算晶格常数、晶面间距等参数。
衍射实验方法
衍射花样形成机制
衍射花样
晶体衍射实验得到的衍射图谱， 反映了晶体内部原子排列的信息。
形成机制
X射线在晶体中产生衍射，形成 一系列不同角度的衍射束，这些 衍射束相互干涉，形成特定的衍
射花样。
衍射花样分析
通过对衍射花样进行指标化、点 阵类型确定和晶胞参数计算等步 骤，可以解析出晶体的结构信息。
03
衍射实验方法与技巧
X射线衍射实验方法
通过X射线衍射实验，获取晶体的衍射图谱，进一步分析点阵参数。
02
点阵常数的计算
利用衍射图谱中的衍射角、波长等信息，计算晶体的点阵常数。
03
点阵类型的确定
根据点阵常数的计算结果和晶体对称性，确定晶体的点阵类型。
晶体结构解析实例
结构因子的计算
以具体晶体为例，计算 其结构因子，为后续的 晶体结构解析奠定基础。
倒易点阵与正点阵关系 倒易点阵是在倒易空间中描述晶体衍射的点阵，与正点阵 存在倒数关系，即正点阵中晶胞体积越大，倒易点阵中对 应点越密集。
倒易空间中矢量运算 倒易空间中矢量运算遵循与正空间相同的规则，如点乘、 叉乘等，方便进行衍射计算。
衍射几何关系建立
布拉格方程
01
布拉格方程描述了晶体衍射中入射X射线、衍射X射线和晶格平
X射线产生与特性
X射线产生
X射线管中的电子在高压电场下被 加速撞击金属靶而产生的。
X射线特性
波长短、穿透力强、散射能力强等。
晶体与X射线相互作用
衍射现象
X射线通过晶体时，受到晶体内部原子的散射而发生干涉现象，形 成衍射图谱。
布拉格方程
描述衍射现象的基本方程，可用于计算晶格常数、晶面间距等参数。
衍射实验方法
衍射花样形成机制
衍射花样
晶体衍射实验得到的衍射图谱， 反映了晶体内部原子排列的信息。
形成机制
X射线在晶体中产生衍射，形成 一系列不同角度的衍射束，这些 衍射束相互干涉，形成特定的衍
射花样。
衍射花样分析
通过对衍射花样进行指标化、点 阵类型确定和晶胞参数计算等步 骤，可以解析出晶体的结构信息。
03
衍射实验方法与技巧
x射线单晶衍射表征
x射线单晶衍射表征一、原理X射线单晶衍射是利用X射线在晶体中的衍射效应来测定晶体结构的一种方法。
当X射线通过晶体时，晶体中的原子或分子会对X射线产生散射。
由于晶体具有周期性的结构，这些散射波之间会发生干涉，形成特定的衍射图样。
通过测量这些衍射线的强度和角度，可以反推出晶体的内部结构。
二、实验方法1.样品准备：首先，需要制备单晶样品。
这通常涉及生长适当大小和质量的晶体，以确保足够的衍射数据用于分析。
2.X射线源：使用稳定的X射线源，例如Cu、Fe、Cr等Kα辐射，来照射单晶。
3.数据收集：在固定角度或连续扫描角度下测量衍射线的强度。
早期的实验采用劳厄照相法，而现代的实验则更倾向于使用自动化程度更高的衍射仪法。
4.数据处理：使用专业软件分析收集到的数据，通过数学方法重构晶体的三维结构。
5.结构解析：通过对比已知的晶体结构数据或使用算法程序，解析出晶体的原子坐标和分子构型。
三、应用X射线单晶衍射在多个领域都有广泛的应用：1.材料科学：用于研究新型功能材料的晶体结构和性质，如金属、陶瓷和复合材料的原子排列和物理性能。
2.化学：用于确定化合物的分子结构和化学键信息，有助于理解化学反应的机理和条件。
3.生物学和医学：用于研究生物大分子的结构和功能，如蛋白质、核酸等。
这有助于理解生物分子的生物学活性和潜在的药物设计。
4.地质学：用于确定矿物的结构和成分，有助于矿产资源的开发和利用。
5.法医学和考古学：用于鉴定物质的年代和来源，如古物和犯罪证据的鉴定。
6.电子学：用于研究半导体的晶体结构和电子性质，有助于优化半导体的性能和应用。
7.农业科学：用于研究植物的分子结构和功能，有助于提高作物的产量和抗性。
8.环境科学：用于研究污染物的分子结构和环境行为，有助于环境污染的监测和治理。
9.物理学：用于研究物质的相变和物理性质，有助于深入理解物质的本质和行为。
10.能源科学：用于研究燃料和太阳能电池的分子结构和性能，有助于提高能源的利用效率和可持续性。
晶体的X射线衍射
F f [1 ei (hk ) ei (k l) ei (lh) ]
当h，k，l都为偶数或多为奇时， F 4 f ， F 2 16 f 2 ，
当h，k，l奇偶混杂时，F 0 ，F 2 0 即（100），
（110），（210），（211）…构造消光 各类不同旳晶体，具有不同旳消光规律。 一般来说，构造因数F是个复数，F F ei ，称为构造因
实际样品：样品可破碎，制成原则粉末样品。
样品不可破碎旳多晶体、多晶薄膜。样品中小晶粒 不够细，可能择优取向。
3)粉末衍射把戏旳形成与统计 用Ewlad作图法解释粉末衍射把戏旳形成
样品中全部小晶粒，除取向不同外，它们旳晶体点阵、倒易点阵 是一样旳。
取某一小晶粒A，作出它旳倒易点阵，原点为O（000）
位相为0，另一原子位于Q点，其散射波与原
点原子散射波旳位相差为
2
(ON
MQ)
rQ
(k
k1 )
rQ
S
体系旳散射波振幅为：
E(S) N1 fa (S)Ee eirQ S（3-1） Q0
I(S) E*(S)E(S)
当体系中原子分布具有某种规律（有序）时，不同原 子发出旳散射波在某些特定方向上相互加强，总强度 很大，即出现（衍射）峰，而在其他方向上相互抵消， 总强度几乎为0，这种现象，我们称为X射线衍射。
数F旳位相，只在晶体具有对称中心时，F才是实数。（即为0或）
4)用连续分布旳电子密度来计算F
在晶体中，从量子力学旳观点来看，电子是以电子 云旳方式连续分布在空间旳。假如单胞内旳电子密 度函数P（xyz）已知，则
F(hkl) c
1 0
1 0
1 ( xyz)ei2 (hxkylz)dxdydz
当h，k，l都为偶数或多为奇时， F 4 f ， F 2 16 f 2 ，
当h，k，l奇偶混杂时，F 0 ，F 2 0 即（100），
（110），（210），（211）…构造消光 各类不同旳晶体，具有不同旳消光规律。 一般来说，构造因数F是个复数，F F ei ，称为构造因
实际样品：样品可破碎，制成原则粉末样品。
样品不可破碎旳多晶体、多晶薄膜。样品中小晶粒 不够细，可能择优取向。
3)粉末衍射把戏旳形成与统计 用Ewlad作图法解释粉末衍射把戏旳形成
样品中全部小晶粒，除取向不同外，它们旳晶体点阵、倒易点阵 是一样旳。
取某一小晶粒A，作出它旳倒易点阵，原点为O（000）
位相为0，另一原子位于Q点，其散射波与原
点原子散射波旳位相差为
2
(ON
MQ)
rQ
(k
k1 )
rQ
S
体系旳散射波振幅为：
E(S) N1 fa (S)Ee eirQ S（3-1） Q0
I(S) E*(S)E(S)
当体系中原子分布具有某种规律（有序）时，不同原 子发出旳散射波在某些特定方向上相互加强，总强度 很大，即出现（衍射）峰，而在其他方向上相互抵消， 总强度几乎为0，这种现象，我们称为X射线衍射。
数F旳位相，只在晶体具有对称中心时，F才是实数。（即为0或）
4)用连续分布旳电子密度来计算F
在晶体中，从量子力学旳观点来看，电子是以电子 云旳方式连续分布在空间旳。假如单胞内旳电子密 度函数P（xyz）已知，则
F(hkl) c
1 0
1 0
1 ( xyz)ei2 (hxkylz)dxdydz
晶体X射线衍射学4衍射强度
• 镶嵌结构模型认为，晶体是由许多小的嵌 镶块组成的，每个块大约 ，它们之间 的取向角差一般在数秒或数分范围内。每 个块内晶体是完整的，块间界造成晶体点 阵的不连续性。
26
• X射线的相干作用只 能在嵌镶块内进行， 嵌镶块之间没有严格 的相位关系，不可能 发生干涉作用。
• 整个晶体的反射强度 是各个亚晶块的衍射 强度的机械叠加。
• 多重性因子PHKL， 表示晶体中与某种晶面等同晶面的数目 。此值愈大，这种晶面获得衍射的几率就愈大，对应的衍 射线就愈强。
• 多重性因数PHKL 的数值随晶系及晶面指数而变化。 对于立方晶系：可以简单变更H,K,L的顺序并分别改
变各个指数正负号，得到可能的排列数目。
42
4成振幅：
35
如果说结构因子的提出是因为一个晶胞中包含了不同类型、 不同数量（且不同位置坐标）的原子的话，那么干涉函数 （形状因子）的提出是因为小晶体中包含了多个晶胞。
36
干涉函数的讨论
• 参与衍射的晶胞数N1越多，｜G｜ 2 越大，峰也越 尖锐。干涉函数决定了衍射峰的形状
重要结论：
8
• 设单胞中含有n个原子，各原子占据不同的 坐标位置，它们的散射振幅和相位各不相 同。单胞中所有原子散射的合成振幅不能 进行简单叠加。引入一个称为结构因子 的参量来表征单胞的相干散射与单电 子散射之间的对应关系。
9
4.3.1衍射强度
结构因子，非常重要。
10
4.3.2 推导过程
11
12
13
各元素的原子散射因数的数值可 以由X射线书中的附录查到。
6
• 上面讨论的原子散射因数是在假定电子处 于无束缚、无阻尼的自由电子状态。实际 电子受核束缚，束缚电子与自由电子的散 射能力不同。一般条件下，这个因素可以 忽略，但当入射波长接近某一吸收限，如λ
26
• X射线的相干作用只 能在嵌镶块内进行， 嵌镶块之间没有严格 的相位关系，不可能 发生干涉作用。
• 整个晶体的反射强度 是各个亚晶块的衍射 强度的机械叠加。
• 多重性因子PHKL， 表示晶体中与某种晶面等同晶面的数目 。此值愈大，这种晶面获得衍射的几率就愈大，对应的衍 射线就愈强。
• 多重性因数PHKL 的数值随晶系及晶面指数而变化。 对于立方晶系：可以简单变更H,K,L的顺序并分别改
变各个指数正负号，得到可能的排列数目。
42
4成振幅：
35
如果说结构因子的提出是因为一个晶胞中包含了不同类型、 不同数量（且不同位置坐标）的原子的话，那么干涉函数 （形状因子）的提出是因为小晶体中包含了多个晶胞。
36
干涉函数的讨论
• 参与衍射的晶胞数N1越多，｜G｜ 2 越大，峰也越 尖锐。干涉函数决定了衍射峰的形状
重要结论：
8
• 设单胞中含有n个原子，各原子占据不同的 坐标位置，它们的散射振幅和相位各不相 同。单胞中所有原子散射的合成振幅不能 进行简单叠加。引入一个称为结构因子 的参量来表征单胞的相干散射与单电 子散射之间的对应关系。
9
4.3.1衍射强度
结构因子，非常重要。
10
4.3.2 推导过程
11
12
13
各元素的原子散射因数的数值可 以由X射线书中的附录查到。
6
• 上面讨论的原子散射因数是在假定电子处 于无束缚、无阻尼的自由电子状态。实际 电子受核束缚，束缚电子与自由电子的散 射能力不同。一般条件下，这个因素可以 忽略，但当入射波长接近某一吸收限，如λ
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➢ 当采用短波x射线照射时，能参与反射的干涉面将会增多。
布拉格方程的讨论（6）
应用 从实验角度可归结为两方面的应用： ➢ 一方面是用已知波长的x射线去照射晶体，通过衍
射角的测量求得晶体中各晶面的面间距d，这就 是结构分析； ➢ 另一方面是用一种已知面间距的晶体来反射从试 样发射出来的x射线，通过衍射角的测量求得x射 线的波长且，这就是X射线光谱学。该法除可进 行光谱结构的研究外，从x射线的波长尚可确定试 样的组成元素。电子探针就是按这原理设计的。
一个原子分布与之完全相同的 面。此时面簇中最近原点的晶 面在X轴上截距已变为1／2， 故面簇的指数可写作(200)。又 因面间距已减为原先的一半， 相邻晶面反射线的程差便只有 一个波长发生了一级反射，其 相应的布喇格方程为
2d200sinθ＝λ
2d sin n
布拉格方程的讨论（2）
➢ 一般的说法是，把(hkl)的n级反射，看作(nh nk nl)的一级 反射。如果(hkl)的面间距是d，则(nh nk nl)的面间距d／n。
布拉格方程的讨论（4）
• 掠射角
➢掠射角θ是入射线或反射线与晶面的夹角， 一般可以表征衍射的方向。
➢由布拉格方程得知：sinθ=λ/2d
当λ一定时，d相同的晶面必然在θ相同的情 况下才能同时获得反射，当用单色X射线照射 多晶体时，各晶粒中d相同的晶面其反射线将 有着确定的方向关系，这里所指d相同的晶面， 也包括等同晶面；
➢ 当d一定时，且减小，n可增大，说明对同一种晶面，当采 用短波X射线照射时，可获得较多级数的反射，即衍射花 样比较复杂。
➢ 在晶体中，干涉面的划取是无限的，但并非所有的干涉面 均能参与衍射，因为dsinθ=λ／2或者d≥λ／2。此表达 式说明只有间距大于或等于X射线半波长的那些干涉面才 能参与反射。
2θ----衍射角（入射线与衍射线之间的夹角）
n------反射级数（整数）
布拉格方程的讨论（1）
• 选择反射 X射线只有在满足布拉格方
程的角上才能发生反射。 • 反射级数 ➢ 假设X射线照射到晶体的(100)，
而且刚好能发生二级反射，则 相应的布喇格方程为
2d100sinθ＝2λ ➢ 设想在每两个(100)中间均插人
当λ一定时，d减小， θ就要增大，这说明间 距小的晶面，其掠射角必须是较大的，否则它 们的反射线就无法加强.
布拉格方程的讨论（5）
• 衍射极限条件
➢ 掠射角θ的极限范围为0~90º，但过大或过小都会造成衍 射的观测困难;
➢ 由于IsinθI≤1，这就使得在衍射中反射级数n或干涉面间 距d会受到限制。
➢ (hkl)是晶体中实际存在的晶面，(HKL)只是为了使问题简化而引入的 虚拟晶面。干涉面的面指数称为干涉指数，一般有公约数n。当n＝1 时，干涉指数即为晶面指数。
➢ 对于立方晶系，晶面间距与晶面的关系：
a dhkl h2 k 2 l2
• 干涉面的间距与干涉指数的关系：
dHKL
a H2 K 2 L2
第三节 晶体X射线衍射
天然晶体可以看作是光栅常数很小的空间三维 衍射光栅。
一、劳厄斑
1912年德国慕尼黑大学的实验物理学教授冯•劳厄 用晶体中的衍射拍摄出X射线衍射照片。由于晶体的晶 格常数约10nm，与 X 射线波长接近，衍射现象明显。
X射线 单晶片 照相底片
在照相底片上形成对称分布的若干衍射斑点，称 为劳厄斑。
二、布拉格公式
1913年英国的布拉格父子，提出了另一种精确研 究 X 射线的方法，并作出了精确的定量计算。由于 父子二人在X射线研究晶体结构方面作出了巨大贡献， 于1915年共获诺贝尔子
层称作晶面。X射线会在不同的晶面上反射。
掠射角 : X 射线射到
于是布拉格方程可以写成以下形式
或者：
2 d sin n
➢ 这种形式的布喇格方2d程s，in在使用上极为方便，它可以认为反
射级数永远等于1，因为级数n实际上已包含在d之中。也就 是，(hkl)的n级反射，可以看成来自某种虚拟的晶面的1级 反射。
布拉格方程的讨论（3）
• 干涉面指数
➢ 晶面(hkl)的n级反射面(nh nk nl)，用符号(HKL)表示，称为反射面或 干涉面。其中H=nh，K＝nk是，L=nl。
晶面时与晶面夹角。
晶格常数：d
A B
X射线经两晶面反射 后，两束光的光程差为：
E
d
AE EB 2d sin
如果散射（入射）X射线
的波长为λ，则在这个
方向上散射线互相加强
的条件为：
A B
布拉格公式
E
d
2dsin n
(n 0,1,2)
θ---掠射角或布拉格角（入射线或反射线与晶面的夹角）
布拉格方程的讨论（6）
应用 从实验角度可归结为两方面的应用： ➢ 一方面是用已知波长的x射线去照射晶体，通过衍
射角的测量求得晶体中各晶面的面间距d，这就 是结构分析； ➢ 另一方面是用一种已知面间距的晶体来反射从试 样发射出来的x射线，通过衍射角的测量求得x射 线的波长且，这就是X射线光谱学。该法除可进 行光谱结构的研究外，从x射线的波长尚可确定试 样的组成元素。电子探针就是按这原理设计的。
一个原子分布与之完全相同的 面。此时面簇中最近原点的晶 面在X轴上截距已变为1／2， 故面簇的指数可写作(200)。又 因面间距已减为原先的一半， 相邻晶面反射线的程差便只有 一个波长发生了一级反射，其 相应的布喇格方程为
2d200sinθ＝λ
2d sin n
布拉格方程的讨论（2）
➢ 一般的说法是，把(hkl)的n级反射，看作(nh nk nl)的一级 反射。如果(hkl)的面间距是d，则(nh nk nl)的面间距d／n。
布拉格方程的讨论（4）
• 掠射角
➢掠射角θ是入射线或反射线与晶面的夹角， 一般可以表征衍射的方向。
➢由布拉格方程得知：sinθ=λ/2d
当λ一定时，d相同的晶面必然在θ相同的情 况下才能同时获得反射，当用单色X射线照射 多晶体时，各晶粒中d相同的晶面其反射线将 有着确定的方向关系，这里所指d相同的晶面， 也包括等同晶面；
➢ 当d一定时，且减小，n可增大，说明对同一种晶面，当采 用短波X射线照射时，可获得较多级数的反射，即衍射花 样比较复杂。
➢ 在晶体中，干涉面的划取是无限的，但并非所有的干涉面 均能参与衍射，因为dsinθ=λ／2或者d≥λ／2。此表达 式说明只有间距大于或等于X射线半波长的那些干涉面才 能参与反射。
2θ----衍射角（入射线与衍射线之间的夹角）
n------反射级数（整数）
布拉格方程的讨论（1）
• 选择反射 X射线只有在满足布拉格方
程的角上才能发生反射。 • 反射级数 ➢ 假设X射线照射到晶体的(100)，
而且刚好能发生二级反射，则 相应的布喇格方程为
2d100sinθ＝2λ ➢ 设想在每两个(100)中间均插人
当λ一定时，d减小， θ就要增大，这说明间 距小的晶面，其掠射角必须是较大的，否则它 们的反射线就无法加强.
布拉格方程的讨论（5）
• 衍射极限条件
➢ 掠射角θ的极限范围为0~90º，但过大或过小都会造成衍 射的观测困难;
➢ 由于IsinθI≤1，这就使得在衍射中反射级数n或干涉面间 距d会受到限制。
➢ (hkl)是晶体中实际存在的晶面，(HKL)只是为了使问题简化而引入的 虚拟晶面。干涉面的面指数称为干涉指数，一般有公约数n。当n＝1 时，干涉指数即为晶面指数。
➢ 对于立方晶系，晶面间距与晶面的关系：
a dhkl h2 k 2 l2
• 干涉面的间距与干涉指数的关系：
dHKL
a H2 K 2 L2
第三节 晶体X射线衍射
天然晶体可以看作是光栅常数很小的空间三维 衍射光栅。
一、劳厄斑
1912年德国慕尼黑大学的实验物理学教授冯•劳厄 用晶体中的衍射拍摄出X射线衍射照片。由于晶体的晶 格常数约10nm，与 X 射线波长接近，衍射现象明显。
X射线 单晶片 照相底片
在照相底片上形成对称分布的若干衍射斑点，称 为劳厄斑。
二、布拉格公式
1913年英国的布拉格父子，提出了另一种精确研 究 X 射线的方法，并作出了精确的定量计算。由于 父子二人在X射线研究晶体结构方面作出了巨大贡献， 于1915年共获诺贝尔子
层称作晶面。X射线会在不同的晶面上反射。
掠射角 : X 射线射到
于是布拉格方程可以写成以下形式
或者：
2 d sin n
➢ 这种形式的布喇格方2d程s，in在使用上极为方便，它可以认为反
射级数永远等于1，因为级数n实际上已包含在d之中。也就 是，(hkl)的n级反射，可以看成来自某种虚拟的晶面的1级 反射。
布拉格方程的讨论（3）
• 干涉面指数
➢ 晶面(hkl)的n级反射面(nh nk nl)，用符号(HKL)表示，称为反射面或 干涉面。其中H=nh，K＝nk是，L=nl。
晶面时与晶面夹角。
晶格常数：d
A B
X射线经两晶面反射 后，两束光的光程差为：
E
d
AE EB 2d sin
如果散射（入射）X射线
的波长为λ，则在这个
方向上散射线互相加强
的条件为：
A B
布拉格公式
E
d
2dsin n
(n 0,1,2)
θ---掠射角或布拉格角（入射线或反射线与晶面的夹角）