线性系统理论第一章(习题)
线性系统理论大作业小组报告-汽车机器人建模
审定成绩： 重庆邮电大学 硕士研究生课程设计报告 （《线性系统理论》） 设计题目：汽车机器人建模 学院名称：自动化学院 学生姓名： 专业：控制科学与工程 仪器科学与技术 班级：自动化1班、2班 指导教师：蔡林沁 填表时间：2017年12月
重庆邮电大学
摘要 汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,应用现代控制理论设计出很多控制算法,对汽车进行控制是非常必要的，本文以汽车机器人为研究对象，对其进行建模和仿真，研究了其模型的能控能观性、稳定性，并通过极点配置和状态观测器对其进行控制，达到了一定的性能要求。这些研究为以后研究汽车的自动驾驶和路径导航，打下了一定的基础。 关键字:建模、能控性、能观性、稳定性、极点配置、状态观测器
目录 第一章绪论 (1) 第一节概述 (1) 第二节任务分工 (2) 第二章系统建模 (2) 2 系统建模 (2) 2.1运动学模型 (2) 2.2自然坐标系下模型 (4) 2.3具体数学模型 (6) 第三章系统分析 (7) 3.1 能控性 (7) 3.1.1 能控性判据 (7) 3.1.2 能控性的判定 (8) 3.2 能观性 (10) 3.2.1 能观性判据 (10) 3.2.2 能观测性的判定 (12) 3.3 稳定性 (13) 3.3.1 稳定性判据 (13) 3.3.2 稳定性的判定 (14) 第四章极点配置 (15) 4.1 极点配置概念 (15) 4.2 极点配置算法 (15) 4.3 极点的配置 (16) 4.4 极点配置后的阶跃响应 (17) 第五章状态观测器 (18) 5.1概念 (19) 5.2带有观测器的状态反馈 (20) 5.3代码实现 (21) 5.4 极点配置和状态观测器比较 (23)
线性系统理论历年考题
说明： 姚老师是从07还是08年教这门课的，之前的考题有多少参考价值不敢保证，也只能供大家参考了，重点的复习还是以课件为主，把平时讲的课件内容复习好了，考试不会有问题（来自上届的经验）。 祝大家考试顺利！ （这个文档内部交流用，并感谢董俊青和兰天同学，若有不足请大家见谅。） 2008级综合大题 []4001021100101 1 2x x u y x ???? ????=-+????????-????= 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定； 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵2 14161 24,() 2.0 0M B AB A B rank M ?? ?? ??==-=???????? 系统不完全可控，不能任意配置极点。
2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1 1 401200 1P -?? ??=-?????? ，求得120331 1066 00 1P ?? ????? ?=-????????? ? 进行变换[] 1 1 20831112,0,2 2 26000 1 A PAP B PB c cP --? ? ?? ???? ????=-====???? ??????????? ? 所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+???????????=? 3. 1 2(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1) (4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= = -++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++， 系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 1 2(1)()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11 228,12T k k k k A Bk k +???? =+=??? ??? ?? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程* 2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++
信息光学习题答案
信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx d x g = （2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2 ? ∞ ∞ --= αααd x h f x g （5） ()()απξααd j f ?∞ ∞ --2exp 解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=?? ? ??π 证明：左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞ -∞ =-n n x )2(2δ 所以当n 为偶数时，左右两边相等。 1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 0)(,) () ()]([1 ≠''-= ∑ =i n i i i x h x h x x x h δδ 式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是 )() ()(sin x comb n x x n =-=∑∞ -∞ =π δπ ππδ
线性系统理论多年考题和答案
2008级综合大题 []400102110010112x x u y x ????????=-+????????-????=& 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！） 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M B AB A B rank M ?? ????==-=???? ???? 系统不完全 可控，不能任意配置极点。 2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -????=-??????，求得1203311066 001P ?? ?? ?? ??=-?????? ???? 进行变换[]11 20831112,0,22260001A PAP B PB c cP --? ??????? ????=-====???? ???????? ????
所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+?????????? ?=? & 3. 12(1)(1)2(1) ()()(4)(2)(1)(4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= =-++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 12(1) ()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11228,12T k k k k A Bk k +???? =+=???????? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程*2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++ 比较上两式求得：728T k -?? =??-?? 6. 可以。设12l L l ??=????，则11222821222l l A LC l l --?? -=? ?--?? 特征方程2 2121()(222)1628f s s l l s l l =+-++-- 期望特征方程*2 ()(4)(5)920f s s s s s =++=++ 比较得：103136L ???? =????????
空军工程大学博士研究生入学试题[001]
空军工程大学2016年博士研究生入学试题 考试科目：线性系统理论（A卷）科目代码3003 说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，写在试题上不给分；考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，试题必须同试卷一起交回。 一、填空题（每空2分，共20分） （1）状态变量组数学上表征为一个极大变量组。（2）线性系统时域运动分析的核心在于揭示系统状态相对于和 的演化规律。 （3）系统完全能控和系统完全互为等价关系。 （4）系统的稳定性可分为稳定性和稳定性，其中，前者又被称为“BIBO稳定性”。 （5）对连续时间线性时不变系统，系统则必定为BIBO稳定，反之则未必。 （6）控制系统的综合归结为。 （7）一般来说，反馈的类型可分为和。 二、计算题（每小题5分，共15分） （1）确定微分方程3523 &&&&&&的一个状态空间描述。 y y y y u +-+=
（2）计算下列状态空间描述的传递函数G(s) 140321[10]x x u y x ????=+????--????=& （3）化以下线性系统为约当标准型 010341[20]x x u y x ????=+????--???? =& 三、（15分）假设系统状态方程如下 112201230x x u x x ????????=+????????--? ???????&&1 [20]y x = 请： （1）计算状态转移矩阵 （2）求解状态方程的解 （3）判断系统的能控能观性 四、（15分）利用Lyapunov 稳定性判据，分析如下系统的稳定性。 （1） 22121122221212() ()x x cx x x x x cx x x =++=-++&& （2）
北航线性系统理论完整版答案
1-1 证明：由矩阵 可知A 的特征多项式为 n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+= -+λλλλλλλλλλ λλλλλ λλλλ λλλλ1-3-32-21-11-3-31 22 -2-1-n 1 3-n 2-n 2 1 -1n 1 2-n 1-n 12-n 1-n n 1- )1(-)1(- 0 0 0 1- )1(-)1(- 0 0 0 1- 1 0 1- 0 0 0 1- 若i λ是A 的特征值，则 所以[] T i i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。 1-7 解：由于()τ τ--t e t g =，，可知当τ
线性系统理论试卷
湘潭大学研究生考试试题 考试科目：线性系统理论/现代控制理论考生人数：20考试形式：闭卷 适用专业： 双控单控/电传 适用年级：一年级 试卷类型： A 类 一、给定多项式矩阵如下： 22121()1 2s s s s D s s s ?? ?????? ++++= ++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？ 2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？ 3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。 二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中： 210 ()21s D s s s s ? ? ????? ? -= +-+，()11N s s s ???? =-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。 三、给定()G s 的一个左MFD 为： 1 210 1 0()112 1s s G s s s s -? ? ?? ?????????? ? ? -+= +-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。 四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD ： 21 1 0()102 2s s s G s s s s s ????????? ? ?? += +++ 五、给定系统的传递函数矩阵为
22 3 (1)(2)(1)(2)()31(1)(2) (2)s s s s s s G s s s s s s ???? ?? ??????? ? +++++= +++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。 六、给定传递函数矩阵如下： 2 2221156()1253 43s s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。 七、给定系统的传递函数矩阵如下： 2 2211 154()14 3 712s s s s G s s s s s ???? ?? ??? ? ?? +-++= ++++ 试求出一个控制器型实现。 八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD 2 2 141()143 32s s s s G s s s s s ?? ?? ?? ??? ??? ++-= ++++ 九、给定系统的传递函数矩阵如下： 1 2 2 430 11()221 21s s s s G s s s s s -?????? ??????? ?? ? ++-+= +++ 试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为： 12λ*=-， 23λ*=-， 4,5 42j λ* =-±
现代控制理论试卷答案与解析
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。
光学信息技术第三章习题
第三章习题解答 3.1参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（ 3.35 ）式时，对于积分号前的相位因子 相对于它在原点之值正好改变n 弧度? 设光瞳函数是一个半径为 a 的圆，那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是 多少? 时可以弃去相位因子 由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为 的条件是 式中r x 2 y 2，而 试问 exp j#(x ； y o ) 2d o 2 2 x y i M 2 (1) 物平面上半径多大时，相位因子 exp j￡(x 0 y 0) d o (2) (3) 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么 a ，入和d o 之间存在什么关系 exp k 2 2 (x 。 y 。) 2d o (2) y 2) 賦 2d o ,r o ... d o 根据（3.1.5 ） 式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图 样，其中心位于理想像点 (%, %) h(x °,y °;x, y) 1 2 d °d i 2 P (x,y)exp jp (xi %)2 (yi %)2]dxdy r circ 一 a J_aJ,2 a ) 2 d o d i
(3)根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献 h(x ),y 0;0,0) o 按照上面的分析，如果略去 h 第一个零点以 外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献， 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点 附近r 。 0.61 d 。/ a 范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子 2 exp[jkr ° /2d °]变化不大，就可认为(3.1.3 )式的近似成立，而将它弃去，假设小区 域内相位变化不大于几分之一弧度(例如 /16 )就满足以上要求，则 kr ；/2d 0 16 2 r ° d °/16，也即 a 2.44. d 0 (4) 例如 600nm , d ° 600nm ，则光瞳半径a 1.46mm ,显然这一条件是极易满足 的。 3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在 X 0Z 平 面内，与z 轴夹角为Bo 透镜焦距为 f ,孔径为D O (1) 求物体透射光场的频谱； (2) 使像平面出现条纹的最大B 角等于多少？求此时像面强度分布； (3) 若B 采用上述极大值， 使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与B =0时的截 止频率比较，结论如何? (% y o )2 (d i 在点扩散函数的第一个零点处, J ,(2 a ) 0 ,此时应有2 a 3.83，即 0.61 (2) 将(2)式代入(1 )式，并注意观察点在原点 ( X i y 0) ，于是得 r o 0.61 d o a (3) t(X 0,y °) cos 2 f °X 0 2
《线性系统理论》试卷及答案
C 2 《线性系统理论》试卷及答案 1、（20分）如图所示RLC 网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为 x 1(t)=v 1(t),x 2(t)=v 2(t),x 3(t)=i(t) 要求列写出系统的状态空间描述。 2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。 y (4)+4y (3)+3y (2)+7y (1)+3y=u (3)+ 2u (1)+ 3u 3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。 [] 210X 13101X y -????=+???? -????= 4、（10分）分析下列系统的能控性。 0111X X u a b ? ???? =+???? -???? 5、（10分）分析下列系统的能观性。 []1110a X X y X b ? ??==-???? 6、（15分）判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。 122 2112 3x x x x x x ==-- 7、（15分）已知系统的状态方程为 221012000401X X u ? --???? ????=-+????????-???? 试确定一个状态反馈阵K ，使闭环极点配置为λ1*=-2、λ2*=-3、λ3*=-4。
答案： 1、（20分）如图所示RLC 网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为 x 1(t)=v 1(t),x 2(t)=v 2(t),x 3(t)=i(t) 要求列写出系统的状态空间描述。 列出向量表示形式 解出解出解出r x x x L R x x x r x L R x x x x x x C R x x x C x C x r x R x L L L L ???? ??????+????? ???????????????? ?--=??????????+--=-=+=+==++1321113211 31 11 32122222112211333113000x y x x L
(完整版)现代控制理论试卷答案与解析
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流 11 1212 22 121212 010 Y x U R R R R Y x R R R R R R ???? ???? ???? =+ ???? ???? - ???? +++ ???? ???? 和电容C上的电压 2 x为状态变 量，电容C上的电压 2 x为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令： 12 , L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 2221 R C x x L x ?? +-= 1121 ()0 R x C x L x u ?? ++-= 从上述两式可解出 1 x ? ， 2 x ? ，即可得到状态空间表达式如下： 12 112 1 2 12 () () R R x R R L R x R R C ? ? ? - ???+ ??? = ??? - ??? + ? 12 1 1212 2 1212 ()() 11 ()() R R x R R L R R L u x R R C R R C ??? ??? ++ ?? ??? + ?? ??? ?? -??? ++ ??? ? ? ? ? ? ? 2 1 y y = ? ? ? ? ? ? ? ? + + - 2 1 1 2 1 2 1 1 R R R R R R R ? ? ? ? ? ? 2 1 x x +u R R R ? ? ? ? ? ? ? ? + 2 1 2 二、考虑下列系统：
2014《现代控制理论》学习指导书及部分题目答案
现代控制理论学习指导书第一部分重点要点 线性系统理论 线性系统数学模型 稳定性、可控性和可观测性 单变量极点配置的条件和方法。 最优控制理论 变分法 极小值原理 最优性原理 动态规划 最优估计理论 参数估计方法 掌握最小方差估计和线性最小方差估计方法 状态估计方法 预测法，滤波 系统辨识理论 经典辨识方法 最小二乘辨识方法 系统模型确定方法 自适应控制理论 用脉冲响应求传递函数的原理和方法。 两种设计方法
智能控制理论 掌握智能控制的基本概念、基本方法以及智能控制的特点。 了解分级递阶智能控制、专家控制、神经网络控制、模糊控制、学习控制和遗传算法控制的基本概念 第二部分练习题 填空题 1.自然界存在两类系统：______静态系统____和______动态系统____。 2.系统的数学描述可分为___外部描述_______和___内部描述_______两种类型。 3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为___自由运动_______。 5.互为对偶系统的__特征方程________和___特征值_______相同。 6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成____完全能控______子系统和____完全不能控______ 子系统两部分。 7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成__完全能观测________子系统和____完全不能观测______子系统两部分。 8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解___能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。 9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有__零极点对消_。 10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 11.经典控制理论讨论的是__在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李 氏方法讨论的是_动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 12. ___状态反馈_______和__输出反馈________是控制系统设计中两种主要的反馈策略。 13.综合问题的性能指标可分为优化型和非优化型性能指标。 14.状态反馈不改变被控系统的___能控性_______；输出反馈不改变被控系统的___能控性 _______和____能观测性______ 15.状态方程揭示了系统的内部特征，也称为__内部描述________。 16.控制系统的稳定性，包括____外部______稳定性和____内部______稳定性。 17.对于完全能控的受控对象，不能采用____输出反馈______至参考信号入口处的结构去实现闭环极点的任意配置。 18.在状态空间分析中，常用___状态结果图_______来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。 19.为了便于求解和研究控制系统的状态响应，特定输入信号一般采用脉冲函数、__阶跃函数________ 和斜坡函数等输入信号。 21.当且仅当系统矩阵A的所有特征值都具有_负实部_________时，系统在平衡状态时渐近
线性系统理论MATLAB大作业
兰州理工大学2015级线性系统理论大作业 线性系统理论Matlab 实验报告 1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。 在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型： u x x ?? ????+??????-+-=0001.0105.0002.002.08.0. []21,x x y = 其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5 解：本题目是在已知状态空间描述的情况下要求设计一个状态反馈控制器，从而使得系统具有实数特征根，并要求要有一个根的模值要大于5，而特征根是正数时系统不稳定，这样的设计是无意义的，故而不妨采用状态反馈后的两个期望特征根为-7，-6，这样满足题目中所需的要求。要对系统进行状态反馈的设计首先要判断其是否能控，即求出该系统的能控性判别矩阵，然后判断其秩，从而得出其是否可控。 Matlab 判断该系统可控性和求取状态反馈矩阵K 的程序,如图1所示，同时求得加入状态反馈后的特征根并与原系统的特征根进行了对比。
图1系统能控性、状态反馈矩阵和特征根的分析程序上述程序的运行结果如图2所示： 图2系统能控性、反馈矩阵和特征根的运行结果
重庆邮电大学研究生线性系统理论试卷2011-2012A
重庆邮电大学研究生考卷A 学号 姓名 考试方式 班级 考试课程名称 线性系统理论 考试时间： 年 月 日 一、（10分）如下图所示系统，求以u 为输入，R2上电压u2为输出的状态空间表达式。 二、（10分）某系统的状态空间表达式为： u x x x x x x ??????????-+????????????????????---=??????????631234100010321321 ,???? ? ?????=321]001[x x x y ，试求该系统的传递函数。 三、（15分）已知连续时间线性时不变系统状态方程如下： （1）求解状态转移矩阵)(t φ和逆矩阵)(1t -φ （2）求单位阶跃信号u (t )=1(t )作用下的状态响应 四、（15分）确定使下面连续时间线性时不变系统完全能控和完全能观测的待定 ()()()( )()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ?? ???? =+≥== ? ? ?--?????? R u
参数a,b 取值范围 []x b y u x x x a x x x 00 10030012011321321=???? ????+?????? ??????????????---=?????????????? 五、（15分）试找出李亚普洛夫能量函数，判断下列连续时间非线性时不变系统为大范围渐近稳定。 ???? ??--+-==3221 213)(x x x x x x f x 六、（15分）给定一个完全能控单输入单输出连续时间线性时不变系统： []1 0 212 1 121 0 210 1 1x x u y x ????????=+???? ????-????= 试求出非奇异变换P 把上述系统变换为能控标准型。 七、（20分）给定单输入单输出连续时间线性时不变受控的传递函数为： ) 8)(4(10 )(++= s s s s G 试确定一个状态反馈阵K 使得闭环极点配置为***1112, 4, 7λλλ=-=-=-，并写出闭环系统状态方程。
双线性系统
双线形系统 在线性状态方程（见状态空间法）中引入状态变量和控制变量的交互乘积项所导出的一类系统。 这类状态方程的特点是,它相对于状态或控制在形式上分别是线性的,但同 时相对于状态和控制来说，系统则不是线性的。它实际上是一类具有比较简单形式的特殊非线性系统。生物繁殖过程就是一个典型的例子,用状态变量x表示种群中生物体的数量，控制变量u表示可人为控制的净增殖率,则控制种群中生物体数量的繁殖过程可用形式为dx/dt=ux的一个双线性系统来描述。 化学反应中的催化作用问题；人体内的水平衡过程、体温调节过程、呼吸中氧和二氧化碳交换过程、心血管调节过程等问题；细胞内的某些生物化学反应问题；社会和经济领域中的人口问题，动力资源问题，钢铁、煤炭、石油产品生产问题等。 双线性系统的研究始于60年代，70年代以来得到了广泛的重视和迅速的发展，成为非线性系统研究中比较成熟的分支之一。双线性系统理论中已有的主要结果为： ①双线性系统具有变结构系统的一些特征，因而有一定的自适应性（见适应控制系统）。 ②对于控制变量受限制（即控制变量的大小必须在一定的界限内）的情况，已经找到用频率域语言表达的稳定性条件。 ③双线性系统具有比线性系统更好的能控性。即使控制变量受限制，系统仍可能是完全能控的。已经获得系统完全能控的一些充分条件。 ④用李雅普诺夫稳定性理论能够求得双线性系统的镇定控制解,即可找到一个反馈控制律u=u(x)使系统实现全局稳定。这种控制函数是开关型或饱和型的，开关曲面（或曲线）对状态变量而言是二次曲面（或曲线）。 ⑤采用动态规划或极大值原理已能解决双线性系统的一些最优控制问题,如最速控制，最省燃料控制,以及离散双线性系统和随机双线性系统的最优控制等。双线性系统理论已有不少实际应用的例子。例如核电站、核动力装置中核裂变和热交换过程的最优控制，人口预测和控制等。
重庆大学硕士研究生《线性系统理论》(考试时间2.5h)课程试题
重庆大学2009年硕士研究生《线性系统理论》（考试时间2.5h ）课程试题 一、回答下列各题(4'*3=12') 1、状态、状态空间、状态空间描述？ 2、状态能观测、系统完全能观测？ 3、系统内部稳定性、外部稳定性？ 二、简答题（24'） 1、在状态空间描述下为什么可以引入线性非奇异变换？请说明通过线性非奇异变换可以得到哪几种系统的结构特征。 2、线性定常系统∑=（A,B,C,D ）的综合时依据哪些性能指标？有哪些反馈规律？画出线性定常系统的状态反馈图，写出反馈系统的方程，这时是否可以任意配置闭环系统极点？ 三、判断并改错（2'*10=20'） 1、状态空间描述中，系统的状态变量组为构成系统变量中线性无关的一个极大变量组，因而状态变量组选取上是唯一的。 2、在系统的数学模型中输入输出描述与状态空间是等价的。 3、系统完全能控时采用状态反馈就一定能使被控系统稳定。 4、线性定常系统完全能观测，则状态反馈是可镇定的。 5、线性定常系统是外部稳定的就是工程意义下的稳定。 6、在对角线规范形下，各个状态变量间完全解耦，可实现系统状态反馈的解耦控制。 7、系统的每一个平衡状态实在李雅普洛夫意义下稳定的?A 的特征值均具有非正实部。 8、状态转移矩阵Φ（t-t 0）是将时刻t 0的状态x 0 映射到时刻t 的状态x 的一个线性变换，决定了状态向量的自由运动。 9、状态反馈静态解耦实现了稳态解耦是一种对被控系统的完全解耦。 10、输入输出描述是对系统的一种不完全描述，只能反映系统中的能控部分。 四、16' 证明：线性定常自治系统∑：x `=Ax,x(0)=x 0,t ≧0,系统的唯一平衡状态是渐进稳定 的充分必要条件为，A 的所有特征值均具有负实部。 五、计算题（28') 1、已知系统：)()()(...1t K t t T μ??=+， ?=10)()(ττ?d V t y ，式中，T 1=1，K=4，V=2.(20') （1）如果状态变量选择为：T T V V y x ][. ??=，请写出状态方程。 （2）判断系统的稳定性，是否可以状态反馈实现稳定。 （3）设计一个状态反馈闭环系统，闭环极点为 1,2321-=-==f f f λλλ。 （4）设计一个极点（矩阵A-hc 的特征值）为 )3,2,1(4=-=i i λ的全维状态观测器。 2、对于系统：2211.22.14,x x x x x x --==，试确定系统在其平衡状态的稳定性。（8'）V(x)=4x1 2+x2 2
振动书籍简介
【转】振动相关经典书籍 1 传统教材及其更新 对我国振动教学的影响影响很大的国外教材当推Timoshenko 等的《工程中的振动问题》(S. Timoshenko, S. H. Young, W. Weaver. Vibration Problems in Engineering (4th ed.). John Wiley & Sons, 1974，521页)，Meirovitch的《振动分析基础》和Thomson的《振动理论及其应用》。这些书早期不同版本均有汉译本。其共同特点是以确定性线性振动为主，按单自由度、两自由度、多自由度、连续体叙述，也包括少量非线性振动和随机振动。这些书在北美也是经典教材，形成振动教学的传统内容。其中Timoshenko等的书在第五版(W. Weaver, S. P. Timoshenko, S. H. Young. Vibration Problems in Engineering (5th ed.). Wiley-Interscience, 1990, 624页)中补充了非线性系统的数值方法并增加有限元法一章，然后未见再版，目前采用的较少。Meirovitch的书和Thomson的书都有新的版本，并 被广为采用。 Thomson与Dahleh合作完成《振动理论及其应用》(W. T. Thomson, M. D.. Theory of Vibration with Applications (5th ed.), Prentice Hall, 1997, 543页)的新版。内容包括振荡性运动，自由振动，简谐激励振动，暂态振动，两和多自由度系统的振动，振动系统的特性，拉氏方程，计算方法，连续系统弦线、杆、轴和梁的振动，有限元法，连续系统的模态叠加方法，经典计算方法，随机振动，非线性振动。各章附有习题。该书取材适当，对些基本内容的讲解很细
东南大学考博试题-线性系统
东南大学自动化所 一. 给定系统 ?????=+?=23 123 2121x x x x x x x 试分析系统平衡状态的稳定性。 二. 给定线性定常系统 , []x y u x x 00210077710001 0=??????????+?????????????= 试问是否存在一个二阶的动态输出反馈补偿器(观测器-控制器型), 使闭环系统的极点为j j 34,2,21±??±?. 若存在, 试求出一个满足要求的动态输出反馈, 否则详细说明理由。 三. 证明 1. 设某线性定常系统的不可简约PMD 描述为, 并设)()()()(1s W s Q s P s R +?D B A sI C +??1)(为其最小实现. 试证明: 对任意适当维数的常数矩阵, 存在多项式矩阵使得 11,D C )(),(11s W s R )()()()(1111s Q s P s R B A sI C ??=? 成立. 反之, 对任意使)()()()(111s W s Q s P s R +?真的适当维数的矩阵, 存在满足上式的常数矩阵. )(),(11s W s R 11,D C
考试科目 线性系统理论(2) 2. 给定单输入单输出线性定常系统的最小实现为 cx y bu Ax x =+= , 其中n R x ∈, 且有02====?b cA cAb cb n ". 又设t t y r λsin )(=为参考信号, 其中λ为给定常数. 试证明存在 控制)(t u 使系统输出)(t y 可以渐近跟踪参考信号, 即存在控制)(t y r )(t u 使 ()0)()(lim =?∞ →t y t y r t 3. 给定线性定常系统 Cx y Bu Ax x =+= , 其中q p n R y R u R x ∈∈∈,,, 试证明: 对任意向量, 常数n R x ∈0τ和正数, 状态在时刻能控当且仅当状态在时刻能控. 0t 0x 0t 0x e A τ0t 4. 给定单输入单输出线性定常系统的最小实现为 cx y bu Ax x =+= , 设控制Kx t u =)(使得系统在初始值0)0(=y 时有0)(≡t y , 则使 ??? ?? ??0c b A sI 降秩的s 值在左半平面(即0)Re(线性系统理论试题
重庆大学 线性系统理论 课程试题 一、名词解释（16分） 1.状态重构？ 2.系统完全能控？ 3.李亚普诺夫意义下的稳定性？ 4.系统的鲁棒性？ 二、回答下列问题（34分=7+6+7+7+7） 1 .线性系统一定稳定吗？说明原因。内部稳定性、外部稳定性以及充要条件是什么？ 2.系统能观测性是指什么？通过结构分解在什么条件下分别可以导出哪几种形式？ 3.画出线性定常系统∑=(A,B,C,D)的状态反馈和输出反馈图，写出反馈系统的方程。 4.请简述线性系统理论的研究内容及研究方法，在系统综合中有哪些性能指标。 5.输入输出描述和状态空间描述都是对系统完整的描述吗？两种表达式有什么不同。 三、连续时间线性时不变系统可用状态反馈任意配置全部极点的条 件？写出极点配置的算法。输出反馈是否可以任意配置闭环极点，为什么？(10分) 四、证明：对完全能控n维单输入单输出线性定常系统∑：，其能控规 范形可基于线性非奇异变换导出，为∑c：，试证明：(16分) 五、证明：线性定常系统∑=(A,B,C,D)是内部稳定的，则其必是BIBO 稳定的。(12分) 六、计算：对于系统：，试确定系统在其平衡状态是否为渐定。(12分)
重庆大学硕士研究生线性系统理论 一、回答下列各题（20分） 1.状态、状态空间、状态观测器？ 2.状态能观测、系统完全能观测？ 3.李亚普诺夫意义下的稳定性？ 4.线性系统内部稳定性和外部稳定性？ 5.状态转移矩阵？ 二、简答题（26分=8+8+10） 1.在状态空间描述下为什么可以引入线性非奇异变换？请说明通过线 性非奇异变换可以得到哪几种系统的结构特征。 2.写出线性系统的输入—输出描述和状态空间描述？为什么在状态空 间描述下要引入能控性和能观测性问题？ 3.画出系统∑=(A,B,C,D)的状态反馈图，写出反馈系统的方程。讨论 在状态反馈、输出反馈两种控制率下，能否根据系统的性能要求任意配置闭环系统极点，为什么？ 三、判断并改错（每题2分，共12分） 1.系统在不完全能控和不完全能观测情况下，不能导出对角线规范形。 2.线性定常系统完全能观测则状态反馈是可镇定的。 3.状态空间描述中，系统的状态变量组为构成系统变量中线性无关 的一个极大变量组，因而状态变量组选取上是唯一的。 4.线性定常系统的状态空间描述，引入线性非奇异坐标变换后都可 以导出能观测规范形。 5.输入输出描述和状态空间描述一样都是对系统的一种完整的描 述。 6.线性定常系统是外部稳定的，则系统也是渐近稳定的。 四、证明：线性定常系统∑：为完全能观测的充分必要条件，存在有 限时刻，使格拉姆矩阵为非奇异。(16分) 五、证明：线性定常系统∑=(A,B,C,D)的唯一平衡状态是渐近稳定的 充要条件是A的所有特征值均为负实部。(12分) 六、计算（每题6分，共18分） 1.对于系统：，试确定系统在其平衡状态是否为渐近稳定的。 2.给定线性定常自治系统，判断其稳定性。