多项式理论及其应用

多项式理论及其应用

许洋

巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000

摘 要

多项式是代数学中最基本的对象之一。它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。 关键词：多项式；矩阵；行列式

Abstract

Abstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebra

Keywords:polynomial;matrix;determinants

引言：多项式理论是古典代数的主要内容。多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。以下本文将介绍多项式的有关理论及其应用。 一,多项式的有关理论 （一）多项式的有关概念

定义1：f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）称为关于x 的一元n 次多项式，n 称为f(x)的次数，记作：deg f(x)=n 。

定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为f(x)=g （x ）.系数全为零的多项式称为零多项式。 性质：设f(x)≠0与g(x)≠0是两个多项式，且f(x)±g(x) ≠0，则 deg[f(x)±g(x)]

≤max{deg f （x ）,deg g(x)};deg[f(x)·g(x)]=deg f(x)+ deg g(x) . （二）多项式的整除法

定理1（带余除法定理）：设f(x)与g(x)是两个多项式，且g(x)≠0，那么存在唯一的一对多项式 q(x)与r(x)，使得f(x)= g(x)q(x)+ r(x)；其中r(x)=0或deg r(x)

定理2（余数定理）：多项式f(x)除以 x-a 所得的余式为f(a)； 推论1（因式定理）：多项式f(x)有因式x-a 的充要条件是f(a)=0 。 推论2：如果f(x)∈Z[x],a 与b 为不相等的整数，则(a-b)丨[f(a)-f(b)] 。 （三）最大公因式

定义3：设f(x) ，g(x)是F[x]中的两个多项式。P[x]中多项式d(x)称为f(x) ，g(x)的一个最大公因式。那么它满足 下面两个条件： 1. d(x)是f(x) ，g(x)的公因式；

2. f(x) ，g(x)的公因式全是d(x)的公因式。

引理：如果有等式f(x)=g(x)q(x)+ r(x)成立，那么，f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式。

定理3：设多项式f(x)与g(x)的最大公因式为d(x)，那么存在两个多项式u(x)和v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x) .

定理4：两个多项式f(x)与g(x)互素的充要条件为：存在两个多项式u(x)和v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. （四）因式分解定理

定理5：（复数范围内的唯一分解定理）

如果不考虑因式的顺序，复系数n （n ≥1）次多项式f(x)可以唯一地分解为一次因式的乘积f(x)=0a ，其中1n + 2n +…+ k n =n 。

定理6：如果不考虑因式的顺序，实系数n(n ≥1)次多项式f(x)可以唯一地分解为一次因式和有非零共轭复根的二次因式的乘积。f(x)=a

2

1

1

()[()]k m

i

i

i

i i x x x a b ==--+∏∏,其中

i a ,i b ,i x ∈R,且i b >0,k+2m=n 。

推论3：实系数n(n ≥1)次多项式的虚根成对出现。 推论4：任何奇次数实系数多项式至少有一个实根。 （五）多项式的根 定理7（代数基本定理）

在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。 定理8：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式恰有 n 个根。 定理9：若f(x)= 1

10...n

n x x

x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）是一个整系数多项式，

而既约分数q/p 是它的一个根，则p 丨n a ，q 丨0a 。

定理10：如果整系数多项式的首项是1，那么他的有理根只能是整数，且是常数项的约数。

定理11（爱森斯坦因判别法）：

设f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）是一个整系数多项式，如果有

一个系数为p ，且满足： 1. p 不整除n a ；

2. p 整除120,,...,n n a a a --；

3. 2p 不整除0a ；

那么f(x)在有理数集上是不可约的。 （六）本原多项式

定义4：如果一个非零整系数多项式的系数是互素的，则称这个多项式是本原多项式。 定理12（高斯引理）：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 二．多项式理论的应用

（一）多项式理论在初等代数中的应用 1.多项式理论在因式分解中的应用

在高等代数里已经证明任意一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式。这种分解除各因式的次序和非零数值因式外是唯一确定的。并且,我们只能对于给定的数域

来谈论多项式的可约或不可约。例如：4x -4在有理数范围内分解为（2x -2）（2x +2），在实

数范围内可分解为（x+2

x +2),在复数范围内分解为（）（（i ）

（）。

例1，能否将有理系数多项式4x +4kx+1(k 为整数)进行分解？

解：（1）.待定系数法

就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积使这些因式的乘积与原式组成恒等式然后利用多项式恒等关系求各待定系数值观察所求值是否是有理数

令f(x)= 4x +4kx+1 (k 为 整数)，显然f (±1) ≠0,所以f(x)无一次因式。若f(x)可约，只能是2个二次有理因式的积，由于f(x)是整系数多项式，因此f(x)可化为两个整系数多项式的积。即f(x)=（2x +ax+1）(2x +bx+1),其中a,b 是整数，则4x +4kx+1=4x +（a+b ）

3x +(2+ab)2x +(a+b)x+1,得a+b=0,2+ab=4k,得2a =2 使a 为整数是不可约的。因此f(x)不可约。即

有理系数多项式4

x +4kx+1 (k 为整数) 不可因式分解。 （2）爱森斯坦因判别法

设f （x ）=0a +1a x+…+n a n

x 是整系数多项式，若能找到一个系数p ，使得p 丨i a （i=0,1,..,n-1）,p 不能整除n a 且2

p 不能整除0a ，则f(x)在有理数域不可约。把f(x)变形，令x=y+1.这样得 g(y)=f(y+1)= 4y +43y +62

y +(4k+4)y+4k+2 由爱森斯坦因判别法，取p=2 即可证 g(y)不可约。即4

x +4kx+1 (k 为整数) 在有理数域上不可因式分解。

以上，用两种方法解决了初等代数中判断某一多项式能否因式分解的问题！

2.用多项式理论分解因式

初中代数已经介绍了提取公因式法，公式法，分组分解法和十字相乘法等基本方法。这里根据多项式的理论再讨论两种因式分解的方法以便解决高次方程的因式分解问题。 例2 在 有理数域上分解因式5x -103x -202x -15x-4 解： 分离重因式法 因为1

f -（x ）=54x -302x -40x-15 用辗转相除法，得d(x)=[f(x), 1f -(x)]= 3x +32x +3x+1 。

h(x)=

()()

f x d x =2

x -3x-4=(x+1)(x-4), 因此，f(x)的所有不可约因式为x-4,x+1，其中x-4 在f(x)中是单因式，x+1是f(x)的四重因式，于是，f(x)=(x-4)4

(1)x +.即

5x -103x -202x -15x-4=(x-4)4(1)x +

（二）多项式理论在解高次方程中的运用

对于某些特殊的一元高次方程,在中学代数教材中仅介绍了因式分解法和换元法，但在许多实际问题中仅掌握这两种方法是远远不够的,这里,利用多项式理论中的韦达定理和实系数多项式的非实复根两两成对的理论,通过例子求一些高次方程的解. 例3 已知方程25x -74x +83x -22x +6x+5=0有两个根是2-i ，i 。解此方程。 解：由于实系数方程的虚根成对出现，故2+i ,-i 也是方程所给的根，由代数基本定理可知此方程有5个根。设此方程第五个根是?，由韦达定理得（2+i ）+（2-i ）+i-i+?=7/2; 得?=-1/2

故此方程的根是2±i, ±i ，-1/2 。

例4 已知实系数方程3x +22x +qx+r 有一个根是，试求q,r ；并解此方程。

解：设方程的三个根是-1±

，? 。则由韦达定理，可知

（）?=-2 得?=0 由韦达定理可进一步推知：q=3;r=0 例5 解方程34x +53x +2x +5x+2=0

解：易知，-2.1/3是f(x)= 34x +53x +2x +5x+2=0的两个根。令g(x)=(x+2)(x-1/3)=

2x +5x/3+2/3,由带余除法，得f(x)=g(x)(32x +3),求32x +3=0的解，±i 是它的根。

经验算原方程的根是-2，±i ，1/3.

二．多项式理论在矩阵问题中的应用

（一）.利用多项式互素理论求抽象矩阵的逆矩阵

命题1 设f(λ)是复系数多项式，n 阶方阵A 的特征值不是f(λ)的零点，则f(A)可逆，且f(A)的逆矩阵可表示为A 的多项式。

命题2 设f(x)和g(x)为互素的两个复系数多项式，A 为n 阶方阵，且g(A)=0,则f(A)

可逆，且f(A)的逆矩阵可表示为A 的多项式。

例1 设2A =2E , B=2A -2A+2E,证明B 可逆，并且求B 的逆矩阵。 证明：设f(x)= 3x -2,g(x)= 2x -2x+2, 则（f(x),g(x)）=1 于是有

-110(x+1)f(x)+( 1

102x +310

x+2/5)g(x)=1 因为f(A)= 3A -2E=0 故 （-1102x +310x+25E ）g(A)=E 因此B=g(A)可逆，且1B -=1102A +310A+2

5E

例2 设2A -2A+3E=0，证明A+2E 可逆，并把A+2E 的逆矩阵表示成A 的多项式。 证明：设f(x)= 2x -2x+3, g(x)=x+2, 则（f(x),g(x)）=1 于是f(x)=(x-4)g(x)+11，因为f(A)= 2A -2A+3E=0 故（A-4E ）g(x)+11E=0

即 （A-4E ）（A+2E ）=-11E, 故114

1111(2)A E A E -+=-+

例3 设方阵A 的特征多项式为f(λ)= 3λ-32λ-λ-1，用A 的多项式表示1()A E --. 解：由条件可知f(A)= 3A -32A -A-E=0

因为1不是A 的特征值，故A-E 可逆，由（3λ-32λ-λ-1，λ-1）=1，得

3λ-32λ-λ-1=（2λ-2λ-3）（λ-1）-4

因此 （2A -2A-3E ）（A-E ）-4E=0 即 （2A -2A-3E ）（A-E ）=4E 故1()A E --=2A /4-A/2-3E/4

（二）利用多项式 整除理论求矩阵的秩

例4 已知矩阵 A 的特征多项式为f(λ)= 3λ-102λ+28λ-24，求2(2)A E -和 A-6E 的秩。

解：设g(λ)= 2

(2)λ-. 由综合除法知 f(λ)= 2

(2)λ-（λ-6） 令h(λ)= λ-6,则f(λ)= g(λ) h(λ)，且（g(λ) ，h(λ)）=1 又 g(A)= 2

(2)A E -,h(A)=A-6E, 根据题意 知道

秩（2(2)A E -）=deg h(λ)=1 秩（A-6E ）=deg g(λ)=2 .

命题3 设f(λ)为矩阵A 的特征多项式 ，若f(λ)= g(λ) h(λ)，且（h(λ) ，g(λ)）=1，则秩（g(A)）= h(λ)的次数，秩（h(A)）= g(λ)的次数

例5，已知矩阵A=211212122

21

1

1111

n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ??

+

?++

?

? ?

?++??

，其中1n i i a =∑=21

n i i a =∑=1，求A 的特征多项

式，并判断矩阵2

()

n A E -+是否可逆。

解：因为A=121

2

1111

11n n a a a a a a ???? ???

??? ??? ????

?

?? -n E =2

n E A λλ-B-n E , 其中B=12111n a a a ?? ??? ，n E 为n 阶单位矩阵。 则

n E A

λ-=

T n n

E B B E λ-+=

(1)n T E B B

λ+-=

2(1)(1)n T

n E BB λλ-++-=

2

(1)n λ-+2

11

1

1001n n

i i i i n

i i a a a

n λλ===?? ?+?? ?- ?+ ??? ???

∑∑∑ 注意

：

1

n

i

i a

=∑=

21

n

i

i a

=∑=1

，

于

是

A

的

特

征

多

项

式

为

n E A λ-=2

(1)n λ-+111n

λ

λ--+-=2(1)n λ-+[2

λ-(n-1)λ-1]

L 令g(λ)= 2(1)n λ-+,h(λ)= 2λ-(n-1)λ-1,显然（g(λ)，h(λ)）=1，由命题3知，秩（g(A)）=秩 （2()n A E -+）=deg(h(λ))=2 。故2()n A E -+不可逆 （三）利用多项式因式分解理论判定矩阵能否对角化 命题4 设f （λ）为n 阶矩阵多项式，且g(λ)=1()

((),())

f f f λλλ-，则A 与对角矩阵相似的充要条

件是 g(A)=0.

证明：必要性：因为A 与对角矩阵相似，那么A 的最小多项式011,,...,n n i x x εεε-取f(λ)的所有根，又g(λ)=

1()

((),())

f f f λλλ-无重根且与f(λ)的根相同，故g(λ)= ()A m λ，因而g(A)=0 。

充分性：由g(A)=0知()()A m g λλ，且g(x)无重根，从而()A m λ无重根，故A 与对角矩阵相似。

例6 判定矩阵A=332152139-?? ?

-- ? ?-??

能否对角化？

解 ：A 的特征多项式为f （λ）=

E A λ-=3λ-82λ+20λ-16 ，1()f λ-=32λ-16λ+20

由辗转相除法可得，（f （λ），1

()f λ-）=λ-2，则g(λ)=

1

()((),())

f f f λλλ-= 2

λ-6λ+8=（λ-2）（λ-4） 且g(A)=(A-2E)(A-2E)=0 由命题 4知，A 可以对角化。

三．利用多项式理论计算行列式 （一）直接构造多项式

例1，计算n D =

1

2121

2

n n n a a a a a x a a a a x

++

解：n D =（x+）

2323233

2

1111n n n n a a a a x

a a a a x a a a x

a +++

;

令

f(

23,,n

x x x )=

2323233

2

1111n n n n a a a a x

a a a a x a a a x

a +++

,

显

然

f(0,

3,n x x )=f(2,0,,n x x )=……=f(23,,,0x x )=0;所以，f(23,,n x x x )=2

n

i i x =∏

即n D =（x+

1

n

i i a =∑）1

n x

-

（二）构造辅助多项式

例2 计算n D =

123121

23

41

n n

n - 。

解：令f(x)=1+2x+32

x +…+n 1

n x

-,并设1n x -=0的n 个根为0ε，1ε，

…, 1n ε- 且0ε=1，则

n D =2

()n i i f x =∏=f(1) 1

()n i i f ε-=∏

=f(1)

(1)12

n -+=f(1) 1

11

()(1)

n n i i n ε--=--∏ 而1

1

()n i i x ε-=-∏=1

n x

-+2

n x

-+…+x+1 即1

1

(1)n i i ε-=-∏=n

所以n D =f(1) 1()n n n --=1

1(1)(1)2

n n n n --+-.

例3，计算n D =00000

0000000a b a b a b b a

； 解：令f(x)=a+bx ·n

x -1=0的n 个根为i x （i=1,2,…,n ）,则n D =

10

()n i

i f x -=∏=1

()n i

i a bx -=+∏ ；可知

10

()n i

i f x -=∏=2112...(1)n

n n

n

b x x x

a b ++-=…=

12,..,1

121,...n n

i i rn i i i x x x --∑

=0

而12n x x x = (1)n -·

（-1）=1(1)n +- 所以，n D =12...n n n b x x x a +=21(1)n n a b +- 。

例4 计算n D =a b b b

c a b b

c c a b c c c a

≠ （abc ≠0,b ≠c ）;

解：显然，n D 是一个k=

c b 的n 阶k 循环行列式。故我们可以令f(x)=a+b(x+()()1

i i a b x c a x -+--),并设n

x -c

b =0的n 个根为i x （i=1,2,…,n ） 则n D =1

()n

i i f x =∏

又 f(x)=a+b(11

n c c

x x

b b x x -

-+--),且n i x =c b 。故f(i x )=()()1i i a b x c a x -+-- 则有

n D =n x

再如，n D 是一个k=-1的n 阶k 循环行列式，与例3相似，可令f(x)=x+2

x +…+1

n x

-,并设i

x （i=1,2,…,n ）是n

x +1=0的n 个根，则可求得n D =(1)1

2

n -+ .

（三）用多项式理论计算主对角线俩旁的元素完全相同的行列式 例5 计算n D =1(2)n b a --；

解：n D 是一个n 阶循环行列式，故可令f(x)=(b-a)+a(x+2

x +…+1

n x -),并设n

x -1=0的n 个根i

x （i=1,2,..,n ）,则n D =

1()n i

i f x =∏=f(1)2

()n

i

i f x =∏

从而可求得n D =[b+(n-2)a] 1(2)n b a --.

结束语：本文首先叙述了多项式有关基本概念和基本性质，比如介绍了有关一元n 次多项式的定义，多项式的整除，多项式的最大公因式，因式分解定理，多项式的根和本原多项式。然后主要介绍了多项式理论在初等代数，解高次方程，以及在矩阵问题中的一些应用。我们可以注意到利用多项式理论在解决某些问题时,思路清晰,方法巧妙,尤其是对抽象矩阵求逆矩阵和秩具有无比的优越性.另外,对这些理论方法的探讨和应用,更能让学生在以后的学习过程中不断领略到多项式理论的重要性,使所学代数知识前后呼应,相互渗透,最终达到融会贯通之目的.

参考文献

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本科学生毕业论文

题目多项式理论及其应用

系别数学系

专业数学与应用数学

学生姓名许洋

学号 07025050 指导教师吴永生职称副教授

完成日期: 年月日