电工技术(第四版高教版)思考题及习题解答：第四章 单相交流电路 席时达 编

第四章单相交流电路

4-1-1 已知i1＝5sin314tＡ，i2＝15sin(942t+90°)Ａ。你能说i2比i1超前90°吗？为什么？

[答]两者频率不同，比较其相位是没有意义的，因此不能说i2超前i1 90°。

4-1-2 将通常在交流电路中使用的220V、100W白炽灯接在220V的直流电源上，试问发光亮度是否相同？为什么？

[答]通常在交流电路中使用的220V、100W白炽灯，接在有效值为220V的交流电源上，其功率是100W，由于交流电有效值是从能量转换角度去考虑的等效直流值，如果将它接在220V的直流电源上，其功率也是100W，故发光亮度相同。

4-1-3 交流电的有效值就是它的均方根值，在什么条件下它的幅值与有效值之比是2？

[答]必须是正弦交流电，它的幅值与有效值之比才是2。

4-1-4 有一耐压为220V的交、直流通用电容器，能否把它接在220V交流电源上使用？为什么？

[答]电容器的耐压值是指它的绝缘物能承受的最高电压。220V交流电压的最大值为2202V＝380V，超过电容器的耐压值220V，会使电容器的绝缘击穿，故耐压为220V的交、直流通用电容器不能接在220V交流电源上使用。

4-2-1 正弦交流电压的有效值为220V，初相角ψ＝30°，下列各式是否正确？

(1) u =220 sin (ωt+30°)V

(2) U=220 /30°V

(3)

.

U=220e j30°V

(4)

.

U=2220 sin (ωt+930°)V

(5)u =220 /30°V

(6)u =2220 /30°V

[答]只有（3）是正确的。

(1)可改正为u =2220 sin (ωt+30°)V

思考题解答

(2) 可改正为 ·.U =220 /30°V (4) 可改正为 u =2220 sin (ωt +30°)V

(5)可改正为 .U =220 /30°V

(6) 可改正为 .U m =2220 /30°V

4-2-2 已知İ＝10/30°Ａ，试将下列各相量用对应的时间函数来表示（角频率为ω）：

(1) İ

(2) j İ

(3) －j İ 。

[答] (1) i 1=210sin(ωt +30°)A

(2) i 2= 210sin(ωt+120°)A

(3) i 3=210sin(ωt －60°)A

4-3-1 为什么说根据欧姆定律的相量形式.U =İ R 可以画出图3-3-2(a)、(b)的波形图和相量图？

[答] 欧姆定律的相量形式.

U =İ R 全面表示了电阻电路的电压与通过它的电流三要素之间的关系：1. 电阻电压与流过电阻的电流是同频率的正弦量（只有同频率的正弦量才可在同一算式中用相量表示）；2.它们的相位相同；3. 它们有效值之间的关系为U =IR 。因此就可以画出它们的波形图和相量图。

4-3-2 欧姆定律的相量形式中的j 表示什么？

[答] j 是向逆时针方向旋转90°的旋转因子。X L İ乘上j 后才等于.U ，说明电感电路中的电压比它的电流在相位上超前90°。

4-3-3 在图4-1（a ）所示的电路中，正弦电压u 1与电流i 1的相位有怎样的关系?

[答] 设i 1' =－i 1，则i 1'的参考方向与u 1的参考方向一致(关联参考方向)，在此条件下，

图4-1 (a) (b) İ1 İ1′

1

.

U

电感元件上电压u 1的相位超前于电流90°。由于i 1'与i 1反相，作相量图如图4-1（b ）所示，可知u 1滞后于i 190°。 4-3-4 指出下列各表达式正确与否？ R=u /i X L =u /ωL j X C = C U . / İ －j X C = C U . / İ X L =U L /I I= L U ./ j X L İ = L U ./－j X L İ= C U ./ j X C

[答] 只有R=u /i ，－j X C = U · C / İ，X L =U L /I 三式正确。

4-3-5 在图4-2所示的电路中，当交流电压u 的有效值

不变，频率增高时，电阻元件、电感元件、电容元件上的电

流将如何变化？

[答] 当交流电的频率增高时，电阻不变，感抗增大，容

抗减小，故电阻元件上的电流不变，电感元件上电流减小，

电容元件上电流增大。

4-3-6 解答上题的根据是否是：在正弦交流电路中，频率越高则电感越大，电容越小，而电阻不变 ?

[答] 不对，在正弦交流电路中，频率越高则感抗越大，容抗越小。而不是电感越大，电容越小。

4-4-1 在RLC 串联电路中，当L ＞C 时，电流的相位是否一定滞后于总电压？

[答] 在RLC 串联电路中，电流的相位是否滞后于总电压，取决于是否X L ＞X C ，而不是取决于是否L ＞C 。

4-4-2 在RLC 串联电路中, 下列公式有哪几个是正确的?

(1) u = u R +u L +u C (2) u = R i+X L i+X C i

(3) U =U R +U L +U C (4) U =U R +j (U L －U C )

(5) ·.U =.U R + ·.U L +.U C (6) .U =.U R +j(.U L －.

U C )

[答] 只有(1)、(5)是正确的

4-4-3 正弦交流电路如图4-3所示，若电压表的读数U 2 >U 1，请问元件Z 是什么性质的?

[答] 容性。(若Z 是电阻性或电感性,则必然U 2

图图4-2

4-4-4 某负载的电流大于功率表的额定值，但电压和功率都小于功率表的额定值，能否用此功率表来测量该负载的电功率？

4-5-1 电阻10Ω、感抗5Ω、容抗8Ω三者并联后，电路是什么性质?

[答] 感抗小于容抗，则电感上的电流大于电容上的电流，总电流将滞后于电压，故电路呈感性。

4-5-2 设有两个阻抗｜Z1｜和｜Z2｜相串联，其总阻抗｜Z｜=｜Z1｜+｜Z2｜对不对？在什么条件下此式可以成立？

[答]一般情况下｜Z｜≠｜Z1｜+｜Z2｜，只有在两个阻抗角相等（φ1=φ2）的条件下，｜Z｜=｜Z1｜+｜Z2｜才能成立。

4-5-3 电路如图4-4所示，如果电流表A1和A2的读数分

别为6A和8A，试判断Z1和Z2在下列情况下各为何种参数?

(1) 电流表A的读数为10A;

(2) 电流表A的读数为14A;

图4-4

(3) 电流表A的读数为2A。

[答](1) Z1和Z2中一个为电阻，另一个为电感或电容。因为

I =√I12+I22 =√62+82A=10A

(2) Z1和Z2是同一种参数或阻抗角相等的电路。，因为

I =I1+I2=（6+8）A=14A

(3) Z1和Z2中，一个为电感，一个为电容。因为

I =ㄧI1－I2ㄧ=ㄧ6－8ㄧ= 2A

4-6-1 在感性负载两端并联上补偿电容器后，线路上的总电流、总功率以及负载电流有没有变化？

[答]在感性负载两端并联上补偿电容器后，线路上的总电流减小，但总功率以及负载电流不变。

4-6-2 在感性负载两端并联的电容量越大，是否线路的功率因数就提得越高？

[答]如果并联的电容量过大，无功功率补偿过头，电路变为电容性后，功率因数反而会降低，故并非并联的电容量越高大，功率因数就提得越高。

4-7-1 在RLC串联电路发生谐振时，电阻上的电压有可能高于电源电压吗?

[答]在RLC串联电路发生谐振时，电阻上的电压等于电源电压，不可能高于电源电压。

4-7-2 当频率低于或高于谐振频率时，RLC 串联电路是电容性还是电感性的？ [答] RLC 串联电路发生谐振时，电路呈电阻性。当频率低于谐振频率时，电感的感抗减小，电容的容抗增大，则电感电压小于电容电压，即总电压滞后于总电流，故电路是电容性的；当频率高于谐振频率时，情况相反，电路是电感性的。

4-7-3 保持正弦交流电源的有效值不变，改变其频率，使RLC 串联电路达到谐振时，电路的有功功率、无功功率以及储存的能量是否达到最大？

[答] 保持正弦交流电源的有效值不变，改变其频率，使RLC 串联电路达到谐振时，电流最大，电阻上消耗的能量最大，故有功功率达到最大；电感和电容上的无功功率也分别达到最大，但这两部分无功功率正好互相抵消，故总无功功率等于零。也说是说这时电路中储存的能量达到最大，但这些能量只在电感与电容之间互相交换，而与电源之间没有能量交换。

4-7-4 正弦交流电路如图4-5（a ）所示，已知X L =X C =R ，电流表A 3读数为1A ，试问电流表A 1和A 2的读数各为多少？

[答] 因X L =X C =R ，故流过各元件的电流有效值相等，即I L =I R =I C ＝1A ，电路处于电流谐振状态。作电流的相量图如图4-5（b ）所示，可知电流表A 1和A 2的读数分别为1A 和2A 。

4-7-5 当上题电路中的电源频率发生变化时, 电流表A 1变大还是变小? 电路性质怎样变化?

[答] RLC 并联电路发生谐振时，阻抗最大，当电源电压一定时，电路的总电流最小。因此，当上题电路中的电源频率发生变化时，总电流增大，即电流表A 1读数变大。

当电源频率增高时，I L 减小，I C 增大，电路呈电容性；反之，当电源频率降低时，电路呈电感性。

4-8-1 图4-8-1(b)所示的矩形波的傅里叶级数展开式中包含有直流分量嗎？为什么？

(a)

图4-5 İR =İA1 İL =－İC İC = İA3 İR + İC = İA2

(b)

U

．

4-1 已知正弦电压和正弦电流的波形如图4-6所示，频率为50ＨZ ，试指出它们的最大值、初相位以及二者之间的相位差，并说明哪个正弦量超前，超前多少角度？超前多少时间？

[解] 电压最大值310V ，初相位45°；电流最

大值2A ，初相位－90°。相位差135°，电压超前于

电流135°，超前时间 t =T ×135°/360°=0.02

s×135°/360°=7.5ms

4-2 某正弦电流的频率为20H Z ，有效值为

52A ，在t = 0 时，电流的瞬时值为5A ，且此时

刻电流在增加，求该电流的瞬时值表达式。

[解] 电流的瞬时值表达式一般为

i =I m sin (ωt +ψi )=

2I sin (2π f t +ψi ) 由于在t = 0 时，电流的瞬时值为5A ，则有

5 =2×52sin ψi

可得ψi =30°，故该电流的瞬时值表达式为

i =2I sin (2π f t +ψi )

= 10 sin (40π t + 30°)A

4-3 已知复数A 1＝6+j8，A 2=4+j4， 试求它们的和、差、积、商。

[解] A 1＝6+j8=10 / 53.1°， A 2=4+j4=42 /45°，故

和 A 1+A 2=(6+j8)+(4+j4)＝10+j12

差 A 1－A 2=(6+j8)－(4+j4)＝2+j4

积 A 1·A 2=10 /53.1°×42/45°=56.6 /98.1°

商 A 1÷A 2=10 /53.1°÷42/45°=1.77/8.1°

4-4 试将下列各时间函数用对应的相量来表示：

（1） i 1=5sin ωt A ，i 2=10sin （ωt +60°）A ；

（2） i = i 1+i 2 。

[解] (1) İ1=(5/2)/0°A=5/2A ，İ2=(10/2) /60°A=（5/2+j8.66/2）A 习题解答 图4-6

(2) İ = İ1 + İ2=5/2A+ 5/2+j8.66/2A=10/2+j8.66/2A ＝9.35/40.9°A 4-5 在图4-7所示的相量图中，已知U =220V ，I 1=10A ，

I 2=52A ，它们的角频率是ω，试写出各正弦量的瞬时值表达式

及其相量。

[解] 瞬时值表达式：u =2202sin ωt V ，

i 1=102sin(ωt +90°) A ，i 2= 10 sin(ωt －45°) A 。

相量：.U =220/0°V ，İ1=10/90°A ，İ2=52/－45°A 。

4-6 220V 、50H Z 的电压分别加在电阻、电感和电容负载上，此时其电阻值、感抗值和容抗值均为22Ω，试写出各电流的瞬时值表达式，并以电压为参考相量画出相量图。若电压的有效值不变，频率由50H Z 变到500H Z ，重新写出各电流的瞬时值表达式。

[解] f =50H Z 时，各电流的有效值均为I =

A 10A 22220 ，故各电流的瞬时值表达式为 i R ＝102sin314t Ａ

i L ＝102sin （314t －90°）Ａ

i C ＝102sin （314t +90°）Ａ

相量图如图4-8所示。 频率由50H Z 变到500H Z 时，电阻不变，感抗增大到10倍，容抗减小到1/10 ，故

i R ＝102sin3140t Ａ

i L ＝2sin （3140t －90°）Ａ

i C ＝1002sin （3140t +90°）Ａ

4-7 电路如图4-9所示，已知u = 10sin(ωt －180°)V, R =4Ω,ωL =3Ω。试求电感元件上的电压u L 。

[解] 已知 .

U =（10/2）/－180°V ，Z=（4+j3）Ω=5/36.9°Ω，故

İ = = A ＝2/－217°A .U L = j X L İ＝ j3×2/－217°V=32/－127°V

图4-7 图4--8 U · Z （10/2）/－180°

图4-9

得 u L = 32×2sin(ωt －127°)V ＝6 sin(ωt －127°)V

4-8 已知ＲＣ串联电路的电源频率为１／（2πRC ），试问电

阻电压相位超前电源电压几度? [解] 已知f ＝１／（2πRC ），则X C =1/ωC = 1/ 2πf C=R ，可作阻

抗三角形如图4-10所示。由此可知阻抗角为45°，即相位差角为45°，

电流超前于电压45°，故电阻电压相位超前电源电压45°。

4-9 正弦交流电路如图4-11（a ）所示，用交流电压表测得U AD =5V ，U AB =3V ，U CD =6V ，试问U BD 是多少?

[解] 已知U=U AD =5V ，U R =U AB =3V ，作电压三角形如图4-11（b ）所示，可知U X =4V ，故U BD ＝U X =4V 。

4-10 正弦交流电路如图4-12所示，电源频率一定，U 和R 不变，试问当可变电容C 的值增加时，该支路消耗的功率将如何变化?

[解] 当电容C 的值增加时，容抗减小。因R 不变，故电路的阻抗减小，电流增大，该支路消耗的功率Ｐ＝Ｉ2Ｒ将增大。

4-11 正弦交流电路如图4-13所示，已知e = 50sin ωt V ，在5Ω电阻上的有功功率为10W, 试问整个电路的功率因数是多少?

[解] I = √P 1 / R 1 =√10 / 5 A =2A

总有功功率 P =I 2 (5+10) Ω= 30W

（a ） （b ） 图4-13

图4-12 U

图4-10 R X C ＝R

45°

总视在功率 S = U I =(50 /2)V×2A=50V A 故整个电路的功率因数 cos φ=P / S = 30 / 50 = 0.6

4-12 荧光灯电源的电压为220V ，频率为50H Z ，灯管相当于300Ω的电阻，与灯管串联的镇流器在忽略电阻的情况下相当于500Ω感抗的电感，试求灯管两端的电压和工作电流，并画出相量图。

[解] 按题意，萤光灯相当于RL 串联电路，其阻抗为 Z =300+j500Ω＝583/59°Ω

灯管工作电流 I ＝220/583＝0.377A

灯管两端电压 U R =I R ＝0.377×300＝113V

以电流为参考量的相量图如图4-14所示。 4-13 试计算上题日光灯电路的有功功率、视在功率、无功功率和功率因数。

[解] 有功功率 P =I 2R ＝0.3772×300W ＝42.7W ；

视在功率 S=UI ＝220V×0.377A ＝82.9V A ；

无功功率 Q =I 2X L ＝0.3772×500＝71.1var ；

功率因数 cos φ=P/S ≈42.7/82.9＝0.515

4-14 正弦交流电路如图4-15（a ）所示，已知X C =R ，试问电感电压u 1与电容电压u 2的相位差是多少？

[解] 因X C =R ，故I C =I R 。 以电容电压U ·

2为参考相量作相量图如图4-15（b ），因İC 超前于U · 290°，İR 与U · 2同相，İC 与İR 合成的电流即为电感上的电流İL ，由于I C =I R ，可知İL 超前于İR 45°，又因电感电压U · 1超前于电感电流İL 90°，故U · 1超前于İR （45＋90）°，即电感电压u 1 的相位超前于电容电压u 2 135°。

4-15 如图4-16所示，若u =102sin(ωt+45°)V ，i =52sin(ω

t+15°)A ，则Z 为多少？该电路的功率又是多少？ [解] Z = = Ω=2/30°Ω

(a)

(b) 图4-15 图4 -14 图4-16

U

· İ 10/45°

有功功率 P=UI cos φ=10×5×cos30°W=43.3W 4-16 单相异步电动机的功率为800W ，功率因数cos φ1=0.6，接在220V 、50H Z 的电源上。求：

（1）将功率因数提高到0.9，补偿电容值为多少？

（2）并联电容前后的电流值。

[解]（1）并联电容前 cos φ1=0.6，φ1＝53.1°，tan φ1＝1.33

并联电容后 cos φ2=0.9，φ2＝25.8°，tan φ2＝0.483

故需补偿的无功功率为 ＱC =P （tan φ1－tan φ2）

＝800×（1.33－0.483）var ＝678var

补偿电容值为 C ＝2

2fU P π（tan φ1－tan φ2） ≈

2220

502800⨯⨯π（1.33－0.483）F ＝44.6μF （2）并联电容前电路的电流

I 1＝

1cos ϕU P ＝6.0220800⨯A ＝6.06A 并联电容后电路的电流

I 2＝2cos ϕU P ＝9

.0220800⨯A ＝4.04A 4-17 有一感性负载, 其功率因数cos φ=0.866，现用一电容器并联在它的两端来提高电路的功率因数。设在未并联电容之前，如图4-17（a ）所示，电流表Ａ的读数为５Ａ；并联电容之后，如图4-9（b ）所示，总电流表Ａ及两个支路的电流表Ａ１、Ａ２的读数均为５Ａ，问补偿电容器的电容量是过大 还是过小？（提示：画出相量图考虑）

图4-17 30° İ 1

（c ）） İ 2

İ

U ·

[解] 负载功率因数cos φ=0.866，即cos φ1＝0.866，故φ1＝30°。

并联电容以后，负载电流不变，电容电流I 2超前于电源电压90°。再根据三个电流表的读数相等，据此可画出以电压为参考相量的相量图如图4-17（c ）所示。从相量图看出，总电流I 超前于电源电压U ，电路变成为电容性，可见补偿电容器的电容量是过大，

4-18 串联谐振电路如图4-18示，已知电压表V 1、V 2的读数分别为150V 和120V ，试问电压表V 的读数为多少？

[解] 串联谐振电路中ＵL ＝ＵC ＝120V ，由电压三角形可知，电压表V 的读数为

U =ＵR ＝√1502－1202 V=90V

4-19 RLC 组成的串联谐振电路，已知U =10V ，I =1A ，U C =80V ，试问电阻R 多大？品质因数Q 又是多大？

[解] 电阻的阻值为 R= U R / I=U / I =10Ω

品质因数为 Q =U C /U =80 / 10=8。

4-20 图4-19所示的并联电路中，L =0.5mH ，R =25Ω，C =80pF 。试求谐振频率、品质因数和谐振时电路的阻抗。

[解] 谐振频率 f 0≈LC π21

＝12

31080105.021

--⨯⨯⨯πH Z ＝796kH Z 品质因数 Ｑ＝R L

0ω＝R L f 02π＝25105.01079623

3-⨯⨯⨯⨯π＝100 谐振时电路的阻抗 Z 0≈R L 20)(ω＝R

L f 2

0)2(π ＝25

)105.0107962(233-⨯⨯⨯⨯πΩ＝250kΩ 4-21 电路如图4-20所示，已知交流电源的角频率ω=2rad/s ，试问AB 端口间的阻抗ＺAB 是多大？

图4-18 图4-19 i

＋

u

－ i 1 R L

i C

[解]因X L=ωL=2×1Ω=2Ω，X C=1/ωC=1/（2×0.25）Ω=2Ω，

故ＺAB=R∥( j X L)∥(－j X C)=R∥

()

()2j-

j2

2j

-

j2

+

⨯

＝R∥∞=R= 4Ω

图4-20