实验五 定积分的近似计算
实验五 定积分的近似计算
我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那里所谓的计算方法，是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给出，但是要计算它的原函数却很困难，甚至于原函数可能是非初等函数。本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数值积分”，即定积分的近似计算。
所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分
?
b
a
dx
x f )(在几何上表示曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。
1、 观察黎曼和式的收敛性
由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式
i
n
i i
x f ?∑=1
)(ξ的极限，因此可以用黎曼和
式来近似计算定积分。为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为n 段，并以小区间中点
处的函数值作近似，于是黎曼和式为：∑=-+-+-n k n
a
b k a f n a b 1))5.0)1(((， 因而
?
∑=-+-+-≈b
a n k n a
b k a f n a b dx x f 1))5.0)1((()(。 例1 计算
dx x
?
3
2
ln 1
的黎曼和。 解：输入命令如下：
2、 梯形法
大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。具体方法如下：
将区间],[b a 用b x x x a n ==,,,10 等分为n 个小区间，小区间的长度为
n
a
b -。设)()(n a
b i
a f x f y i i -+==),,1,0( n i =，则每个小梯形的面积为n
a b y y i i -?++21，从而得到梯形法的公式为：
n a
b y y y y y y dx x f n n b
a
-++++++≈-?)](21)(21)(21[)(12110 ])(2
1
[1210-+++++-=
n n y y y y y n a b ])(2)()([1
∑=-+++-=n i n a b i a f b f a f n a b 。
下面来估计梯形法的误差。第i 个小曲边梯形的面积为?
+=
?1
)(i i
x x i dx x f A ，做变换
t n a b x x i -+
=-1，则dt n
a b t n a b x f dx x f A i x x i i i ??-?-+==?-+101)()(1，当)(''x f 在区间
],[b a 上连续时，利用分部积分法可以证明：
dt t n
a
b x f t t n a b x f x f n a b A i i i i ?
-+
---
+-=?--1
13
3
1)('')1(2)()]()([2。 设2M 为|)(''|x f 在区间],[b a 上的最大值，则第i 个小曲边梯形与相应的梯形面积之差的绝对值估计如下：
|)('')1(|2)(|)]()([2|101331dt t n a
b x f t t n a b x f x f n a b A i i i i ?-+--=+--?-- dt t t M n a b dt t n a b x f t t n a b i ??-?-≤-+--≤
-10233
1
013
3
|)1(2)(|)(''|)1(2)( 23
3
12)(M n
a b -= 于是，梯形法的绝对误差为22
3
123312)(12)(M n a b M n
a b n
i -=-∑=。 例2 用梯形法近似计算dx x
?
3
2
ln 1
，要求误差不超过510-。 解：设x x f ln 1)(=
，则2232)
(ln 1)(ln 2)(''x x x x x f +=，显然)(''x f 在区间]3,2[上的最大值为)2(''2f M =。下面我们根据梯形法利用Mathematica 编程，在程序中，定义了n 等分时的梯形公式)(n t ，并采用“Do ”命令进行循环直到满足精度要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出n 及)(n t 。输入命令如下：
n0的值改为200，再次运行，发现循环到n=130时结束，此时达到精度要求，积分的近似值为：1.11843。
3、 抛物线法
梯形法的近似过程是在每个小区间中用直线段来近似被积函数段，即逐段地用线性函数来近似被积函数。为了进一步提高精确度，可以考虑在小范围内用二次函数来近似被积函数，这种方法称为抛物线法，也称为辛普森（Simpson ）法。具体方法如下：
用分点b x x x x a n ==,,,,210 ，将积分区间n 等分（这里要求n 为偶数），各分点对应的函数值为n y y y y ,,,,210 ，即)()(n
a
b i
a f x f y i i -+==。我们知道平面上三点可以确定一条抛物线r qx px y ++=2，而相邻的两个小区间上经过曲线上的三个点，则由这三点做抛物线（因此抛物线法必须将区间等分为偶数个小区间），把这些抛物线构成的曲边梯形的面积相加，就得到了所求定积分的近似值。
下面计算在区间],[20x x 上以抛物线为曲边的曲边梯形面积。为此，先计算区间[]h h ,-上，以过),(),,0(),,(210y h y y h -三点的抛物线r qx px y ++=2
为曲边的曲边梯形面积S ：
rh ph dx r px dx r qx px S h
h
h
23
2)(2)(3
22
+=
+=++=??-， 由r qh ph y r y r qh ph y ++==+-=22120 , ,得：12022y y y ph -+=
故()
)4(31
)62(31623121023y y y h r ph h rh ph S ++=+=+=
。 取n
a b h -=，则上面所求的S 等于区间],[20x x 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积。同
理可以得到区间],[11+-i i x x 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积：
),4(311+-++-=
i i i i y y y n
a
b S 1,,2,1-=n i 。 于是，将这
2
n 个曲边梯形的面积加起来，得到定积分的近似值为（设k n 2=）：
)](2)(4[32421310--+++++++++-=
n n n n y y y y y y y y n
a
b S
])(2)(4)()([61
1
2112∑∑-==-+++-=k i i k i i x f x f b f a f k a b 。
上式称为辛普森公式或抛物线公式。用这个公式求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明
不超过44
5180)(M n
a b -，其中4M 是|)(|)
4(x f 在区间],[b a 上的最大值。 例3 用抛物线法近似计算dx x
?
3
2
ln 1
，要求误差不超过510-。 解：设x
x f ln 1
)(=
，可由命令D[f[x],{x,4}]得到)(x f 的四阶导函数为： 2
4344454)4()
(ln 6)(ln 22)(ln 36)(ln 24)(x x x x x x x x x f +++=
，显然)()
4(x f 在区间]3,2[上的最大值为)2()
4(4f
M =。下面根据抛物线法的思想利用Mathematica 编程，在程序中，与
例2一样，定义了等分k n 2=时的抛物线公式)(k p ，并采用“Do ”命令进行循环直到满足要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出k 及)(k p 。输入命令如下：
1.11843。从例2、例3可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实际情况也是相符的。
最后，我们再说明一点，在Mathematica 内部有一个数值积分的命令“NIntegrate ”，例如要计算
dx x
?
3
2
ln 1
，我们可以调用命令：
NIntegrate 1 Log x , x ,2,
或者我们可以通过基本输入模板直接输入积分符号：
N ”是表示输出的结果为实数的形式。运行后均得结果1.11842。 虽然使用内部的命令计算数值积分非常方便，但是误差估计不明显，而且作为一个大学生，应该要知道隐藏在命令后面的原理。因此掌握本实验介绍的数值积分的原理、公式及编程方法也是很必要的。
实验习题5
1、计算定积分
?
20
2sin π
dx x 的黎曼和。
2、分别用梯形法、抛物线法计算定积分?
20
2sin π
dx x 的近似值（精确到0.0001）。
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
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定积分典型例题11198
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高中数学定积分计算习题
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
高中数学定积分训练题
定积分训练题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+10 )1( C ．dx ? 1 01 D ．dx ?1 021 3．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ） A ．320gt B ．2 0gt C ．2 2 0gt D ．6 2 0gt 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ） A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．dx e e x x ? -+1 )(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ?--1 1 B ． ()[]dx x x ?-+-210 1 C ． ()[]dy y y ?--210 1 D ．()[]dx x x ? +--10 1 9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米， 则该正方形薄片所受液压力为 （ ） A ．? 3 2 dx x ρ B ． ()?+2 1 2dx x ρ C ．? 1 dx x ρ D ． ()?+3 2 1dx x ρ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21 .........2111( lim n n n n +++++∞ →表示为定积分 ． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．
定积分的近似计算
数学实验报告 实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日 实验名称定积分的近似计算 问题背景描述： 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 实验目的： 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。
实验原理与数学模型： 1．矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同的取法，计算结果会有不同。 （1）左点法：对等分区间 ， 在区间上取左端点，即取。 （2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。 （3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2．梯形法 等分区间 ， 相应函数值为（）．
曲线上相应的点为（） 将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为 ，． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值， ， 即， 称此式为梯形公式。 3．抛物线法 将积分区间作等分，分点依次为 ，， 对应函数值为 （）， 曲线上相应点为 （）． 现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
最新定积分的近似计算2
定积分的近似计算2
定积分的近似计算 虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。 定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍两种常用的方法梯形法及抛物线法。 一梯形法 将积分区间?Skip Record If...?作?Skip Record If...?等分，分点依次为 ?Skip Record If...? 相应的函数为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 曲线?Skip Record If...?上相应的点为 ?Skip Record If...? 将曲线的每一段弧?Skip Record If...?用过点?Skip Record If...?（线性函数）来代替，这使得每个?Skip Record If...?上的曲边梯形形成了真正的梯形（图11——25），其面积为 ?Skip Record If...? 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近 似值，即 ?Skip Record If...? 亦即 ?Skip Record If...?（2） 称此式为梯形法公式。 在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有 ?Skip Record If...?
其中?Skip Record If...? 二抛物线法 由梯形法求近似值，当?Skip Record If...?为凹曲线时，它就偏小；当?Skip Record If...?为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。 将区间?Skip Record If...?作?Skip Record If...?等分（图）分点依次为 ?Skip Record If...? 对应的函数值为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?曲线上相应的点为?Skip Record If...? 现把区间?Skip Record If...?上的曲线段?Skip Record If...?用通过三点?Skip Record If...?的抛物线 ?Skip Record If...? 来近似代替，然后求函数?Skip Record If...?从?Skip Record If...?到?Skip Record If...?的定积分： ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?由于?Skip Record If...?，将它代入上式整理后可得 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 同样也有 ?Skip Record If...? ……………………………………………….. ?Skip Record If...? 将这?Skip Record If...?个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： ?Skip Record If...? 即 ?Skip Record If...?
定积分计算例题
第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
高等数学第五章定积分总结
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b
第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?
高等数学第五章定积分及自测题
第五章定积分 一、基本要求： 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容
Ⅰ. 定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=，小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1 ()n i i i f x ξ=?∑， 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定：(1)当a b =时， ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质： (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则 ()0,()b a f x dx a b ≥
实验五 定积分的近似计算
实验五 定积分的近似计算 我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那里所谓的计算方法，是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给出，但是要计算它的原函数却很困难，甚至于原函数可能是非初等函数。本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数值积分”，即定积分的近似计算。 所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。 1、 观察黎曼和式的收敛性 由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式 i n i i x f ?∑=1 )(ξ的极限，因此可以用黎曼和 式来近似计算定积分。为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为n 段，并以小区间中点 处的函数值作近似，于是黎曼和式为：∑=-+-+-n k n a b k a f n a b 1))5.0)1(((， 因而 ? ∑=-+-+-≈b a n k n a b k a f n a b dx x f 1))5.0)1((()(。 例1 计算 dx x ? 3 2 ln 1 的黎曼和。 解：输入命令如下： 2、 梯形法 大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。具体方法如下： 将区间],[b a 用b x x x a n ==,,,10 等分为n 个小区间，小区间的长度为 n a b -。设)()(n a b i a f x f y i i -+==),,1,0( n i =，则每个小梯形的面积为n a b y y i i -?++21，从而得到梯形法的公式为：
高中数学选修2-2精品学案：§1.6 微积分基本定理
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) 思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则?10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？ 思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )? 梳理 (1)微积分基本定理 ①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且______； ②结论：?b a f (x )d x ＝__________； ③符号表示：?b a f (x )d x ＝________＝__________. (2)常见的原函数与被积函数关系 ①?b a c d x ＝cx |b a (c 为常数)． ②?b a x n d x ＝ ??1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)． ③?b a sin x d x ＝－cos x |b a .
④?b a cos x d x ＝sin x |b a . ⑤?b a 1x d x ＝ln x |b a (b >a >0)． ⑥?b a e x d x ＝e x |b a . ⑦?b a a x d x ＝ ??a x ln a b a (a >0且a ≠1)． ⑧?b a x d x ＝ ???233 2x b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？ 梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则?b a f (x )d x ＝________. (2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则?b a f (x )d x ＝________. (3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则?b a f (x )d x ＝________________.特别地，若S 上＝S 下，则?b a f (x )d x ＝____.
定积分练习题
题型 1.定积分与极限的计算 2.计算下列定积分 3.计算下列广义积分 内容 一．定积分的概念与性质 1.定积分的定义 2.定积分的性质 3.变上限函数及其导数 4.牛顿—莱布尼茨公式 5.换元积分公式与分部积分公式 6.广义积分 题型 题型I 利用定积分定义求极限 题型II比较定积分的大小 题型III利用积分估值定理解题 题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V定积分的计算
题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算 自测题五 1.根据极限计算定积分 2.根据定积分求导 3.求极限 4.求下列定积分 5.证明题 4月21日定积分练习题 基础题： 一．选择题、填空题 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?1 01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．将和式)21 .........2111(lim n n n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+1 )1( C ．dx ? 1 1 D ． dx ?1 021 4．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ． 3 25 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）
A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6． dx e e x x ?-+1 )(= （ ） A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1- 7.若10x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2 2 1r m m k F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ． 9．由曲线2 1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ① 1 21 (1)x dx --? ；②121 (1)x dx --?；③120 2(1)x dx -?；④0 21 2(1)x dx --?． 则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ 10.0 (sin cos sin )x y t t t dt =+? ，则y 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 2 - D ．0 11. 若()f x 是一次函数，且1 ()5f x dx =? ，1 017 ()6xf x dx =?，那么21()f x dx x ?的值是 ． 12．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ） 。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .