§4.4 椭球面
§4.4 椭球面
一、概念：
在空间直角坐标系下，由方程
++＝1
所表示的曲面叫做椭球面，或称椭圆面，通常假定a≥b≥c>0.
该方程叫做椭球面的标准方程.
二、图形(如图4-4)：
1.讨论方法：
一般地，运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为：
(1) 曲面的对称性：讨论图形各部分之间的关系；
(2) 曲面的范围：讨论图形存在的范围；
(3) 曲面和坐标轴、坐标平面的关系：以便对图形的大概轮廓有所了解；
(4) 确切研究曲面的弯曲变化情况：主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面来截割曲面，研究截口曲线是怎样变化的，也叫平行截面法，或平行截口线法.
2．讨论过程：
(1) 曲面的对称性：椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称. 椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.
(2) 曲面与坐标轴的交点：椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点, 因此椭球面的顶点为 (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). 同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a, 2b, 2c叫做椭球面的轴，它的一半叫做半轴. 当a>b>c>0时，2a, 2b, 2c 分别叫做椭球面长轴、中轴、短轴，而a, b, c分别叫做椭球面的长半轴、中半轴、短半轴.
(3) 曲面的存在范围：椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：x＝±a, y＝±b, z＝±c所围成.
(4) 被坐标面所截得的曲线：
①②③
分别为xOy, xOz, yOz坐标面上的椭圆，它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆).
(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：考虑截线
或④椭球面可以看成由此椭圆族④所生成，这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行，而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆②与③上.
用平行于其他坐标面的平面来截割椭球面，结论类似.
3. 椭球面的参数方程为
(0≤θ≤π, 0≤?<2π)
从中消去θ, ?可得椭球面的标准方程.
例1. 由椭球面++=1的中心(即原点)，沿某一定方向到曲面上一点的距离是r，设定方向的方向余弦分别为λ, μ, v, 试证
＝＋＋.
证明：设P(x, y, z)为曲面上任一点，依题意有
＝r, 其中＝{λ, μ, ν},
即有x＝rλ, y＝rμ, z＝rv
代入椭球面方程整理得
＝＋＋.
例2. 由椭球面＋＋＝1的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面于点P1, P2, P3，设OP1＝r1, OP2＝r2, OP3＝r3,试证
++＝＋＋.
证明：设的方向余弦分别为λi, μi, νi(i＝1, 2, 3)则由上题结果有
＝＋＋,
=＋＋,
＝＋＋,
从而＋＋＝＋＋.
由于与x轴夹角的方向余弦分别为λ1, λ2, λ3, 从而在{O;,,}下, Ox的方向余弦就是λ1, λ2, λ3, 于是，同理有，. 所以有
++＝＋＋.
例3. 一直线分别交坐标面yOz, zOx, xOy于三点A, B, C. 当直线变动时，直线上的三定点A, B, C也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四点P，它与A, B, C三点的距离分别为a, b, c，当直线按照这样的规定（即保持A, B, C分别在三坐标面上）变动，试求P点的轨迹.
解：设直线的方向余弦为cosα, cosβ, cosγ, P点的坐标为(x0, y0, z0)，则直线的方程为
＝＝,
即x＝x0＋t cosα, y＝y0＋t cosβ, z＝z0＋t cosγ.
令x＝0, 得直线与yOz面的交点A的坐标，因此有x0＋t cosα＝0. 根
据t的几何意义 | t |＝a，得
x0±a cosα＝0 或x0＝±a cosα.
同理得y0＝±b cosβ, z0＝±cosγ,
从而有++＝cos2α+cos2β+cos2γ＝1,
所以P点的轨迹为椭球面
++＝1.
例4. 已知椭球面++＝1 (c 解法一：设所求平面为z＝ky，要使它与曲面的交线 ①为圆，则其圆心为(0, 0, 0)，半径为a，故该圆的方程还可改写成 ②①,②对于xOy平面的射影柱面分别为 +, +, 它们应为同一曲面，故有 +＝+, 解得k＝±, 故所求平面为 z＝±, 即c. 解法二：由题设交线圆总可以看成以原点为中心，a为半径的球面与已知椭球面的交线 由于此圆在过x轴的平面上，故此圆对于yOz平面的射影柱面即为所求平面，为此从上述两方程中消去x即得 c. 作业题： 1.求椭球面的方程，它的各条对称轴与坐标轴重合，且通过曲线+=1, z＝ 和点N (2, 1, ). 2. 求椭球面 ++z2=1与平面x+4z－4＝0的交线在xOy平面上的射影曲线. RTK测量中独立坐标系的建立 向垂规 （红河州水利水电勘察设计研究院） 摘要：介绍GPS-RTK测量中WGS-84大地坐标系与独立坐标系转换的方法及南方测绘工程之星数据处理中坐标转换的方法，同时结合工程实例予以验证。关键词：GPS-RTK测量；WGS-84大地坐标系；独立坐标系；坐标转换 1 引言 在水利工程测量中，多数情况下工程所处位置地形复杂，交通不便，通视条件较差，采用以经纬仪、全站仪测量为代表的常规测量常常效率低下。随着GPS-RTK测量系统的使用，由于它具有观测速度快，定位精度高，经济效益高等特点，现在我院多数水利工程测量都是采用RTK测量技术来完成。对于GPS-RTK系统来说，由于它采用的是WGS-84固心坐标系，而在实际工程应用中，由于顾及长度变形、高程异常等影响而采用独立坐标系，这就需要将RTK 测量采集的数据在两坐标系中进行转换。 2 国家坐标系及独立坐标系的建立 2.1 国家坐标系的建立 在我国，由于历史原因先后采用不同的参考椭球体和大地起算数据而形成多个国家坐标系，主要国家坐标系有1954北京坐标系、1980西安坐标系、2000国家坐标系和WGS-84坐标系。前两个是参心坐标系，后两个是固心坐标系。由于他们采用不同的椭球体参数，所以地面上同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标值。 国家坐标系的主要作用是在全国建立一个统一的平面和高程基准，为发展国民经济、空间技术及国防建设提供技术支撑，也为防灾、减灾、环境监测及当代地球科学研究提供基础资料。 2.2 独立坐标系的建立 在工程应用中，由于起算数据收集困难、测区远离中央子午线及满足特殊要求等诸多原因，如在水利工程测量中，常要测定或放样水工建筑物的精确位置，要计算料场的土石方贮量和水库的库容。规范要求投影长度变形不大于一定的值（如《工程测量规范》为2.5cm/km,《水利水电工程测量规范（规范设计阶段）》为5.0cm/km）。如果采用国家坐标系统在许多情况下（如高海拔地区、离中央子午线较远地方等）不能满足这一要求，这就要求建立地方独立坐标系。 在常规测量中，这种独立坐标系只是一种高斯平面直角坐标系，而在采用GPS-RTK采集数据时，独立坐标系就是一种不同于国家坐标系的参心坐标系。 跟国家坐标系一样，建立独立坐标要确定的主要元素有：坐标系的起算数据、中央子午线、参考椭球体参数及投影面高程等。对于起算数据，可以采用国家坐标系的坐标和方位角或任意假设坐标和方位角。在RTK测量中，我们常采用基线的某一端点的单点定位解作为起点，然后以另一点定向，用测距仪测出基线边长，经改正后算出基线端点的坐标；中央子午线常采用测区中央的子午线；投影面常采用测区的平均高程面。参考椭球体一般是基于原来的参考椭球体做某种改动，使改变后的参考椭球面与投影面拟合最好，投影变形可以减到最小，也便于与国家坐标系统进行换算。 3 坐标系的转换 GPS-RTK接收机采集的坐标数据是基于WGS-84椭球下的大地坐标，而我们经常使用的独立坐标系是基于某种局部椭球体下的平面直角坐标，这两种坐标是不同坐标基准下的两种表现形式。利用WGS-84下的大地坐标来推求独立坐标系中的平面直角坐标，必然要求得两坐标系之间转换参数。求取转换参数的基本思路是利用两坐标系中必要个数的公共点，根据相应的椭球参数及中央子午线采用最小二乘法严密平差解算转换参数，具体操作是由转换模型把不同坐标基准下的坐标转换为同基准下的不同坐标形式，再进行同基准下不同坐标形式的转换， 高斯-克吕格投影与UTM投影 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y 值减去500000乘上比例因子后再加500000）。从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。 高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系 高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半 中考数学椭圆的面积公式考点总结 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，那么 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/ C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A, B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0，y0) 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^21 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^21 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△0无交点 相交△0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。 椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2 b^2/a 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。 椭圆面积公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M（x0，y0）椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 椭球面面积的近似计算 专题摘要：利用曲面面积计算公式和函数幂级数展开的麦克劳林公式，给出椭球面表面积的近似计算公式。 我们知道半径为R 的球的表面积为2 4R π，但椭球的表面积如果通过曲面面积计算公式来计算，其积分为第二类椭圆积分，不能通过重积分方法计算出表面积值。下面给出近似计算公式。 设椭球面方程为 a b c c z b y a x ≤≤=++,122 2222， （1） 由对称性我们只需求出第一卦限部分的表面积再乘8即可。由曲面面积计算公式[40]。 dxdy y z x z S D ????+??+=2 2)()( 1， （2） 其中}1:),{(2222≤+=b y a x y x D ，22 221b y a x c z --=。于是 222221b y a x x a c x z --- =??， 2 22221b y a x y b c y z ---=?? 所以 2 2222 4224222222211)()(1b y a x y b c x a c b y a x y z x z --++--=??+??+， 设2 0,10,sin ,cos π θθθ≤≤≤≤==r rb y ra x ，则上述广义极坐标变换的Jacobi 行列 式为abr J = 2 22222 2 2 221)sin cos (1)()(1r b a r c r y z x z -++-=??+??+θ θ 2 22221) cos 1()(1r e r b c r --+-=θ， 其中22 1a b e -=。从而 θθπabrdrd e b c r r S ?? --+-=102 2222 ]1)cos 1()[(1118， （3） 由于有幂级数展式 ]1,1[6 4231421211132-∈-???+?-+ =+x x x x x ， 所以当x 很小时有 x x 2 1 11+ ≈+， （4） 因为,10≤≤e 所以)2 0(1cos 02 π θθ≤ ≤≤≤e ，因此 1]1)cos 1()[(1222≤--≤-θe b c r 根据（4）式有 ]1)cos 1()[(211]1)cos 1()[(1222222--+≈--+θθe b c r e b c r ，（4） 所以 θθπdrd e b c r r r ab S ]}1)cos 1()[(211{18102 22 22 --+ -≈?? ???? ????---+-=2 022 10232]1)cos 1()[(21118π θθd dr e b c r r r r ab ?--+=2 22]}1)cos 1()[(311{8π θθd e b c ab ?--+=2 222]2cos )(61)(61)(3132[8πθθd e b c e b c b c ab )]1 1(1231[8222b a c a b ++=π。 不难看出，当c b a ==时，π2 4a S =，即为球的表面积。 此方法也适用于求椭圆周长的近似值。 国家基础坐标系知识 北京54坐标系(BJZ54)北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系，其坐标详细定义可参见参考文献[朱华统。1954年北京坐标系的历史：新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。西安80坐标系1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换作为这种转换在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密，因此不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。那么，两个椭球间的坐标转换，一般而言比较严密的是用七参数布尔莎模型，即 X 平移， Y 平移， Z 平移， X 旋转（WX）， Y 旋转（WY）， Z 旋转（WZ），尺度变化（DM ）。要求得七参数就需要在一个地区需要 3 个以上的已知点。如果区域范围不大，最远点间的距离不大于 30Km（经验值），这可以用三参数，即 X 平移， Y 平移， Z 平移，而将 X 旋转， Y 旋转， Z 旋转，尺度变化面DM视为 0 。 方法如下（MAPGIS平台中）： 第一步：向地方测绘局（或其它地方）找本区域三个公共点坐标对（即54坐标x，y，z和80坐标x，y，z） 第二步：将三个点的坐标对全部转换以弧度为单位。（菜单：投影转换/输入单点投影转换，计算出这三个点的弧度值并记录下来） 第三步：求公共点求操作系数（菜单：投影转换/坐标系转换）。如果求出转换系数后，记录下来。 第四步：编辑坐标转换系数。（菜单：投影转换/编辑坐标转换系数。）最后进行投影变换，“当前投影”输入80坐标系参数，“目的投影”输入54坐标系参数。进行转换时系统会自动调用曾编辑过的坐标转换系数。 举个例子，野外采集GPS数据，数据是用大地坐标表示的，也就是用经纬度和高程表示。而采集的数据要在地图上显示出来，就需要将经纬度转化为平面坐标，也就是通常说的x,y坐标。因为我国地形图一般采用高斯投影，所以通常转化成高斯平面坐标显示到地图上。而在经纬度向平面坐标转化的过程中，需要用到椭球参数，因此要考虑所选的坐标系，我国常用的坐标系有北京54，西安80，WGS-84坐标系，不同的坐标系对应的椭球体是不一样的，这里你可能会不明白根椭球体有啥关系，是这样的，我们所说的地理数据都是为了描述大地水准面上的某一个点，而大地水准面是不规则的，我们用一个规定的椭球面去拟合这个水 3.2地球椭球体基本要素 3.2.1地球椭球体 我们称大地水准面包围形成的形体为大地球体。由于地球体内部物质分布的不均匀，导致重力方向的变化，因此与重力方向成正交的大地水准面也是不规则的，仍不能利用数学方法表达。大地水准面的形状虽然十分复杂，但从整体上看，起伏是微小的，它是一个接近绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。所以，在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。 地球椭球体表面是一个规则的数学表面。椭球体的大小通常用两个半径：长半径a和短半径b或者由一个半径和扁率来决定。扁率α表示椭球的扁平程度，扁率的计算公式为：α=（a-b）/a。这些地球椭球体的基本元素a、b和α等，由于推求它的年代、使用的方法以及测定的地区不同，其结果并不一致，故地球椭球体的参数值有很多种，现将世界常用的地球椭球体的参数值列于表3-1。 表3-1各种地球椭球体模型的参数值 椭球体名称年代长半轴（m）短半轴（m）扁率 埃维尔斯特（Everest）1830 6377276 6356075 1：300.8 贝赛尔（Bessel）1841 6377397 6356079 1：299.15 克拉克（Clarke）1866 6378206 6356584 1：295.0 克拉克（Clarke）1880 6378249 6356515 1：293.5 海福特（Hayford）1910 6378388 6356912 1：297 克拉索夫斯基1940 6378245 6356863 1：298.3 I.U.G.G 1967 6378160 6356775 1：298.25 中国在1952年以前采用海福特椭球体，从1953—1980年采用克 椭球被平面截得的截面面积 上海 黄之 本文首先得到平面截椭球所得的截面的面积，然后提出一些与此相关的问题.其中一些比较繁杂的运算会省略，因为那将耗费很大篇幅. 一， 因为容易看到，任何一个平面截椭球，截面必然是椭圆，其在轴截面的投影也是一个椭圆，所以，应该首先得出平面上椭圆的面积的一般公式. 设XOY 面上有一条二次曲线为0:2 2 =+++++f ey dx cy bxy ax F ，首先通过平移变换将它的一次项消去.这只需要设0)())(()(:2 2 =+-+--+-g t y c t y s x b s x a F ,展开后进行系数对比，得到： ac b bde cd ae f g ac b bd ea t ac b be dc s 4,42,4222222--++=--=--= 众所周知，当判别式ac b 42 -=?为负数时F 为椭圆，为0时F 为抛物线，为正数时F 为双曲线(都包括退化情形).(s,t)即是F 的对称中心，当判别式为0时F 所表示的抛物线的中 心在无穷远处. 这样，就可以把任何一个椭圆化为形如0:2 2 =+++g cy bxy ax E ，下面求E 的面积.首先将它的xy 项消去，即进行旋转变换.易得：将E 绕着原点逆时针旋转θ角后的方程为： 0)cos cos sin sin ()2cos 2sin )(()sin cos sin cos (222222=+++++-++-g y c b a xy b c a x c b a θθθθθθθθθθ 这样，只需让b a c -= θ2cot 即可消去交叉项，此时E 变为： 0:22=++g By Ax D 其中θθθθθθθθ2222 cos cos sin sin ,sin cos sin cos c b a B c b a A ++=+-= (顺便指出，由此可以得到E 有两条对称轴：x k y 2,1=，其中k 为0)(22 =--+b k c a bk 的实根.) 显然D 的面积为AB g S | |π =，将A ，B 的表达式以及b a c -=θ2cot 代入，最终计算出E 的 面积，也就是F 的面积为： 04,| |22<-=?? -=ac b g S π 地球近似一个球体，它的自然表面是一个极其复杂而又不规则的曲面。在大陆上，最高点珠穆朗玛峰8844.43米，在海洋中，最深点为马利亚纳海沟-11034米，二点高差近两万米。由于地球表面的不规则，必须寻找一个形状和大小都很接近地球的球体或椭球体来代替它。 通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。见图3－3。 随着现代对地观测技术的迅猛发展，人们已经发现地球的形状也不是完全对称的，椭球子午面南北半径相差42米，北半径长了10米，南半径短了32米；椭球赤道面长短半径相差72米，长轴指向西经31°。地球形状更接近于一个三轴扁梨形椭球，且南胀北缩，东西略扁。但是，这与地球表面起伏和地球极半径与赤道半径之差都在20公里相比，是十分微小的。 二、地球体的物理表面——大地水准面 由于地球表面高低起伏，且形态极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准面，这就提出了用一个什么样的曲面来代替地球表面的问题？大地水准面——将一个与静止海水面相重合的水准面延伸至大陆，所形成的封闭曲面。 大地水准面所包围的球体称为大地体。大地水准面作为测量的基准面，铅垂线作为测量的基准线。但是由于地球内部物质分布的不均匀性，因此，大地水准面也是一个不规则的曲面，它也不能作为测量计算和制图的基准面。 三、地球体的数学表面——地球椭球面 由于大地水准面的不规则性，不能用一个简单的数学模型来表示，因此测量的成果也就不能在大地水准面上进行计算。所以必须寻找一个与大地体极其接近，又能用数学公式表示的规则形体来代替大地体——地球椭球体。它的表面称为地球椭球面，作为测量计算的基准面。 为了便于测绘成果的计算，我们选择一个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来代替，即以椭圆的短轴(地轴)为轴旋转面成的椭球面，称之为地球椭球面。它是一个纯数学表面，可以用简单的数学公式表达，有了这样一个椭球面，我们即可将其当作投影面，建立与投影面之间一一对应的函数关系。 地球椭球体的形状和大小常用下列符号表示(图3－6)：长半径a(赤道半径)、短半径b，(极轴半径)、扁率α，笫一偏心率e和第二偏心率e′，这些数据又称为椭球体元素。它们的数学表达式为： 扁率(3－1) 笫一偏心率(3－2) 第二偏心率(3－3) 四、地球的三级逼近 1．地球形体的一级逼近： 大地体即大地水准面对地球自然表面的逼近。大地体对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。 2．地球形体的二级逼近 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。 3．地球的三级逼近 §6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角 L ， 叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o ～180°）。 P 点的法线Pn 与赤道面的夹角B ， 叫做P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。 大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系 ?? ???+=+=)() (大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ 6.2.2空间直角坐标系 以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。 地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。 6.2.3子午面直角坐标系 设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。在该坐标系中，P 点的位置用L ,y x ,表示。 椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法 ——第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文 论文标题：椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法 作者姓名：吴欢庆、吴斯乾（合作） 性别：男学校：北京市通州区第四中学 年级：高二指导教师：曹凤华、李江涛 准考证号： 0311 [内容摘要]：我选这个课题是因为我父亲在工作中遇到了需要计算椭圆周长而又不会算的问题，我为了解决我父亲的困难，所以对这方面做了一些研究。我们用类比推理的方法，提出了椭圆周长近似的简单算法，并推广到怎样计算旋转椭球体的表面积。我们采用简单推导加上用C语言编程计算的方法，让程序运行了约一个小时，得到了一组比较精确的数据，一定程度上解决了计算椭圆周长难的问题。对一些需要计算椭圆周长的工程应用有一定的帮助。 [关键词]：椭圆周长，椭球表面积，椭圆积分，修正因子 本人郑重声明：所呈交的数学应用论文是本人在指导教师的指导下独立进行研究的成果，除文中已经注明引用的内容外，本文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。 论文作者签名：吴欢庆吴斯乾 2013年3月30日 椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法 圆是最美的图形，但自然界中的正圆，少之又少。行星运行的轨道是椭圆的，地球是一个椭球体，在生物界里很难看到完美的圆。许多的图形都是不规则的，椭圆是独特的，与众不同。 众所周知，椭圆积分属于高等微积分的知识，求解椭圆周长的积分存在着很大的难度，在实际的生活应用中给人们带来很大的困扰。当你需要求一个椭圆物体的周长时，总是会没有头绪，仿佛不知道它的计算公式（其实本来就没有公式），没有了这些数据，做起研究就会不知所措。 我的一个朋友以前做关于种子完整度的研究，用到了圆形度来描述种子的形状。他在他的博客中这样写道： “为了检测表皮破裂种子，我调用IMAQ Vision 里的形状分析函数得到了面积周长长度宽度等一些形状参数。根据种子图像轮廓，发现用种子的圆形度： 2 4P C A π=，（P 为周长，A 为面积）可以比较好地区分完整和破碎种子。后来我想，种子的轮廓更接近椭圆，何不用‘椭圆形度’衡量面积和周长的关系呢？可是我记不得椭圆周长的计算方法，百度之，发现我原本就不可能知道。” 椭圆是一个不怎么完美的图形，椭圆周长的积分不能用像圆的周长和面积那样简单的公式表达，所以我们只能计算椭圆周长的近似值。因为没有一个确定的公式，当我们需要精确计算椭圆周长的时候，麻烦就来了。 我父亲是做机床生意的，有次我和父亲去公司，遇到了一位做管道设备的客户，他需要把圆形的管道截成斜面，然后沿着斜面再接上一个椭圆形的管道，这位客户要求把铝板卷成椭圆的管道，至于用多宽的铝板，就需要计算椭圆截面的周长。由于这样一个斜的截面不方便测量，虽然可以做一些试验，来确定铝板的宽度，而这样必定会耗费很多时间和精力。如果材料比较贵的话，用试验的方法就不太可取了。对于普通的工人来说，没有多少数学知识，又不能设计程序计算，怎样求椭圆的周长就成了一个问题。而我，懂得一些微积分，也想帮父亲解决这个问题，所以我想找出一个计算椭圆周长的简单方法。 设椭圆穹顶面积为s，椭圆穹顶长轴为2a，短轴为2b，高度为h，短轴为竖直方向，椭圆穹通过穹顶的竖直截面的椭圆方程为 （x／a）^2＋（y／b）^2＝1 则在第一象限，y＝（b／a）√（a^2－x^2） y′＝－（bx／a）／√（a^2－x^2） （y′）^2 ＝［（bx／a）^2］／（a^2－x^2） 1＋（y′）^2 ＝1＋［（bx／a）^2］／（a^2－x^2） ＝［a^2－x^2＋（bx／a）^2］／（a^2－x^2） ＝［a^4－（ax）^2＋（bx）^2］／［（a^2）（a^2－x^2）］ √［1＋（y′）^2］＝（1／a）√｛［a^4－（ax）^2＋（bx）^2］／（a^2－x^2）｝∴s＝∫2πx√［1＋（y′）^2］dx【积分区域x由0到（a／b）√［b^2－（b－h）^2］】 ＝（2π／a）∫x√｛［a^4－（ax）^2＋（bx）^2］／（a^2－x^2）｝dx【积分区域x由0到（a／b）√［b^2－（b－h）^2］】 追问 长轴是110短轴是78高度是2。。。麻烦帮忙算一下么，，，符号什么 的我都看不懂，有个工程要用到来着，非常感谢 回答 你学过导数、微积分、曲线长的公式等知识没有？ 追问 不好意思哎，，，没有学过，，，我是学文的，，， 回答 经过复杂的推导，得到 s ＝πa［√（a^2－b^2）］｛√（A＋1）－B√（A＋B^2） ＋A*ln ｛［√（A＋1）＋1］／［√（A＋B^2）＋B］｝｝其中，A＝b^2／（a^2－b^2），B＝（b－h）／b ；π表圆周率，√表二次根号，^2表二次方，ln 表自然对数。 有了上面的公式，具体的数值计算就比较容易了。请原谅我不帮你算最后 结果。 当2a＝110，2b＝78，h＝2时，A＝1521／1504，B＝37／39。 北京54坐标系与西安80坐标系及常用坐标系参数西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换，作为这种转，在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密，因此不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。那么，两个椭球间的坐标转换，一般而言比较严密的是用七参数布尔莎模型，即X平移，Y平移，Z平移，X旋转（WX），Y旋转（WY），Z旋转（WZ），尺度变化（DM）。要求得七参数就需要在一个地区需要3个以上的已知点。如果区域范围不大，最远点间的距离不大于30Km（经验值），这可以用三参数，即X平移，Y平移，Z平移，而将X旋转，Y旋转，Z旋转，尺度变化面DM视为0。 方法如下： 第一步：向地方测绘局（或其它地方）找本区域三个公共点坐标对； 第二步：求公共点的操作系数。 第三步：利用相关软件进行投影变换。 54国家坐标系： 建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。因此，P54可归结为： a．属参心大地坐标系； b．采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数； c.大地原点在原苏联的普尔科沃； d．采用多点定位法进行椭球定位； e．高程基准为1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面； f．高程异常以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得。 自P54建立以来，在该坐标系内进行了许多地区的局部平差，其成果得到了广泛的应用。 1954北京坐标系参考椭球基本几何参数 长半轴a＝6378245m 短半轴b＝6356863.0188m 扁率α＝1/298.3 第一偏心率平方＝0.006693421622966 第二偏心率平方＝0.006738525414683 80国家坐标系：采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地坐标原点在陕西省泾和县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。 C80是为了进行全国天文大地网整体平差而建立的。根据椭球定位的基本原理，在建立C80坐标系时有以下先决条件：（1）大地原点在我国中部，具体地点是陕西省径阳县永乐镇； 1 地图投影： 大地水准面：指平均海平面通过大陆延伸勾画出的一个连续的封闭曲面。大地水准面包围的球体称为大地球体。从大地水准面起算的陆地高度，称为绝对高度或海拔。 地球椭球体（拟地球椭球体、似地球椭球体）：近似的代表地球大小和形状的数学曲面，一般采用旋转椭球。其大小和形状常用长半径a 和扁率α表示。1980年中国国家大地坐标系采用国际大地测量学与地球物理学联合会第十六届大会推荐的1975年椭球参考值：a=6378140，α=1∶298257。 参考椭球体：形状、大小一定，且经过定位，定向的地球椭球体称为参考椭球。是与某个区域如一个国家大地水准面最为密和的椭球面。 参考椭球面是测量计算的基准面，法线是测量计算的基准线。我国的大地原点，即椭球定位做最佳拟合的参考点位于陕西省泾阳县永乐镇。 大地基准面：用于尽可能与大地水准面密合的一个椭球曲面，是人为确定的。椭球面和地球肯定不是完全贴合的，因而，即使用同一个椭球面，不同的地区由于关心的位置不同，需要最大限度的贴合自己的那一部分，因而大地基准面就会不同。椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky 椭球体，但它们的大地基准面显然是不同的。 每个国家或地区均有各自的基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的1975地球椭球体（IAG75）建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系，目前大地测量基本上仍以北京54坐标系作为参照，北京54与西安80坐标之间的转换可查阅国家测绘局公布的对照表。WGS1984基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心，目前GPS测量数据多以WGS1984为基准。因此相对同一地理位置，不同的大地基准面，它们的经纬度坐标是有差异的。 地图投影： 将地球球面坐标转化为平面坐标的过程便是投影过程；投影所需要的必要条件是： 第一、任何一种投影都必须基于一个椭球（地球椭球体）； 第二、将球面坐标转换为平面坐标的过程（投影算法）。 简单的说投影坐标系是地理坐标系+投影过程。 §6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面P 角，叫做点的大地经度，由起始子午面起算，向东L P 为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经 （0o ～180°）。点的法线与赤道面的夹角，叫做P Pn B 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬P （0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。如果点不在椭球面上，表示P L B 点的位置除,外，还要附加另一参数——大地高，L B H 它同正常高及正高有如下关系 正常H 正H ?????+=+=)() (大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ 6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心为原点，起始子午面与赤道面交O 线为轴，在赤道面上与轴正交的方向为轴，X X Y 椭球体的旋转轴为轴，构成右手坐标系-，Z O XYZ 在该坐标系中，点的位置用表示。P Z Y X ,,地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。6.2.3子午面直角坐标系 设点的大地经度为，在过点的子午面上，以 P L P 子午圈椭圆中心为原点，建立平面直角坐标系。在该 y x ,坐标系中，点的位置用,表示。P L y x , publicpartialclass Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } Read_data r_d = new Read_data(); privatevoid button1_Click(object sender, EventArgs e) { openFileDialog1.Filter = "文本文档(*.txt)|*.txt"; r_d.read_text =null; r_d.row = 0; try { openFileDialog1.ShowDialog(); } catch (Exception) { MessageBox.Show("打开错误"); return; } //读取数据 r_d.Read_text(openFileDialog1.FileName); textBox1.Text = openFileDialog1.FileName; textBox1.Enabled = true; } Trapezoid tpz1; Trapezoid tpz2; privatevoid button2_Click(object sender, EventArgs e) { string[] s = r_d.read_text.Split(','); //初始化两个梯形 tpz1 = new Trapezoid(); tpz2 = new Trapezoid(); tpz1.X1=Convert .ToDouble( s[0]); tpz1.Y1=Convert .ToDouble( s[1]); tpz1.X2=Convert .ToDouble( s[2]); tpz1.Y2=Convert .ToDouble( s[3]); tpz2 .X1=Convert .ToDouble (s[4]); tpz2 .Y1=Convert .ToDouble (s[5]); tpz2 .X2=Convert .ToDouble (s[6]); tpz2 .Y2=Convert .ToDouble (s[7]); //获取梯形面积 tpz1.get_s(); tpz2.get_s(); button3.Enabled =true; MessageBox.Show("数据已处理！"); } privatevoid button3_Click(object sender, EventArgs e) 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 （一）发现椭圆常数 常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围：4aRTK测量中如何建立独立坐标系的
地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及地图投影(Projection)三者的基本概念
中考数学椭圆的面积公式考点总结
椭圆的面积公式
椭球面面积的近似计算
国家基础坐标系知识
地球椭球体基本要素地球椭球体
黄之--椭球被平面截得的截面面积
地球椭球体基本要素
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法(第十六届北京高中数学知识应用竞赛论
椭圆穹顶面积计算公式
北京54坐标系与西安80坐标系及常用坐标系参数
大地水准面、参考椭球体、基准面、地图投影之关系
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
椭球面上任意梯形面积C#
椭圆周长和面积计算公式