菱形基础知识点及同步练习、含答案

学科：数学

菱形

【基础知识精讲】

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

定理1四边都相等的四边形是菱形.

定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

【重点难点解析】

1. 菱形的性质

（1）菱形具有平行四边形的一切性质；

（2）菱形的四条边都相等；

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（4）菱形是轴对称图形.

2?菱形的面积=底X高=对角线乘积的一半.

A .重点、难点提示

1. 理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；

（这是重点，也是难点，要掌握好）

2. 经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；

3. 了解菱形的现实应用和常用的判别条件；

4. 体会特殊与一般的关系.

B.考点指要

菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一.

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质. 除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：

①菱形的四条边都相等；

②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）

③每一条对角线都平分一组内角. （出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）

菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴. （不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）

菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）

①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等的四边形是菱形.

【难题巧解点拨】

例 1 :如图4-24，在△ ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄BC 于 D , CE 平分/ ACB，交AD

于G ,交AB 于E , EF 丄BC 于F .求证：四边形 AEFG 是菱形.

思路分析

由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形 是平行四边形，再证一组邻边相等.

证明：???/ BAC=90 ° , EF 丄 BC , CE 平分/ ACB ,

??? AE=EF ，/ CEA= / CEF .

（这是略证，并不是完整的证明过程）

?/ AD 丄 BC , EF 丄 BC ,

? - EF // AD ,（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

???/ CEF= / AGE ,（两直线平行，内错角相等）

???/ CEA= / AGE ,

? AE=AG ,

? EF // AG ，且 EF=AG ,

?四边形AEFG 是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又??? AE=EF ,

?平行四边形 AEFG 是菱形.

例2:已知菱形的周长为 20cm , —条对角线长为 5cm ，求菱形各个角的度数.

已知：菱形 ABCD 中，AB+BC+CD+DA=20cm ，对角线 AC=5cm .求/ ADC 、/ ABC 、 / BCD 、/ DAB 的度数.

思路分析

利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图 4-25 .

解：在菱形ABCD 中，

?/ AB=BC=CD=DA ，

又 AB+BC+CD+DA=20cm

? AB=BC=CD=DA=5cm

又 T AC=5cm ，

AEFG

??? AB=BC=AC , CD=DA=AC ,

???△ABC和厶DAC都是等边三角形，

（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）

???/ ADC= / ABC=60。，/ BCD= / DAB=120 ° .

例3:如图4-26，在平行四边形ABCD中，/ BAE= / FAE ,/ FBA= / FBE.求证：四边形ABEF是菱形.

图4-26

证法一：??? AF // BE,

???/ FAE= / AEB （两直线平行，内错角相等）

又???/ BAE= / FAE,

???/ BAE= / AEB ,

? AB=BE .（等角对等边）

同理，AB=AF , BE=EF,

? AB=BE=EF=AF ,

?四边形ABEF是菱形.（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：??? AF // BE, ???/ FAE= / AEB ,

又???/ BAE= / FAE,

???/ BAE= / AEB ,? AB=BE .

又???/ FBA= / FBE ,

? AO=OE , AE丄FB ,（等腰三角形三线合一）

同理，BO=OF ,

?四边形ABEF是菱形.（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）

例4:菱形的两邻角之比为 1 : 2，边长为2,则菱形的面积为_________________

思路分析

本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：

图4-27

解法一：如图4-27,

/ B：Z A=1 : 2,

???四边形ABCD 是菱形，

??? AD // BC ,

???/ A+ / B=180 ° ,

???/ B=60 °，/ A=120 ° ,

过A 作AE 丄BC 于E ,

???/ BAE=30 ° ,

1

BE -AB 1，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

2

/ BAE=18°，求/ CEF 的度数.

AE -AB 2 BE 2 .22

12 3 ,（勾股定理）

S 菱形ABCD BC AE 2 3 .（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）

解法二：如图4-28,

图 4-28

/ B ：/ A=1 : 2,

???四边形ABCD 是菱形，

? AD // BC ,

???/ A+ / B=180 ° ,

???/ B=60 °，/ A=120 ° ,

连结AC 、BD 交于点O ,

1

ABD — B 30 , AC 丄 BD . 2

（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂

直）

1

BO AB 2 AO 2 22 12 、3,

? AC=2 , BD 2 .3 ,

1

S 菱形 ABCD 二 AC BD 2 答：菱形的面积为2 3 .

-2 2.3 2.3

.

2 【典型热点考题】

如图4-13，已知菱形 ABCD 中, E 、F 分别是BC CD 上的点，且/

EAF=60 ,

■4

图4?13

点悟：由/ B=60°知，连接AC得等边△ ABC与△ ACD从而△ ABE^A ADF,有AE=AF 则厶AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求/ CEF

解：连接AC. ?/ 四边形ABCD为菱形，

/ B=Z D= 60 ° , AB=BC=CD=DA

???△ABC与△ CDA为等边三角形.

??? AB=AC ,Z B=Z ACD=/ BAC=60 ,

/ EAF=60°, ?/ BAE=Z CAF

? AE=AF.

又???/ EAF=60°,

?△ EAF为等边三角形.

/ AEF=60°,

/ AEC玄B+Z BAE=Z AEF+Z CEF

?60 °+18°=60°+Z CEF,

Z CEF=18°.

例2 已知如图4-14，在△ ABC中，Z BAC=90 , AD丄BC于D, CE平分Z ACB交AD 于G,交AB于E, EF± BC于F,求证：四边形AEFG为菱形.

A

图4-14

点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等（或对角线垂直）.

证明：T Z BAC=90 , EF丄BC, CE平分Z BCA

?AE=FE, Z AEC Z FEC

?/ EF 丄BC, ADL BC, ? EF // AD

Z FEC=Z AGE ? Z AEC Z AGE

?AE=AG , ?

???四边形AEFG为平行四边形.

又??? AE=AG. ? 四边形AEFG为菱形.

点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证.

例3 已知如图4-15 , E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE AE交BD于0,且/ DAE=2 / BAE 求证：EB=0A

证明：?/ 四边形ABCD为菱形，

/ ABC=2/ ABD AD // BC,

/ DAE玄AEB

?/ AB=AE, ?/ ABC/ AEB

/ DAE=2/ ABD

/ DAE=2/ BAE

/ ABD玄BAE ?- 0A=0B.

/ BOE/ ABD/ BAE

/ B0E=2/ BAE

/ BEA=Z B0E ?- 0B=BE ,

? A0=BE.

说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路.

例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5: 4,求菱形的各内角的度数.

点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC BD（如图4-16）.

图4-16

解：??? 四边形ABCD是菱形，

?AC 丄BD,

?/ 1 + / 2=90°，又T / 1：/ 2=4：5,

/ 仁40°,/ 2=50 °,

/ DCB/ DAB=/ 2=100°,