几种求解线性谐振子基态能方法的比较

第三章 谐振子

第三章 谐振子 一 内容提要 1 一维线性谐振子的能级与波函数 2221)(x x V μω= 2222 12??x p H μω+= ,3,2,1)2 1(=ω+=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符 )??(2?p i x a μω-μω=+ )??(21p i x μω-α= )??(2?p i x a μω+μω= )??(21p i x μω+α= 则 )??(2?++μω =a a x )??(2?+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质 11?++ψ+=ψn n n a 1?-ψ=ψn n n a 1]?,?[=+a a 二 例题讲解 1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4 ' ?x H λ=，求体系能级的一级修正。 解：>+<μω λ>=<λ>==<+n a a n n x n n H n E n 42 4 ' ) 1()??()2(? 可以导出 )122(3)??(24++>=+<+n n n a a n 那么 = ) 1(n E )122()(4322++μω λn n 2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。求： [1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。 [2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。 解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为 )cos 1(θ-==mgl mgh V （1） [1] 由公式 -θ+θ-=θ4 2! 41!211c o s （2）

谐振电路的原理和作用

谐振电路的原理和作用 含有电感线圈和电容器的无源(指不含独立电源)线性时不变电路在某个特定频率的外加电源作用下，对外呈纯电阻性质的现象。这一特定频率即为该电路的谐振频率。以谐振为主要工作状态的电路称谐振电路。无线电设备都用揩振电路完成调谐、滤波等功能。电力系统则需防止谐振以免引起过电流、过电压。 电路中的谐振有线性谐振、非线性谐振和参量谐振。前者是发生在线性时不变无源电路中的谐振，以串联谐振电路中的谐振为典型。非线性谐振发生在含有非线性元件电路内。由铁心线圈和线性电容器串联(或并联)而成的电路(习称铁磁谐振电路)就能发生非线性谐振。在正弦激励作用下，电路内会出现基波谐振、高次谐波谐振、分谐波谐振以及电流(或电压)的振幅和相位跳变的现象。这些现象统称铁磁谐振。参量谐振是发生在含时变元件电路内的谐振。一个凸极同步发电机带有容性负载的电路内就可能发生参量谐振。 串联谐振电路：用线性时不变的电感线圈和电容器串联成的谐振电路。这种电路产生的谐振称串联谐振，又称电压谐振。当外加电压的频率ω等于电路的谐振频率ω0时，除改变ω可使电路谐振外，调整L、C的值也能使电路谐振。谐振时电路内的能量过程是在电感和电容之间出现周期性的等量能量交换。以品质因数Q值表示电路的性能，Q值越大，谐振曲线越尖窄，则电路的选择性越好。考虑信号源的内阻时，Q值要下降，因此，串联谐振电路不宜与高内阻信号源一起作用。 并联谐振电路：用线性时不变电感线圈和电容器并联组成的谐振电路。其中的谐振称并联谐振，又称电流谐振。以Q表示电路的性能，电路内的能量过程与串联谐振电路类似。信号源内阻会降低Q 值，且内阻越小，品质因数值越小，所以并联谐振电路不宜与低内阻信号源一起使用。 式中R为电阻，L为电感，C为电容，ω为非谐振频率，ω0为谐振频率。电路内的能量过程与串联谐振电路类似。信号源内阻会降低Q 值，且内阻越小，品质因数值越小，所以并联谐振电路不宜与低内阻信号源一起用。 原理： 主要是指电感、电容并联谐振组成的LC振荡器。 因为LC回路有选频特性。理由：回路的等效阻抗Z=(-J/ωC)//(R+JωL),可知，阻抗Z与信号频率有关。不同频率的信号电流(同等大小的电流)在通过回路时，产生的电压是不同的。只有一个频率的信号电流产生的电压最大，就是当信号角频率ω=ω0=1/√LC时。此时回路阻抗最大，叫做并联谐振。 作用: RCL串联电路中的感抗与容抗有相互抵消的作用，即ωL-1/ωC=0，此时串联电路中的电抗为0，电流和电压同相位，称谓串联谐振。

§3.2线性谐振子

§3.2 线性谐振子 重点： 谐振子模型的意义能量波函数的特征与经典情况的区别 (3.2-1) 其中是弹性系数为k的谐振子作简谐振动的角频率。 经典力学中线性谐振子的哈密顿函数为 （3.2-2） 故在量子力学中，线性谐振子的哈密顿算符为 由于U(x)与时间无关，故为定态。 线性谐振子的定态薛定谔方程为 （3.2-4）为了简化，引入无量纲的变量 （3.2-5） （3.2-6） （3.2-7）

则方程（3.2-4）可改写成 （3.2-8） 我们令方程（3.2-8）的一般解为 （3.2-9）所满足的方程 得到H （3.2-10） （3.2-11） 代入（3.2-7）中，可求得线性谐振子的能级 （3.2-12）n=0, 1, 2,…， 由此得下面结论： （1）线性谐振子能是只能取分立值（图3.4），好能量是量子化的， ，这与普朗 （2）谐振子的能级是均匀分布的，相邻两能级间隔 克假设一致。 （3）谐振子的基态（n=0）能量为 （3.2-13）称为零点能，零点能的存在，是量子力学的一个重要结果，这是旧量子论中所没有的。 对应于不同的n或不同的。

（3.2-14） ，它可以用下列式子表示 方程（3.2-14）的解是厄密多项式 （3.2-15）脚标n表示多项式的最高次幂。 下面列出前面n项厄密多项式： （3.2-16）由（3.2-9）式，对应能量E n的波函数是 （3.2-17a）或 （3.2-14b） 这函数称厄密函数，式中N n为归一化常数。由归一化条件 经计算得（见附录1）（3.2-18）归一化后的前三个波函数如下： （3.2-19）

等函数是x的偶函数，即 从上面各式容易看出， 我们称这些波函数具有偶宇称，而 我们称这些波函数具有奇宇称。 （三）与经典比较 经典和量子谐振子的能级与分布几率 上图中横坐标代表振子的位置，抛物线代有势能曲线，En是量子化的能级，虚曲线代表 波函数 ，实曲线代表几率分布，由图可以看出：当n=0时，波函数。除了 有n个节点，即有n个根。 类推，因此波函数 只在于绕平均值迅速振荡而已。下图中实线是n=11时的几率分布，虚线代表经典谐振子位置几率分布。

线性谐振子的不同解法比较

线性谐振子的不同解法比较 关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数 摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题 [1] 的解决起着重要的帮助作 用。在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。 中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号： Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear Harmonic Oscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunction Abstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the different problems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively. 1． 引言 谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。本文我们将建立最简单一维线性谐振子作为模型并用不同的方法处理。设一维谐振子的质量为m,其圆频率为ω,势函数为， 22()1 2 x V m x ω= ， 则其Hamilton 量 [2] 为 1 2221 22 p H m x m ω=+ （1.1） 收稿日期：2015-03-30 作者简介：李德远（1990年生），男，本科学生，物理学 我们也可以采用自然坐标系（即 1ωμ===）[3],能量单位为ω，长 。则（1）又可写作 221122H p x = + （1.2） 我们知道经典力学到量子力学的转变，满足量子化条件 [4] ??[,]x p i =[5] ， 在自然坐标下又可写作 ??[,]x p i = （1.3） 2． 在坐标表象中的解法 写出在x 表象中的Schrodinger 方程 22 () 22()()2 1 22 x x x d m x E m dx ψωψψ- +=（2.1）

经典力学与量子力学中的一维谐振子

经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。

经典力学与量子力学中的一维谐振子

经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规

一维量子谐振子的概率分布

一维量子谐振子的概率分布 摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。 关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布 1.引言： 谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。 通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2.经典一维谐振子： 首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子

线性谐振子相图研究

文献综述 题目：线性谐振子相图研究 姓名： 学号： 系别：物理与电子信息工程系专业：物理学 年级： 指导教师： 2009年2月7 日

文献综述 一、前言 线性谐振子是量子力学中可以精确求解的有限几个事例之一[1]，其中最简单的线性谐振子是简谐振子。自然界中任何一个力学系统，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等。在选择适当的坐标系之后，复杂的运动往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动（simple harmonic vibration ）。简谐振动作为一种最简单最基本的振动，往往还是复杂运动的初步近似，是研究振动的基础。因此研究它在理论上和应用上都有重大的意义。 其中从相空间的角度来研究振动系统的力学问题如今已经成为一个研究趋势。因为相图里包含着完整的力学系统的全部信息，无须去解复杂的运动方程[2]。计算机技术软硬件的飞速发展，为此研究趋势提供了现实条件。 本论文从简谐振子的基本定义出发，在Fortran 90条件下进行数值模拟并在Origin75 软件下获得简谐振子的相图。 二、主体 2.1简谐振动的定义 定义一： 物体只在弹性力或准弹性 （线性回复力）作用下发生的运动，即动力学方程为 的运动为简谐振动[2]。 定义二： 在无外来强迫力作用下, 物体相对于平衡点的位移随时间按余弦（或正弦）规律变化即 则称物体作简谐振动式即简谐振动的表达式[3]。 —振幅； —角频率； —相位； —初相位。位移随时间的变化曲线称为振动曲线。 广义定义：某个物理量随时间的变化是按正弦或余弦规律，则可称该物理量做简谐动，可用 表示 。自然界中任何一个力学系统中，只要某一个物理量在其稳定 平衡点附近作微小振动，便可以用这种简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动，原子核表面振动、辐射场的振动以及电磁场振动等等。 2.2简谐振动的基本特征及动力学特征 简谐振动位移随时间的变化 cos()x A t ωφ =+2 2 2 d d x x o t ω +=()cos()x t A t ωφ=+()cos()x t A t ωφ=+

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

初中物理 题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题 作者单位：响水滩乡中心学校 作者姓名：宁国强 2012年9月28日

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题 响水滩中心学校 宁国强 摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。 关键词：一维线性谐振子；坐标表象； 一、 能量本征值、本征函数的求解 取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为 221()2V x x μω= （1） 其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为 222122 p H x μωμ=+ （2） 体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ?dinger 方程）为 ()()222221?22d x x E x dx μωψψμ??-+= ??? h （3） 严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件： ()0x x ψ→∞ ???→ （4） 将方程（3）无量纲化，为此，令

x ξα==， α= λ=2E ω h （5） （3）式可改写为 () 2220d d ψλξψξ+-= （6） 这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。当ξ????很大时,λ与2ξ相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为 2220d d ψξψξ -= （7） ξ→±∞时， 它的渐近解为2/2~e ξψ±。因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，所以2/2e ξψ:不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即2/2e ξψ-:。方程(6)在ξ为有限处的 根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式： ()()2 2Ae H ξψξξ-= （8） 式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得 ()22210d H dH H d d ξλξξ -+-= （9） 用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使()ψξ为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：21n λ=+，()0,1,2n =L L 。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为 12n E n ω??=+ ?? ?h ， ()0,1,2n =L L （10） 因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为ωh ，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。

电力系统谐振原因及处理措施分析

一、概述 铁磁谐振是由铁心电感元件，如发电机、变压器、电压互感器、电抗器、消弧线圈等和和系统的电容元件，如输电线路、电容补偿器等形成共谐条件，激发持续的铁磁谐振，使系统产生谐振过电压。 电力系统的铁磁谐振可分二大类：一类是在66kV及以下中性点绝缘的电网中，由于对地容抗与电磁式电压互感器励磁感抗的不利组合，在系统电压大扰动(如遭雷击、单相接地故障消失过程以及开关操作等)作用下而激发产生的铁磁谐振现象；另一类是发生在220kV(或110kV)变电站空载母线上，当用220kV、110kV带断口均压电容的主开关或母联开关对带电磁式电压互感器的空母线充电过程中，或切除(含保护整组传动联跳)带有电磁式电压互感器的空母线时，操作暂态过程使连接在空母线上的电磁式电压互感器组中的一相、两相或三相激发产生的铁磁谐振现象，即串联谐振，简单地讲就是由高压断路器电容与母线电压互感器的电感耦合产生谐振由于谐振波仅局限于变电站空载母线范围内，也称其为变电站空母线谐振。 二、铁磁谐振的现象 1、铁磁谐振的形式及象征 1)基波谐振：一相对地电压降低，另两相对地电压升高超过线电压;或两相电压降低、一相电压升高超过线电压、有接地信号发出 2)分次谐波：三相对地电压同时升高、低频变动 3)高次谐波：三相对地电压同时升高超过线电压 2、串联谐振的现象：线电压升高、表计摆动，电压互感器开口三角形电压超过100V 三、铁磁谐振产生的原因及其分析：

1、铁磁谐振产生的原因： 1)、有线路接地、断线、断路器非同期合闸等引起的系统冲击 2)、切、合空母线或系统扰动激发谐振 3)、系统在某种特殊运行方式下，参数匹配，达到了谐振条件 2、串联谐振产生的原因：进行刀闸操作时，断路器隔离开关与母线相连，引发断路器端口电容与母线上互感器耦合满足谐振条件 3、电力系统铁磁谐振产生的原因分析 电力系统是一个复杂的电力网络，在这个复杂的电力网络中，存在着很多电感及电容元件，尤其在不接地系统中，常常出现铁磁谐振现象，给设备的安全运行带来隐患，下面先从简单的铁磁谐振电路中对铁磁谐振原因进行分析。 3.1简单的铁磁谐振电路中谐振原因分析 在简单的R、C和铁铁芯电感L电路中，假设在正常运行条件下，其初始状态是感抗大于容抗，即ωL>(1/ωC)，此时不具备线性谐振条件，回路保持稳定状态。但当电源电压有所升高时，或电感线圈中出现涌流时，就有可能使铁芯饱和，其感抗值减小，当ωL=(1/ωC)时，即满足了串联谐振条件，在电感和电容两端便形成过电压，回路电流的相位和幅值会突变，发生磁谐振现象，谐振一旦形成，谐振状态可能“自保持”，维持很长时间而不衰减，直到遇到新的干扰改变了其谐振条件谐振才可能消除。 3.2电力系统铁磁谐振产生的条件 电力系统中许多元件是属于电感性的或电容性的，如电力变压器、互感器、发电机、消弧线圈为电感元件，补偿用的并或串联电容器组、高压设备的寄生电容为电容元件，而线路各导线对地和导线间既存在纵向电感又存在横向电容，这些元件组成复杂的LC震荡回路，在一定的能源作用下，特定参数配合的回路就会出现谐振现象。由于铁

教案7-消弧线圈补偿电网中的线性谐振

§第一讲《集中参数回路和长线路中的暂态过程》（请与本讲具体内容链接） §第二讲《变压器和电机绕组内的暂态过程》 （同上） §第三讲《过电压保护装置》（同上） §第四讲《工频过电压类型、原理及限制措施（1)》（同上）§第五讲《工频过电压类型、原理及限制措施（2)》（同上）§第六讲《谐振分类及特点》（同上） §第七讲《消弧线圈补偿电网中的线性谐振》 （同上） §第八讲《超高压电网中的谐振过电压传递过电压》（同上） §第九讲《断线和电磁式电压互感器饱和引起的铁磁谐振过电压》 §第十讲《操作过电压---间歇电弧接地过电压》（同上） §第十一讲《操作过电压---投、切空载线路过电压》（同上） §第十二讲《操作过电压---切空载变压器过电压和解列过电压》（同上）§第十三讲《电力系统的绝缘配合》（同上） §第十四讲《电力系统的绝缘配合---实例》（同上） §第十五讲《测控系统电子设备的过电压防护导论》（同上） §第十六讲《总结复习》（同上） 教案执笔：屠幼萍 教案审核： 制定日期：2005-9-9

§第 7讲 《消弧线圈补偿电网中的线性谐振》 、教学目标 1. 掌握消弧线圈补偿单相接地电流及缓减接地故障点恢复电压上升速度的作用; 2. 掌握消弧线圈补偿电网中其中性点电位增大的原因及其因素影响； 3. 掌握消弧线圈脱谐度的选择原则。 、教学重点 重点阐述影响消弧线圈补偿电网中中性点位移电位大小的有关因素， 进而说明选择 消弧线圈的脱谐度时应从利于接地电弧熄灭、线性谐振的抑制等方面来综合考虑。 三、教学难点 四、教学内容和要点 （一）消弧线圈补偿单相接地电流的作用 作用：是减小单相接地电流及缓减接地故障点恢复电压的上升速度，从而增大接地 故障点自熄的概率，以防止 发展成相间短路或烧伤导线。 结构：带有间隙的分段铁芯的可调电感线圈，其伏安特性相对来说不易饱和。消弧 线圈的铁芯和线圈均浸在绝 缘油中，其外形与单相变压器相似。每台消弧线圈均有调节 线圈匝数的分接头，用此改变线圈电感量，以获得不同数值的补偿电流，一般最大补偿 电流与最小补偿电流之比为 2 1或2.5 1，在此范围内有 5个或9个分接头可供切换选择。 设C 相导线在K 点对地短路，在短路前其电位为 E C ，在短路后其电位位零。 对地短路可看成两种情况的叠加： 一是原来的正常三相系统，另一是将原来三相电源电 动势短接而在短路点 K 与大地之间加入一个单相电势 -E c 的零序系统，计算对地短路电流 I jd ，只需计算后一零序系统即可（因前一正常三相系统 K 与大地之间无电流通过）。

谐振的几种类型

谐振的几种类型 电力系统中的电容和电阻元件，一般可认为是线性参数。可是电感元件则不然。由于振荡回路中包含不同特性的电感元件，谐振将有三种不同的类型。 （1）、线性谐振 谐振回路由不带铁芯的电感元件（如输电线路的电感、变压器的漏感）或励磁特性接近线性的带铁芯的电感元件（如消弧线圈，其铁芯中有气隙）和系统中的电容元件所组成。在正弦电源作用下，当系统自振频率与电源频率相等或接近时，可能产生线性谐振。 （2）、铁磁谐振 谐振回路由带铁芯的电感元件（如空载变压器、电压互感器）和系统中的电容元件组成。受铁芯饱和的影响，铁芯电感元件的电感参数是非线性的，这种含有非线性电感元件的回路，在满足一定谐振条件时，会产生铁磁谐振。 （3）、参数谐振 谐振回路由电感参数作周期性变化的电感元件（如凸极发电机的同步电抗在Xd-Xq间周期变化）和系统电容元件（如空载线路）组成。当参数配合恰当时，通过电感的周期性变化，不断向谐振系统输送能量，将会造成参数谐振。 什么是谐振过电压 因系统的电感、电容参数配合不当，出现的各种持续时间很长的谐振现象及其电压升高，称为谐振过电压。常见的有线性谐振过电压、铁磁谐振过电压、参数谐振过电压等。 什么是操作过电压 因操作或故障引起的暂态电压升高，称为操作过电压，常见的有电弧接地过电压、空载变压器分闸过电压、空载线路分闸过电压、空载线路合闸过电压、解列过电压等。 铁磁谐振的特点 （1）、产生铁磁谐振的必要条件是铁心电感的起始值和电感两端的等效电容组成的自振频率必须小于并接近于谐振频率。 （2）、回路参数平滑地变化时，谐振电压、电流会产生跃变。 （3）、谐振时产生反倾现象，即谐振后电感上的电压降由原来与电源电势相同变为相反，电容上的电压降由原来与电源电势反向变为同向。 （4）、谐振频率必须是由电源频率基波和它的简单分数倍分率或整数倍高频。 （5）、谐振后可自保持在一种稳定状态。 （6）、谐振一般在经受到足够强烈的扰动时外激产生，在一定条件下也可以自激产生。 配电网综合消谐措施的探讨 配电网中由于电磁式电压互感器（TV）饱和引起的铁磁谐振过电压时有发生。近年来，电网中应用了多种新型消谐装置，这些装置因作用机理不同而各有所长，也各有局限性，因此对这些新型消谐装置进行分析和优化配置，即采取综合消谐措施以便达到最佳保护效果十分必要。 1 常用消谐装置的特点 1.1 微机消谐装置 微机消谐装置也称二次消谐器，被安装在TV的开口三角绕组上。正常运行或者发生单相接地故障时装置不动作，而一旦判断电网发生铁磁谐振时，便会使正反并联在开口三角两端的2只晶闸管交替过零触发导通以限制和阻尼铁磁谐振，当谐振消除后晶闸管自行截止，必要时可以重复动作。装置起动消谐期间，晶闸管全导通，呈低阻态，电阻为几mΩ至几十mΩ。如此小的电阻值足以阻尼高频、基频及分频3种谐振，而且对整个电网有效，即一个系统中只需选择1台互感器安装消谐装置即可。 微机消谐装置的主要缺点是难以正确区分基波谐振和单相接地。目前，对基波谐振和单

电力系统谐振

电力系统谐振原因及处理措施分析发布时间：2012-10-16 阅读次数：1883 次 一、概述 铁磁谐振是由铁心电感元件，如发电机、变压器、电压互感器、电抗器、消弧线圈等和和系统的电容元件，如输电线路、电容补偿器等形成共谐条件，激发持续的铁磁谐振，使系统产生谐振过电压。 电力系统的铁磁谐振可分二大类：一类是在66kV及以下中性点绝缘的电网中，由于对地容抗与电磁式电压互感器励磁感抗的不利组合，在系统电压大扰动(如遭雷击、单相接地故障消失过程以及开关操作等)作用下而激发产生的铁磁谐振现象；另一类是发生在220kV(或110kV)变电站空载母线上，当用220kV、110kV带断口均压电容的主开关或母联开关对带电磁式电压互感器的空母线充电过程中，或切除(含保护整组传动联跳)带有电磁式电压互感器的空母线时，操作暂态过程使连接在空母线上的电磁式电压互感器组中的一相、两相或三相激发产生的铁磁谐振现象，即串联谐振，简单地讲就是由高压断路器电容与母线电压互感器的电感耦合产生谐振由于谐振波仅局限于变电站空载母线范围内，也称其为变电站空母线谐振。 二、铁磁谐振的现象 1、铁磁谐振的形式及象征 1)基波谐振：一相对地电压降低，另两相对地电压升高超过线电压;或两相电压降低、一相电压升高超过线电压、有接地信号发出 2)分次谐波：三相对地电压同时升高、低频变动 3)高次谐波：三相对地电压同时升高超过线电压 2、串联谐振的现象：线电压升高、表计摆动，电压互感器开口三角形电压超过100V 三、铁磁谐振产生的原因及其分析： 1、铁磁谐振产生的原因： 1)、有线路接地、断线、断路器非同期合闸等引起的系统冲击 2)、切、合空母线或系统扰动激发谐振 3)、系统在某种特殊运行方式下，参数匹配，达到了谐振条件 2、串联谐振产生的原因：进行刀闸操作时，断路器隔离开关与母线相连，引发断路器端口电容与母线上互感器耦合满足谐振条件 3、电力系统铁磁谐振产生的原因分析 电力系统是一个复杂的电力网络，在这个复杂的电力网络中，存在着很多电感及电容元件，尤其在不接地系统中，常常出现铁磁谐振现象，给设备的安全运行带来隐患，下面先从简单的铁磁谐振电路中对铁磁谐振原因进行分析。 3.1简单的铁磁谐振电路中谐振原因分析 在简单的R、C和铁铁芯电感L电路中，假设在正常运行条件下，其初始状态是感抗大于容抗，即ωL>(1/ωC)，此时不具备线性谐振条件，回 路保持稳定状态。但当电源电压有所升高时，或电感线圈中出现涌流时，就有可能使铁芯饱和，其感抗值减小，当ωL=(1/ωC)时，即满足了串联谐振条件，在电

10kV PT谐振现象及解决方法

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/633878716.html, 10kV PT谐振现象及解决方法 作者：谷婧瑜 来源：《华中电力》2014年第01期 摘要：本文通过对10kVPT谐振现象产生机理进行分析，并提出相应的预防措施及解决办法，为国内10kVPT谐振研究提供一定的参考作用。 关键词：铁磁谐振预防措施方法 引言 在现代经济社会快速发展的大潮下，国家社会的用电需求日益增大，电力系统中对电压等级、供电线路的需求也不断增加，PT作为电力系统中必不可少的一环，使用数量也逐年攀升，因PT谐振而造成电力系统设备毁坏的现象也越来越多。PT谐振中以铁磁谐振发生现象最为频繁，对电力危害较大。发生铁磁谐振时，高压保险是最易损毁的部件，情况严重时，则会导致PT爆炸甚至停电事故，甚至会造成三相异步电动机的反转，给整个用电系统带来严重的经济损失。因此，对PT谐振现象尤其是10kVPT谐振现象进行分析研究，并提出相应的预防措施及解决办法，尤其重要的现实意义。 1.PT谐振现象危害及产生机理 PT在电力系统中主要是指电压互感器，是一种特殊的变压器，在结构与使用形式上进行了限定，作用主要是对电压按照指定的比例进行变换，将高电压变为低电压，达到保护、计量以及仪表装置的使用条件，有时也通过PT为操作系统进行工作电源的提供。常见的有电磁式电压互感器，用于中性点不接地电网中。PT谐振现象主要指在打扰动或者大的系统操作情况下，电压互感器非线性铁芯达到过饱和状态，并同线路、对地电容形成共振回路，引发谐振过电压，继而引发一系列电力系统问题的现象。 1.1PT谐振现象危害 因PT谐振造成的电力事故近年逐渐增多，所造成的经济损失越来越严重。例如，广东电网公司湛江供电局曾经在2012年就发生过10kV变电站线路由于PT铁磁谐振而导致PT烧毁，还有某变电站在母线启动过程中因PT谐振导致PT高压保险烧毁，在PT保险底座能够观察到明显的放电现象，三相中其中一相炸裂，另外两相出现烧灼痕迹，整个绝缘护罩、母线套管护罩全部因放电高温熔化，开关柜被严重损毁。某地也曾发生过PT熔丝熔断导致整个变电站电力系统故障的事故，造成当地巨大的社会经济损失。 综上所述，对PT谐振产生原理进行分析研究，降低PT谐振发生概率，能够有效保障电 力系统的稳定，保证社会经济生活的正常进行。

谐振过电压

电力系统中一些电感、电容元件在系统进行操作或发生故障时可形成各种振荡回路,在一定的能源作用下,会产生串联谐振现象,导致系统某些元件出现严重的过电压。谐振过电压分为以下几种: (1) 线性谐振过电压谐振回路由不带铁芯的电感元件(如输电线路的电感,变压器的漏感)或励磁特性接近线性的带铁芯的电感元件(如消弧线圈)和系统中的电容元件所组成。(2) 铁磁谐振过电压谐振回路由带铁芯的电感元件(如空载变压器、电压互感器)和系统的电容元件组成。因铁芯电感元件的饱和现象,使回路的电感参数是非线性的,这种含有非线性电感元件的回路在满足一定的谐振条件时,会产生铁磁谐振。(3) 参数谐振过电压由电感参数作周期性变化的电感元件(如凸极发电机的同步电抗在Xd ～Xq间周期变化)和系统电容元件(如空载线路)组成回路,当参数配合时,通过电感的周期性变化,不断向谐振系统输送能量,造成参数谐振过电压。 电力系统过电压分几类?其产生原因及特点是什么? 电力系统过电压主要分以下几种类型:大气过电压、工频过电压、操作过电压、谐振过电压。 产生的原因及特点是: 大气过电压:由直击雷引起,特点是持续时间短暂,冲击性强,与雷击活动强度有直接关系,与设备电压等级无关。因此,220KV以下系统的绝缘水平往往由防止大气过电压决定。 工频过电压:由长线路的电容效应及电网运行方式的突然改变引起,特点是持续时间长,过电压倍数不高,一般对设备绝缘危险性不大,但在超高压、远距离输电确定绝缘水平时起重要作用。 操作过电压:由电网内开关操作引起,特点是具有随机性,但最不利情况下过电压倍数较高。因此30KV及以上超高压系统的绝缘水平往往由防止操作过电压决定。 谐振过电压:由系统电容及电感回路组成谐振回路时引起,特点是过电压倍数高、持续时间长。 电力系统操作过电压的产生原因及防范措施有哪些？ 1、切除空载线路引起的过电压； 2、空载线路合闸时引起的过电压； 3、切除空载变压器引起的过电压； 4、间隙性电弧接地引起的过电压； 5、解合大环路引起的过电压。防范操作过电压的措施有:电网中限制操作过电压的措施有:(1）选用灭弧能力强的高压开关；(2）提高开关动作的同期性；(3）开关断口加装并联电阻；(4）采用性能良好的避雷器,如氧化锌避雷器；(5）使电网的中性点直接接地运行。 电力系统工频过电压的原因及防范措施有哪些？

变压器谐振分类

变压器谐振分类 所谓谐振是指振荡系统的某一自由振荡频率等于外加强迫频率的一种稳态（或准稳态）的现象，发生谐振的那个谐波的振幅会急剧上升。电力系统包含有许多电感和电容元件（例如变压器、互感器、发电机等的电感，输电线路的对地及相间电容以及各种高压设备的电容等），它们的组合可以构成一系列不同自振频率的振荡回路，因此，在开关操作或发生故障时，电力系统中的某些振荡回路就有可能与外加电源产生谐振现象．导致在系统中的某些元件上出现严重的谐振过电压。电力系统由于电压等级和电网结构不同，可产生不同类型的谐振过电压，按其性质来分，可分为线性谐振、参数谐振和铁磁谐振三种： (1)线性谐振。线性谐振电路中的参数是常数，不随电压或电流而变化，主要指不带铁芯的电感元件（例如输电线路的电感，变压器的漏感）或励磁特性接近线性的带铁芯的电感元件（例如铁芯中带有空气隙的消弧线圈）与系统中的电容元件形成的谐振。 (2)参数谐振。系统中某些元件的电感参数在外力的影响下发生周期性变化，例如电机旋转时，电感的大小随着转子的位置不同而周期性地变化，当电机接有容性负荷（如空载线路），参数配合不当时，就可能产生参数谐振现象。 (3)铁磁谐振。带铁芯的电感元件由于磁路饱和作用，使回路的电感

呈非线性，不再是常数，当满足一定条件时，会与系统电容元件组成谐振回路，产生铁磁谐振过电压。铁磁谐振现象常发生在由空载变压器、电压互感器（正常工作时接近空载）和电容组成的回路中。 母线发生的谐振多为铁磁谐振，其又分为并联铁磁谐振和串联铁磁谐振两种。并联铁磁谐振是指小电流接地系统中，线路、母线等的对地电容与母线电磁式电压互感器（一次中性点接地）的非线性电感组成谐振回路而产生的铁磁谐振，这种铁磁谐振发生的比较多。串联铁磁谐振是指大电流接地系统中，断路器断口电容与母线电磁式电压互感器的非线性电感组成谐振回路而产生的铁磁谐振，可采用合理的倒闸操作顺序来防止这种谐振的发生，例如母线停电时，先拉母线电压互感器的隔离开关，以切断电感，再拉母联断路器，送电时操作顺序相反。 并联铁磁谐振可以表现为基波谐振、高次谐波谐振和分次谐波谐振等几种形式，不同性质的谐振引起的三相电压的变化不同。基波谐振时，一相对地电压降低，另两相对地电压升高且超过线电压，或两相电压降低，一相电压升高且超过线电压；高次谐波谐振时，三相对地电压同时升高且超过线电压；分次谐波谐振时，三相对地电压依次升高，超过相电压，且出现低频摆动，从而使表计指针抖动。串联铁磁谐振的性质大多是工频或分频的，电压的变化可以表现为一相、两相或三相电压超过额定值。母线发生谐振时可能有接地信号发出，有过电压放电响声，由于铁芯饱和将使其绕组中的励磁电流大大增加，可能导致母线电压互感器一次侧熔断器熔断或过热烧损，当过电压很高

线性谐振子

aaa 2.7线性谐振子 一． 线性谐振子 1. 定义：如果粒子在一维空间内运动的势能为 ωω,2122x m 是常量，则这种体系就称为线性谐振子。 2. 重要意义：许多体系都可以近似地看做是线性谐振子。例如 双原子分子中两原子之间的势能U 是两原子之间距离x 的函数，在平衡位置x=a 处U 可以近似写成 ()202 a x k U U -+ =，k,U 0是常量。 3. 体系定态薛定谔方程 0)21(222222=-+ψωψx m E dx d m (2.7.1) 4. 定态薛定谔方程的求解 令 ωααωξm x x m ===, (2.7.2) ωλ E 2= (2.7.3) 方程(2.7.1)变为 0)(222=-+ψξλξψd d (2.7.4) 当±∞→ξ时，2ξλ与相比可以略去，则(2.7.4)变为 ψξξψ222=d d 它的解是22ξψ±→e ，舍去正号。所以2-2ξψe → ()()ξξψξH e 2-2 = (2.7.5) 2-2-ξξξξψe d dH H d d ???? ??+=

2-2222222--ξξξξξξψe d H d H d dH H d d ???? ??++= 代入方程(2.7.4)得 ()01-2-22=+H d dH d H d λξξξ (2.7.6) 用级数解法，把H 展开成ξ的幂级数。这个级数只能含有有限项，才能在±∞→ξ时使()ξψ为有限；而级数含有有限项的条件是λ为奇数，即 ,2,1,0,12=+=n n λ (2.7.7) 代入(2.7.3)得 ,2,1,0),21(=+=n n E n ω (2.7.8) 相邻两个能级之差为ω =-n n E E (2.7.9) 基态（n=0）E 0=ω 21 (2.7.10) 称为零点能。 方程(2.7.6)的解 () ,2,1,0,)1(22=-=-n e d d e H n n n n ξξξξ (2.7.11) 称为厄米多项式。 厄米多项式的递推关系为 ()ξξ12-=n n nH d dH (2.7.12) ()()()02211=+--+ξξξξn n nH H H (2.7.13) ξξξξ128;24;2;1332210-=-===H H H H (2.7.14) 所以得出能量E n 的波函数是 ()()()()x H e N x H e N n x n n n n n αψξξψαξ2 2 2 2-2;==-或 (2.7.15)

电磁谐振

论文 浅谈电力系统中的铁磁谐振 摘要: 本文主要论述了电力系统中的铁磁谐振产生的主要原因、发生谐振时的现象、危害以及消除谐振的办法 关键词: 铁磁谐振中性点不接地系统电压互感器电容电感 前言 近年由于电网的快速发展、再加上今年又是电网建设年，电网也进行了大量的改造和扩建工程，大到500kV、小到10kV配网都有较大的变化，使得整个网络变得更加复杂、灵活、坚强。但就是因为电网结构的较大变化（如中低压电网的扩大，出线回路数增多、线路增长，电缆线路的逐渐增多，中低压电网对地电容电流亦大幅度增加等）以前电网中少有发生的铁磁谐振现象，现在却时有发生，由于谐振时会产生过电压，给电网安全造成了积大的威胁，如不采取有效的消除措施，可能会造成设备损坏、甚至还会诱发产生更为严重的电力系统事故。下面就电网中的铁磁谐振谈谈我个人的认识、见解。 一、概述 铁磁谐振是由铁心电感元件，如发电机、变压器、电压互感器、电抗器、消弧线圈等和和系统的电容元件，如输电线路、电容补偿器等形成共谐条件，激发持续的铁磁谐振，使系统产生谐振过电压。 电力系统的铁磁谐振可分二大类：一类是在66kV及以下中性点绝缘的电网中,由于对地容抗与电磁式电压互感器励磁感抗的不利组合,在系统电压大扰动（如遭雷击、单相接地故障消失过程以及开关操作等）作用下而激发产生的铁磁谐振现象；另一类是发生在220kV（或110kV）变电站空载母线上，当用220kV、110kV 带断口均压电容的主开关或母联开关对带电磁式电压互感器的空母线充电过程中，或切除（含保护整组传动联跳）带有电磁式电压互感器的空母线时，操作暂态过程使连接在空母线上的电磁式电压互感器组中的一相、两相或三相激发产生的铁磁谐振现象，即串联谐振，简单地讲就是由高压断路器电容与母线电压互感器的电感耦合产生谐振由于谐振波仅局限于变电站空载母线范围内，也称其为变电站空母线谐振。 二、铁磁谐振的现象 1、铁磁谐振的形式及象征 1）基波谐振：一相对地电压降低，另两相对地电压升高超过线电压；或两相电压降低、一相电压升高超过线电压、有接地信号发出 2）分次谐波：三相对地电压同时升高、低频变动 3）高次谐波：三相对地电压同时升高超过线电压 2、串联谐振的现象：线电压升高、表计摆动，电压互感器开口三角形电压超过100V 三、铁磁谐振产生的原因及其分析： 1、铁磁谐振产生的原因： 1）、有线路接地、断线、断路器非同期合闸等引起的系统冲击