内切圆与内切球半径公式推导

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法 圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：由题意得；2132==c R ；22 131252=-+=-+=c b a r 。 二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()2222151413x x --=-，得x=5 33； 再得：AD ＝5 56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 1514132 15561521++=?? 得： r ＝4 ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于 E ，连接CE 。则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14 556 213=R ，得R ＝865。 例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求 外接圆半径R 和内切圆半径r 值。

解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝17－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()()2222172 513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 2517132151721++=?? 得： r ＝2 26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2 213。 三、小结 例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++= ?21公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。 例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。 2009-1-6

圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用

圆锥曲线的统一焦半径公式 在解题中的应用 宜昌二中 黄群星 我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。解决这类问题，我们可以用到的公式有：平面上两点之间的距离公式，弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。最后一个公式往往被大家忽视，现在我想专门谈谈这个公式的使用。 一．在椭圆中的运用： 例1：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为2 ，过右焦点F 且斜率为k （>0）的直 线与C 相交与A,B 两点，若3AF FB =,求k 的值。 解法一：∵ 2 e = ∴12b a = 设椭圆的方程为22 221,4x y b b += 右焦点为,0)， 设直线的方程为my x =，设1122(,),(,)A x y B x y 222440x y b my x ?+-=?? =? ?222 (4)0m y b ?++-= ∵3AF FB =1122,)3(,)x y x y ?--=123y y ?=-① 122 (4)y y m -+=+ ② 2 122(4) b y y m -?=+ ③ 将①带入②得 1224y y m ?=????=-?+? ∴2221222 94(4)m b b y y m m --?==++212m ?= k>0, ∴m>0, ∴2 m k ==解法二; 由题意得3AF FB = =cos 3θ?=

∴sin tan 3 k θθ= ==即 评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。那么，在什么情况下可以用这个公式呢？ 先看这个公式的结构：1cos ep PF e θ = ±，其中，e 是离心率，P 为焦准距，θ是过焦点 的直线的倾斜角，正是由于倾斜角的存在，使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛物线都适用，这是它的一大优越之处。 二．在双曲线中的运用： 例2：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于A,B 两点，已知,,OA AB OB 成等差数列，且,BF FA 同向 ① 求双曲线的离心率 ② 设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。 解：① 如图 ∵FA=b,OF=c, ∴OA=a ,∵OF 平分角∠AOB ∴OA AF OB BF = 设FB=mb,OB=m a ,则有2AB OA OB =+ 即12(1)2b m b a ma e a +=+? =∴= ② 设直线AB 的倾斜角为θ , cos b c θ= = ∴ 41c o s 1c o s e p e p e e θθ+=+- 4p p += 2 a P c c ?=-= 有∵ 6,3c a c b a ===∴= ∴ 双曲线的方程为 2 2 1369 x y -= 评述：双曲线的焦半径公式PF =a ex ±，由于正负号和绝对值符号的存在，使得这个公式在运用起来又很多不方便，而统一焦半径公式正好巧妙的解决了这一问题。 三．在抛物线中的使用： 例3：平面上一点P 到点F （1,0）的距离与它到直线x=3的距离之和为4， ① 求点P 的轨迹方程

三角形的内切圆——与内切圆半径有关的计算

B 三角形的内切圆 ——与内切圆半径有关的计算 【学习目标】 1．理解三角形内切圆的有关概念。 2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。 3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。 【预备知识】 1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。 2.内切圆的性质 （Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。 （Ⅱ） 设S 是△ABC 面积，a, b ，c 是三角形三边长，r 为三角形 内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________ 3. 切线长定理 这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。从圆外一 ________________________________。 C

【中考衔接】 (天津中考)已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。 （Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1； （Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2； （Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与AB 边相切，求r n . 拓展路径1： C B A C B A C B A 拓展路径2： C B A C B A C B A 小结： 类比，由特殊到一般，等面积转化。

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为 2 2 2 c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2 2 22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++= 1663142 2 22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 A C D B E

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ， 5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。 解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22 210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC 取斜边的中点O ， 在ABC Rt ?中OC OB OA == 在PAC Rt ?中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 52 1 == AC R 所以该外接球的体积为3 500343π π==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，?=∠120BAC ， 2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。 解：由已知建立空间直角坐标系 )000(，， A )002(，， B )200(，，D 由平面知识得 )031(，，-C O A B C P A B C D z x y

任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式

一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 22-=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ? --? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---= -+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有：2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)( 4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以： 2 222222 2222)(4) 2(12) (cos 12sin 2a c b c b abc bc a c b a A a A a R -+-= -+-= -==

焦半径公式的证明

焦半径公式的证明 FFaa>cFFc）2到两定点|=2，）（距离之和为定值22（|【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：2121的动点轨迹（图形）. ca. 和这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数ca，就确定了椭圆的形状和大小.就确定了椭圆的位 置；再加上另一个参数比较它们的第一个参数“身，ca更“显贵”比份”来，. c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到. 之嫌cc的“题根”. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找，并寻找关于 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. FcFcPxy,0)(（,0，）和）是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦（【例1】已知点-21 a PFPFa+-|=|=；|. .点求证：|21PFPFy”即可然后利用椭圆的方程“消. .可用距离公式先将||和||分别表示出来分析【】21【解答】由两点间距离公式，可知 PF (1) ||=1．解出从椭圆方程 (2) 代（2）于（1）并化简，得 axPFa) |(-≤|=≤1 aPF xa) |≤|=≤(-同理有2通过例1，得出了椭圆的焦半径公式【说明】 ea-ex ra+exr==( ) =21Px,yrxrx的减）横坐标的一次函数. 的增函数，从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点是（是21a+ca-cx,y轴，关于原点）（关于. .从焦半径公式，函数，它们都有最大值还可得椭圆的对称性质,最小值 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径

三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 A B C O A B C O D A B C O D A B C O D E

三角形的外接圆与内切圆半径的求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7

焦半径公式

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2以F2为焦点，l为准线，点P是C1、C2的一个公共点，则 F1F2/PF1-PF1/PF2= 设点P的横坐标为m， 则由焦半径公式，PF1=a+em，PF2=a-em， 因为点P又在以F2为焦点，l为准线的抛物线上，l的方程为x=-a2/c； 所以，P到l的距离d=m-(-a2/c)=m+a2/c 抛物线满足：抛物线上的点到焦点的距离=到准线的距离； 所以d=PF2 即：m+a2/c=a-em 得：m=a2(c-a)/c(a+c) 所以，em=a(c-a)/(a+c) 所以，PF1=a+em=2ac/(a+c)，PF2=2a2/(a+c) 所以，F1F2/PF1=(a+c)/a，PF1/PF2=c/a； F1F2/PF1-PF1/PF2=(a+c)/a-c/a=1； 椭圆的焦半径公式

设M（xo，y0）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和 r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，其中e是离心率。 推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。 同理：∣MF1∣= a+ex0，∣MF2∣= a-ex0。 编辑本段双曲线的焦半径公式 双曲线的焦半径及其应用： 1：定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a 编辑本段抛物线的焦半径公式 抛物线r=x+p/2 通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦 双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c-c 抛物线的通径是2p 抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.

三角形的内切圆经典练习

例：如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC 边的长为6，则△ADE的周长为（B） A．15 B．9C．7.5 D．7 如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=2． 如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（C） A．E F＞AE+BF B．E F＜AE+BF C．E F=AE+BF D．E F≤AE+BF 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P 作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（C） A．r B． r C．2r D． r 如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（C） A．B．C．D． 如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，若∠BAC=70°，则∠BOC=125度．

如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC=80°，求∠BOC的度数． 如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为 如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（A） A．76°B．68°C．52°D．38° 如图，已知E是△ABC的内心，∠BAC的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB； （2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的长．

焦半径公式的证明

焦半径公式的证明 【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦 点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -. 【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得

|PF1|=(-a≤x≤a) 同理有|PF2|=(-a≤x≤a) 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|. 【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2. 【解答】依题意，有方程组 ②-③得 代①于④并整理得r1-r2=⑤ 联立①，⑤得 【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然. 三、焦半径公式与准线的关系

三角形内切圆几个公式的应用

三角形内切圆几个公式的应用 公式1 . △ABC ，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c 为r ，则r ＝ 1 2 (a+b-c)。 证明: 如图1，⊙O 内切于 △ABC ，D 、E 、F 为切点， 由切线长定理知：AF=AE ，CE=CD ，BF=BD 。 ∴a+b-c=（BD+DC ）+（AE+EC ）-（AF+BF ）=2CE =2r 。∴r ＝12 (a+b-c)。 点评 ：此公式只适用于直角三角形。 公式2 . 若O 为 △ABC 的内心，则∠AOB=90°+ 1 2 ∠ACB 。 证明:如图2，∴⊙O 为 △ABC 的内切圆， ∴∠1= 12∠CAB ，∠2= 1 2 ∠ABC ， ∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180° - 12（∠CAB+∠ABC ）=180°- 1 2 （180°- ∠ACB ）=90°+ 1 2 ∠ACB 。 公式3 .如图3，在△ABC 中，内切圆O 和BC 、AC 、AB 分别相切于点E 、F 、D ，则∠FDE=90°-12 ∠ACB 。 证明:连结OE 、OF ，则OF ⊥AC ，OE ⊥BC ， 四边形CFOE 内角和为360°，∴∠FOE+∠C =180°，又因为∠FDE= 1 2 ∠FOE ，∴∠FDE= 90°- 1 2 ∠ACB 。 点评 ：由在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等可知，即使D 点不为切点，只要∠FDE 所对的弧为EF ，都有∠FDE=90°- 1 2 ∠A C B D E 图1 A B C 图2 A B C D 图3

ACB。 公式4 . △ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，，内切圆半径为r，则r = 2s a b c ++ 。 证明:如图4，⊙I内切于△ABC，连结IA，IB，IC， S=S △AIB+S △AIC+S △BIC=1 2AB·r+ 1 2 AC·r+ 1 2 CB = 1 2cr+ 1 2 ar+ 1 2 br= 1 2 （a+ b+c）r ∴r = 2s a b c ++ 。 点评：⑴. 三角形的面积等于周长与内切圆半径的乘积的一半， 即S= 1 2 p·r（p表示周长，r表示内切圆半径），这是一个很有用的结论，在解题时可以直接引用。 ⑵. 若∠C=90°，则有r = ab a b c ++ 。 应用以上我们所总结的几个公式去解答某些有关三角形内切圆的问题时，能让我们快速的找到准确答案。 【练习：】⑴.在△ABC中，BC＝12，AC＝13，AB＝5，则此三角形的内切圆的半径r=______. ⑵.若O为△ABC的内心，∠ACB=80°,则∠AOB=_______. ⑶.在△ABC中，内切圆O和BC、AC、AB分别相切于点E、F、D，若∠ACB=70°,则∠FDE=______. ⑷.△ABC中，AC=AB=5，BC=6，求△ABC的半径长。 ⑸.已知△ABC为等腰直角三角形,其腰长为1,那么它的内切圆的半径r=______. 【附答案:】⑴. 2 ⑵. 130°⑶. 55°⑷. 3 2A C 图4

椭圆焦半径公式及应用

椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而 。 ∴，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。

解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为 ，则、、。 ∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出 的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、 是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 （1）若∠为直角，则，即 ，解得，故。 （2）若∠为直角，则，即 = ，解得，故。

评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。 例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找 一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即 ＋48=0，解得，或。 因此，点M不存在。 评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简

多面体外接球半径常见的求法整理

多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2R = 变式1：

变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π 四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 变式2：正三棱锥的高为 1 ，底面边长为 。求棱锥的内切球的表面积。 C D A B S O 1图3

任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式

任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通 用公式 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 2 2 -=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ?-- ? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有： 2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以：

2020年焦半径公式的证明

作者：旧在几 作品编号：2254487796631145587263GF24000022 时间：2020.12.13 焦半径公式的证明 【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0) 是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.

【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程 “消y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|=(-a≤x≤a) 同理有|PF2|=(-a≤x≤a) 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离2 d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =

由三角形内切圆导出的一个三角形的面积公式应用

由“三角形内切圆”引出的2个中考命题 我们知道：和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形3条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，这个距离就是三角形的内切圆的半径（如图甲）.观察图形3个角平分线将三角形分成3个三角形，而每个三角形的高均为内切圆的半径，底为三角形的三边长.所以 S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA = r AB ?21+r BC ?21+r CA ?2 1 = r BC AC AB ?++)(2 1 （r 为内切圆的半径） 从上述三角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法，有些图形的面积可以 通过适当的分割，分割为若干个可求图形的面积，利用整体等于各个部分面积之和从而获得上面的结论. 我们知道三角形是多边形中最简单的多边形，而且任意的三角形都存在唯一的内切圆，但四边形不一定存在内切圆，假若四边形存在一个内切圆上述结论成立吗对于任意的n 边形呢请欣赏如下的江苏省淮安市06年的一道中考题： 例1、阅读材料：如图(一)，△ABC 的周长为l ，内切圆O 的半径为r,连结OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形，用S △ABC 表示△ABC 的面积 ∵ S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA 又∵S △OAB = r AB ?21，S △OBC =r BC ?21，S △OCA =r CA ?21 ∴S △ABC =r AB ?21+r BC ?21+r CA ?21=r l ?2 1 (可作为三角形内切圆半径公式) （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径； (2)类比与推理：若四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二))且面积为S ，各边长分别为a 、b 、c 、d ，试推导四边形的内切圆半径公式； （3）拓展与延伸：若一个n 边形(n 为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S ，各边长分别为a 1、a 2、a 3、…、a n ，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)． 分析：本题创设了一个以“阅读材料—三角形的面积与内切圆半径及周长之间关系”的 ┓ O C B A