克里格法Kriging——有公式版
克里格法（Kriging）——有公式版
二、克里格法（Kriging）克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意
义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论
的结合，发展了模糊克里金法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数
一、区域化变量
当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布
特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属
性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定
的空间点函数值。
区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X 与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这
种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性
特征。
二、协方差函数
协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量X与Y的协方差被定义为：
区域化变量在空间点x 和x+h处的两个随机变量Z(x) 和Z(x+h) 的二阶混合中心矩定义为Z(x) 的自协方差函数，即
区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。一般来说，它是一个依赖于空
间点x 和向量h 的函数。
设Z(x) 为区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，即随机函数Z(x) 的空间分布规律
不因位移而改变，h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，Z(xi) 为Z(x) 在空间位置xi 处的实测值，Z(xi[size=2]+h[/size]) 是Z(x) 在xi 处距离偏离h 的实测值，根据协方差函数的定义公式，可得到协方差函数的计算公式为：
在上面的公式中，N(h)是分隔距离为h时的样本点对的总数，和分
北师大版-江西省宜春中学必修1学案换底公式
3.4.2 换底公式 导学案 一课前自主导学 【学习目标】1.初步掌握对数运算的换底公式及其简单应用。 2.培养学生的数学应用意识。 【重点、难点】能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题； 【预习自测】 1.计算：（1）（log 25+log 4125）5 log 2log 33?； （2）6811 log 4log 71649+ 【答案】： 2.计算：（1）已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、lg12、 （2）设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12. 【温故而知新】 1.复习填空 复习1.对数的运算性质 如果 0,0,10>>≠>N M a a 且 ， 那么 =)(log )1(MN a =N M a log )2( =n a M log )3( 复习2. 对数换底公式 log log log m a m N N a = 2.由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）： ① log log a b b a ?= ；② log m n a b = ；③ log log b a a x = ;
【我的疑惑】 二、课堂互动探究 【例1】计算：（1）已知3log 12a =，试用a 表示3log 24 （2）已知18log 9,185b a ==，用,a b 表示36log 45 【例2】求值：（1）已知的值求x x x ),5(log )1(log 93+=-. （2）若a ，b 是方程的两个实根，01lg )(lg 24 2=+-x x 求的值)log (log )lg(a b ab b a +?. (3) 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求 x y 的值． 【答案】：
克里格法
二、克里格法（Kriging） 克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数 一、区域化变量 当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。 区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。 二、协方差函数 协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量X与Y 的协方差被定义为： 区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即
基于ArcGIS克里格插值的水下地形制图应用
基于ArcGIS克里格插值的水下地形制图应用 摘要：本文在水下测量得到的水深数据的基础上，利用ArcGIS的不规则三角网和克里格插值功能，生成能反映水下真实地形的DEM模型，通过对插值后的水深数据进行精度评定，结果表明其精度完全能满足测量误差要求。然后通过空间分析模块生成山体阴影，进一步利用ArcGIS制图功能根据需求将水深数据分成不同的水深区间，用不同颜色标明，最终得到具有3D效果的水下地形图。 关键字：ArcGIS 水深数据；不规则三角网；克里格插值DEM；精度评定；水下地形图 1 引言 在航道疏浚工程中，一份高精度、可视化的水下航道地形图是工程进度控制和质量控制的有效保障。目前在水下测图数据处理中广泛用到的CAD软件只能对离散的测量数据进行编辑，无法得到直观的、三维可视化的水下地形图，而通过ArcGIS的功能应用能有效解决上述问题。 2 构建DEM模型 2.1 测点数据导入 在水下测量中我们通常用单波束测深仪获取水深数据，用信标机或GPS获取平面坐标，结合潮位数据，利用数据处理软件解算得到测点平面坐标和高程数据。将水深测量数据用电子表格编辑，测点X、Y、Z值按点文件的格式保存为excel表格。应用Tools->add xy data导入数据，最后将数据转化成矢量点文件。本实例中用到的是秦皇岛某海港航道水下测量数据，选择120度带高斯克吕格投影的北京54坐标系统。 2.2 空间插值 空间插值就是指通过临近的实测样点的高程数据，建立DEM以估计无值区域或待插值点的高程。空间插值的性质随着物体距离的增加而减少，越是靠近的两个物体，那么相似性越大。估算空间插值的常见的方法有反距离加权插值、自然邻点插值、最近邻点插值、克里格插值等。 地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究空间分布数据的结构性和随机性、空间相关性和依赖性、空间格局与变异，还可以对空间数据进行最优无偏内插，以及模拟空间数据的离散性及波动性。克里格插值方法就是在地统计学的基础上建立起来的。与其他空间插值不同的是，克里格插值法不仅考虑了待插值点与临近实测样点的空间关系，还对临近实测样点彼此间的位置关系，因此，能够得到更加准确的统空间插值。
高考总复习北师大BSD版数学 换底公式 课后练习
课时作业(二十) 一、选择题 1.log 49 log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92 解析：log 49 log 43＝log 39＝2. 答案：B 2．下列各式中值为零的是( ) A ．log a a B ．log a b －log b a C ．log a 1 D ．log a (log a a 2) 答案：C 3．log 331 9 的值等于( ) A.34 B ．－3 4 C.43 D ．－43 解析：log 3 319＝log 319 log 333＝log 33－2log 33 23 ＝－232＝－4 3. 答案：D 4．若x ＝60，则1log 3x ＋1log 4x ＋1 log 5 x 的值为( )
A ．1 B.12 C ．2 D ．以上都不对 解析：原式＝log x 3＋log x 4＋log x 5＝log x 60＝log 6060＝1. 答案：A 5．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b b C.a a ＋b D.b a ＋b 解析：log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b . 答案：B 6．2＋1log a 10比lg a 100大( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：由于2＋1log a 10＝2＋lg a ，lg a 100＝lg a －2， 所以(2＋lg a )－(lg a －2)＝4. 答案：B 二、填空题 7．log 43·log 134 32＝________. 解析：原式＝log 223·log 3－1254＝? ????12log 23×? ?? ??－54log 32 ＝－5 8()log 23·log 32 ＝－5 8.
克里格法插值法
克里格法插值法 克里格法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。其特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。相对于其他插值方法。主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以计算速度较慢。而那些趋势面法，样条函数法等。虽然较快，但是逼近程度和适用范围都大受限制。 克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，折取克里格插值等。 克里格插值的变异函数有球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。 克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里格方法。如与分形的结合，发展了分形克里格法；与三角函数的结合，发展了三角克里格法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里格法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数。 它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。 按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里格插值分为普通克里格和泛克里格，其中普通克里格(Ordinar y Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。 利用克里格法插值时变异函数的确定是其关键。当区域化变量不满足二阶平稳假设存在漂移时，漂移的形式、残余（Ｒｅｓｉｄｕａｌ）变异函数参数的估计比较困难。有人提出利用多元逐步回归法确定漂移的次数；采用矩法和最大似然法相结合估计残余变异函数参数；当区域内数据点个数比较多时，在三角网格剖分过程中一次确定三角形与其内数据点的包含关系，用于快速检索待插点邻域内的数据点。 对于同一个区域化变量，有些人认为满足二阶平稳假设，而另一些人则认为带有漂移，没有一个判定准则。实际应用中，漂移次数的确定可借鉴利用多元逐步回归法确定。 克里格插值一般步骤： 1）计算被估点坐标（网格节点坐标） （2）根据搜索策略选择满足条件的参估点 （3）根据变差函数参数建立方程组 （4）解方程组，求权系数 （5）求被估点的值 （6）重复（1）-（5）步，直到网格节点全部求出； 由上可见，克里格插值其实也是对已知值赋权重计算未知值，但是它不仅考虑了距离插值点的距离远近的影响，还考虑了己知点的位置和属性值整体的空间分布和格局。这个权重使用半方差函数模型（生成的表
克里格插值
在克里格插值过程中，需注意以下几点： （1）数据应符合前提假设 （2）数据应尽量充分，样本数尽量大于80，每一种距离间隔分类中的样本对数尽量多于10对（3）在具体建模过程中，很多参数是可调的，且每个参数对结果的影响不同。如：块金值：误差随块金值的增大而增大；基台值：对结果影响不大；变程：存在最佳变程值；拟合函数：存在最佳拟合函数（4）当数据足够多时，各种插值方法的效果相差不大。 3. 克里格方法的分类 目前，克里格方法主要有以下几种类型：普通克里格（Ordinary Kriging）；简单克里格（Simple Kriging）；泛克里格（Universal Kriging）；协同克里格（Co-Kriging）；对数正态克里格（Logistic Normal Kriging）；指示克里格（Indicator Kriging）；概率克里格（Probability Kriging）；析取克里格（Disjunctive Kriging）等。下面简要介绍一下ArcGIS中常用的几种克里格方法的适用条件，其具体的算法、原理可查阅相关文献资料。 不同的方法有其适用的条件，按照以上流程图所示步骤，当数据不服从正态分布时，若服从对数正态分布，则选用对数正态克里格；若不服从简单分布时，选用析取克里格。当数据存在主导趋势时，选用泛克里格。当只需了解属性值是否超过某一阈值时，选用指示克里格。当同一事物的两种属性存在相关关系，且一种属性不易获取时，可选用协同克里格方法，借助另一属性实现该属性的空间内插。当假设属性值的期望值为某一已知常数时，选用简单克里格。当假设属性值的期望值是未知的，选用普通克里格。
克里格插值基础arcgis
克里格插值基础 来源：互联网 1. 克里格方法概述 克里格方法（Kriging）又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础， 在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一。南非矿产工程师D.R.Krige（1951年）在寻找金矿时首次运用这种方法，法国著名统计学家G.Matheron随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging，即克里格方法。 克里格方法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里格方法进行内插或外推；否则，是不可行的。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计。无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小。也就是说，克里格方法是根据未知样点有限邻域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间位置关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。 克里格方法与反距离权插值方法类似的是，两者都通过对已知样本点赋权重来求得未知样点的值，可统一表示为： 式中，Z(x 0 )为未知样点的值，Z(x i )为未知样点周围的已知样本点的值，为第i个已知样本点对未知样点的权重，n为已知样本点的个数。 不同的是，在赋权重时，反距离权插值方法只考虑已知样本点与未知样点的距离远近，而克里格方法不仅考虑距离，而且通过变异函数和结构分析，考虑了已知样本点的空间分布及与未知样点的空间方位关系。 2. 克里格方法的具体步骤 用克里格方法进行插值的主要步骤如图1所示：
北师大版八年级数学下册 公式法 教案
《3 公式法》教案 第1课时 一、教学目标 1、知识与技能： （1）使学生了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．2、过程与方法： （1）发展学生的观察能力和逆向思维能力； （2）培养学生对平方差公式的运用能力． 3、情感、态度与价值观： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法． 二、教学重难点 1、重点：运用平方差公式分解因式． 2、难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；正确判断因式分解的彻底性． 三、教学过程 第一环节：练一练 活动内容：填空： （1）（x+3）（x–3）=____________________； （2）（4x+y）（4x–y）=____________________； （3）（1+2x）（1–2x）=____________________； （4）（3m+2n）（3m–2n）=____________________． 根据上面式子填空： （1）9m2–4n2=____________________；； （2）16x2–y2=____________________； （3）x2–9=____________________； （4）1–4x2=____________________． 活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力． 注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得
克里金(克里格)(Corigine)算法
克里格，或者说克里金插值Kriging。法国krige名字来的。 特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。 相对于其他插值方法。主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以反映速度很慢。（当然也看你算法设计和电脑反应速度了呵呵）。而那些趋势面法，样条函数法等。虽然较快，但是毕竟程度和适合用范围都大受限制。 具体 对比如下： 方法外推能力逼近程度运算能力适用范围 距离反比加权法分布均匀时好差快分布均匀 最近邻点插值法不高强很快分布均匀 三角网线性插值高差慢分布均匀 样条函数高 强快分布密集时候 克里金插值高强慢均可 克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，离析克里金插值等。 克里金插值的变异函数球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。 以下结合我的绘制等值线（等高线）的程序和高斯迭代解矩阵方程方法以及多元线性回归方法（此两方法实现另补充）说明克里格方法的实现：
注：选择变异函数模型为球形模型，选择插值方法为普通克里金，我为了简化问题，考虑为各向同性，变差距离为固定。 int i,j,i0,i1,j0,j1,k,l,m,n,p,h;//循环变量 double *r1Matrix;//系数矩阵 double *r0Matrix;//已知向量 double *langtaMatrix;//待求解向量 double *x0;//已知点横坐标 double *y0;//已知点纵坐标 double * densgridz;//存储每次小方格内的已知值。 double densgridz0;//待求值 int N1=0;//统计有多少个已知值 double r[71],r0[71]; int N[70]; for(i=0;i<100;i++) { for(j=0;j<100;j++) { if(bdataprotected[i*100+j]) continue;//原值点不需要插值 //1.遍历所有非保护网格。确定每一个待插值点的r(h) //每一个网格又从横向和纵向进行搜索，也就是说正方形相关，正方形的边长以R，格子长度为50；中心距离为25 //首先计算起循环的起始点。 //横向 if(i-25>=0) i0=i-25; else i0=0; if(i+25<=100) i1=i+25; else i1=100; //纵向 if(j-25>=0) j0=j-25; else j0=0; if(j+25<=100) j1=j+25; else j1=100; //Hmax=int(50*2^.5)=70 根据对称性，所有的r(h)除以2即为所得值。 //先待插值点的编程小方格内统计有几个已知点，如果个数小于4，则不能拟合。
克里金插值法
克里金插值法及其适用范围 20 巴任若测绘学院 克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging，即克里金插值法。 1 克里金插值法原理 克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。 假设研究区域a上研究变量Z（x），在点xi∈A（i=1，2，……，n）处属性值为Z（xi），则待插点x0∈A处的属性值Z（x0）的克里金插值结果Z*（x0）是已知采样点属性值Z（xi）（i=1，2，……，n）的加权和，即：
)()(10* i n i i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。 其中Z(xi)之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量” 针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式： 11=∑=n i i λ （2） 以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组： ???????=??==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （xi ，xj ）是Z(xi)和Z(xj)的协方差函数。 2 国内外研究进展 从克里金方法被提出到现在已有完善的理论，并在很多领域得到
新北师大版八年级下册数学 《公式法(1)》教案(1)
4.3.1 公式法（一） ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. （二）能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感与价值观要求 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. ●教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式. ●教学难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. Ⅱ.新课讲解 ［师］1.请看乘法公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 （1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a 2－ b 2=（a+b ）（a －b ） （2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ ［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解. ［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解 ［师］请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点. ［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 如x 2－16=（x ）2－42=（x+4）（x －4）. 9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2 =（3 m +2n ）（3 m －2n ） 3.例题讲解 ［例1］把下列各式分解因式： （1）25－16x 2; （2）9a 2－4 1b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2 =（5+4x ）（5－4x ）; （2）9a 2－ 41 b 2=（3a ）2－（21b ）2 =（3a+21b ）（3a －2 1b ）. ［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m+n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3－8x. 解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2
数学北师大版必修1课时分层作业17 换底公式
课时分层作业(十七) 换底公式 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118 C.83 D.38 2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B.a b C ．ab D ．a ＋b B [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝a b .] 3．已知2x ＝3y ≠1，则x y ＝( ) A ．lg 23 B ．lg 32 C ．log 32 D ．log 23 D [令2x ＝3y ＝k (k >0且k ≠1)， 所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ， 故x y ＝log 2k log 3 k ＝log k 3 log k 2＝log 23.] 4．若log 51 3·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.1 9 C ．25 D.125
D[由换底公式，得－lg 3 lg 5· lg 6 lg 3· lg x lg 6 ＝2， lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝ 1 25.] 5．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则 1 x－ 1 y＝() A. 1 3B．3 C．－ 1 3D．－3 A[因为x＝log2.51 000， y＝log0.251 000， 所以 1 x＝ 1 log2.51 000＝log1 0002.5， 同理 1 y＝log1 0000.25，所以 1 x－ 1 y＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝ lg 10 lg 1 000＝1 3.] 二、填空题 7．设2a＝3b＝6，则 1 a＋ 1 b＝________. 1[因为2a＝3b＝6，所以a＝log26，b＝log36， 所以 1 a＋ 1 b＝ 1 log26＋ 1 log36＝log62＋log63＝log66＝1.] 8．若lg x－lg y＝a，则lg? ? ? ? ?x 2 10 －lg ? ? ? ? ?y 2 10 ＝________. 10a[因为lg x－lg y＝a，所以lg x y＝a， 所以lg ? ? ? ? ?x 2 10 －lg ? ? ? ? ?y 2 10 ＝10 ? ? ? ? ? lg x 2－lg y 2＝10lg x y＝10a.]
克里格插值
0x 克里格（Kringing ）插值法是建立在统计学理论基础上，实际上是利用区域化变量的原始数据和半方差数据的结构特征，对位采样点的区域化变量的取值进行线性最优无偏估计的一种方法，也就是根据待估样点有限领域内若干已经择定的测定的样点数据，在认真考虑了阳电的形状、大小和相互空间位置之间的关系，以及他们与待估样点见相互位置关系和编译函数提供的结构信息之后，对待估样点间相互位置关系的编译函数提供的结构信息之后，对待估样点值进行的一种线性最优无偏估计。 下图为运用克里格法计算未知点的值的一般步骤： 其插值原理如下： 设在某一研究内未知点0x 的属性为)(0x Z ，其周围相关范围内有n 个已知已测点),,2,1(n i x i ?=。通过n 个测定值的线性组合求其估计值)(0x Z ： ) ()(10i n i i x Z x Z ∑==λ 式中i λ为)(i x Z 位置有关的加权系数，并且∑==n i i 1 1λ 克里格插值法是根据无偏估计和方差最小的要求来确定上式中的系数i λ。 1.构造半变异系数：设j x 和i x 的距离问为h 。设n 个样点中mh 对样点的距 离为h ，以他们的含量差)(-)(i j x Z x Z 构造的半变异函数为： 2 ))()((21 )(∑=--=h x x i j i j x Z x Z m h a 2.拟合得出变异系数：将n 个样点的含量带入公式，使用直线函数进行拟合 3.构造矩阵和向量：求出任意两个已知点的半变异函数值，构造矩阵A: ????? ?? ? ???????????=011110101021221112n n n n a a a a a a A 取任意一个已知点i x ，求出与未知点0x 的距离并代入求出该点与未知点0x 的半变异函数值0i a ，得到向量B: )1,,,,(02010n a a a B ?= 方程AX=B 的姐的前n 个分量即为公式（）的权重系数i λ
北师大版九年级数学下公式法
北师大版九年级数学下公式法 课时安排 1课时 从容说课 公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程式化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程． 本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程． 公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解． 因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程． 第六课时 课题 § 2.3 公式法 教学目标 (一)教学知识点 1．一元二次方程的求根公式的推导 2．会用求根公式解一元二次方程 (二)能力训练要求 1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力． 2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程． (三)情感与价值观要求 1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯． 教学重点 一元二次方程的求根公式． 教学难点 求根公式的条件：b2-4ac≥0 教学方法 讲练相结合 教具准备 投影片五张 第一张：复习练习(记作投影片§2．3 A) 第二张：试一试(记作投影片§2．3B) 第三张：小亮的推导过程(记作投影片§2．3 C) 第四张：求根公式(记作投影片§2．3 D) 第五张：例题(记作投影片§2．3 E) 教学过程 Ⅰ．巧设现实情景，引入课题 [师]我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解
2019-2020年高中数学 第三章 换底公式教案 北师大版必修1
2019-2020年高中数学第三章换底公式教案北师大版必修1 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算， 求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的换底公式. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3.情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与换底公式的应用 难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 问题提出 我们使用的计算器中，“”通常是常用对数，如何使用科学计算器计算㏒215？ 分析理解 设㏒215=x， 写成指数式得 2x=15 两边取常用对数得 Xlg2=lg15 所以x= 这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=≈3.9068906. 同理也可以使用科学计算器计算ln键算出㏒215=≈3.9068906. 由此我们有理由猜想 ㏒b N= ( a,b>0,a,b≠1,N>0). 先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程. 证明设㏒b N=x,根据对数定义，有 N=b x 两边取以a为底的对数，得 ㏒a N=㏒a b x 故 x㏒a b =㏒a N， 由于b≠1则㏒a b≠0，解得 x= 故㏒b N=
由换底公式易知㏒a b= 例题分析 例7 计算： （1）㏒927；（2）㏒89㏒2732 注：由例7可以猜想并证明 例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）： ㏒248 ㏒310 ㏒8∏㏒550 ㏒1.0822 例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的 84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。练习p86 1，2，3，4。 作业习题3-4A组6 B组 4 课后反思：
克里格插值
克里格插值 什么是克里格插值？ 距离权重倒数插值和样条法插值被归类为确定性的插值方法，因为它们是直接基于周围已知点的值进行计算或是用指定的数学公式来决定输出表面的平滑度的插值方法。 而第二个插值方法家族包括的是一些地统计学的插值方法（如克里格插值），这些方法基于一定的包括诸如自相关（已知点间的统计关系）之类的统计模型。因此，这些方法不仅有能力生成一个预测表面，而且还可以给出预测结果的精度或确定性的度量。 克里格插值与距离权重倒数插值相似之处在于给已知的样本点赋权重来派生出未知点的预测值。这两种内插方法的通用公式如下，表达为数据的权重总和。 其中， Z(Si)是已测得的第i个位置的值；λi是在第i个位置上测得值的未知的权重；S0是预测的位置；N 是已知点（已测得值的点）的数目。 在距离权重倒数插值中，权重λi仅取决于距预测位置的距离。 然而，在克里格插值中，权重不仅建立在已知点和预测点位置间的距离的基础上，而且还要依据已知点的位置和已知点的值的整体的空间分布和排列。应用权重的空间排列，空间自相关必须量化。因此，运用普通克里格插值（Ordinary Kriging），权重λi取决于已知点的拟合模型、距预测位置的距离和预测点周围的已知点间的空间关系。 利用克里格方法进行预测，必须完成以下两个任务：（1）揭示相关性规则。（2）进行预测。要完成这两项任务，克里格插值方法通过以下两个步骤完成：（1）生成变异函数和协方差函数，用于估算单元值间的统计相关（也叫空间自相关），而变异函数和协方差函数也取决于自相关模型（拟合模型）。（2）预测未知点的值。因为前面已经说过的两个明确的任务，因此要用克里格方法对数据进行两次运算：第一次是估算这些数据的空间自相关而第二次是做出预测。 变异估计（Variography） 变异估计就是拟合一个数学模型或空间模型，象已知的结构分析。在已测点结构的空间建模中，首先得出经验半变异函数的曲线图，计算如下： 半变异函数（距离h）＝ 0.5*均值[ (在i 位置的值－在j 位置的值)2 ] 用于计算被距离h分隔的每一点对相对应的位置。公式用于计算一点对的差值的平方。下面的示意图显示了一点对中的一点（红色点）的位置和其它所有已测点位置的相应关系。这样步骤延伸了每一个已测点。
高中数学《换底公式》教案 北师大必修1
课题：对数换底公式 教学目的：（1）理解对数的概念，能够进行对数式与指数式互化；（2）掌握对数的运算性质； （3）掌握好积、商、幂、方根的对数运算法则，能根据公式法则进行数、式、方程的正确运算及变形，进一步培养学生合理的运算能力；（A ） 教学重点：对数的定义、对数的运算性质； 教学难点：对数的概念； 教学过程： 一、复习导入 1. 对数的性质：（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零；（3）底数的对数等于1； 2.对数运算性质 （1）N M MN a a a log log )(log +=（2）N M N M a a a log log log -=（3） N n N a n a log )(log ?= 引例：已知4771.03lg ,3010.02lg ==，求3log 2的值； 问：更一般地，我们有a b b c c a log log log = ，如何证明？ 二、新课教学 1. 证明：a b b c c a log log log = （由脱对数→取对数引导学生证明） 证明：设x b a =l o g ，则b a x =两边取 c 为底的对数，得： b a x b a c c c x c l o g l o g l o g l o g =?= a b x c c log log = ∴，即 a b b c c a l o g l o g l o g = 注：公式成立的条件： 1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ； 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式： （1）a b b a log 1log = （2）b n m b a m a n log log = 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法。 三、例题解析 例题1：求32log 9log 27 8?的值； 分析：利用换底公式统一底数； 解法（1）：原式= 9 10 3lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg = ?=?
北师大版数学高一必修1试题换底公式
一、选择题 1．下列等式不成立的是( ) A ．log 54＝lg 4 lg 5 B ．log 54＝ln 4 ln 5 C ．log 54＝log 44 log 4 5 D ．log 54＝ log －34 log －35 【解析】 由换底公式的定义知，D 不成立． 【答案】 D 2．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.1 18 C.8 3 D.38 【解析】 原式＝lg 16lg 9·lg 81 lg 8 ＝4lg 22lg 3· 4lg 33lg 2＝83. 【答案】 C A ．lg 3 B ．－lg 3 C.1lg 3 D ．－1 lg 3 【解析】 【答案】 C 4．若log a b ·log 3a ＝5，则b ＝( )
A ．a 3 B ．a 5 C ．35 D ．53 【解析】 由换底公式得， lg b lg a ·lg a lg 3＝5， 化简得lg b ＝5lg 3＝lg 35， ∴b ＝35. 【答案】 C 5．(2013·晋城高一检测)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 【解析】 ∵2a ＝5b ＝m ， ∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m . ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1 log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m 2＝10，∴m ＝10. 【答案】 A 二、填空题 6．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝________.(用a ，b 表示) 【解析】 由于log 37＝log 27 log 23＝b ，又log 23＝a ，所以log 27＝ab . 【答案】 ab 7．若m log 35＝1，n ＝5m ＋5－m ，则n 的值为________． 【解析】 ∵m log 35＝1，∴m ＝1 log 3 5＝log 53，
新教材北师大版高中数学必修第一册练习-换底公式答案含解析
第四章 对数运算与对数函数 §2 对数的运算 2.2 换底公式 知识点 对数的换底公式 1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。 A.14 B.12 C.2 D.4 答案：D 解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3 lg2·lg2 lg3 =4。故选D 。 2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27 的值是( )。 A.2 B.32 C.1 D.23 答案：D 解析： log 849log 27 = log 272log 2 23 ÷log 27=2 3 。故选D 。 3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。 A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B 解析：因为log 2x ·log 34·log 59= lgx lg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2 ·2lg2lg3·2lg3 lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。故选B 。 4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212 +log 223 +log 234 +…+log 21516 等于( )。 A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D 解析：原式=log 2(1 2 ×2 3 ×3 4 ×…× 1516 )=log 21 16 =-4。故选D 。 5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。 A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D 解析：原式可化为log 8m =2log 34 ,所以1 3 log 2m =2log 43,所以m 1 3=3,m =27。故选D 。
克里格法Kriging——有公式版
克里格法（Kriging）——有公式版 二、克里格法（Kriging）克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数 一、区域化变量 当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。 区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X 与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。 二、协方差函数 协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量X与Y的协方差被定义为： 区域化变量在空间点x 和x+h处的两个随机变量Z(x) 和Z(x+h) 的二阶混合中心矩定义为Z(x) 的自协方差函数，即 区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。一般来说，它是一个依赖于空间点x 和向量h 的函数。 设Z(x) 为区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，即随机函数Z(x) 的空间分布规律不因位移而改变，h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，Z(xi) 为Z(x) 在空间位置xi 处 的实测值，Z(xi[size=2]+h[/size]) 是Z(x) 在xi 处距离偏离h 的实测值，根据协方差函数的定义公式，可得到协方差函数的计算公式为： 在上面的公式中，N(h)是分隔距离为h时的样本点对的总数，和分