全等三角形的相关模型总结汇总

全等的相关模型总结

一、角平分线模型应用

1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）.例题应用：

①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900

==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.

②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）

②21∠=∠Θ，PN PM =∴，43∠=∠Θ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.

(2).模型巩固：

练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠.

.求证：?=∠+∠180C A 图3

练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， 图4

练习三：如图5，,,900

CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F. (1)求证：CE=CF.

(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'

'

'

E D A ?的位置，使点'

E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'

BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图5 图6

练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC． 求证：CP 平分∠DCB．

图7

A

D E C B

P 2 1

4 3

练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．

图8

练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。求证：BE －AC=AE 。

练习七： 如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。

2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现

辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF ∥射线OB （1）.例题应用：

①．如图1所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1

()2

BE AC AB =

- 证明：延长BE 交AC 于点F 。

②．已知：如图2，在中ABC ?， ,,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线 分析：此题很多同学可能想到延长线段CM ，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD ，由此我们可以猜想过C 点作平行线来构造等腰三角形. 证明：过点C 作CE ∥AB 交AM 的延长线于点E.

例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥

求证：①;2BM EF = ②

).(21

FN FM FB +=

(3).模型巩固：

练习一、 如图3，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，

CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。求证：BD=2CE 。

图3

F

E

D C

B

A

图9