矩阵与伴随矩阵的关系
伴随矩阵的秩与矩阵的秩的关系的证明
伴随矩阵的秩与矩阵的秩的关系的证明要证明伴随矩阵的秩与矩阵的秩之间的关系，我们先回顾一下伴随矩阵的定义和性质。
设矩阵A是一个n阶方阵，它的伴随矩阵记作Adj(A)，那么Adj(A)的定义是：对于A的每一个元素a_ij，其代数余子式A_ij对应的元素adj(a_ij)构成的矩阵，即Adj(A) = [adj(a_ij)]。
我们知道，对于一个n阶方阵A，A的秩等于其非零行（列）向量组的维数，也等于其行（列）向量组的极大线性无关组的向量个数。
现在我们来证明伴随矩阵Adj(A)的秩与矩阵A的秩之间的关系：证明：设A是一个n阶方阵。
1）如果A是一个非奇异矩阵（即可逆矩阵），那么根据A的可逆性，我们知道A的行（列）向量组的秩等于n，即A的秩为n。
而伴随矩阵Adj(A)是一个n阶方阵，根据伴随矩阵的定义，我们可以得知Adj(A)的每一个元素都是由A的代数余子式构成的。
根据代数余子式的性质，我们知道当A是非奇异矩阵时，其所有的代数余子式都不等于零。
所以Adj(A)中的每一个元素都不等于零，即Adj(A)的秩也为n。
2）如果A是一个奇异矩阵（即非可逆矩阵），那么根据奇异矩阵的定义，A的行（列）向量组一定是线性相关的，即存在非零的线性组合使得线性组合等于零向量。
而伴随矩阵Adj(A)的每一个元素都由A的代数余子式构成，根据代数余子式的性质，我们知道当A的行（列）向量组线性相关时，其某个代数余子式等于零。
所以Adj(A)中的至少有一个元素等于零，即Adj(A)的秩小于n。
综上所述，伴随矩阵Adj(A)的秩与A的秩之间存在如下关系：1）当A是非奇异矩阵时，Adj(A)的秩等于n，即Adj(A)的秩等于A的秩。
2）当A是奇异矩阵时，Adj(A)的秩小于n，即Adj(A)的秩小于A的秩。
这就完成了伴随矩阵的秩与矩阵的秩之间关系的证明。
伴随矩阵和原矩阵的行列式的关系
伴随矩阵和原矩阵的行列式的关系下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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矩阵伴随的公式
矩阵伴随的公式
摘要：
一、矩阵伴随的定义与性质
- 伴随矩阵的概念
- 伴随矩阵的性质
二、矩阵伴随的计算方法
- 伴随矩阵的计算公式
- 伴随矩阵与矩阵其他性质的关系
三、矩阵伴随在实际应用中的作用
- 矩阵求解问题
- 矩阵对角化问题
正文：
矩阵伴随是线性代数中一个非常重要的概念，它与矩阵的性质有着紧密的联系。
伴随矩阵可以看作是矩阵的一个“伴随”性质，它可以用来描述矩阵的某些特性，如矩阵的秩、行列式、逆矩阵等。
一、矩阵伴随的定义与性质
伴随矩阵的概念最早可以追溯到19 世纪，它是一个与给定矩阵相关的矩阵，具有如下性质：
- 伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同；
- 伴随矩阵的元素是原矩阵元素的代数余子式；
- 伴随矩阵具有某些与原矩阵相同的性质，如行列式、秩、逆矩阵等。
伴随矩阵的性质是矩阵理论中的重要内容，它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质，进而解决一些实际问题。
二、矩阵伴随的计算方法
伴随矩阵的计算公式是：
A = |A|A
其中，|A|是矩阵A 的行列式，A是矩阵A 的逆矩阵。
伴随矩阵与矩阵的其他性质也有密切关系，例如，一个矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的秩，而伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩。
三、矩阵伴随在实际应用中的作用
伴随矩阵在实际应用中有着广泛的应用，例如：
- 在求解线性方程组时，伴随矩阵可以用来检验方程组的解是否正确；
- 在矩阵对角化问题中，伴随矩阵可以用来求解对角矩阵；
- 在计算机图形学中，伴随矩阵可以用来计算图形的旋转矩阵等。
矩阵的转置和伴随矩阵的计算
矩阵的转置和伴随矩阵的计算矩阵在数学中具有广泛的应用，是线性代数中重要的概念之一。
其中，矩阵的转置和伴随矩阵也是运用比较广泛的一种概念。
矩阵的转置是指将一个矩阵中的行和列交换得到的新矩阵。
如果矩阵A的大小为m*n，那么A的转置矩阵AT的大小就是n*m。
其实际操作就是将原矩阵沿着主对角线镜像，并交换行和列。
例如，如果有一个矩阵A=[1 2 3; 4 5 6]，转置矩阵AT就是：AT=[1 4; 2 5; 3 6]。
矩阵的转置有很多应用，其中一个是用于矩阵的乘法。
对于矩阵乘法AB，如果A的大小为m*n，B的大小为n*p，那么乘积C=AB的大小为m*p。
在矩阵乘法中，我们可以看到在乘法运算中，如果A的列数等于B的行数，它们才是可乘的。
但是，在列向量和行向量的乘法中，则没有限制，因为列向量可以看做是一个m*1的矩阵，而行向量则可以看做是一个1*n的矩阵。
另外，在一些数学公式的推导中，矩阵的转置也会被用到。
例如，在求导中，矩阵的转置可以用来得到一个向量的Jacobi矩阵，从而计算偏导数。
伴随矩阵则是指一个矩阵的伴随矩阵的每个元素是该矩阵的代数余子式所组成的矩阵，并且该矩阵转置后得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
具体而言，如果矩阵A的大小为n*n，它的代数余子式为Aij，则伴随矩阵的大小也为n*n，其中第i行第j列的元素为Aij的代数余子式。
伴随矩阵常常用于求解线性方程组的解。
对于一个线性方程组Ax=B，如果A存在逆矩阵，那么其解就是x=A^-1*B，而A的逆矩阵就是其伴随矩阵除以该矩阵行列式的结果，即A^-1=adj(A)/det(A)。
因此，我们需要先求出矩阵A的伴随矩阵和行列式，才能得到A的逆矩阵。
此外，伴随矩阵还可以用于矩阵的对角化。
对于一个n*n的矩阵A，如果它满足A的伴随矩阵的特征值都为0，那么A就是可对角化的。
如果A可对角化，我们可以将其表示成一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P的乘积形式，即A=PDP^-1，其中P和P^-1的列向量为A的特征向量，D的对角元素为A的特征值。
关于伴随矩阵的几个问题
作者： 徐火球
作者机构： NULL
出版物刊名： 武汉交通职业学院学报
页码： 95-98页
主题词： 伴随矩阵 n阶矩阵 矩阵A 非奇异矩阵 齐次线性方程组 代数余子式 方程组的解 矩阵的秩 可逆矩阵 向量组的秩
摘要： 其中A ij（i,j=1,2,…,n）为A的元素a ij的代数余子式.伴随矩阵也是一个n阶矩阵.一般来说,已知n阶矩阵求出它的伴随矩阵是较为麻烦的,本文在不求出伴随矩阵的前提下,就n阶矩阵A的伴随矩阵的几个问题进行讨论.下文中E均表示n阶单位矩阵.一 引理我们知道,对于n阶矩阵A,下面的一些结论都是成立的.引1.对于任何n阶矩阵A,它与它的伴随矩阵A,都有:。
最新矩阵与伴随矩阵的关系
方阵A 与其伴随矩阵*A 的关系摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。
它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。
1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn n n n n nn ij a a a a a a a a a a A 212221212111.令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn nnn n nn ij A A A A A A A A A A A 212221212111*,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵.2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明.2.1*AA =A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A AA =-,即1*det -=AA A [1].证明：因为⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若 ⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni ji j i 若若所以*AA =A A *=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A Adet 000det 000det =AI det .当A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得⎪⎭⎫ ⎝⎛*det 1A A A =A A A ⎪⎭⎫⎝⎛*det 1=I 即*1det 1A AA =-.证毕. 2.2()*T A =()TA *.(显然)2.3 若A 可逆，则()*1-A=()1*-A .(显然)2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110*[2]. 引理1.若()2≥⨯n nn 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+.证明 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r=,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而()0=B r ;若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含rn -个向量,于是()rn B r -≤,因此有()()n B r A r ≤+.证毕. 下面证明2.4. ⑴当()1-<n A r时, A 的每一个1-n 阶代数余子式都为零.所以*A 为零阵,所以()0*=A r .⑵当()1-=n A r时，0det =A ,*AA =AI det =0.由引理1知,()A r+()n A r ≤*.因为()1-=n A r 则()()11*=--≤n n A r ,知A 至少有一个1-n 阶子式不为零.即 *A 至少有一行不全为零. 所以()1*≥A r .因为()1*≤A r ,从而()1*=A r .⑶ 当()n A r =时，A 可逆，由1知，*A 也可逆.所以()n A r =*.证毕.2.5 ()1*det det -=n A A .① 当A 可逆时，1*det -=AA A .所以()1*det det det -=A A A n ()1det -=n A .② 当A 不可逆时，()1-≤n A r ，0det =A .1) 当2≥n时()1-<n A r ，由2.4知()0*=A r .所以0det *=A .()1-=n A r ，()n A r <=1*，0det *=A .则()0det det 1*==-n A A2) 当1=n 时，0det =A ,即0=A ，0det *=A ，则()0det det 1*==-n A A .证毕. 2.6 当A 可逆时,若0λ为A 的特征值,则det λA是*A 的特征值.当()1-<n A r 时，*A 的特征值为零，并是n 重的. 引理2. 设A 可逆,若0λ为A 的特征值,则1λ是1-A 的特征值.证明: 若00=λ,则由00=-A E λ得到()01=-=-A A n ,于是0=A ,这与A 可逆矛盾,所以00≠λ.同时由00=-A E λ还有()()11010011110------=--=-=-=A E A E E A A E A nnnλλλλλ.因此0110=--A E λ,即 01λ是1-A 的特征值.引理证毕. 下面证明2.6.不妨设*A 的特征值为*λ.则由AE AA det *=有1*1***0---=-=-=AE AAAA E A E nλλλ.0≠A ,这说明A*λ是1-A 的特征值.由引理2知,*1λλ=A,所以0*λλA=,即λA是*A 的特征值.若()0*=A r ,(即()1-<n A r)时,0*=A,所以*A 的特征值0*=λ且是n 重的.2.7 若A 为可逆矩阵,则*A 也是可逆矩阵.证明:由2.1即可得到此结论.2.8 若A 为对称矩阵,则*A 也是对称矩阵. 2.9 ()***A B AB =.证明:当A ,B 均可逆时, 1*det -=AA A ,1*det -=BB B ,所以()*111**))(det()det(AB AB AB A B AB A B ===---.当A ,B不都可逆时,则当x 足够大时,存在x 使得n xI A +, nxI B +均可逆,此时有()***)()())((n n n n xI A xI B xI B xI A ++=++,这是关于x 的恒等式,即x 取零时,该等式也成立,即()***A B AB =.证毕.2.10 若A 为正交矩阵,则*A 也是正交矩阵. 证明:若A 为正交矩阵,则I A A AA TT==且1det ±=A ,由2.2知()()****T TAA A A=.再由2.9知()()()I I A A A A A ATTT====******,所以*A也是正交矩阵.证毕. 2.11 ()A AAn 2**-=,其中A 是n 阶方阵()2>n .证明:因为E A A A AA ==**,所以 1) 当0≠A 时,1*-=A A A .则 ()()()111*1**----⋅==A A A A A A A()A A A AA A A AA A n nn21111111------===2) 当0=A 时,由2.4知()1≤A r . 当2>n 时,)()0**=A r ,故()A AA n 2**-=.当2=n 时,令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d A *, ()A A A d c b a A n 2**-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 证毕.通过以上的证明,说明了n 阶矩阵A 与其伴随矩阵*A 有很多联系和继承性,理解和掌握这些联系和继承性对我们以后高等代数课程的学习有着重要的意义.全等三角形提高练习1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。
伴随矩阵求逆公式
伴随矩阵求逆公式
一、伴随矩阵的定义。
设A = (a_ij)为n阶方阵，A_ij是a_ij的代数余子式，则矩阵A的伴随矩阵A^*定义为A^*=(A_ji)，即A^*的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素的代数余子式。
二、伴随矩阵与原矩阵的关系及求逆公式。
1. 对于n阶方阵A，有A A^*=A^*A = AE（其中E为n阶单位矩阵，A为A的行列式）。
2. 当A≠0时，A可逆，且A^-1=(1)/(A)A^*。
三、求伴随矩阵的步骤及求逆的示例。
1. 求伴随矩阵的步骤。
- 对于给定的n阶矩阵A，先求出每个元素a_ij的代数余子式A_ij。
- 根据伴随矩阵的定义A^*=(A_ji)构造出伴随矩阵。
2. 求逆的示例。
- 设A=(ab cd)，n = 2。
- 首先求A的行列式A=ad - bc。
- 然后求A的代数余子式，A_11=d，A_12=-c，A_21=-b，A_22=a。
- 所以A^*=(d - b -ca)。
- 当A=ad - bc≠0时，A^-1=(1)/(ad - bc)(d - b -ca)。
矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等.关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义设,则它的伴随矩阵,其中 ()n n ij a A ⨯=()nn ij b A ⨯=*ji ij A b =为中的代数余子式.(),,,3,2,1,n j i =ij A A ij a 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系2.1 .I A A A AA ==**2.2 若A 非奇异，则.*11A AA =-2.3 .()()TTA A **=证 当可逆时，，且也可逆.A 1*-=A A A T A 故 =()()1*-=TT T A A A ()TA A 1-另一方面， =()()TTA A A 1*-=()T A A 1-由上两式推出 .()()TTA A **=2.4 .()()1**1--=A A 证 当可逆时，，且也可逆.A 1*-=A A A 1-A 故 ()()A AA A A 1111*1==----又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11故 也可逆，且*A ()A AA 11*=-从而 .()()1**1--=A A 2.5 (为实数).()*1*A a aA n -=a 证 设，再设 ，()nn ij a A ⨯=()()n n ij b aA ⨯=*那么为行列式中划去第行和第列的代数余子式阶行列式，ij b aA j i 1-n 其中每行提出公因子后，可得a ji n ij A ab 1-=()n j i ,2,1,=由此即证.()*1*A a aA n -= 2.6 .1*-=n AA ()2≥n 证当可逆时，由于 两边取行列式A ,1*-=A A A 得 11*--==n nAA A A 当不可逆时，这时秩A ,0=A 1*≤A 所以从而也有 .0*=A 1*-=n AA 所以对任意阶方阵都有n ,A .1*-=n AA 2.7 当秩时，则秩.当秩时则秩.，当秩n A =n A =*1-=n A 1*=A 2-≤n A 则秩.0*=A 证 当秩那么由上面的（1）式有,0≠⇒=A n A 0*≠==nA I A AA 所以 即秩,0*≠A nA =* 当秩 ,01=⇒-=A n A 0*==I A AA 从而秩 又因秩所以至少有一个代数余子式,1*≤A ,1-=n A ,0≠ij A 从而秩于是秩,1*≥A ,1*=A 当秩所以秩2-=n A ⇒0*=A 0*=A 同理秩时,秩.2-<n A 0*=A 2.8 .()A AA n 2**-=证 当秩时，可逆，用左乘（1）式两边可得n A =A A ,0≠1-A （1）1*-=A A A 在（1）式中用换得A *A（2）()()A A A A AA A A n n 211****1---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==当秩时，则秩1-≤n A 0,1*=≤A A 从而秩 （3）()A AA n 2**0-== 综合（2）（3）两式，即证.()A AA n 2**-=2.9 若为阶可逆矩阵，则.B A ,n ()***A B AB = 证 当时，由()()n B r A r == ()()**111*A B A A B B AB AB AB ===--- 当时，显然有()1-<n A r ()***0A B AB == 即 ()***A B AB = 当则存在初等矩阵使得(),1-=n A r ,,,,11t s Q Q P P ts Q Q A P P A 111= 这里直接验算可知，若是任意初等矩阵，C 是任意方().0,11-=n E diag A P 阵，则()()*1*1***,CA C A P C PC == 于是()()[]*1121*B Q Q A P P P AB t s = ()*1*112P B Q Q A P P t s == ()*1**11P P B Q Q A s t = ()*1**1*1P P A B Q Q s t ==*1**1*1**P P A Q Q B s t = 但是 *1**1*1*P P A Q Q s t()*1**1*1P P A Q Q s t = ()*1*1*11P P Q Q A P s t s -== ()*111t s Q Q A P P = *A = 于是()***A B AB =2.10 设是阶正定矩阵，则是正定矩阵.A *A 证 因为是阶正定矩阵，则，A n A A T =且的特征值又=，A ()n i i 2,1,0=>λ()()**T TA A =*A故为对称矩阵，且的特征值为*A *A ()n i Ai,,2,1,0 =>λ故为正定矩阵.2.11 若是正交矩阵，则是正交矩阵.A *A 证 因为是正交矩阵，则,12=A IA A T =于是()()()()()II AA AA A A A A A A A TTTT=====------1111211**故也是正交矩阵.*A 2.12 若矩阵与B 合同，且都可逆，则与合同.A B A ,*A *B 证 设存在可逆矩阵 （4）,P B AP P T = 又都可逆，对（4）取逆，则有B A ,()1111----=B P A P T即 （5）11--=B C A C T 其中()TP C 1-= 再对(4)取行列式有 （6）B A P =2则由（1）（5）（6）知 ()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T即 **B Q A Q T =其中是可逆矩阵C P Q = 故 与合同*A *B 2.13 若矩阵与B 相似，且都可逆,则与相似.A B A ,*A *B 证 设存在可逆矩阵 ,P BAP P =-1 由 ，I B BB =* 有 1*-=B B B ()111---=APP AP P P A P A 11--=P A A P 11--=PA P *1-= 所以与相似.*A *B 2.14 若与相似，则与有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，*A *B *A *B 秩.2．15若与相似，且，都可逆，则与B 不一定相似. （与B 分*A *B *A *B A A 别为与的原矩阵）*A *B 证 因为与的秩都是，所以与都有个原矩阵（*A *B n *A *B 1-n ，，其中分别是，(),1*-=A A i α()1*-=B B iβ1,2,1-=n i i i βα,*A 的所有次方根.）*B 1-n 设秩且有原矩阵，由2.2知n A =*A ()1*-=A A A 由2.6知 即 .1*-=n AA 1*-=n A A 设的所有次方根，则有*A 1-n 121,,-n ααα (),1*-=A A i α1,2,1-=n i 同理B 也得证.所以与B 不一定相似.A 参考文献:[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7).[3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10).[4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics ，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract :This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar.Key words : adjoint matrix, determinant, transpose, rank, similar matrix, positivelydefinite matrix。
伴随矩阵和逆矩阵关系公式
伴随矩阵和逆矩阵关系公式矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
其中，伴随矩阵和逆矩阵是矩阵运算中常用的两个概念。
本文将介绍伴随矩阵和逆矩阵之间的关系公式。
1. 伴随矩阵的定义伴随矩阵是一个与原矩阵的行数和列数相同的矩阵。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，它的伴随矩阵记作adj(A)=[A_{ij}]，其中A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}，M_{ij}是A的第i行第j列元素的代数余子式。
2. 代数余子式的定义对于一个n阶方阵A，它的任意元素a_{ij}的代数余子式记作M_{ij}，它等于去掉第i行和第j列后剩下的矩阵的行列式的值。
3. 逆矩阵的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么称B是A的逆矩阵，记作A^{-1}。
4. 伴随矩阵和逆矩阵的关系对于一个n阶方阵A，如果A可逆，即存在逆矩阵A^{-1}，那么伴随矩阵adj(A)和A^{-1}之间存在以下关系公式：A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)其中|A|表示A的行列式的值。
5. 关系公式的证明为了证明上述关系公式，我们可以通过计算A和A^{-1}的乘积来推导。
首先，我们有：A \cdot adj(A) = |A| \cdot I其中I是单位矩阵。
然后，我们将上式两边同时左乘A^{-1}，得到：A^{-1} \cdot (A \cdot adj(A)) = A^{-1} \cdot (|A| \cdot I)由于矩阵乘法满足结合律，我们可以进一步化简：(A^{-1} \cdot A) \cdot adj(A) = |A| \cdot (A^{-1} \cdot I)由于A \cdot A^{-1} = I，我们可以得到：I \cdot adj(A) = |A| \cdot (A^{-1} \cdot I)我们得到：adj(A) = |A| \cdot (A^{-1} \cdot I)由于I是单位矩阵，A^{-1} \cdot I = A^{-1}，所以我们可以得到：adj(A) = |A| \cdot A^{-1}进一步化简，即可得到关系公式：A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)6. 关系公式的应用关系公式可以用于计算矩阵的逆矩阵。
矩阵与伴随矩阵的关系
方 【2 】阵A 与其伴随矩阵*A 的关系摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*A 的界说,评论辩论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系,并且给出了响应的证实进程. 症结词矩阵.伴随矩阵.关系.证实在高级代数课程中我们进修了矩阵,伴随矩阵.它们之间有很好的接洽,对我们今后的进修中有很大的用途.1．伴随矩阵的界说. 设n 阶方阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn n n n n nn ij a a a a a a a a a a A 212221212111.令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯nn nnn n nn ij A A A A A A A A A A A 212221212111*,个中ij A 是ija 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵.2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证实.2.1*AA =A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A AA =-,即1*det -=AA A [1].证实：因为⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni ji j i 若若所以*AA =A A *=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A Adet 000det 000det =AI det .当A 是可逆矩阵时,0det ≠A ,所以由上式得⎪⎭⎫ ⎝⎛*det 1A A A =A A A ⎪⎭⎫⎝⎛*det 1=I 即*1det 1A AA =-.证毕.2.2()*T A =()TA *.(显然) 2.3 若A 可逆,则()*1-A =()1*-A .(显然)2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ,则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110*[2]. 引理1.若()2≥⨯n n n 矩阵A ,B 知足0=AB ,则()()n B r A r ≤+.证实因为0=AB ,所以B 的列向量是认为A 系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默轨则知,方程只有零解,从而0=B ,进而()0=B r ;若()n r A r <=,则方程组的基本解系中含rn -个向量,于是()rn B r -≤,是以有()()n B r A r ≤+.证毕. 下面证实2.4. ⑴当()1-<n A r 时,A 的每一个1-n 阶代数余子式都为零.所认为*A 零阵,所以()0*=A r .⑵当()1-=n A r 时,0det =A ,*AA =AI det =0.由引理1知,()A r+()n A r ≤*.因为()1-=n A r 则()()11*=--≤n n A r ,知A 至少有一个1-n 阶子式不为零.即 *A 至少有一行不全为零.所以()1*≥A r .因为()1*≤A r ,从而()1*=A r .⑶ 当()n A r =时,A 可逆,由1知,*A 也可逆.所以()n A r =*.证毕.2.5 ()1*det det -=n A A .① 当A 可逆时,1*det -=AA A .所以()1*det det det -=A A A n()1det -=n A .② 当A 不可逆时,()1-≤n A r ,0det =A .1) 当2≥n时()1-<n A r ,由2.4知()0*=A r .所以0det *=A .()1-=n A r ,()n A r <=1*,0det *=A .则()0det det 1*==-n A A2) 当1=n 时,0det =A ,即0=A ,0det *=A ,则()0det det 1*==-n A A .证毕.2.6当A 可逆时,若0λ为A 的特点值,则det λA是*A 的特点值.当()1-<n A r 时,*A 的特点值为零,并是n 重的.引理2. 设A 可逆,若0λ为A 的特点值,则1λ是1-A 的特点值.证实: 若00=λ,则由00=-A E λ得到()01=-=-A A n ,于是0=A ,这与A 可逆抵触,所以00≠λ.同时由00=-A E λ还有()()11010011110------=--=-=-=A E A E E A A E A nnnλλλλλ.是以0110=--A E λ,即 01λ是1-A 的特点值.引理证毕. 下面证实2.6.不妨设*A 的特点值为*λ.则由AE AA det *=有1*1***0---=-=-=AE AAAA E A E nλλλ.0≠A ,这解释A*λ是1-A 的特点值.由引理2知,*1λλ=A,所以0*λλA=,等于λA*A 的特点值.若()0*=A r ,(即()1-<n A r)时,0*=A,所以*A 的特点值0*=λ且是n 重的.2.7 若A 为可逆矩阵,则*A 也是可逆矩阵.证实:由2.1即可得到此结论. 2.8 若A 为对称矩阵,则*A 也是对称矩阵.2.9 ()***A B AB =.证实: 当A ,B 均可逆时,1*det -=AA A ,1*det -=BB B ,所以()*111**))(det()det(AB AB AB A B AB A B ===---.当A ,B不都可逆时,则当x 足够大时,消失x 使得nxI A +,nxI B +均可逆,此时有()***)()())((n n n n xI A xI B xI B xI A ++=++,这是关于x 的恒等式,即x 取零时,该等式也成立,即()***A B AB =.证毕.2.10若A 为正交矩阵,则*A 也是正交矩阵. 证实: 若A 为正交矩阵,则I A A AA TT==且1det ±=A ,由2.2知()()****T TAA A A=.再由2.9知()()()I I A A A A A ATTT====******,所以*A也是正交矩阵.证毕. 2.11 ()A AAn 2**-=,个中A 是n 阶方阵()2>n .证实:因为E A A A AA ==**,所以 1) 当0≠A 时,1*-=A A A .则()()()111*1**----⋅==A A A A A A A()A A A AA A A AA A n nn21111111------===2) 当0=A 时,由2.4知()1≤A r . 当2>n 时,)()0**=A r ,故()A AA n 2**-=.当2=n 时,令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d A *,()A A A d c b a A n 2**-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 证毕.经由过程以上的证实,说清楚明了n 阶矩阵A 与其伴随矩阵*A 有许多接洽和继续性,懂得和控制这些接洽和继续性对我们今后高级代数课程的进修有着主要的意义.。
伴随矩阵的性质.doc
伴随矩阵的性质.doc
伴随矩阵（也叫伴随矩阵、伴随矩阵或伴随矩阵）是在线性代数中常用的概念之一。
在此文档中，我们将讨论伴随矩阵的一些基本性质及其应用。
一、伴随矩阵的定义
伴随矩阵是一个矩阵的矩阵。
对于任意n阶矩阵A，其伴随矩阵adj(A)定义为：
adj(A)=(Cij)T
其中Cij是矩阵A的余子式，即在第i行第j列元素上划掉所在行列后的行列式，T 表示矩阵的转置。
1．伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方，即：
|adj(A)| = |A|n-1
2．如果矩阵A是可逆的，则其伴随矩阵也是可逆的，并且有：
3．矩阵A的伴随矩阵与其逆矩阵的关系为：
adj(A)·A-1 = A-1·adj(A) = |A|I
其中I为n阶单位矩阵。
4．如果矩阵A是对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。
5．矩阵A和其伴随矩阵的乘积是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵A每行的所有元素的余子式乘积：
A·adj(A) = (|A|C11 |A|C21 ··· |A|Cn1
|A|C12 |A|C22 ··· |A|Cn2
...
|A|C1n |A|C2n ··· |A|Cnn)
1．伴随矩阵可以用来求逆矩阵。
总之，伴随矩阵是一个非常有用的概念，它可以在各种不同的数学问题中发挥作用。
理解伴随矩阵的定义和性质，可以帮助我们更好地理解线性代数中其他的概念和定理。
证明伴随矩阵等于转置矩阵
证明伴随矩阵等于转置矩阵矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具.伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究.本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给予证明，得到一系列有意义的结果.从而使高等代数中的概念—伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前.伴随矩阵是矩阵代数中一个重要的概念，它与矩阵的转置有着密切的联系。
在矩阵代数的研究中，伴随矩阵的计算是一个常见且重要的问题。
然而，在实际的运算中，我们发现了一个有趣的现象：矩阵的伴随矩阵竟然等于它的转置。
这一结论给我们带来了一些启示和思考。
什么是伴随矩阵？伴随矩阵的定义是对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)，是由A的n-1阶代数余子式按照一定的规律排列而得到的矩阵。
伴随矩阵与原矩阵的关系是这样的：当A是可逆矩阵时，它的伴随矩阵与它的逆矩阵成正比，即adj(A) = kA^(-1)，其中k是一个常数。
如果矩阵A不可逆，则它的伴随矩阵等于零矩阵。
为了证明“伴随矩阵等于转置”的结论，我们需要先证明一个引理：对于任意的n阶方阵A和B，有tr(AB) = tr(BA)。
其中tr表示矩阵的迹。
迹是矩阵的特征之一，它表示矩阵对角线上元素的和。
这个引理是通过矩阵乘法的性质来证明的。
证明引理后，我们就可以来证明伴随矩阵等于转置的结论了。
设A是一个n阶矩阵，它的伴随矩阵记为adj(A)，转置记为A^T。
根据伴随矩阵的定义，我们知道adj(A)的第i行第j列元素是A的代数余子式C_ij，即C_ij = (-1)^(i+j)det(M_ij)，其中M_ij是A删去第i行第j列后得到的(n-1)阶子阵。
我们将adj(A)的第i行第j列元素记为adj(A)_ij。
根据转置的定义，A^T的第i行第j列元素是A的第j行第i 列元素，即(A^T)_ij = A_ji。
我们需要证明adj(A)_ij = (A^T)_ij。
矩阵与其伴随矩阵的特征值
同时 ， ｌ。 Ａｌ ０还 有 由 Ｅ～ ＝ Ａ
０＝Ｉ ｌＡ Ｅ— ＝ｌｏ 。 Ａ ｏ Ａｌ Ａ＿ 一Ｅｌ ｌ Ａ ＝（一１ ｌ ） Ｅ
一
－ ＝ －） 』 －１因 ｌ （ １ Ａ Ａ． 此 ｌ ！ － 。 』 Ｅ
引理 ３ 矩 阵 Ａ 的秩 与 Ａ 的秩有 如下关 系 ：
者 平时 的教 学实 际重 点讨 论 （ Ａ不可 逆 时 ） 的 在 Ａ’
』 —１０就说 是 的征． Ａ』， 是， Ａ 特值 １ － 这 ＝ Ｅ
定理 １ 若 Ａ 为 Ａ 的特 征值 ， Ａ’ 。 则 的特 征值
为＿ ＩＩ Ａ
．
Ａ０
证明
不妨 设 Ａ’ 的特征值 为 Ａ 则 由 Ａ ＝ ． Ａ
一
Ｉ ≠０ 这 说 明 是 Ａ 的 特 征值 ・ ＡＩ ， 由引理 ｌ知 ，
１ Ｉ Ａ Ｉ＝
，
进 而有
、
可 逆 二 、 不 可 逆
引理 ２ 若 ｎ×ｎ ｎ ２ 矩 阵 Ｂ， （＞ ） １ Ｃ满 足 Ｂ Ｃ＝
０ 则 秩 Ｂ＋秩 Ｃ≤ｎ ， ． 证 明 因为 Ｂ ０ 所 以 Ｃ的列 向量 是 以 Ｂ为 Ｃ＝ ，
因此 Ａ ≠０ 。 ．
系数 矩阵 的齐 次线性 方程 组 的解 向量． 秩 Ｂ＝ｎ 若 ， 则 ｌ ≠０ 由 Ｃａ ｅ 法 则 知方 程 组 只有 零解 ， 而 Ｂｌ ． ｒｍ ｒ 从 Ｃ＝ ， ０ 进而 秩 Ｃ＝ 若 秩 Ｂ＝ｒ ｒ ） 则 方 程组 的 ０； （ ＜ｎ ，
基 础解 系 中含 ｎ—ｒ 向量 ， 是 秩 Ｃ≤ｎ—ｒ 因此 个 于 ．
Ｍａ． ０ ｒ．２ ０７ Ｖｏ ． ４ Ｎｏ １２ ．１
矩 阵 与 其 伴 随 矩 阵 的特 征 值
矩阵的逆和伴随矩阵公式
矩阵的逆和伴随矩阵公式1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个看似高大上的话题——矩阵的逆和伴随矩阵。
这听起来可能有点晦涩，但其实，就像喝水一样简单。
你知道吗？在这个数学的世界里，矩阵就像是我们生活中的一面镜子，反射出各种复杂的关系和结构。
咱们从基本概念开始，逐步深入，就像攀登一座小山，风景逐渐美好起来！2. 矩阵的逆2.1 什么是逆矩阵？好吧，首先咱们得弄明白什么是逆矩阵。
简单来说，逆矩阵就像是一个“反派角色”，它能把原来的矩阵“抵消”掉。
比如说，如果有一个矩阵A，它的逆矩阵记作A⁻¹，那么当你把A和A⁻¹相乘时，得到的结果就是单位矩阵I，就像“1”这个数字的魔力。
想象一下，就像你吃了一碗麻辣火锅，过后来一杯酸奶，正好中和了辣味，好爽！2.2 如何计算逆矩阵？那么，逆矩阵怎么计算呢？别急，咱慢慢来。
首先，只有方阵（行数等于列数）才能有逆矩阵，条件可得多了。
接着，你可以用行列式来判断，行列式不为零时，矩阵才有逆。
计算方法有很多，最常见的就是用伴随矩阵。
记住，伴随矩阵就是把每个元素换成其余元素的“余子式”的转置，这一说法听上去复杂，但一旦搞懂，就如同“开窍”一样，豁然开朗。
3. 伴随矩阵3.1 伴随矩阵的定义伴随矩阵，这个词听起来是不是有点像“伴侣”？没错，伴随矩阵确实是与逆矩阵形影不离的好伙伴。
它帮助我们轻松找到逆矩阵的道路。
简单来说，伴随矩阵就是由原矩阵的每个元素的余子式构成的一个新矩阵，最后要转置。
听上去有点像做菜，先准备食材，再经过烹饪，最后上桌，色香味俱全！3.2 如何求解伴随矩阵？那么，怎么求伴随矩阵呢？第一步，你得找到每个元素的余子式，想象一下，把每个元素的“周围朋友”都找出来。
第二步，把这些余子式排列成新的矩阵。
最后，记得转置一下，换个位置，搭配得更加和谐。
这整个过程就像组团出游，找对了队友，大家一起欢乐出发，最终风景无限好！4. 实际应用4.1 逆矩阵和伴随矩阵的应用知道了逆矩阵和伴随矩阵的计算方式，那它们到底用来干嘛呢？在现实生活中，特别是在计算机科学、工程、经济学等领域，逆矩阵就像是万能钥匙，可以帮助我们解决各种线性方程组的问题。
伴随矩阵和原矩阵的特征向量的关系
伴随矩阵和原矩阵的特征向量的关系一、伴随矩阵和原矩阵的概念及性质在线性代数中，我们经常会接触到伴随矩阵和特征向量的概念。
先让我们回顾一下这两个概念的定义和性质。
1. 原矩阵和伴随矩阵的定义- 原矩阵: 对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，是A的代数余子式矩阵的转置矩阵。
- 伴随矩阵: 对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，是A的代数余子式矩阵的转置矩阵。
2. 伴随矩阵和原矩阵的性质- 性质1: A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次幂，即det(adj(A)) = |A|^(n-1)。
- 性质2: 若A是可逆矩阵，则其伴随矩阵为A的逆矩阵的常数倍，即A*adj(A) = |A|*I，其中I为单位矩阵。
以上是对原矩阵和伴随矩阵的定义和性质的回顾，接下来我们将探讨特征向量与伴随矩阵的关系。
二、特征向量与伴随矩阵的关系的深入探讨特征向量是线性代数中一个非常重要的概念，它与矩阵的特征值一起描述了矩阵在线性变换中的表现。
现在，我们将深入探讨特征向量和伴随矩阵的关系。
1. 特征向量与伴随矩阵的关系对于矩阵A的特征值λ和对应的特征向量v，我们有以下性质：A*v = λ*v如果我们将上式两端同时乘以矩阵A的代数余子式矩阵的转置矩阵（即A的伴随矩阵adj(A)），则得到：A*adj(A)*v = λ*adj(A)*v根据伴随矩阵的性质，我们知道A*adj(A) = |A|*I，其中|A|为矩阵A 的行列式。
上式可以进一步化简为：|A|*v = λ*adj(A)*v可以看出，特征向量v与矩阵A的行列式|A|以及伴随矩阵adj(A)之间存在着一定的关系。
2. 深入探讨特征向量与伴随矩阵的关系特征向量与伴随矩阵的关系为我们提供了一种从特征值和特征向量出发探讨矩阵性质的途径。
通过将特征向量与伴随矩阵联系起来，我们可以更深入地理解矩阵的结构和性质。
当我们将伴随矩阵代入特征向量的相关公式中进行推导时，我们可以发现特征向量与伴随矩阵之间并不是简单的线性关系，而是涉及到矩阵的行列式等进阶概念。
伴随矩阵与原矩阵行列式值的关系
伴随矩阵与原矩阵行列式值的关系可以通过以下公式表示：
设A 是一个n ×n 的矩阵，它的伴随矩阵记作adj(A)。
则有以下关系：
A ×adj(A) = adj(A) ×A = |A| ×I
其中，adj(A) 表示A 的伴随矩阵，|A| 表示A 的行列式值，I 表示n ×n 的单位矩阵。
换句话说，原矩阵A 乘以它的伴随矩阵adj(A) 或者伴随矩阵adj(A) 乘以原矩阵A，结果都等于原矩阵A 的行列式值|A| 乘以单位矩阵I。
这个关系式的意义在于，通过伴随矩阵的运算，可以得到一个与原矩阵行列式值有关的结果。
这个关系在矩阵运算和线性代数的理论中经常被用到，例如求逆矩阵、解线性方程组等方面。
伴随矩阵证明
伴随矩阵证明伴随矩阵是一个与给定矩阵A有一定关系的矩阵。
具体地说，对于n阶方阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)，满足如下性质：1. adj(A)的每个元素，是A的一个代数余子式的对应元素的代数余子式。
即，如果adj(A)的第(i，j)个元素为A的第(j，i)个代数余子式，则adj(A)的第(i，j)个元素为A的第(i，j)个代数余子式。
2. A与adj(A)的乘积为n阶单位矩阵I。
即，A ×adj(A) = adj(A) ×A = I。
下面我们来证明伴随矩阵的性质2。
首先，我们可以将A表示为它的行向量的转置：A = [r1，r2，...，rn]，其中ri表示A的第i行。
然后，我们可以将伴随矩阵adj(A)表示为它的列向量的转置：adj(A) = [c1，c2，...，cn]，其中ci表示adj(A)的第i列。
我们知道，矩阵乘法的定义是将A的每一行与adj(A)的每一列进行点乘，然后将结果相加。
那么，我们可以将A ×adj(A)求解为：A ×adj(A) = [r1，r2，...，rn] ×[c1，c2，...，cn]根据矩阵乘法的定义，我们有：A ×adj(A) = [(r1·c1) + (r1·c2) + ... + (r1·cn)，(r2·c1) + (r2·c2) + ... +(r2·cn)，...，(rn·c1) + (rn·c2) + ... + (rn·cn)]其中，(r1·c1)，(r1·c2)，...，(r1·cn)分别表示r1与c1，r1与c2，...，r1与cn 的点积。
然后，我们知道矩阵A的代数余子式Ak表示将第k行与第k列去掉后，剩下的(n-1)阶矩阵的行列式，记作det(Ak)。
因此，我们可以将点积展开为代数余子式的形式：(r1·c1) = det([r2，r3，...，rn]×[c2，c3，...，cn]) = det(A1)，其中A1为A 去掉第1行和第1列后的(n-1)阶矩阵。
伴随矩阵行列式的值和原矩阵
伴随矩阵行列式的值和原矩阵
伴随矩阵是指原矩阵的转置矩阵的代数余子式矩阵，记作adj(A)，其中A是原矩阵。
伴随矩阵的行列式的值等于原矩阵的行列式的幂次，即det(adj(A)) = det(A)^(n-1)，其中n为原矩阵的阶数。
原矩阵A的行列式的值等于伴随矩阵的迹，即det(A) = tr(adj(A))。
如果原矩阵A是可逆的（即行列式不为0），则伴随矩阵的每个元素等于原矩阵的代数余子式除以行列式的值，即adj(A) = (1/det(A)) * cofactor(A)。
总结起来，伴随矩阵的行列式的值和原矩阵之间存在一定的关系，而伴随矩阵的元素则与原矩阵的代数余子式和行列式的值有关。
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方阵A 与其伴随矩阵*A 的关系摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。
它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。
1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn nnn n nn ij a a a a a a a a a a A 212221212111.令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯nn nnn n nn ij A A A A A A A A A A A212221212111*,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明.2.1*AA =A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A AA =-,即1*det -=AA A [1].证明：因为⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若所以*AA =A A *=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A Adet 000det 000det =AI det .当A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得⎪⎭⎫ ⎝⎛*det 1A A A =A A A ⎪⎭⎫⎝⎛*det 1=I 即*1det 1A AA =-. 证毕.2.2 ()*T A =()TA *.(显然) 2.3 若A 可逆，则()*1-A =()1*-A .(显然)2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110*[2]. 引理1.若()2≥⨯n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+. 证明:因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而()0=B r ;若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含r n -个向量,于是()r n B r -≤,因此有()()n B r A r ≤+. 证毕. 下面证明2.4.⑴当()1-<n A r 时, A 的每一个1-n 阶代数余子式都为零.所以*A 为零阵,所以()0*=A r .⑵当()1-=n A r 时，0det =A ,*AA =AI det =0.由引理1知,()A r +()n A r ≤*.因为()1-=n A r 则()()11*=--≤n n A r,知A 至少有一个1-n 阶子式不为零.即 *A至少有一行不全为零. 所以()1*≥A r .因为()1*≤A r ,从而()1*=A r .⑶ 当()n A r =时，A 可逆，由1知，*A 也可逆.所以()n A r =*.证毕. 2.5 ()1*det det -=n A A .① 当A 可逆时，1*det -=AA A .所以()1*det det det -=A A A n()1det -=n A .② 当A 不可逆时，()1-≤n A r ，0det =A .1) 当2≥n 时()1-<n A r ，由2.4知()0*=A r .所以0det *=A .()1-=n A r ，()n A r <=1*，0det *=A .则()0det det 1*==-n A A2) 当1=n 时，0d e t =A ,即0=A ，0det *=A ，则()0d e t d e t 1*==-n A A .证毕.2.6 当A 可逆时,若0λ为A 的特征值,则0det λA是*A 的特征值.当()1-<n A r 时，*A 的特征值为零，并是n 重的. 引理2. 设A 可逆,若0λ为A 的特征值,则01λ是1-A的特征值.证明:若00=λ,则由00=-A E λ得到()01=-=-A A n ,于是0=A ,这与A 可逆矛盾,所以00≠λ.同时由00=-A E λ还有()()101010011110------=--=-=-=A E A E E A A E A nnnλλλλλ.因此0110=--A E λ,即 01λ是1-A 的特征值.引理证毕. 下面证明2.6.不妨设*A 的特征值为*λ.则由AE AA det *=有1*1***0---=-=-=AE AAAA E A E nλλλ.0≠A ,这说明A*λ是1-A 的特征值. 由引理2知,*1λλ=A,所以0*λλA=,即λA是*A 的特征值.若()0*=A r ,(即()1-<n A r )时,0*=A ,所以*A 的特征值0*=λ且是n 重的. 2.7 若A 为可逆矩阵,则*A 也是可逆矩阵.证明:由2.1即可得到此结论.2.8 若A 为对称矩阵,则*A 也是对称矩阵.2.9 ()***A B AB =.证明:当A ,B 均可逆时, 1*det -=AA A ,1*det -=BB B ,所以()*111**))(det()det(AB AB AB A B AB A B ===---.当A ,B 不都可逆时,则当x 足够大时,存在x 使得n xI A +, n xI B +均可逆,此时有()***)()())((n n n n xI A xI B xI B xI A ++=++,这是关于x的恒等式,即x 取零时,该等式也成立,即()***A B AB =.证毕.2.10 若A 为正交矩阵,则*A 也是正交矩阵. 证明: 若A 为正交矩阵,则I A A AA T T ==且1det ±=A ,由 2.2知()()****T TA A A A =.再由 2.9知()()()I I A A A A A A TTT====******,所以*A 也是正交矩阵.证毕.2.11 ()A AA n 2**-=,其中A 是n 阶方阵()2>n .证明:因为E A A A AA ==**,所以 1) 当0≠A 时,1*-=A A A .则 ()()()111*1**----⋅==A A A A A A A()A A A AA A A AA A n nn21111111------===2) 当0=A 时,由2.4知()1≤A r . 当2>n 时,)()0**=A r ,故()A AA n 2**-=.当2=n 时,令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d A *,()A A A d c b a A n 2**-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 证毕.通过以上的证明,说明了n 阶矩阵A 与其伴随矩阵*A 有很多联系和继承性,理解和掌握这些联系和继承性对我们以后高等代数课程的学习有着重要的意义.参考文献[1] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数.第五版.高等教育出版社，2007.6. [2] 朱焕.关丽杰.范慧玲.有关伴随矩阵的性质.高师理科学刊,2008,28-3.[3] 贾云峰. 矩阵与其伴随矩阵的特征值．陕西师范大学继续教育学报, 2007, 24-1.Matrix A and its relationship with the matrix *AZou Hongyun 20091101342College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics ，Class 2009Advisor Wu XianghuaAbstract :In this paper, the definition of the matrix adjoint to discuss the square and its relationship with the matrix, for example, between A and *A , and gives the corresponding proof.Key words : Matrix, with the matrix, the relationship,prove。