第六章：点的运动学
第六章
点的运动学
一、要求
1、能用矢量法建立点的运动方程，求速度和加速度。
2、能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求轨迹、速度和加速度。
3、能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确
理解切向加速度和法向加速度的物理意义。
二、重点、难点
点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程，点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影。点的曲线运动的自然法（以在平面内运动为主），点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度与法向加速度。
三、学习指导
点的运动学是整个运动学的基础。三种方法描述同一点的运动，其结果是一样的。如果将矢量法中的矢量r 、v 、a 用解析式表示，就是坐标法；矢量v 、a 在自然轴投影，就得出自然法中的速度与加速度。
直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是固定在参考系上，可用来确定每一瞬时动点的位置。点沿空间曲线运动有三个运动方程，点沿平面曲线运动有两个运动方程，点沿直线运动有一个运动方程。自然轴系是随动点一起运动的直角轴系（切向轴τ、法向轴n 及副法向轴b ），因此不能用自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，用弧坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。
用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一次和二次导数，得到速
度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。用自然法求速度，则将坐标对时间取一次导数，就得到速度的大小和方向。自然法中的加速度物理概念清楚，τa 和n a 分别反映了速度大小和速度方向改变的快慢程度。需注意的是不能将dt
dv
误认为是动点的全加速度。只有当0=n a 时，才有dt
dv
a =
。学员可自行分析，这时点作什么运动。
下面对矢量法、直角坐标法与自然法作一总结和比较：
解题指导
点的运动学问题类型大致有四类：
1、用坐标法（直角坐标法、自然法等）建立点的运动方程。
对于点的运动轨迹未知，一般选用直角坐标法；对于点的运动轨迹已知，多选用自然法，当然亦可以直角坐标法。具体步骤如下：
（1）确定研究对象，即确定所要研究的动点（或刚体上一点）。
（2）根据所选用的方法，选择对应的坐标系，并要明确坐标系是固定在什么物体上。
（3） 确定点运动的开始位置，然后将动点放在任意位置，用某一参量表示点的位置。所
选参量应与时间有关。不能将点放在特殊位置（如初、末位置），因为特定时刻的位置不能代表点的位置随时间变化的函数关系。 （4） 代入时间t 找出坐标与时间t 的函数关系，就得到动点在空间的几何位置随时间t 的
变化关系，亦即动点相对于坐标的运动规律——运动方程。。 2、求点的轨迹方程
先要知道直角坐标表示的点的运动方程（包括题给或自行建立），将方程中的时间t 消去，得到动点的空间坐标之间的函数关系，就是动点的轨迹方程。但要注意点的运动轨迹是当t 由0到∞或到指定的时间T 之间，点所经过的路径，它仅是按照数学表达式所画出的曲线上的一部分线段。
3、求点的速度、加速度以及曲率半径
知道运动方程后，根据已知量和需求量，可用数学求导方法，矢量合成法则以及法向加速度公式ρ
2
v a n =
，来求得动点的速度、切向加速度、法向加速度以及全加速度。
对于求点在轨迹上某处的曲率半径，要联合应用直角坐标法与自然法。
注意在求某一特定瞬时（s t ）的动点的速度（s v ）或加速度（n a ）时，千万不要用某瞬时的特定坐标值或速度瞬时值对时间求导数，求导后总为零。为了求特定时刻的速度与加速度，应该将运动规律和速度规律对时间求导数得出v 和a 是t 的函数关系，再代入特定的时间（s t ），就可以求得s v 和s a 的大小。另外，在求导数时，还要注意数学中的复合函数求导。
4、已知点的加速度或速度，求运动方程
对于已给出动点的加速度或速度方程（包括自行建立的），应用所给定的初始条件，采取数学积分的方法，就可以得到点的运动方程，应该注意，对于不同的初始条件，将得
四、典型例题解析
例题6.1 （填空题）变矢量对自变量的导数是一个（ ），方向沿着（ ）对应点的切线。变矢量的矢导数在任一固定轴上的投影，等于这个矢量（ ）的导数。
解：新的矢量，矢端图，在该轴上的投影。
例题6. 2 已知动点的运动方程为tm x 50=，m t y 25500-=，求（1）动点的运动轨迹；（2）当0=t 时，动点的切向、法向加速度和轨迹的曲率半径。 解：（1）求动点的运动轨迹
由运动方程中消去时间t ，即得到动点的轨迹方程为
y x 5002500002-=
可知动点的轨迹为一抛物线。再作进一步分析：根据题意0=t 时，m y x 500,0==，即开
始运动时，动点在抛物线上的点)500,0(A 处。以后，当从零增加而
y 的值减小，从而知动点仅在如图（2.1）中实线所示的半抛物线
上运动。所以，该动点的轨迹应为半抛物线
y x 5002500002-= )0(≥x
（2）求0=t 时，动点的切向、法向加速度和轨迹的曲率半径 由题中所给动点的运动方程求导得：
50.
==x v x ；t y v y 10-==?
（1）
故动点的速度为
（2）
又由式（1）对时间求导得
0==?x x v a ；10-==?
y y v a
故动点的加速度
2
22/10s m a a a y x =+=
而动点的切向加速度为
2
2510t
t v a +==?
τ （3）
所以动点的法向加速度为
2
222550t
a a a n +=
-=τ （4）
轨迹的曲率半径为
23
22
)25(2t a v n
+==ρ （5）
将0=t 代入式（3）、（4），求此时动点的切向、法向加速度及曲率半径分别为
0=τa ， 2/10s m a n =， m 250=ρ
讨论：
（1）求动点的运动轨迹，由运动方程消去时间t 后，应注意再做进一步地分析，以得出轨迹的确切结论。（2）本题有助于读者熟悉直角坐标法表示的动点运动方程、轨迹、速度、加速度之间的关系；熟悉切向加速度、法向加速度、速度、曲率半径之间的关系。
例题6. 3 长方体以等角速度s rad /44.3=ω绕轴AC 转动，转向如图2.3所示，试求点B 的速度与加速度。
解：作AC 的垂线BD ，则有
s mm BD v B /140=?=ω， 22/73.481s mm BD a n
B =?=ω
（本题也可采用直角坐标法求解，学员不妨试试）
s
m t v v v y x /25102
22+=+=图题2.6
例题6. 4 火箭在B 点处铅直发射，如图2.4所示，kt =θ，求火箭的运动方程，以及在
6πθ=，3
π
时，火箭的速度和加速度。
解：火箭的运动方程为：l x =，kt l y tan =，速度和加速度为
kt lk dt dy v 2
sec ==，kt kt lk dt
y d a tan sec 22222==
当6π
θ=
=kt 时，lk v 34=，2
938lk a = 当3π
θ==kt 时，lk v 4=，238lk a =
例题6. 5 自行车B 沿近似用抛物线方程2Cx y =（其中)01.01-=m C 描述的轨道向下运动，如
图2.5所示，当至点A （m x A 20=，m y A 4=）时，s m v B /8=，2/4s m dt
dv
B =，试求该瞬时
B 的加速度大小。假设可将车-人系统看成点。
解：由抛物线方程2Cx y =可求得当至点A
m y
y 47.62)
1'
'232'=+
=
（
ρ，由s m v B /8=，
2/4s m dt
dv a B B ==
τ，22/0245.1s m v a B
n
B
==ρ 由2
22/13.4)()(s m a a a n B B =+=τ
例题6. 6 小环M 同时套在细杆OA 和半径为r 的固定大圆圈上，如图2.6所示，细杆OA 绕大圆圈上的固定点O 转动，它与水平直径的夹角t ω?=，其中ω为常数。试求小环M 的运动方程，以及它的速度和加速度。
解：采用弧坐标法求解，取小环初瞬时的位置0M 为弧坐标s 的原点，小环M 的运动方向为弧坐标s 的正向，则小环M 的弧坐标为
x
z
图
题3.6图题5.6图题4.6
t r r M M s ω?220=?== （1）
此即小环M 弧坐标形式的运动方程。 小环M 的速度大小为
ωr s v 2==?
（2）
其方向沿轨迹切向并指向运动前进一方。由上式可知v 为常数，这表明M 沿大圆圈做匀速圆周运动。小环M 的切向与发向加速度分别为
0==?
v a τ；22
4ωr r
v a n == （3）
故小环M 的加速度大小为
222
4ωτr a a a a n n ==+= （4）
其方向沿1MO 而指向圆心1O
讨论：
（1）本题也可采用直角坐标法求解，取如图（2）所示固定直角坐标系Oxy ，则小环M 的直角坐标为 （5）
将t ω?=代入上式，即得小环M 在直角坐标系中的运动方程为
（6）
上式对时间求一阶导数得
（7）
所以，小环M 的速度大小和坐标轴夹角的方向余弦分别为
（8）
再将（7）式对时间求一阶导数得
（9）
故小环M 的加速度大小和方向余弦分别为
?
??2cos cos 2cos 2r r r OM x +==?=?
???2sin cos sin 2sin r r OM y ==?=t
r v a x x ωω2cos 42-==?
t r v a y y ωω2sin 42
-==?
ωr v v v y x 222
=+=?ω2sin 2sin ),cos(-=-==t v
v
x v x ?ω2cos 2cos ),cos(===t v
v y v y
t
r x v x ωω2sin 2-==?t r y v y ωω2cos 2-==?
)
2cos 1(t r x ω+=t r y ω2sin =
（10）
（2）本题也可采用极坐标法求解，以O 点为极点，x 轴为极轴，则小环M 的极坐标形式的运动方程为：
t r r OM ω?ρcos 2cos 2=== （11）(a)
t ω?= （11）(b)
所以小环M 的径向和横向速度分别为
t r dt d v ωωρ
ρsin 2-==
（12）(a) t r dt
d v ωω?
ρρcos 2== （12）(b)
故小环M 的速度大小和方向分别为：
ω?ρr v v v 22
2=+=
?ρρ
?ctg v v v tg -==
),(
即角0090),(?ρ+=∠v ，又由（11）式可得小环M 的径向与横向加速度分别为
t r dt
d dt d a ωω?ρρρcos 4)(
22
2
2-=-=
（13）(a) （13）(b)
故小环M 的加速度大小和方向分别为
22
24ω?ρr a a a =+=
?ρρ
?tg a a a tg ==
),(；00180),(?ρ+=∠a
（3）比较以上三种解法可见，在动点运动轨迹已知的情况下，利用弧坐标法求解不仅方
便，而且速度、加速度的方向容易确定。如果点的运动轨迹未知，则一般选用直角坐标法求解。
2
224ω
r a a a y x =+=t a a x a x ω2cos ),cos(-==
t
a a y a y ω2sin ),cos(-==
理论力学n第六章 点的运动学
第六章 点的运动学 6-1 图示曲线规尺的各杆，长为OA=AB=200mm ，CD=DE=AC=AE=50mm 。如杆OA 以等角速度s rad /5 π ω= 绕O 轴转动，并且当运动开始时，杆OA 水平向右。求尺上点D 的运动方程和轨迹。 解： 1. 取D 点为研究对象，坐标如图， 2. 由图，t π?2.0=，故点D 的运动方程为 t y t x D D ππ2.0s i n 1002.0cos 200== 3. 消去时间t ，得点D 的轨迹方程： 1100 200 2 22 2=+ D D y x 6-2 套管A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套管A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解： 1. 取套筒A 为研究对象，坐标如图， 2. 设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ， 到达图示位置，则 =++= +t v l x BC AB 02 2 常量 3. 将上式对时间求导，得套筒A 的速度和 加速度为 32 2 02 20, x l v dt dv a l x x v dt dx v - == +-== 负号表示v, a 的实际方向与x 轴方向相反。 6-3 如图所示，OA 和O 1B 两杆分别绕O ，O 1轴转动，用十字形滑块D 将两杆连接。在运动过程中，两杆保持相交成直角。已知：OO 1=a ；kt =?，其中k 为常数。求滑块D 题6-1图 题6-2图
的速度和相对OA 的速度。 解： 1. 取套筒D 为研究对象， 2. 点D 的轨迹是圆弧，运动方程和速度为 ak s akt R s ==== D v ,θ 3. 点D 在x O '轴向的坐标和速度为 kt ak x kt a x D D sin v ,cos D -='='=' D v 和D v '的方向如图所示。 6-4 小环M 由作平移的丁字形杆ABC 带动，沿着图示曲线轨道运动。设杆ABC 以速度 v =常数向左运动，曲线方程为y 2=2px 。求环M 的速度和加速度的大小（写成杆的位移x 的函数） 解：1.取M 点为研究对象， 2.将px y 22 =对时间求导数， 并注意==v x 常量，0=x ，得:,y x p y = 则：x p v y x v M 212 2 + =+= ， x p x v y y x p y a M 242 2 -=-==
第六章：点的运动学
第六章 点的运动学 一、要求 1、能用矢量法建立点的运动方程，求速度和加速度。 2、能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求轨迹、速度和加速度。 3、能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确 理解切向加速度和法向加速度的物理意义。 二、重点、难点 点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程，点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影。点的曲线运动的自然法（以在平面内运动为主），点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度与法向加速度。 三、学习指导 点的运动学是整个运动学的基础。三种方法描述同一点的运动，其结果是一样的。如果将矢量法中的矢量r 、v 、a 用解析式表示，就是坐标法；矢量v 、a 在自然轴投影，就得出自然法中的速度与加速度。 直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是固定在参考系上，可用来确定每一瞬时动点的位置。点沿空间曲线运动有三个运动方程，点沿平面曲线运动有两个运动方程，点沿直线运动有一个运动方程。自然轴系是随动点一起运动的直角轴系（切向轴τ、法向轴n 及副法向轴b ），因此不能用自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，用弧坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。 用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一次和二次导数，得到速 度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。用自然法求速度，则将坐标对时间取一次导数，就得到速度的大小和方向。自然法中的加速度物理概念清楚，τa 和n a 分别反映了速度大小和速度方向改变的快慢程度。需注意的是不能将dt dv 误认为是动点的全加速度。只有当0=n a 时，才有dt dv a = 。学员可自行分析，这时点作什么运动。 下面对矢量法、直角坐标法与自然法作一总结和比较：
运动学第六章达朗贝尔原理习题课
达朗贝尔原理 习题课 主讲教师祝瑛 2016年3月27日星期日
ω α = 0 α = 0 α≠0 α≠0 ω ω ω （a ） （b ） （c ） （d ） 1.均质圆盘作定轴转动。试对图示四种情形向转轴进行惯性力系的简化。 2 I F m r ω=2 n I F m r ω=I F m r τ α=2 32 I mr M α =2 2 I mr M α =
1 ω1 α2 ω2 αC A O n I F τ I F IO M n IA F τIA F IA M 2.均质杆OA 长为L ,质量为m,绕O 轴转动的角速度ω1,角加速度α1,圆盘半径为R,质量为M , 相对杆的角速度为ω2,角加速度α2.计算杆对O 点及圆盘对A 点的惯性力系的简化结果.21 21ωml F n I =2 12 1ωl a n C =1213 1ααml J M O IO ==) (2 1212 ααα+==MR J M A A IA l a n A 21 ω=l M F n IA 21 ω=解：杆1 21ατ l a C =121ατml F I =1 ατ l a A =盘 1 ατ Ml F IA =绕O 轴转动平面运动
3.两种情形的定滑轮质量均为m,半径均为r.图a 中的绳所受拉力为W ;图b 中块重力为W . 试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑 轮轴承处的约束力是否相同。解: (a)Wr J O =a αWr mr =a 2 2 1αmr W 2a = α0=Ox F mg W F O y +=∑=0O M Oy F Ox F W T a =a αb αOy F Ox F IOa M mg mg F I W IOb M
机器人学第六章(机器人运动学及动力学)
第六章 机器人运动学及动力学 6.1 引论 到现在为止我们对操作机的研究集中在仅考虑动力学上。我们研究了静力位置、静力和速度，但我们从未考虑过产生运动所需的力。本章中我们考虑操作机的运动方程式——由于促动器所施加的扭矩或作用在机械手上的外力所产生的操作机的运动之情况。 机构动力学是一个已经写出很多专著的领域。的确，人们可以花费以年计的时间来研究这个领域。显然，我们不可能包括它所应有的完整的内容。但是，某种动力学问题的方程式似乎特别适合于操作机的应用。特别是，那种能利用操作机的串联链性质的方法是我们研究的天然候选者。 有两个与操作机动力学有关的问题我们打算去解决。向前的动力学问题是计算在施加一 组关节扭矩时机构将怎样运动。也就是，已知扭矩矢量τ，计算产生的操作机的运动Θ、Θ 和Θ 。这个对操作机仿真有用，在逆运动学问题中，我们已知轨迹点Θ、Θ 和Θ ，我们欲求出所需要的关节扭矩矢量τ。这种形式的动力学对操作机的控制问题有用。 6.2 刚体的加速度 现在我们把对刚体运动的分析推广到加速度的情况。在任一瞬时，线速度矢量和角速度矢量的导数分别称为线加速度和角加速度。即 B B Q Q B B Q Q 0V ()V ()d V V lim dt t t t t t ?→+?-==? （6-1） 和 A A Q Q A A Q Q 0()()d lim dt t t t t t ?→Ω+?-ΩΩ=Ω=? （6-2） 正如速度的情况一样，当求导的参坐标架被理解为某个宇宙标架{}U 时我们将用下面的记号 U A AORG V V = （6-3） 和 U A A ω=Ω （6-4）
6.2.1 线加速度 我们从描述当原点重合时从坐标架{}A 看到的矢量B Q 的速度 A A B A A Q B Q B B V V B R R Q =+Ω? （6-5） 这个方程的左手边描述A Q 如何随时间而变化。所以，因为原点是重合的，我们可以重写（6-5）为 A A B A A B B Q B B d ()V dt B B R Q R R Q =+Ω? （6-6） 这种形式的方程式当推导对应的加速度方程时特别有用。 通过对（6-5）求导，我们可以推出当{}A 与{}B 的原点重合时从{}A 中看到的B Q 的 加速度表达式 A A B A A A A Q B Q B B B B d d V (V )()dt dt B B R R Q R Q =+Ω?+Ω? （6-7） 现在用（6-6）两次── 一次对第一项，一次对最后一项。（6-7）式的右侧成为： A B A A A A B Q B B Q B B A A A A B B Q B B V () +Ω?+Ω?+Ω?+Ω? B B B B R R V R Q R V R Q （6-8） 把相同两项合起来 A B A A A A B Q B B Q B B A A A B B B V 2 () +Ω?+Ω?+Ω?Ω? B B B R R V R Q R Q （6-9） 最后，为了推广到原点不重合的情况，我们加上一项给出{}B 的原点的线加速度的项，得到下面的最后的一般公式 A B A A A A BORG B Q B B Q B B A A A B B B V 2 () ++Ω?+Ω?+Ω?Ω? A B B B V R R V R Q R Q （6-10） 对于我们将在本章上考虑的情况，我们总是有B Q 为不变，或 B Q Q V 0== B V （6-11） 所以，（6-10）简化为 A A A A A A Q BORG B B B B B V ()=+Ω?Ω?+Ω? A B B V R Q R Q （6-12） 我们将用这一结果来计算操作机杆件的线加速度。 6.2.2 角加速度 考虑{}B 以A B Ω相对于{}A 转动的情况，而{}C 以B C Ω相对于{}B 转动。为了计算 A C Ω我们把矢量在坐标架{}A 中相加
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
图 题46-第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?（?以rad 计，t 以s 计）。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解： 角速度： 2394)34(t t t dt d dt d -=-== ?ω 角加速度：t t dt d dt d 18)94(2-=-==ωα 速度： )94(2t r r v -==ω 切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度：222 22 )94()]94([t r r t r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+= 物体改变方向时，速度等于零。即： [习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以 )/(1.02s m t a t =作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及 ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解： t dt d a t 1.04.022-===? ρα （作减速运动，角加速度为负） 02=C ，故运动方程为： 速度方程：1005.02 +-=t v 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=?-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-?==t a n ρω [习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过５分钟 后，转子的角加速度为)/(600 s rad πω=。试求转子在这段时间内转了多少转？ 解：kt dt d ==ωα ππ?60000450 300|3300=?==s t ， 转数)30000260000N r （＝ π π [习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆m OA 5.1=，在铅垂面内转动，杆m AB 8.0=，Ａ端为铰链，Ｂ端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为s m /05.0，ＡＢ杆始终铅垂。设运动开始时，角0=?。求运动过程中角?与时间的关系。并求点Ｂ的轨 迹方程。 解： ＯＡ作定轴转动；ＡＢ作刚体的平动。 01=C 故
第六章运动学基础要点
第6章 运动学基础 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．动点速度的大小等于其弧坐标对时间的一阶导数，方向一定沿轨迹的切线。 ( √ ) 2． 动点加速度的大小等于其速度大小对时间的一阶导数，方向沿轨迹的切线。 ( × ) 3．在实际问题中，只存在加速度为零而速度不为零的情况，不存在加速度不为零而速度为零的情况。 ( × ) 4．两个刚体做平动，某瞬时它们具有相同的加速度，则它们的运动轨迹和速度也一定相同。 ( × ) 5．定轴转动刚体的角加速度为正值时，刚体一定越转越快。 ( × ) 6．两个半径不等的摩擦轮外接触传动，如果不出现打滑现象，两接触点此瞬时的速度相等，切向加速度也相等。 ( √ ) 二、填空题 1. 描述点的运动的三种基本方法是矢径法、直角坐标法和自然坐标法。 2. 点做圆周运动，加速度由切向加速度和法向加速度组成，其中切向加速度反映了速度大小随时间的变化率，方向是沿圆周的切线；法向加速度反映了速度的方向随时间的变化率，方向是沿圆周的法线。 3. 质点运动时，如果d d s t 和22d d s t 同号，则质点做加速运动，反之则做减速运动。 4. 刚体运动的两种基本形式为平动和定轴转动。 5. 刚体平动的运动特征是刚体在运动的过程中其内的任一直线始终和原来的位置平行。 6. 定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示，它的表达式为r ωv ?=；刚体上点的加速度可以用矢积表示，它的表达式为v ωr εa ?+?=。 7. 刚体绕定轴转动时，在任一瞬时各点具有相同的角速度和角加速度，且各点轨迹均为 圆周。 8. 定轴转动刚体内点的速度分布规律为任何一条通过轴心的直径上各点的速度，若将速度矢的端点连成直线，此直线通过轴心。 9. 半径均为R 的圆盘绕垂直于盘面的O 轴做定轴转动，其边缘上一点M 的加速度如图6.23所示，试问两种情况下圆盘的角速度和角加速度的大小分别为：图(a)：=ω0；=ε R a 。图(b)：=ωR a ；=ε0。