高中数列知识大总结(全)

典例精析

题型一 归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一

个通项公式

⑴7，77，777，7777，…

⑵ ,63

8,356,154,32-- ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解

析

：

⑴

将

数

列

变

形

为),110(97-?),110(97

2-)110(9

7

3-，

, )110(9

7

-n

⑵分开观察，正负号由1

)1(+-n 确定，分子是偶数

2n ，分母是

31?，53?，75?，

, )12()12(+?-n n ，故数列的通项公式可写

成)

12)(12(2)1(1

+--=+n n n a n n

⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为2

)

1(1n

n n a -++

= 点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思

维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用??

?≥-==-)

2()

1(1

1

n S S n S a n n n 求数列通项

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项

公式.

⑴23-=n

n S ⑵)0()2(8

1

2>+=n n n

a a S

解析：⑴当123,11

11=-===S a n 时， 当)23

()23(,21

1---=-=≥--n n

n n n S S a n 时

132-?=n

又11=a 不适合上式，故

???≥?==-)

2(3

2)1(11

n n a n n

(2)2

,)2(8

1

,112111=+===a a S a n

解得时当2

121

)2(8

1)2(81,2+-+=-=≥--n n n n n a a S S a n 时当 所以0)2()2(2

12=+---n n a a

所以0)4)((11=--+--n n n n a a a a

又4,01=->-n n n a a a 所以，可知{}n a 为等差数列，公差为4

所以244)1(2)1(1-=?-+=-+=n n d n a a n

21=a 也适合上式，故 24-=n a n

点拨：本例的关键是应用

??

?≥-==-)

2()

1(1

1

n S S n S a n n n 求数列的通

项，特别要注意验证1a 的值是否满足"2"≥n 的一般性通项公式。

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴1

41,2

1211

-+==

+n a a a n n

(2),

0,

11>=n a a 0)1(12

2

1=?+-+++n n n n a a na a n ，

⑶12

1

,

111

+=

=+n n a a a 解析：⑴因为1

41

21

-+=+n a a n n ，所以

)121121(21141

2

1+--=

-=

-+n n n a a n n 所以)31

11(2112-=-a a

)51

31(2123-=-a a

43111

()257

a a -=-

…，…，

1111

()22321

n n a a n n --=---

以上)1(-n 个式相加得

)1

211(211--=

-n a a n

即：2

43

42411--=

--=n n n a n ⑵0)1(2

12

1

=?-?++++n n n n a n a a a n 由

[]0

,

00)()1(111>+∴>=+-++++n n n n n n n a a a a a na a n 有

1

:

0)1(11+==-+∴++n n

a a na a n n n n n 即 1

2

1121

n n n n n a a a a a a a a ---∴=

?? 12

11112n n n n n

--=

????=- 1

n a n

∴=

⑶方法一、)(2

1

1

m a m a n n +=++设 111,22n n a a m +∴=-又11

12n n a a +=+

111

1,2,122

n n m m a a +∴-=∴=-=+令于是

可化为

1

11)2

1

()2(2)2(2

1

2-+?-=-∴-=

-n n n n a a a a

1

212--

=∴n n a

方法二：∵12

1

1

+=

+n n a a 1)121

(2112121++=+=∴-+n n n a a a

222311111()1()(1)122222n n a a --=++=+++ 323111()()1222

n a -=?+++ =…

121111

()()1222

n n a --=++++ 1

11111()1112()()22()122212

n n n n -----=+=+-?-

11112()222

n n --=-=-

方法三：12

1

,121121+=+=+++n n n n a a a a

2111

()2n n n n a a a a +++-=-两式相减，

112111

()()()22

n n n n a a a a -+∴-=-?

=

2213211

,(),22a a a a -=-=即：

1

11()2

n n n a a ---=

211111

()()222n n a a --=+++相加得：

11111()1221()1212

n n --??

-???

?==-- 1

122n n a -∴=-

点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累

加法，若

),(1

n f a a n

n =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

数学门诊

已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足

2

1223-+=n n n S a n S ，其中 4,3,2,0=≠n a n ，

又21=a ，求数列{}n a 的通项公式。 错解：当2≥n 时，由已知得,22

12

3n n n

a n S S =--

又01≠-=-n n n S S a ，所以2

13n S S n n =+- 于是2

12)1(3+=+++n S S n n 两式相减得，

3611+=--+n S S n n ，即 361+=++n a a n n

于是9612+=+++n a a n n 所以两式相减得

62=-+n n a a

所以 ,,,531a a a 成等差数列，公差为6，

,,,,642 a a a 也成等差数列，公差为6，从而 ,,,,,,654321a a a a a a 成等差数列，公差为6，

所以，466)1(2-=?-+=n n a n 正解：当2≥n 时，由已知得,22

12

3n n n a n S S =--

又01≠-=-n n n S S a ，

所以2

13n S S n n =+-

于是2

1)

1(3+=++n S S n n ，两式相减得：

3611+=--+n S S n n ，即361+=++n a a n n

于是9612+=+++n a a n n ，所以62=-+n n a a ，又

812212==+a S S ，所以

又1523=+a a ，所以73=a 则k n 2=时

266)1(22+=?-+==k k a a a k n

2322

6+=+?

=n n

6112312?-+==+=+）（时，k a a a k n k n

2

312

1

616-=+-?=+=n n k ??

?

??-+==的奇数）

为大于（为偶数）

（）（1232

312

n n n n n a n

4.设5021,,,a a a 从1,0,1-这三个整数中取值的数列

，

若

9

5021=+++a a a 且107

)1()1()1(2502221=++++++a a a 则

5021,,,a a a 中有0的个数为11

解

：

设

有

n

个0，则由

107

)1()1()1(2502221=++++++a a a 有22

21250()a a a ++

++2(12a a ++…+

50a +50=107, 222125039a a a ∴++

+=.

所以在5021,,,a a a 中有39个1或-1，

所以在5021,,,a a a 有11个0。

5.已知数列{}n a 满足,11=a

)2(,311≥+=--n a a n n n ，

⑴32a a 和求

⑵证明：2

1

3-=n n a

解：(1)∵,11

=a ∴4312=+=a a

133223=+=a a .

⑵证明：由已知1

13

--=-n n n a a 有

1

12211a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---）（）（）（

2

1

3133

3

2

1

-=++++=--n n n

6.已知数列{}n a 中，n

n

n a ）（）（10

92?+=试问n

取何值时，n a 取最大值？并求此最大值．

解：因为

2

310910

9210931

1

++?=?+?+=++n n n n a a n n n

n ）

（）（）

（）（

当且仅当7=n 时，

781

a a a a n

n ==+１，即 所以当7

＞１n

n a a 1

+，即 n n a a >+1 即1567a a a a >>>>

当8≥n 时，

11

<+n

n a a 1+>n n a a 即 >>>1098a a a 故当7=n 或8时，n a 最大，

78

87max

10

9)(===a a a n

1． 若

数

列

{}

n a 满

足

：

??

??

?

<≤-<≤=+)

121

(,12)210(,21

n n n n n a a a a a ， 7

6

1=a ，则20a 的值为（ Ｂ ）

解：??

??

?

<≤-<≤=+)

121

(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，??

?

???∈=

，１21711a ??

?

???∈=

-=121751212，a a

，，，7

5

121217622107312453423=-=??????∈=

=??

????∈=-=a a a a a a

由此猜想：n n a a =+3 所以7

5

226320

=

==+?a a a ，选Ｂ 二、填空题

5．已知数列{}n a 的前n 项和，142

+-=n n S n 则

??

?≥-=-=)

2(,52)

1(,2n n n a n 6．已知数列{}n a 中，3221==a a ，，

n n n a a a 2312-=++,=7a 65

解:

65

3216842132)(216)(28

)(24)(22)(21

)(27175667455634452334122312112=∴+++++=-∴=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-∴=--=-+++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n

7．已知数列{}n a 的通项

99

98--n n （*

∈N n ），

则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是

910a a ，

解：构造函数

99

9899199

98--+

=--=

x x x y

由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且

1

函数在），＋∞99(上递增且1>y

最小

最大，）

，又9109

21301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ 三、解答题 8．已知{}n a 中，3

1

1

=

a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，求n a 解：由n n a n n S )12(-=得

141

)

12)(12(1

3

15173953272125212323

212)12()32()12()12)(1()12)(1(2

1

1

232211112111111-=-+=

?????--?--?+-=

????=∴+-=∴-=+∴--++=∴-=∴++=-----++++++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n a a a n n a n n a n n a n n a S S a a n n S n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n 9．在数列{}n a 中，1

1121--==

n n n a a a ，（*

∈N n ）n S 为前n 项和.⑴求证：{}n a 是以3为周期的周期函数 ⑵求2010S

n

n n

n n n n

n

n n n a a a a a a a a a a a =-+=----=---

=--

-

=--

=-=+++11)1(111

11

1111111111

1111

23

2121

321=-==a a a ，，

1005

6703212010200920082007200620056543212010=++=++++++++++++=）（）（）（）

（）（a a a a a a a a a a a a a a a S

10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点)(n

S n n ，，

（*

∈N n ）均在函数23-=x y 的图像上，⑴求数列{}n a 的通项公式 ⑵设,3

1

+=

n n n a a b n T 是数列{}n b 的前前n 项和，

求使得20

m T n <

对所有*

∈N n 都成立的最小正整数m 。

解：⑴依题意得：

1

222323--=≥-=-=n n n n n

S S a n n

n S n n

S 时，当，即 ）

，（故时，当）（）（）（*∈-=-?====-=-----=N n n a S a n n n n n n n 56516115

6]1213[23112

2

⑵由⑴得：

）（）

）（（1

615612116563

+--=+-=

n n n n b n

??

????+--++-==∑=）（）（161561711211

n n b T n

i i

n 20

161121m n ）〈（+-=成立， 当且仅当1020

21≥∴≤m m

，

故满足要求的

4．计算机执行以下程序：

⑴初始值03==S x ，

⑵2+=

x x

⑶x S S +=

⑷2010≥S ，则进行⑸，否则从⑵继续进行 ⑸打印x

⑹停止

那么，语句⑸打印出的数值为89

解：由题意知，程序每执行一次所得x 的值形成一个数列{}n x 是等差数列，且首项为5，公差为2，相应S 的值n S 恰为该数列的前n 项和，根据题意得：

20102

2

)1(5≥?-+

=n n n S 解得 43≥n

所以892)143(543=?-+=x

5．设n S ，

n T 分别为等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和

=-+=19195224T S n n b a n n ，则5

14 解：

5

1451022104222

19)(219)(10101010191191

19119119

19=-?+?===++=?+?+=b a b a b b a a b b a a T S

典例精析

一、等差数列的判定与基本运算

例1：⑴已知数列{}n a 前n 项和n n S n 92

-=

①求证：{}n a 为等差数列；②记数列{}n a 的前n 项和为n T ，求 n T 的表达式。

⑵数列{}n a 中，n S 是前n 项和，当2≥n 时，

)21(2

-=n n n S a S ①求证：?

?????n S 1是等差数列，

②设1

2+=

n S b n

n ，求{}n b 的前n 项和n T

解：⑴：①证明：n =1时，811-==S a ，

当2≥n 时，

[]

10

2)1(9)1(9221

-=-----=-=-n n n n n S S a n n n

也适合该式，∴102-=n a n （*

∈N n ） ②n T 的表达式为：

40

9)20(2926950

6,05225

765216521n 2n +-=-?--=-=++++----=++++++=≥-=-=≤∴>≥≤≤n n n n S S a a a a a a a a a a a T n n n S T n a n a n n n n n n n 时，

当时，当时，时，???≥+-≤-=∴)

6(40

9)

5(92

2

n n n n n n T n

⑵： ①证明：当2≥n 时，

)2

1)(()21(12

--=-=-n n n n n n S S S S a S

211)(2

1

1

11=--=

?--=n n n n n n S S S S S S 即所以

所以?

?????n S 1是以11

1=S 为首项，2为公差的等差数列。 ②：由①得

1

22

)1(1)1(1

11-=?-+=?-+=n n d n S S n 所以1

21

-=

n S n

所以

)1

21121(21)

12)(12(1

12+--=+-=

+=

n n n n n S b n n

12)1211(21)121121()5131()311(2121+=+-=???

???+--++-+-=

+++=n n n n n b b b T n

n 点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。 二、公式的应用

例2：设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S

①若9801411==S a ，，求数列{}n a 的通项公式 ②若770614111≤>≥S a a ，，，求所有可能的数列{}n a 的通项公式

解：①

20

201014132981111114=-==+==+=a d d a a d a S ，解得又，得由

所以数列{}n a 的通项公式是：

)(222*∈-=N n n

a n

②

??

?

??-≤-<--≤+??

?

??≥>+≤+???

??≥>≤12

2020211

1326010111326077

11111111114a d a d a a d a d a a a S 即有由

由①+②得71117-

><-d d

，即13

1-≤d ，

，又Z d d ∈-≤<-

13

1

711 Z a a ∈≤<111210，

所以1a =11或1a =12

故所有可能的数{}n a 的通项公式是：

n a n a n n -=-=1312和（*∈N n ）

点拨：准确灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和公式，提高运算能力。 三、性质的应用

例3：已知等差数列{}n a 中，公差d >0前n 项和为

n S ，且满足：14454132=+=a a a a ，，

①求数列的通项公式； ②设c

n S b n

n +=

，一个新数列{}n b ，若{}n b 也是等差数列，求非零常数c ； ③求1

)25()(++=n n b n b n f （*

∈N n ）的最大

值

解：{}n a 为等差数列，3241a a a a +=+∴=14

3232045a a d a a <>=?，，由又 1495132==∴==∴a d a a ，，， 344)1(1-=-+=∴n n a n

∴数列{}n a 的通项公式为34-=n a n

○

1 ○

2 ○

3

②由①知：

c b c b c b c n n

n c n S b n n n n n S n n n +=

+=+=+-=+=-=?-+

?=315

26112224

)1(132122，，所以所以

因为{}n b 为等差数列，所以321b b b ，，成等差数列，所以

（舍去）

，所以所以02

1

315

1121223

12=-=++

+=++=c c c

c c b b b 故所求非零常数n b c

n 22

1

=-=，且

③1

)25()(++=

n n

b n b n f 的最大值：

36126

25125

26)1(2)25(2)25()(2

1

≤

++=++=+?+=

+=∈+*n n n n n

n n n b n b n f N n n n

， n n 25= 5=n 36

1)(max =n f 点拨：①利用等差数列的“等和性”求出2a ，3a ，

从而求出d a ，1及通项公式；

②先求出n b 的表达式，再由{}n b 是等差数列列出关于c 的方程，解出c

③可利用函数思想，求出)(n f 的最大值。 数学门诊

若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足

21++??=n n n n a a a b （*∈N n ），{}n b 的前n 项和为

n S ，已知083125>=a a ，试问n 为何值时，n S 取

得最大值？并证明你的结论。 错解：因为083125>=a a ，

5

76

,005

56

)7(831555>-=<>-

=+=d a d d a d a a ，所以所以，所以

可知{}n a 是首项为正数的递减数列。

最大．

，所以，又０）（即，由161165

81

5760

57615

76

00S n N n n nd d d n d a a n n =∴∈≤≤∴???????????

?≤+-≥-+-≤≥*

+ 正解：00161716<>=a a n ，时，当

最大。

中故，，即所以且，

，又，，所以，而所以1614161615161518

1518151615151411314181716161716151518171621005

9

056000S S S S b b b b a a d a d a S S S S S S S a a a b a a a b a a a a a n >∴>+<<<=>-=<>>>>>??=>>>>>>

总结提高

1．在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公 式，如在等差数列中，d n m a a n m )(-+=

２．在五个量n n S a n d a ，，，，1中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。

33．已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，

目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了

设

d a d a a 2++，，外，还可设

d a a d a +-，，；四个数成等差数列时，可设为m a m a m a m a 33+--，＋，，

4．在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元的方法的应用。

课堂演练

1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

==12

66331S S

S S ，则（ A ） A ．

103 Ｂ．31 Ｃ．81 Ｄ．9

1

解：

3

1

156331163=++=d a d a S S 021≠=∴d d a 且 10

39027661215611126==++=∴

d d d a d a S S ２．在等差数列{}n a 中132321=+=a a a ，， 则

654a a a ++等于（ B ）

A ．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45 解：133432132=+=+=+d d a a a

42

314342356545==++=?+==∴a a a a a d ，

3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10

或11项的和最大。

解：0912129=-=S S S S ，

003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，

∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵

，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---

成等差数列，公差为D 其首项为

10010=S ，前10项的和为10100=S

110

2210101001022102

9

101010011010100110

-=-?++=∴+=--=∴=??+?∴）（又，S D

S S S D D ５．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕

捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

解：设捕捞n 年后的总盈利为万元，则

102

10102)10(29840242)1(129850max 22

==+--=-+-=?

?

????

?-+--=y n n n n n n n n y 时，所以当

答：捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元。

６．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

001213123<>=S S a ，， ①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

， 中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n

解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=

3

7

24

3

08240)82(2

13

)(213

2)(137

24

07240

)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=

-

>∴>+∴>+=d d d d a a a a a S d d d a 从而又 ②

最大。

，66771376120

00130

)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=

课外练习 一、 选择题

1． 已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10

项的和7010=S ，则其公差d 等于( D )

3

23

131

3

2．．．．D C B A -

- 2． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列

的前n 项和为n T ，且

)(5

393*∈++=N n n n T S n n ，则使

n

n

b a 为整数的所有n 的值的个数有（ C ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

解：n

n

b a =

21234236

651239)12(3221

21

2121121++

=++=+-+-=

=

++=----n n n n n T S b b a a b a n n n n n n

要使

n

n

b a 为整数只需12能被n +2整除， 故n =1，2，4，10，选C

3． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

98763369a a a S S ++==，则，等于( B )

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27 解：69363S S S S S --，，成等差数列

B

S S S S S S S S S S S S S 选45

9

54)(2279)(2336693636

9336=-=--=-∴=-=-+=-∴

4． 已

知

等

差

数

列

{}

n a 中，

12497116a a a a ，则，===+等于（ A ）

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

15

1212

497=∴+=+a a a a a 解：

5． 设F 是椭圆16

72

2=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点

,),2,1(321F P F P F P i P i ，，使

=

组成公差为

d 的等差数列，则d 的取值范围为

??

?

?????????-10100101，， 解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别

为）和（17)17(-+，由题意得：

101001010

101

20

11

2

17)117≤

<<≤-∴≠≤∴≥--=

∴+=-+-d d d d n n d d n 或，又（）（ 三、解答题

6． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知

50302010==a a ，

①求通项n a ；②若n S =242，求n 解：d n a a n )1(1-+=

10

2212501930

950

3011

12010+=∴?

??==∴??

?=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组， 由2

)1(1d

n n na S n -+

=，n S =242 舍去）

或解得(2211242

22

)

1(12-===?-+

∴n n n n n 7． 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运

动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：①设n 分钟后第一次相遇，依题意有：

舍去），解得(20770

52

)

1(2-===+-+

n n n n n n 故第一次相遇是在开始运动后7分钟。 ②设n 分钟后第二次相遇，则：

舍去），解得(281570

352

)

1(2-==?=+-+

n n n n n n 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列

{}

n a 中，，31=a 前n 和

1)1)(1(2

1

-++=

n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式

③设数列?

??

??

?

+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实

数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。 解：①∵1)1)(1(2

1

-++=

n n

a n S []n

n n n n n n n n n n

n n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1)2()1(1

)1()1)(1()1)(2(2

1

1)1)(2(2

1

11212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=

-=∴-++=∴+++++++++++整理得，

n

n n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212))(1()1(2

∴数列{}n a 为等差数列。 ②1)1(311-+==+n n a n na a ，

{}1

22)1(3)1(22

51211212+=?-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列

③)

32)(12(1

11++=+n n a a n n

61

)3

2131(21)

321

12171515131(2132112121<

∈+-=+-+++-+-=∴?

?

?

??+-+=

*n n T N n n n n T n n 时，又当 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥

6

1

，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为6

1。

例1：⑴设首项为)0(1>=a a

a ，公比为q 的等

比数列的前n 项和为80，前2n 项的和为6560，求此数列的首项与公比。

⑵设数列{}n a 的首项4

1

1

≠

=a a ，且

,3,2,1,4

1

,41

,21

121=-=??

??

?+=-+n a b n a n a a n n n n n 记为奇数为偶数

①求32a a ，

②判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论。

解：⑴∵显然q ≠1∴

801)

1(=--q

q a n ①

65601)

1(2=--q

q a n ② ①②两式相除，得

q

aq aq a q q n n n n n 5454818211=====+-即又，

q a 5481=∴ ③

将81=n

q 代入①得a =q －1 ④ 由③④得a =2，q =3

⑵①414112

+=+

=a a a 8

1

212123+==a a a

②∵,8

3

214134+=+=a a a

541111312416411

44a a a a b a a =

=+≠∴=-=-，，

2335111(),424111

()

444

b a a b a a =-

=-=-=- 猜想：{}n b 是等比数列，公比为21。 证明如下：∵4

1

21412121

-=-=++n n n a a b

n

n n b a a 2

1)41(214

1)41(211212=-=-+=

--

即：

211=+n n b b ，∴{}n b 是首项为4

1

-a ，公比为

2

1

的等比数列。 点拨：①运用等比数列的基本公式，将已知条件转化

为关于等比数列的特征量1a ，q 的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前n 项和公式时，应充分讨论公比q 是否等于1；

②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个

数列是等比数列可用

（常数）q a a n

n =+1

恒成立，也可用22

1

++?=n n n a a a 恒成立，若判定一

个数不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法。 二、性质运用 例

2：⑴在等比数列

{}

n a 中，

143613233+>==+n n a a a a a a ，，

①求n a ，

②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=

⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式

n

n a a a a a a -+++=+++292121 )29(*∈

在等比数列{}n b 中，若119=b 则有等式 成立。

解：⑴①由等比数列的性质可知：

n

n n a q q a a a a a a a a a a a a --=?==

∴====>=+=?=?615166

16

16143612)2

1

(32213213211

323332所以，，即所以，解得，又

②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为

2

lg 2

)

11(2)lg (lg 2lg 5lg 2lg )6(2lg lg 116n n n a a T a n a n n n n -=+==-==-所以，

⑵由题设可知，如果0=m a 在等差数列中有

n m n a a a a a a --+++=+++122121 )12(*∈-

等

比

数

列

{}

n b ，则有

q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若所以可以得

出结论，若

n

m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-

n

n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈

点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。 三、综合运用 例

3：已知

),(311+=n n a a a ，点在函数

x x x f 2)(2+=的图像上，*∈N n

①证明数列{})1lg(n a +是等比数列，

②设)1()1)(1(21n n a a a T +++= ，求n T 及数列{}n a 的题项公式，

③记2

11++=

n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并证明：

11

32=-+

n n T S

解：①由已知n n n a a a 22

1+=+，

2

)

1lg()

1lg(),1lg(2)1lg(0102)1(11112

1=+++=+>+>=+=++++n n n n n n n a a a a a a a a 即：两边取对数得：，所以又所以

所以，数列{})1lg(n a +是公比为2的等比数列。 ②:由①知

1

3333333)

1()1)(1(313lg 2)1lg(2)1lg(1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

22

212222212

111-===????=+++==+=+=+-----++++--n n

n n n n n n n n n n a a a a T a a a 所以所以③因为n n n a a a 22

1

+=+，

1111

(2)(2)

n n n n n n a a a a a a ++=+∴

=

+所以

11122n n a a ??=- ?+??

111123122311121212211

21121121111112112312

31

1

122311131n n

n

n

n n n n n n n

n n n

n n n n n n b a a a a a a a S b b b b a a a a a a a a a a a S -+++++∴=+

+=+-??=- ???=++++??=-+-++- ???

??=- ?

??

=-==-??=- ?

-??=--所以

因为，所以

1

3213

1

2--

==-n n n T S T n ，所以又

点拨：本例复习了数列中的有关知识，以函数为起点，

得到数列的递推关系，构造新数列进行解答，求和过程中体现了裂项求和法，这是数列中的经典方法，属于应掌握好的知识。

数学门诊：

已知等差数列{}n a 的首项1a =1，公差d >0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项。

①求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ②设数列{}n a 对*

∈N n 均有

2010

21122

11c c c a b c b c b c n n n +++=++++ 求：成立 解：①由已知有：

1

222112353222145233333

9931

22)1(1)

0(2)131)(1()41(131411----=?=?=?====

====-=?-+=>=++=++=+=+=n n n n n n q b q b b b b q a b a b n n a d d d d d d a d a d a 所以

所以公比，又所以

解得：所以，，

②错解：

1

33

1)

31(2322220102010201021111

122

11122

11-=--=

+++?===-==+++=+++-+--+c c c b c a a b c a b c b c b c a b c b c b c n n n n n n n

n n n n n n 所以

所以，两式相减得：

得

由

②正解：

2010

200920092010211

11

2

1111112211122

113)13(333

1)31(63)2(3

2)1(3

3

31

1)2(322222=-+=--+

=+++???≥?======≥?===-=≥=+++≥=+++--+--+c c c n n c c c a b c

n n b c a a b c n a b c b c

b c n a b c b c b c n n n n n n n n

n

n

n n n n

n 所以

从而所以即时，又，所以时，

两式相减得：时，当得由

点拨：本题易出现求得通项为1

3

2-?=n n c 的错误结论，

也导致求和出现问题，因此条件n ≥2千万不能忽视。 总结提高：

1. 方程思想，即等比数列{}n a 中5个量1a ，

n ，q ，n a ，n S ，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列

方程组求解。

2. “错位相减法”求和是解决由等差数列{}n a 和等比数

列{}n b 的对应项的积组成的数列{}n n b a 求和的常用方法。

3. 对于已知数列{}n a 递推公式n a 与n S 的混合关系式，

利用公式)2(1

≥-=-n S S a n n n ，再引入辅助数

列，转化为等比数列问题求解。

4. 分类讨论思想：当1a >0，q >1或1a <0，0

等比数列{}n a 为递增数列；当1a >0，0

q >1时，{}n a 为递减数列；q <0时，{}n a 为摆动数

列；q =1时，{}n a 为常数列。

1． 在等比数列{}n a 中，

___

,632625161565=+=+=+a a a a a a 则，

解：，365

=+a a

12

34)(2

63)(652020

620

5262510

10

651010

61051615=?=+=?+?=+∴=∴=?=+=?+?=+a a q q

a q

a a a q

q a a q q a q a a a ，

7．一种专门占据计算机内存的计算机病毒开始时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后 45 分钟，该病毒占据内存64KB （1MB=10

2KB ）

解：设病毒自身复制了n 次，即有：

152264221610=∴=?=?n n ，

从而复制的时间分钟）(45315=?=T 三、解答题

8．有四个数成等比数列，它们的积为16，且第4个数与第2个数的比也是16，求这四个数。 解：设这四个数分别为32

,,,aq aq

aq a

16414

11641411641411641414

q 4

1a 16

16

1616

2

643

32，，，或－，，，或，，，或，，，故所求的四个数依次为即所以依题意有-------?????

±=±

=???==????

??==???q q a aq aq aq aq aq a

注意：如果将四个数设为3

3am am m

a m a ，，，将会

漏解。

9．数列{}n a 的前n 项的和为n S (*

∈N n )，点（n a ，

n S ）在直线n x y 32-=上，

①若数列{}c a n +成等比数列，求常数c 的值；

②求数列{}n a 的通项公式；

③求数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等

差数列？若存在，请求出适合条件的项，若不存在，请说明理由。

解：①由题意知，n S =2n a -3n

3

23

3

32322)

1(321111111==++∴+==--=-+-=+++++++c a a a a a a a S S n a S n n n n n n n n n n n 故，即两式相减得：

则

②3321111=∴-==a a S a

由①知，n n n a a 232

)3(31

1?=?+=+-

323-?=n n a 即

③假设存在*

∈N r p s ,,，因为n a 为递增数 列，故设：

）式不成立

（为奇数，而为偶数。

所以

，且因为）

（所以所以（即所以成等差数列，，，，使*∴+<<∈*+=+=-?+-?=-?+=<<-+-*-+-+s r r s p s

r s p r s r

s

p

r

s p r p s r p s N r p s a a a a a a r p s 212,,,2

12

,222)323()323()3232211p

所以这样的三项不存在。

8． 若公比为c 的等比数列{}n a 的首项1a =1，且满

),4,3(2

2

1

=+=--n a a a n n n

①求c 的值，②求数列{}n na 的前n 项和n S 。 解：①由题设，当n ≥3时，

2212

122

122

n n n n n n n n a c a a ca a a c

a a ------=?=++==，

22

222(1)2

102

1

12n n n c a c a c a c c c ---+∴?=

+≠=

==-

由题设知，因此解得或 ②：由①需要分两种情况讨论

当c =1时，数列{}n a 是一个常数列，即n a =1，

（*

∈N n ）这时，数列{}n na 的前n 项和

2

)

1(321+=

++++=n n n S n 。 当c =2

1

-

时，数列{}n a 是一个公比为21-的等比

数列。即)()2

1

(1

*-∈-=N n a n n

这时，数列{}n na 的前n 项和

12)2

1

()21(3)21(21--++-+-+=n n n S ①

①式两边同乘以2

1

-

，得 n

n n n n S )

2

1()21()1()2

1

(2)21(12112-+-?-++-?+-?=-

-

)

(223)1(491)

21(211)21

(1)21()21()2

1

()21(123112*--∈??

?

???+?--=∴--+--=---++-+-+=N n n S n n S n n n n n

n

n n

6.4 数列求和

知识要点

１． 求数列前n 项和的基本方法

⑴直接用等差、等比数列的求和公式求和；

??

?

??≠--==-+=+=)

1(1)

1()1(2

)1(2)(11

11q q q a q na S d

n n na a a n S n n n n 公比含字母时一定要讨论。

{}n a 为无穷递缩等比数列时，q

a

S -=11

⑵错位相减法求和：如{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求n n b a b a b a +++ 221

1的和。

⑶分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 ⑷

合

并

求

和

：

如

求

22222212979899100-++-+- 的和。

⑸裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：

)!

1(1

!1)!1(!)!1(!)2)(1(1

)1(121)2)(1(112112121)12)(12(11

1

1)1(1+-

=+-+=???????++-+=++?

?

?

??+--=+-+-

=+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ⑹

公式法求和：

2

1

3

122)1(6

)

12)(1(?

?????+=++=

∑∑==n n k n n n k n

k n

k ⑺倒序相加法求和

⑻其它求和法：如归纳猜想法、奇偶法等。

典例精析

一、 错位相减法求和 例1：求和：n n a

n

a a a S ++++=

32321 解：⑴

2

)

1(3211+=

+++==n n n S a n 时， ⑵01≠≠a a

时，因为

n n a n

a a a S ++++= 32321 ① 1

321211++-+++=n n n a n a n a a S a ② 由①－②得：

???

????≠----=+=----=

---=-+++=-++)

1)1()1()1()1(2)1()1()

1()1(11)

11(1111)11(2211

2a a a a n a a a n n S a a a n a a S a n a

a a

a

n a a a S a n n

n n n n n n n n n 综上所述，

所以

点拨：①若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，

则求数列{}n n b a ?的前n 项和时，可采用错位相减法；

②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为

1进行讨论；

③当将n S 与q n S 相减合并同类项时，注意错

位及未合并项的正负号。

二、 裂项相消法求和 例

2

：

数

列

{}

n a 满足

1

a =8，

022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ）

①求数列{}n a 的通项公式；

②设)()

14(1*∈-=

N n a n b n n

n n b b b T +++= 21（*∈N n ）若对任意非零

自然数n ，32

m

T n

>

恒成立，求最大的整数m 的值。 解：①由

212=+-++n n n a a a 知

n n n n a a a a -=-+++112，

从而可知数列{}n a 为等差数列，设其公比为d ，

则21

41

4-=--=

a a d 所以，n a =8＋（n －1）×（－2）＝―10－2n

②32)2(41)1(4183)2111211(41)211()4121()3111(41)211(41)

2(21

)14(121m n n n n n n b b b T n n n n a n b n

n n n >+-+-=+-+-+=??????+-++-+-=

+++=+-=+=

-=

所以

对一切*

∈N n 恒成立。

316

31621811812)2

8

18122

81812min <

=

+-+-=

+-+-∈∈+-+-

<∴**m n n N n N n n n m 所以，（对恒成立。对一切故

m 的最大整数值为5。

点拨：①若数列

{}

n a 的通项能转化为

)()1(n f n f -+的形式，常采用裂项相消法求和。

②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。 三、 奇偶分析法求和

例3：设二次函数[]

1

)(2

+∈+=n n x x x x f ，，当（*

∈N n ）时，)(x f 的函数值的所有整数值的个数记为)(n g 。①求)(n g 的表达式；②设

,

)1()()

(32143212

3n n n n a a a a a S N n n g n n a -*-++-+-=∈+=

，

求n S

解：①[]

1)(2

+∈+=n n x x x x f ，，当（*

∈N n ）

时，

函数x x x f +=2

)(是增函数，则)(x f 的值域为

[]

)

(3

21

)()23()(232222

**∈+=++-++=∈+++N n n n n n n n g N n n n n n

），所以

（，

②22233

2)

32()(32n n n n n g n n a n =++=+=

[]

[]2)

1()1(2

)

1(2)1()()()(22)1()1()43()21()1()43()21(11

212432122222214321+-=+=+--

=+-++-+-=+-

=+-+++++-=--++-+-=-++-+-=----n n S n n n n n a a a a a a a S n n n n n n n a a a a a a S n n n n

n n n n

n n 综上所述：为奇数时，

当为偶数时，

当。。

点拨：先从偶数入手，求得n S ，而当n 为奇数时，则

n －1为偶数，利用n n n a S S +=-1求解。

数学门诊

已知n S 为数列

{}

n a 的前n 项和，且

*∈--+=N n n n a S n n ，2322

①求证：数列{}n a n 2-为等比数列；

②设πn a b n n cos ?=，求数列{}n b 的前n 项和n P 。 解：①令n =1，则

2

2)

1(20212)2(2)1(22

22222222222)1(3)1(2232423121111111121121111=-+-≠=?--=+-+-=-+-=-+-=--+-++=∴--+==∴=--+=+++++++++n a n a a n a n a n a a n a a a n a a S S n n a S n n a S a a a S n n n n n n n n n n n n n n n n n 所以

又，所以即

两式相减得：

又

所以数列{}n a n 2-是以2为首项，2为公比的等比数列。

②错解：由①知，n

n n a 22=-

)

1(22)

1(2

1)21(2)21(2)22222222122(cos )22(221212121++-=++--=+++++++=+++?++?+=+++=∴

+=+=+n n n n n n b b b P n n b n a n n n n n

n n n n n （）（）（）所以，所以π

由于在解题过程中出现1cos 1cos -==ππn n 或的情况，导致此种错误原因，是忽略了对n 的奇偶情

况的讨论。

正解：由①知，n

n n a 22=-

[]

[][]

n n

n n n n b b b P n n n b n a n n n n n n n

n n n n n +-=++---=+--+-+-++-+-+-=?++-?+-+?+-?++?+-=+++=+=+=--)12(3

2

21)2(12)1(3212)22222()22()1(22)322()222()122(cos )22(221321132121 为偶数时，当所以，所以π

1n n n n P P b -=+当为奇数时，

1

2(21)(1)(22)312

21223322

2(1)

332(21)(1)

3n n n n n n

n n n n n n -=

-+--+=?-+---=-?--+=-+-+ 2(21)32(21)(1)3

n

n n n n P n n ?-+??=?

?-+-+??综上：

（为偶数）（为奇数）

总结提高

1．常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，

分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键。

2． 数列求和实质就是求数列{}n S 的通项公式，它几

乎含盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练。 ①求通项公式{}n a

②求数列{}n a 前n 项和n S

解：①因为2222=-∴+=---n n n n a a a a

由此可知，

{}n a 的ji 奇数项和偶数项分别构成等差数列

[]

n

n n n n a n n a a n n n

a a n )1(12)12

1

(2

2)12(12-++==?-++=+=?-+=综上，为奇数，则若为偶数，则若

②当n 为偶数时，

232)1(2

2321)

2()24()03()22()01(2n n n n n n

n n S n +=

++=?

+++++=++++++++++=

当n 为奇数时

[]

2

1)1(32

)1(13)(223)(232

232

)

1(3)1(2122

2221--++=

-+-+=

???

????-++=-+=

+-+-=+=--n n n n n n n n n n n n n n n

n S n n n

n n a S S 为奇数为偶数故 1． 在等差数列{}n a 中，1a =1，前n 项和n S 满足

，，，211

2

42=++=n n n S S n n ①求数列{}n a 的通项公式 ②记)0(>=p p a b n

a n n ，求数列{}n

b 的前n 项和n T 。

解：①设数列

{}

n a 的公差为

d ，由

，，，211

2

42=++=n n n S S n n 1

)

1(22

)(22)(12412311212212

1+++=

+++=

=++=-===+n n n n n

n

a n a n

a a n

a nd a S S n n a a d a a a a 又

即，所以得

所以n a =n ②由)0(>=p p

a b n

a n n ，有n n np

b =

所以n

n np p p p T ++++= 3

2

32 ①

2

)

1(1+=

=n n T p n 时，当 时，

当1≠p 132)1(2++-+++=n n n np p n p p pT ②

①－②得

???????

≠----=+=--

--=---=-+++=-++++)

1(1)

1()1()1(2

)1(1)1()1(1)1()1(121

21

1

2p p np p p p p n n T p np p p p T np p

p p np p p p T p n n

n n n n n n n n n 即：所以

课外练习 １． 数列

{}

n a 的前n 项和为n S ，若

5)

1(1

S n n a n ，则+=

等于（ B ）