葡萄酒质量评价模型

葡萄酒质量评价模型

摘要

葡萄酒质量的高低评估是通过评酒专家对葡萄酒的感官评分来体现。酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标一定程度上反映了葡萄酒的质量。

问题一，首先对附件1的数据进行预处理，分别求得评酒员关于样品酒的4组平均得分，在此基础上，利用F检验，发现不管对于红葡萄酒还是白葡萄酒，两组评酒专家的评分结果都存在显著的差异。此外，建立了评价可信度的层次分析模型，发现第二组评酒员的评分更加可信。

问题二，运用主成分分析对酿酒葡萄的30个理化指标进行降维，主成分降维后减少了变量间的重叠部分，然后通过Q型聚类对酿酒葡萄酒的样品进行归类，利用问题一中第二组评分数据，得到每一类样品的平均得分，通过得分的大小来分等级。

问题三，建立了酿酒葡萄与葡萄酒理化指标的典型相关分析模型，得出酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间有着密切的联系。如：红葡萄与红葡萄酒的理化指标

的第一典型相关系数(1)

1=0.99

r，第一典型变量)1(

1

u可以解释29.9%红葡萄理化指标组内变差，并解释39%红葡萄酒理化指标的变差；其两者的相关系数相互解释每组内的变差。

问题四，对于酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，本文先通过线性回归做初步的分析，然后运用TOPSIS模型进行了进一步的分析，得到葡萄和葡萄酒的理化指标不一定能评价葡萄酒的质量，但有一定的联系。

关键词：F检验；主成分分析；Q型聚类；样品典型相关分析；TOPSIS模型

1、问题提出

葡萄酒是用新鲜的葡萄或者葡萄汁经发酵酿成的酒精饮料。质量评价主要通过外观、香气、口味、典型性体现。所以确定葡萄酒的质量一般通过聘请一批有资深的评酒员对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄

和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

2、问题分析

问题一：要求找出两组评酒专家的评分结果的差异性，可以选用方差分析当中的F 检验体现评酒结果的显著性。若无差异性则都可信，若存在差异性是可以通过引入评价可信度的方法，找出到底哪一组更加的可信。

问题二：葡萄酒质量高低与酿酒葡萄的优劣有直接的关系，通过主成分的方法进行变量的降维，后对样品进行Q 聚类，求出每类的均值后进行评级。

问题三：酿酒葡萄跟葡萄酒的理化指标关联密切，个别的理化指标是其重要的成分，此过程通过了样品典型相关分析来分析得出。

问题四：酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，可以通过酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标与葡萄质量之间的相关性得到，若存在相关性可以通过回归思想实现。

3、符号说明

(n)

,j k s ：第k 组的第j 个样品的n 颜色葡萄酒总平均分

(n)k ：第k 组n 颜色葡萄酒总平均分的均值

n ：葡萄颜色，n=1 表示红色，n=2 表示白色

)(,n j i x ：第i 个样品的n 颜色酿酒葡萄的第j 个一级理化指标的含量

4、模型基本假设

（1）每一种葡萄酒的生产工艺是大致相同。 （2）葡萄的质量决定葡萄酒的质量。

（3）相应的葡萄酒是由相应的酿酒葡萄酿制得到。

（4）评酒员的个数足够多，评酒总平均分数能充分反映葡萄酒的质量。

5、模型的建立与求解

5.1数据的预处理和初步分析

通过对附件一中数据表的初步的观察，我们发现，表中存在好几处的数据异常的情况，比如：第一组白葡萄酒中的样品三7号评酒员在浓度指标中的评分为77，明显的不正确。本文遇到类似的情况用本行的均值代替原来数据。

为了评价一种葡萄酒的好坏，通常的做法是由感官评酒专家根据国际葡萄与葡萄组积（OIV）的评价方法对葡萄酒的澄清度、色度、纯净度等方面进行打分，最后将个方面得到总分的方法对葡萄酒的好坏进行评价。

通过对附件1的分析，对同一个样品分两组评酒专家每组10名，分别对27个红葡萄酒的样品和28个白葡萄酒的样品进行了评价。本模型采取10个评酒专家对同一个样品的总评价得分的平均值作为该样品的最后得分。

数据部分如表1所示。

表1：样品评分均值

图1和图2可以直观地反映上述数据：

图1：红葡萄酒的平均得分

图2：白葡萄酒的平均得分

由于上述数据是由专家的感官评价得分获得的，在实践中，由于各种因素的共同影响下，专家组成员间和组间之间存在异质性。造成异质性的主要原因有：评价尺度的差异、评价位置的差异、评价方向的差异这三个方面。

5.2方差分析—F检验

对同一个样品由两组不同的评酒专家分开独立地进行评价。为了反映出两组评酒专家评价的结果是否存在较大的差异性，本文利用F 检验对两组评酒专家的评价结果作显著性检验。 5.2.1模型的建立 Step1:模型的假设

两组评酒专家的评价得分可作为同一因素下的不同水平，对不同样品的评

分可作为样本观察值(),n k j s 。

取原假设为： (n)

2(n)10:μμ=H ；

样本的观察值可以分解为：,)(,)()(,n j k n k n j k s εμ+= 其中：),0(~2

)(,σεN n j k

红葡萄酒的情况下：n=1时27,,1 =j ，白葡萄酒时： n=2时28,,1 =j Step2:构造F 统计量 2()

()()(),,11j 1

11 , s 2m m n n n n k

k j k j j k s

s s m m =====∑∑∑ )(n k s 是第k 组数据的组平均值，)(n s 是总平均值。考察全体数据对)(n s 的偏

差平方和： 2

)(2

11)(,)()-()

(n k i j n j k n T s

s L n ∑∑=== 对上述的式子分解可得：

2

)(2

11

)(.2

)()(2

1)()

()-()-(L

)

n k k i

j n j k n n k

k n n T

s s s s

i n ∑∑∑===+=（ 记： 2

(n))(2

1

)

()

()s -(L

n k

k n n A

s

i ∑== 2

)(k 2

11

)(,)()-()

(n k i j n j k n E

s s L

n ∑∑=== )(n A L 是各组均值对总方差的偏差平方和，)(n A L 反映两组品酒员间的差异

)(n E L 是各组内的数据对均值偏差平方和的总和。)(n E L 则表示在同一组品酒员下的

随机误差的大小。

由2χ分布的可加性知： ))1-(2(i ~/(n)22)(χσn E L

对）

n L (A 进一步分析可得：

2)(2

1

(2

)

()(E n k k n n A

i L

ασ∑=+=）

当0H 成立时，该比值服从自由度1，2-2)(n i 的F 分布，即：

)2-2,1(~)

2-2/()

()

()()(n n n E n A i F i L L F = 为检验0H ，给定显著性水平α，记F 分布的α-1分为数为))2-(,1()(-1n i F α 若：))2-2(,1()(-1n i F F α<则接受0H ，否则拒绝。 5.2.2模型的求解

本模型F 检验的显著性水平取：010.=α ，由matlab 求解可得：

05.00497.0))1((1)1(=<==αx anova p 拒绝0H

对于红葡萄酒两组的评分存在显著性差异。

(2)1((2))0.01360.05p anova x α==<= 拒绝0H

对于白葡萄酒两组的评分存在显著性差异。

综上所述，对于两种葡萄酒，两组专家的给分都存在着显著性的差异。 5.3判断可信度的层次分析模型

从上述的模型可以看出第一组品酒员和第二组品酒员对于红葡萄酒和白葡萄酒的评价具有显著性差异，葡萄酒质量评价结果可信程度直接关系到消费者的利益和市场对葡萄酒的科学管理。那么对于上述两组评酒专家的评价结果，我们关心的是到底哪一组的可信度比较高，从而选择接受哪一组的评价的结果，为了能更好地反映出两组数据的可信度，我们引入了判断可信度的层次分析模型，对

(1)1s 、(2)1s 、(1)2s 、(2)

2s 分配一个可信度权重从而得到一个排序，可以得到四种情况

下的可信度排序。 5.3.1模型的建立

Step1：根据评分的极差矩阵和可行度评估标度确定判断矩阵

本模型在上述的数据的基础上选择每一种情况下的极差为：

()(n)(n)

-max -min =-n k k k s s θ

其中：(n)-max k s ， (n)

-min k s 为每一种情况下的最大和最小

上述的极差能够很好地反映出每一组评酒专家的总评分的差异，这个差

异可以再一定的程度上体现出这组评酒专家的可信度。

根据每两种情况下的差异矩阵

(1)(1)

(1)(2)

(1)(1)(1)(2)11111212(2)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(2)11111212(1)(1)

(1)(2)(1)(1)(1)(2)21212222(2)(1)(2)(2)(2)(1)

(2)(2)21212222--------=--------θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ??

??

??

??

??

??

?

?

根据可行度评估标度，如表2所示。

表2：可行度评估标度

评估标度值

含义 0 判断完全无把握 0.2 判断非常无把握 0.4 判断比较无把握 0.6 判断比较有把握 0.8 判断非常有把握 1

判断完全有把握

0.1,0.3,0.5,0.7,0.9

表示相邻评估的中间值

根据差异矩阵的每个数据的差异程度的大小反映在可信度评估标度表上，以差异越小相互可信度越大为标准可以得到判断矩阵C

Step2:权重的分配

判断矩阵的最大特征值为：max λ 相应的特征向量为：η 所以得到权重向量：ω Step3:一致性检验

计算一次性指标：max --1

n RI n λ'=

相应的随机一次性指标RI 可以通过查表获得。

计算一次性比率：CI CR RI

=

若<0.1CR ，那么对一次性检验通过。 5.3.2模型的求解

通过matlab 的计算可以得到极差矩阵为：

0.0013.0015.1017.50-13.000.00 2.10 4.50=-15.10-2.100.00 2.40-17.50-4.50-2.400.00θ????

?

???????

通过上述的差异根据可行度评估标度得到了判断矩阵为：

1

0.10.10.11/0.110.60.2=1/0.11/0.610.41/0.11/0.21/0.41C ?????

???????

可以得到：=4.24λ，=(-0.05,-0.27,-0.40,-0.88)η

权重向量为：=(0.04,0.08,0.13,0.76)ω

上述的结果表明：无论是红葡萄酒还是白葡萄酒第二组的分配的权重都比对应的第一组的权重都要高，所以可以得到最后的结论为：第二组的评价结果比第一组的评价结果更为可信。 5.4主成分模型

附件二给出了和红葡萄27个样品和白葡萄28个样品的30项的理化指标数据，我们发现有部分的指标之间有一定的相关性，为了尽量排除指标间重叠部分对葡萄质量的重复的影响带来的误差，本文采用主成分的方法相对30个变量进行降维，提取出30个变量的主要成分。 5.4.1模型的建立 Step1:数据标准化处理

(n),i j x 表示第i 个样品第j 个指标的取值

其中：=1,2n 分别表示红葡萄和白葡萄 标准化后的数据为：(n)(n)

,(n)*

,(n)-=

i j j

i j

j

x x x

s

其中： (n)j x 为第j 理化指标的均值，(n)j s 为第j 理化指标的方差

Step2:计算相关系数矩阵 根据相关系数的定义：

可以得到每两个指标之间的相关系数：

00(n)(n)(n)(n)

=1

1

2

(n)(n)2(n)(n)2=1=1(x

-x )(x -x )

=

(x -x )(x -x )n ij j ik k i jk n n ij j ik k i i r ????

??

∑∑∑

Step3:寻找主成分

相关系数矩阵排序后的的特征值为：12>>

>j λλλ

特征值对应的特征向量为：12=(,,)j ηηηη 用新的变量作为主成分取代原来的数据：

得到k 个主成分矩阵形式为：()

(n)=n k

k z x η，累加贡献率为： (n)

=1

=1

=k

i

k

j

i n

n λσλ

∑

∑

5.4.2模型的求解

（1）对红葡萄数据的求解

通过matlab 的求解可以得到红葡萄指标可以降到14个主成分 部分数据如下所示：

(1)(1)(1)(1)(1)

112

330=-0.142-0.232+0.053+0.052z x x x x (1)(1)(1)(1)

(1)2113

30=0.245x -0.225-0.179+0.220z x x x

(1)(1)(1)(1)

(1)

14123

30z =-0.056x -0.045-0.145-0.050x x x

对红葡萄的主成分解释如表3所示：

表3：红葡萄主成分解析表

（2）对白葡萄酒的求解

通过matlab 的求解可以得到红葡萄指标可以降到14个主成分 部分数据如下所示：

(2)(2)(2)(2)(2)

112

330=0.223+0.042-0.086+0.275z x x x x (2)(2)(2)(2)

(2)2113

30=0.105x +0.304-0.052+0.084z x x x

(2)(2)(2)(2)(2)

15123

30z =-0.155x -0.161-0.029-0.027x x x

对红葡萄的主成分解释如表4所示：

表4：白葡萄主成分解析表

（3）对主成分的解析

本文根据需要分别对红葡萄和白葡萄的30个理化指标经主成分分析后，得到14个主成分和15个主成分，累计贡献率可达到95.61%和95.30%。

表中数据表明酿酒葡萄的理化性质对酿酒葡萄的优劣有很大的贡献作用。我们进一步对表3进行分析可以知道：对于红葡萄，第一主成分是花色苷、DPPH 自由基、总酚；第二主成分是总糖、干物质含量；第三主成分是白藜芦醇、可滴定酸说明这些物质比较具有代表性。对表4进行进一步分析可知：第一主成分是可溶性固形物、干物质含量；第二主成分是总酚、葡萄总黄酮；第三主成分是可滴定酸、固酸比、L*、b*（+黄；-蓝）。说明这些物质依次对白葡萄具有代表性。

5.5聚类模型

我们的目的是为了对不同的样品进行评级，本模型先通过最远距离法分别对红葡萄和白葡萄的样品进行聚类，体现样品之间的差异后，然后对聚类的样品分在同一个等级。

5.5.1Q聚类模型的建立

每个样品可以看做j维空间的一个向量

本模型使用欧氏距离定义每两个样品之间的距离d

每两个样品(n)(n)

x,x

i k 之间的距离定义为：0

1

2

2

(n)(n)(n)(n)

,,

=1

(x,x)=x-x

n

i k i j k j

j

d

??

??

??

∑

两个类别之间的距离使用最长距离法：

则：{}

(n)

1

(n)

2

(n)(n)

12

x

x

D(G,G)=max d(x,x)

i

k

i k

G

G

∈

∈

5.5.2模型的求解

运用spss软件求解可得聚类图，如图3与图4所示

图3：红葡萄的样品聚类图

图4：白葡萄的的样品聚类图

5.6葡萄质量的等级模型

酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，从上述的聚类图可以根据葡萄酒样品的聚类结果和葡萄酒的品分均值进行了等级的划分。

表5：红葡萄酒样品聚类表

类别样品平均得分

4、6、7、11、12、1

5、18、19、20、22、

69.17

1

23、3

1、2、5、8、9、10、13、14、16、17、24、

2

71.16

25、26、27、21

表6：白葡萄酒样品聚类表

上述的归类可以把红葡萄酒样品分为好、差两类，白葡萄酒归为五类为：很好、好、中等、差、很差。 5.7典型相关系数模型 5.7.1模型的建立

Step1：计算相关系数矩阵)(n R

将)

(n R

相应剖分为???

? ??=)(2,2)(1,2)(2,1)

(1

,1)

(n n n n

n R R R R R

其中：

)

(2,2)(1,1,n n R R 分别为n 颜色葡萄理化指标变量和n 颜色葡萄酒理化指标变量的相

关系数阵。

(n)1,2)(2,1R R n =为n 颜色葡萄理化指标与n 颜色葡萄酒变量的相关系数阵。

Step2:求典型相关系数及典型变量

可得：)

(1

,21

12,2)(2,11n 1,1n)1R M n n R R R ---=）（（的特征根2i λ和特征向量i a 。)

(2,11

11,1)(1,21n 2,2(n)2R M n n R R R ---=）（ 的特征根2)()(n i λ，特征向量)(n i

b ，则有则典型变量为

)

()()

()()()()()(2)()()(2)()()(1)()()(1)(,;,,;,2211n n t n n n t n n n n n n n n n n n n n Y b v X a u Y b v X a u Y b v X a u t

t ====== Step3:典型相关系数i λ的显著性检验。 Step4:典型结构与典型冗余分析。

根据典型结构可以计算任一个典型变量k u 或k v 解释本组变量X (或Y)总变差的百分比);(k d u X R 。

同时可求得前t 个典型变量t u u ,,1 （或t v v ,,1 ）解释本组变量X (或Y)总变差的累计百分比);(k d u X R 典型冗余分析用来研究典型变量解释另一组变量总变差百分比的问题。第二组典型变量k v 解释第一组变量X 总变差的百分比);(k d v X R 。 5.7.2模型的求解

酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标的联系分析

将附录2 经过处理的指标数据利用matlab 软件的canoncorr 函数进行处理，得出如下结果。

典型相关系数及其检验如表 7所示：

表7：典型变量相关系数

由上表可知，红葡萄和红葡萄酒理化指标的前两个典型相关系数均较高，表明相应典型变量之间密切相关。白葡萄与白葡萄酒的第一个典型相关系数较高，表明相应典型变量之间密切相关。但要确定典型变量相关性的显著程度，尚要进行相关系数的2χ统计量检验，具体做法是：比较统计量2χ计算值与临界值的大小，据比较结果判定典型变量相关性的显著程度。其结果如表8所示

表8 相关系数检验表

从上表看着9、7对典型变量中葡萄与葡萄酒的理化指标的典型变量中红色的第一和第二典型变量、白色的第一典型变量均通过了2χ统计量检验。

红葡萄和红葡萄酒的理化指标的相关性很高，第一典型相关系数为0.99.它比红葡萄和红葡萄酒的理化的任一相关系数都高。检验总体中除了第一和第二典型相关系数外。其他的都没有通过检验。第二典型系数为0.92。因此，两组变量的相关性的研究转化为研究第一对和第二对典型相关变量的相关性。

白葡萄和白葡萄酒的理化指标的相关性很高，第一典型相关系数为0.92.它比

白葡萄和白葡萄酒的理化指标的任一相关系数都要高。检验总体中除了第一典型相关系数外。其他的都没有通过检验。因此，两组变量的相关性的研究转化为研究第一对典型相关变量的相关性。

鉴于原始变量的计量单位不同，不宜直接比较，本文才用标准化的典型系数，给出典型相关模型，如表9所示：

表9 ：典型相关模型

由表9 第一 组典型相关方程可知，红葡萄酒的理化指标的第一典型变量

(1)1v 与(1)

4

y 呈高度相关，说明在红葡萄酒的理化指标中，(1)4y 占的比重比较大。白葡萄酒的理化指标的第一典型变量)2(1u 与)

2(7y 呈高度相关，说明在红葡萄根据第二组典型相关方程，(1)6a 是红葡萄理化指标的主要成分。所以总体上红葡萄理化

指标的主要因素按重要程度依次是 (1)(1)(1)(1)

9348,,,a a a a ；反应红葡萄酒主要理化指标是(1)(1)(1)(1)

4

936,,,.y y y y 典型冗余分析：通过典型变量解释另一组变量总变差百分比的关系，来解释本组变量的信息，还解释另一组变量的信息，典型冗余分析结果如表10所示：