等比数列的概念公开课ppt课件
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等比数列的概念ppt课件
P:表示本金；r:表示年利率； n:表示本金存储年限；F:表示最终取款. 假设银行存款期利率不变，那么可以把存款模型表示为 单利模型：F=P(1+nr); 复利模型：F=P(1十r)n 一般情况下，存款利率是一个正数.因此，在上述两个模型中的基本系 数1十nr和1+r都是大于1的，这说明最终取款F都是年限n的增函数.虽然指 数形式的增函数比线性形式的增函数增加的快，但这个性质针对的是同样 的利率.事实上，银行在设计利率时充分考虑到这个性质.必须注意到，上 述两个模型中的年利率是不一样的，存款年限越长的年利率越高.通过例1 可以看到，这个差异还是比较大的.
例1 李先生有3万元闲置资金，打算在某银行定期存款三年.该银行参考央行 公布 的利率，确定利率一年期为2.07%，三年期为3.75%.现在李先生有两种 存款方式可供 选择，一种方式是整存整取三年定期；另一种方式是一年后取 出本金和利息，转存两次.假设存款期内年利率不发生变化，李先生应该选用 哪种存款方式呢?
股票 基金
债券 房地产
1.含义：
一、储蓄存款
谁在存？
居民个人
存什么？
人民币或外币 （合法拥有）
到哪里存？有什么凭证？
储蓄机构 存折、存单等
有何好处？
支取本金+获得 （存款）利息
唯一收益
储蓄存款的分类
活期储蓄 •储户可以随时存入和提取、不规定存期、存 款金额和次数不受限制的储蓄方式。 •事先约定期限、存入后不到期一般不得提前
分析：两种方式主要区别在于计息方式，通常称第一种方式为单 利计息，第二种方 式为复利计息.
例1 李先生有3万元闲置资金，打算在某银行定期存款三年.该银行参考央行 公布 的利率，确定利率一年期为2.07%，三年期为3.75%.现在李先生有两种 存款方式可供 选择，一种方式是整存整取三年定期；另一种方式是一年后取 出本金和利息，转存两次.假设存款期内年利率不发生变化，李先生应该选用 哪种存款方式呢?
例1 李先生有3万元闲置资金，打算在某银行定期存款三年.该银行参考央行 公布 的利率，确定利率一年期为2.07%，三年期为3.75%.现在李先生有两种 存款方式可供 选择，一种方式是整存整取三年定期；另一种方式是一年后取 出本金和利息，转存两次.假设存款期内年利率不发生变化，李先生应该选用 哪种存款方式呢?
股票 基金
债券 房地产
1.含义：
一、储蓄存款
谁在存？
居民个人
存什么？
人民币或外币 （合法拥有）
到哪里存？有什么凭证？
储蓄机构 存折、存单等
有何好处？
支取本金+获得 （存款）利息
唯一收益
储蓄存款的分类
活期储蓄 •储户可以随时存入和提取、不规定存期、存 款金额和次数不受限制的储蓄方式。 •事先约定期限、存入后不到期一般不得提前
分析：两种方式主要区别在于计息方式，通常称第一种方式为单 利计息，第二种方 式为复利计息.
例1 李先生有3万元闲置资金，打算在某银行定期存款三年.该银行参考央行 公布 的利率，确定利率一年期为2.07%，三年期为3.75%.现在李先生有两种 存款方式可供 选择，一种方式是整存整取三年定期；另一种方式是一年后取 出本金和利息，转存两次.假设存款期内年利率不发生变化，李先生应该选用 哪种存款方式呢?
数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念(共22张ppt)
以此类推，可得：
1 + ，(1 + )²， (1 + )3 ，(1 + )4 ， (1 + )5 ； ⑥
9，92 ， 93 ，…， 910 ；
①
100，1002 ， 1003 ，…， 10010 ；
②
5，52 ， 53 ，…， 510 .
③
1
1 1
1
1
， ， ， ， ….
2
+1
= ，( ∈ ∗ )
公比的取值范围是什么？
追问1：由等比数列的定义，判断下列数列是不是等比数列.如果
是，请写出它的公比.
（1）1，1.1，1.21，1.331，1.4641. ；
（2）0， 2，0， 2；
（3）4，-8，16，-32，64，-128；
（4）5，5，5，5，5，5.
2
1
=
3
9，
2
= 9，…
10
9
= 9.
这表明，数列①有这样的取值规律：
从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.
请说出其他数列的取值规律，并总结该规律.
100，1002 ， 1003 ，…， 10010 ；
②
5，52 ， 53 ，…， 510 .
③
1
1 1
1
1
， ， ， ， ….
2
4 8
裂产生的后代个数依次是：
2，4，8，16，32，64，……
⑤
4.某人存入银行元,存期为五年,年利率为,那么按照复利,他五年
内每年末得到的本利和分别是：
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息
存入元，第一年末 + �� = (1 + )元；
1 + ，(1 + )²， (1 + )3 ，(1 + )4 ， (1 + )5 ； ⑥
9，92 ， 93 ，…， 910 ；
①
100，1002 ， 1003 ，…， 10010 ；
②
5，52 ， 53 ，…， 510 .
③
1
1 1
1
1
， ， ， ， ….
2
+1
= ，( ∈ ∗ )
公比的取值范围是什么？
追问1：由等比数列的定义，判断下列数列是不是等比数列.如果
是，请写出它的公比.
（1）1，1.1，1.21，1.331，1.4641. ；
（2）0， 2，0， 2；
（3）4，-8，16，-32，64，-128；
（4）5，5，5，5，5，5.
2
1
=
3
9，
2
= 9，…
10
9
= 9.
这表明，数列①有这样的取值规律：
从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.
请说出其他数列的取值规律，并总结该规律.
100，1002 ， 1003 ，…， 10010 ；
②
5，52 ， 53 ，…， 510 .
③
1
1 1
1
1
， ， ， ， ….
2
4 8
裂产生的后代个数依次是：
2，4，8，16，32，64，……
⑤
4.某人存入银行元,存期为五年,年利率为,那么按照复利,他五年
内每年末得到的本利和分别是：
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息
存入元，第一年末 + �� = (1 + )元；
4.3.1等比数列的概念PPT课件(人教版)
3.在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求a1和公比q.
4.对于数列{an },若点(n,an )(n N )都在函数y cq2的图象上,
其中c,q为常数,且c 0,q 0,q 1,试判断数列an是否是
等比数列,并证明你的结论.
5. 已知数列an是等比数列
（1）a3，a5，a7是否成等比数列？为什么？a1，a5，a9呢？
②
5, 52 , 53 , , 510.
③
古巴比伦人用60进制记数，这里转化为十进制.
2.《庄子·天下》中提到：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭.”如 果将“一尺之棰”的长度看成单位 “1”，那么从第1天开始，各天得 到的“棰”的长度依次是
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，…
④
2 4 8 16
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min 就通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开 始，各次分裂产生的后代个数依次是
f (n).
反之，任给函数f ( x) ka x (k,a为常数, k 0,a 0,且a 1),则f (1) ka，f (2) ka2， ，f (n) kan， 构成一个等比 数列{kan }，其首项为ka，公比为a.
例1 若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，
求an的第5项. 解分法析1：：等由比a4数 列48，ana6由 a112，，q得唯一确定，可利用条件
推导一：归纳法
设一个等比数列an 的公比为q.根据等比数列的定义，可得
an1 an q.
所以
a2 a1q, a3 a2q (a1q)q a1q2 , a4 a3q (a1q2 )q a1q3 ,
不完全 归纳法
数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念(共16张ppt)
等比数列的概念
课堂游戏
找出一张纸，将其对半翻折，重复几次，你能发现什 么规律？
引入新知
找规律
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字母 d 表示．
课堂典例
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，13，16，19，112，…； (2)23，232，233，234，…； (3)1,0,1,0,1,0，…；
(4)1，－4,16，－64,256，…；
(5)a，a，a，a，a….
课堂典例
例 2 5－2 和 5＋2 的等差中项与等比中项分别为
形成概念
思考：类比等差中项的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比中项的概念吗?
等比中项的概念
若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． 此时，G2＝ab．
概念辨析
想一想，类比推理
类比等差数列通项公式的推导过程，你能根据等比数 列的定义式推导它的通项公式吗？
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母 q 表示．
概念辨析
想一想，类比推理
对比等差数列，请同学们互相探讨等比数列的项、公 比 q 有无条件限制？等比数列的单调性如何？
A. 5，±2
课堂游戏
找出一张纸，将其对半翻折，重复几次，你能发现什 么规律？
引入新知
找规律
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字母 d 表示．
课堂典例
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，13，16，19，112，…； (2)23，232，233，234，…； (3)1,0,1,0,1,0，…；
(4)1，－4,16，－64,256，…；
(5)a，a，a，a，a….
课堂典例
例 2 5－2 和 5＋2 的等差中项与等比中项分别为
形成概念
思考：类比等差中项的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比中项的概念吗?
等比中项的概念
若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． 此时，G2＝ab．
概念辨析
想一想，类比推理
类比等差数列通项公式的推导过程，你能根据等比数 列的定义式推导它的通项公式吗？
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母 q 表示．
概念辨析
想一想，类比推理
对比等差数列，请同学们互相探讨等比数列的项、公 比 q 有无条件限制？等比数列的单调性如何？
A. 5，±2
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式课件(共34张PPT)
例3 在等比数列{an}中.
②要判(定1每)一已项，知不能有a例2外＝. 4，a5＝－21，求 an；
解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，
a q＝4， 题型二 等比数列通项公式的应用
a与b的等比中项有 个，且互为__
解 设等比数列的公比为 q，则 网课结束日，学校见面时。 1 若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列. a q ＝－ . 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 2 (3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
D.①②③④
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； 证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
(2)－1,1,2,4,8，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵aa21＝－1≠aa32＝2， ∴此数列不是等比数列. (3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…， 显然此数列为等比数列，且公比为a.
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
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an an 1b bn n1aa11 bb11((qq11 qq22))nn 1q1q2.它是一个与n无关的常数，
所以 an bn是一个以 q.1q2 为公比的等比数列
回顾小结
从第2项起,每一项与它前
一项的比等同一个常数
从第2项起,每一项与它前
一项的差等同一个常数
公比(q)
公差(d)
q可正可负,但不可为零
方法一:(累加法)
a2a1d
a3 a2 d a4…a3…d
(n-1)个 式子
an1an2 d
an an1 d
ana1(n1)d .
方法二:(归纳法)
a2 a1d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a12d
a4 a3d
(a1 2d ) d
…a1
3d
…
ana1(n1)d
an 等比数列通项公式的推导：an 1
Gb 即 aG G 2 ab
G ab
.
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 aq2 12 1
aq3 18 1
解得，
q3 2
，
a 1
16 3
因此 a aq1638
2
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
.
3
课堂互动
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这
种物质是原来的 8 4 % ，这种物质的半衰期为多长？（放射性物
质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）
(2)一个等比数列中，a 5-a 1=1 5 ,a 4-a 2=6，求它的第3项；
.
等比数列的例题
例2 已知 an,bn是项数相同的等比数列， 求证 an bn是等比数列.
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q= 1
2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，…
是,公 比q= -1
(5) 1，0，1，0，1，…
不是等比数列
(6) 0，0，0，0，0，…
不是等比数列
(7) 1,x,x2,x3,x4,L(x0)是,公比 q= x
.
对概念的更深理解
an1 q(是与 n无关的数,或 且q式 0） 子 an
(1) 1，3，9，27，…
1. 各项不能为零,即 a n 0 2. 公比不能为零,即 q 0
(2) 1 , 1 , 1, 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
an a1•qn1 an akqnk
(n,kN*)
.
d可正可负,且可以为零
ana1(n1)d
anak(n(n,kk)Nd*)
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 ·a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124, 公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。
证明:设数列an 首项为a 1,公比为q 1;bn 首项为b 1 ,公比为q 2
那么数列 an bn的第n项与第n+1项 分别为：
a 1 q 1 n 1 b 1 q 2 n 1 与 a 1 q 1 n b 1 q 2 n
即为 a 1 b 1(q 1q 2)n 1与 a 1 b 1(q 1q 2)n
an a1•qn1
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
.
变形结论:
在等差数列 a n 中
anam(nm)d
(n, m N* )
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 a m 和公
比q，能否求 a n ？如果能，请写出表达式。
an amqnm (n,mN*) .
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成 等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
(4) 1，-1，1，-1，…
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…
a 0 时,只是等差数列
.
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导: an an1 d
.
郑蒲港二中高一数学组
.
旧知回顾
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公(n- 1)d
a n=a k+(n-k)d(n ,k?N *)
2an=an-1+an+1(n?2) n+m= p+q(n,m,p,q? N*)
? an. am=ap+aq
创设情景,引入新课
（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
（2） 一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
(1) 1 ，1
，1
，1
1
， ，…
2 4 8 16
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，… .
等比数列概念
等比数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5
法三：由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = －512 a3 212 a34 512 0 a 312 或 a 8 3 4
aa38142或 8aa831428∵ 公比 q 为整数
aa83
4 128
q5 12832 q2 4
∴ a 10 = a 3×q 10 －3= －4×(. -2) 7= 512
项与它的前一项的 比 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫 做等比数列的公比（q）。
等差数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 差 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫 做等差数列的公差（. d）。
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
q n2
方法一:累积法
方法二:归纳法
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
…a 3 …
(n-1)个 式子
an q
a n 1
a2 a1q
a3
aa12qq2(a1q)q
a4 a3q(a1q2)q
a1q3
……
an a1
qn1
.
an a1qn1
等比数列的通项公式
a 等比数列 a n ，首项为 1 ,公比为q,则通项公式为
所以 an bn是一个以 q.1q2 为公比的等比数列
回顾小结
从第2项起,每一项与它前
一项的比等同一个常数
从第2项起,每一项与它前
一项的差等同一个常数
公比(q)
公差(d)
q可正可负,但不可为零
方法一:(累加法)
a2a1d
a3 a2 d a4…a3…d
(n-1)个 式子
an1an2 d
an an1 d
ana1(n1)d .
方法二:(归纳法)
a2 a1d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a12d
a4 a3d
(a1 2d ) d
…a1
3d
…
ana1(n1)d
an 等比数列通项公式的推导：an 1
Gb 即 aG G 2 ab
G ab
.
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 aq2 12 1
aq3 18 1
解得，
q3 2
，
a 1
16 3
因此 a aq1638
2
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
.
3
课堂互动
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这
种物质是原来的 8 4 % ，这种物质的半衰期为多长？（放射性物
质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）
(2)一个等比数列中，a 5-a 1=1 5 ,a 4-a 2=6，求它的第3项；
.
等比数列的例题
例2 已知 an,bn是项数相同的等比数列， 求证 an bn是等比数列.
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q= 1
2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，…
是,公 比q= -1
(5) 1，0，1，0，1，…
不是等比数列
(6) 0，0，0，0，0，…
不是等比数列
(7) 1,x,x2,x3,x4,L(x0)是,公比 q= x
.
对概念的更深理解
an1 q(是与 n无关的数,或 且q式 0） 子 an
(1) 1，3，9，27，…
1. 各项不能为零,即 a n 0 2. 公比不能为零,即 q 0
(2) 1 , 1 , 1, 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
an a1•qn1 an akqnk
(n,kN*)
.
d可正可负,且可以为零
ana1(n1)d
anak(n(n,kk)Nd*)
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 ·a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124, 公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。
证明:设数列an 首项为a 1,公比为q 1;bn 首项为b 1 ,公比为q 2
那么数列 an bn的第n项与第n+1项 分别为：
a 1 q 1 n 1 b 1 q 2 n 1 与 a 1 q 1 n b 1 q 2 n
即为 a 1 b 1(q 1q 2)n 1与 a 1 b 1(q 1q 2)n
an a1•qn1
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
.
变形结论:
在等差数列 a n 中
anam(nm)d
(n, m N* )
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 a m 和公
比q，能否求 a n ？如果能，请写出表达式。
an amqnm (n,mN*) .
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成 等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
(4) 1，-1，1，-1，…
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…
a 0 时,只是等差数列
.
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导: an an1 d
.
郑蒲港二中高一数学组
.
旧知回顾
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公(n- 1)d
a n=a k+(n-k)d(n ,k?N *)
2an=an-1+an+1(n?2) n+m= p+q(n,m,p,q? N*)
? an. am=ap+aq
创设情景,引入新课
（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
（2） 一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
(1) 1 ，1
，1
，1
1
， ，…
2 4 8 16
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，… .
等比数列概念
等比数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5
法三：由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = －512 a3 212 a34 512 0 a 312 或 a 8 3 4
aa38142或 8aa831428∵ 公比 q 为整数
aa83
4 128
q5 12832 q2 4
∴ a 10 = a 3×q 10 －3= －4×(. -2) 7= 512
项与它的前一项的 比 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫 做等比数列的公比（q）。
等差数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 差 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫 做等差数列的公差（. d）。
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
q n2
方法一:累积法
方法二:归纳法
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
…a 3 …
(n-1)个 式子
an q
a n 1
a2 a1q
a3
aa12qq2(a1q)q
a4 a3q(a1q2)q
a1q3
……
an a1
qn1
.
an a1qn1
等比数列的通项公式
a 等比数列 a n ，首项为 1 ,公比为q,则通项公式为