二次函数二次函数的概念及特殊二次函数的图像
二次函数二次函数的概念
及特殊二次函数的图像 The pony was revised in January 2021
【新知归纳与梳理】
【主要结论归纳】
【例题分析】
【例1】判断下列函数中，哪些是二次函数？
（1）22y x =-++（2）21y x =+（3）212y x x =+
+（4）2(2)23y a x x =--++ 【例2】函数33222)1(---=k k x k y 的图像是抛物线，求k 的值。
【例3】二次函数2223m m x mx y -+-=的图像过原点，求m 的值。
【例4】若抛物线m x x y ++=62的顶点在x 轴上，求m 的值。
【例5】在二次函数n mx x y ++=2中，如果0=-n m ，那么它的图像一定经过点_________。
【例6】抛物线3212+=
x y 的对称轴是__________，顶点坐标是__________，它与抛物线22
1x y =的形状___________。 【例7】把抛物线22x y -=向_______平移________个单位，就得到函数622--=x y 的图像。
【例8】把函数22x y -=的图像_________________________就会得到函数22x y =的图像。
【例9】已知抛物线的顶点为原点，对称轴是y 轴，且经过点（2，-2），求此抛物线的表达式_。
【例10】二次函数2ax y =与一次函数43-=x y 的图像都经过点A )2,(b ，求a ，b 的值。
【例11】如图所示，直线AB 过x 轴上的点A （2，0），且与抛物线2ax y =交于B 、C 两点，已知B （1，
1）。
（1）求直线AB 和抛物线2ax y =的表达式；
（2）如果抛物线上有一点D ，使OBC OAD S S ??=，求D 点的坐标。
【同步练习】
【拓展练习】
21．如图，二次函数m mx y 42+-=的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD 在抛物线与x 轴所围成的图形内。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设点A 的坐标为（y x ，），试求矩形ABCD 的周长P 关于自变量x 的函数解析式，并求出自变量x 的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD ，使它的周长为9试证明你的结论。
二次函数的图像教学设计
《二次函数的图像（1）》教学设计 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到
2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
二次函数概念和图像
二次函数概念与性质 【知识概要】 1.二次函数的概念 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次 函数．二次函数的定义域为一切实数． 2.二次函数图像特征 二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线．二次函数的图像，叫做抛物线． 开口方向：抛物线的开口向上或者向下． 对称轴：二次函数的图像是轴对称图形．抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像． 顶点：抛物线与对称轴的交点，为抛物线的最低点或最高点． 3.特殊二次函数的性质与图像 ◆一般地，二次函数（其中是常数，且）的图像是抛物线，称为 抛物线．这时，是这条抛物线的表达式． 抛物线（其中a是常数，且）的图像性质如下： （1）开口方向：由a所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点． （2）对称轴：轴，即直线． （3）顶点：原点． ◆一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可 以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．由此可知抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下： （1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
（2）对称轴：轴，即直线． （3）顶点：． 一般地，抛物线（其中a、m是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 由此可知：抛物线（其中a、m是常数，且）的图像性质如下： （1）开口方向：当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线． （3）顶点：． 4.一般二次函数的性质与图像 抛物线（其中a、m、k是常数，且）的图像性质如下： （1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点． （2）对称轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线． （3）顶点：． 对二次整式配方，得 所以． 将上式与作比较，得 由此可知，抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：
二次函数的基本概念的理解与应用
二次函数概念 学习要求 1．熟练掌握二次函数的有关概念． 2．熟练掌握二次函数y ＝ax 2的性质和图象． 综合、运用、诊断 一、填空题 1．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______． 2．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______． 3．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内． (1)y ＝2x 2如图( )；(2)22 1x y = 如图( )；(3)y ＝－x 2 如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)29 1 x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )． 4．已知函数,2 3 2x y -=不画图象，回答下列各题． (1)开口方向______；(2)对称轴______；(3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x ______时，y ＝0；(6)当x ______时，函数y 的最______值是______． 5．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答： (1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y 随着x 的增大而增大．函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称．函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______．函数______有最小值为______． 6．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______．(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______． 7．已知函数y ＝(m 2－3m )1 22--m m x 的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______， 对称轴方程为______，开口______． 9．已知函数y ＝m 2 22+-m m x ＋(m －2)x ． (1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． (2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 9．已知函数y ＝m m m x +2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下． 二、选择题 110．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x (x ＋1) B ．xy ＝1 C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2 D ．132+=x y 11．在二次函数①y ＝3x 2；②223 4 ;32x y x y == ③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为 A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞③＞① D ．②＞①＞③ 12．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( ) A ．a 越大，抛物线开口越大 B ．a 越小，抛物线开口越大 C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大 D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 13．下列说法中错误的是( ) A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0
二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
几种特殊的二次函数的图象特征如下
当时开口向上当时开口向下(轴) (轴) (0，) (，0) (，) () 的图象 的解 方程有两个相等实数解 四、规律方法指导 1.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线. (2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(， )，对称轴是直线.
2.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为(0，). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(，). (3)抛物线与轴的交点 二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式 判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程 组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为， 由于、是方程的两个根，故 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
决定对称轴的位置，对称轴是直线 b-4ac<0 抛物线与x轴无公共点 确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. ①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示. 图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是； 图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是. ②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.
二次函数基本定义完整版
二次函数基本定义 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
基本定义一般地，把形如 （a、b、c是）的叫做二次函数，其中a称为，b为，c为。x 为，y为。等号右边自变量的最高次数是2。 顶点坐标 为 （仅限于与x轴有交点的抛物线）， 与x轴的交点坐标是和 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4]，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2 的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。 注意：与点在中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。[2] 具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位得到； 当h<0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到； 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。[5] 交点式 [仅限于与x轴即y=0有交点时的 与X轴交点的情况: 当时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x1,0)和 (x2,0)。 当时，函数图像与x轴只有一个切点，即 。[2] 当 时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范围是虚数 抛物线，即b2-4ac≥0]. 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设
二次函数知识点梳理
初三年级数学—二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -．
二次函数的概念和图像
二次函数 二次函数的概念： 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”. 探索： 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建一个矩形温室,其周长为120m , 设一条边长为 x (m), 求其面积 y (m 2) 与边长的关系式. 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 二次函数 1.定义：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ，称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项， 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （一） 做一做 1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 x y = (2) 21x y - = (3) 122 --=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y