曲线与方程
曲线与方程
一、 基本知识体系：
1、 曲线的方程和方程的曲线：在直角坐标系中，如果某曲线C （看作适合某种条件的点的
集合或轨迹）上的点与一个二元方程ƒ(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
2、 求曲线的方程的一般步骤：建系，设点⇒转化条件，列出方程⇒化方程ƒ(x,y)=0为最简
形式⇒证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
3、 两条曲线的交点：两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解，
求曲线的交点的问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题。 4、 求轨迹方程的常用方法：
① 直接法：直接写出题目中的等量关系，从而化出所求的轨迹方程；这是最常用的一
种求法。
② 定义法：运用解析几何中一些常用的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可
从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
③ 相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一
动点Q （x ′,y ′)的运动而有规律地运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求出，则可先将x′,y′表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，这种利用相关动点和所求动点的关系求出轨迹方程的方法叫做相关点法，也叫做代入法。 ④ 参数法：有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量
（参数），使x,y 之间建立起联系，然后从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
⑤ 交轨法：求两动曲线的交点的轨迹方程时，可由方程直接消去参数，例如求两动直
线的交点时常用此方法。也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程，故交轨法也属于参数法。
二、 典例剖析： ★【题1】、如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切
线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得2.PM PN =
试建立适当的坐标系，并
求动点P 的轨迹方程.
●[解析]：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐
标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２
＝
２ＰＮ２
，
因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212
22
1-=-PO PO ，设P （x,y ） 则（x+2）2+y 2-1=2[(x-2)2+y 2-1]， 即33)6(2
2
=+-y x 综上所述，所求轨迹方程为：33)6(2
2
=+-y x （或
031222=+-+x y x ）
★【题2】、已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面
内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为( ) （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= ●解：设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，
4MN =；则
(2,),(2,)MP x y NP x y =+=-
由0=⋅+⋅NP MN MP MN ，则224(2)4(2)0x y x +++-=，化简整理得
x y 82-= 所以选B
★【题3】、如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含
边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2. （Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；
（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的
方程；（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合. ●解：（I ）
12{(,)|,0},{(,)|,0}.
W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>（II ）直线1:0,l kx y -=直线2:0l kx y +=,
由题意得：2
22.,11
d k k =++即22222
||.1k x y d k -=+由(,),P x y W ∈知2220,k x y ->
所以222
22
,1
k x y d k -=+即22222(1)0.k x y k d --+=所以动点P 的轨迹方程为22222(1)0.k x y k d --+=
（III ）①、当直线l 与x 轴垂直时,由对称性显然可知：1234,M M M M 的中点坐标都为(,0)a ,所以1234,OM M OM M ∆∆的重心坐标都为2(
,0)3
a
,即它们的重心重合. ②、当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(0).y mx n n =+≠由
22222(1)0k x y k d y mx n
⎧--+=⎨
=+⎩,得222222
()20.k m x mnx n k d ----=∵由直线l 与曲线C 有两个不同交点,可知22
0k m -≠,且2222222
(2)4()()0.mn k m n k d d =+-⨯++>设
12,M M 的坐标分别为1122(,),(,).x y x y 则12121222
2,()2.mn
x x y y m x x n k m +=+=++- 设
34,M M 的坐标分别为3344(,),(,).x y x y 由
34,,y kx y kx n n x x y mx n y mx n k m k m ==-⎧⎧-==⎨⎨=+=+-+⎩⎩
及得从而341222
2.mn
x x x x k m +==+-所以34341212()2()2,y y m x x n m x x n y y +=++=++=+所以
3434
12120000,.3333
x x y y x x y y ++++++++==于是12OM M ∆的重心与34OM M ∆的重心也重合.
★【题4】、已知点 M （－2，0），N （2，0），动点 P 满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P 的轨
迹为 W ；（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ·
OB 的最小值.
解：（Ⅰ）由|PM|－|PN|= P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实
半轴长a =
又半焦距 c=2，故虚半轴长b ==所以 W 的方程为22
122
x y -=,x ≥ （Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y ；①、当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而2
2
121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-=②、当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为
y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得222(1)220.k x kmx m ----=故122
2,1km
x x k
+=
- 21222,
1
m x x k +=-所以
1212OA OB x x y y ⋅=+1212()()
x x kx m kx m =+++2
2
1212(1)()k x x km x x m
=++++
22222
22(1)(2)211k m k m m k k ++=++--22
22
1
k k +=-2
421
k =+
-.又因为120x x >,所以2
10k ->,从而 2.OA OB ⋅>综上,当A B ⊥x 轴时, OA OB ⋅取得最小值2.
三、巩固练习：
★【题1】、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•，则点P
的轨迹方程是__
解答：设点P 的坐标是(x,y)，则由4=•OA OP 知04242=-+⇒=+y x y x ★【题2】、．以下几个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；
②设定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(2
1
OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为
【解答】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为
常数2a,且2||a AB <,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错，由1
()2
OP OA OB =+,得P 为弦AB 的中点,故②错，
设22520x x -+=的两根为12,x x 则12125
,12
x x x x +=
=可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，
221259x y -=的焦点坐标(34,0±),而2
2135
x y +=的焦点坐标(34,0±),故④正确. ★【题3】设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若1,2＝且AB OQ PA BP ⋅=，则点P 的轨迹方程是（D ） A.
)0,0(12
332
2>>=+
y x y x B.
)0,0(12
332
2>>=-
y x y x C.
)0,0(132
322
>>=-y x y x
D.
)0,0(132
322
>>=+y x y x ★【题4】如图, 直线L 1和L 2相交于点M ，L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.
（供选择用）★【题5】、平面α的斜线 AB 交α于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂
直，且交α
于点 C ，则动 点 C 的轨迹是 （ A ）
（A ） 一条直线 （B ）一个圆 （C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支
★【题】、在平面直角坐标系xOy 中，有一个以(10,F 和(2F 为焦点、离心率为
2
的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。求：（Ⅰ）点M 的轨迹方程；（Ⅱ）OM 的最小值。
解：椭圆方程可写为: y 2
a 2 + x 2
b
2 =1 式中a>b>0 , 且 ⎩
⎪⎨⎪⎧a 2－b 2
=33a =32 得a 2=4,b 2=1,所以曲线C 的方程为:
x 2+
y 2
4
=1 (x>0,y>0). y=21－x 2 (0 1－x 2 ；设P(x 0,y 0),因P 在C 上,有0 4x 0y 0 ,得切线AB 的方程为: y=－ 4x 0 y 0 (x －x 0)+y 0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x=1x 0 , y= 4 y 0 . 由OM →=OA → +OB → 得M 的坐标为(x,y), 由x 0,y 0满足C 的方程,得点M 的轨迹方程为: 1x 2 + 4y 2 =1 (x>1,y>2) (Ⅱ)| OM → |2= x 2+y 2, y 2= 41－1 x 2 =4+ 4x 2－1 , ∴| OM →|2= x 2－1+4x 2－1 +5≥4+5=9.且当x 2－1=4x 2－1 ,即x=3>1时,上式取等号.故|OM → |的最小值为3. 常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。它们的方程可以 通过几何性质描述它们的性质。本文将介绍一些常用的曲线和曲 面方程及其性质。 一、曲线方程 1. 直线方程 直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式 两种形式。 一般式：$Ax+By+C=0$； 斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。 直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。 2. 圆的方程 圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。 标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标， $r$为半径长度。 一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。 圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。 3. 椭圆的方程 椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。 标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。 一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。 椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。当$a=b$时，椭圆变成了圆。 4. 抛物线的方程 抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成 两种形式：标准式和一般式。 标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。 一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。 抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。 5. 双曲线的方程 曲线与方程 一、曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 二、求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等． 三、求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 四、直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程． （1）共点直线系：过已知点 P (x 0 , y 0 ) 的直线系方程 y − y 0 = k (x − x 0 ) （k 为参数） （2）平行直线系：斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b （b 是参数） 与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 （λ 为参数） （3）垂直直线系：与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程Bx − Ay + λ = 0（λ 为参数） （4）过直线 l 1 ：A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 与 l 2 ：A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系 方程：A 1 x + B 1 y + C 1 + λ(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0（λ 为参数），此直线系不含直线 l 2 例1： “ 以方程 f(x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是 “ 曲线 C 的方程是 f(x,y) = 0 ” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 下列方程各表示什么曲线？ ① 29y x -= ② 0324222=++-+y x y x 0)9)(2(22=-+-+y x y x 例2： 设圆 C : (x − 1)2 + y 2 = 1 ，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 3、2．1．1曲线与方程的概念 【学习目标】 1、 学习本节要掌握曲线的方程和方程的曲线的概念，明确曲线的点集和方程 的点集的一一对应关系，并能根据点的坐标是否适合方程，来判断该点是否在该曲线上。 2、 能够通过求方程组的解，来确定曲线的交点。 【自学指导】 1、 在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个一元二次方程F （x,y ）的实 数解建立如下的关系： （1）、曲线上点的坐标都是这个方程的解： （2）、以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么曲线C 叫做方程＿＿的曲线，方程F （x,y ）=0叫做＿＿的方程。 2、求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求出方程组＿＿的实数解就可以得到。 思考 3、如果曲线C 的方程是F （x,y=）0，则如何理解M(x,y)∈C ? F （x,y=）0? 4、从集合的角度来看，设A 是曲线C 上的所有点组成的点集，B 是所有的方程F （x,y=）0的实数解为坐标的点组成的点集，则A 、B 的关系是怎样的？ 5、如何求两条曲线的交点坐标？ 【合作、探究、展示】 [判断曲线和方程的关系：] 问题1、讨论过点A （2，0）平行于y 轴的直线l 的方程是｜x ｜=2吗？如果是，请说明理由，如果不是，应该怎样改？ 问题2、方程（x+y-1）1-x =0表示什么曲线？ [求两曲线的交点] 问题3、求直线2x+5y-15=0与曲线y=- x 10的交点的坐标。 问题4、求证：无论k 取什么值，曲线kx 2+2x-(k-1)y-k-2=0恒通过定点。 【课堂检测】 1、下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（ ） A 、y=x 和x=y 2 B 、y=x 和y x =1 C 、︱y ︱=︱x ︱和x 2-y 2=0 D 、y=lgx 2和y=2lgx 2、方程（x 2-4）2-(y 2-4)2=0表示的图形是（ ） A 、两条直线 B 、四条直线 C 、一个圆 D 、两条直线和一个圆 3、若直线y=x+k 与曲线 k 的取值范围是＿＿ 4、以（5，0）和（0，5）为端点的线段的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5、以y 轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线的方程是0x =吗？为什么？ 6、判断点 0),Q(-2,3)是否在方程x 2+y 2=25(x ≤0)所表示的曲线上？ 7、写出圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程，并判断坐标分别为（-4，-3）（2，4）, （7,-，（5cos ,5sin θθ）的四点是否在圆上。 8、求通过两圆221x y +=，224410x y x y +---=的交点和点（2,1）的圆的方程。 曲线和方程的概念 【知识要点】 定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线. 注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线. 求曲线的方程 【知识要点】 1 求曲线的方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略). ②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标. ③根据曲线上点所适合的条件，写出等式. ④用坐标表示这个等式(方程)，并化简. ⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求). (6)检验，该说明的要说明. 2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等. (1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求. (2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F . (3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程. (4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参 曲线与方程 编稿：周尚达审稿：张扬责编：张希勇 目标认知 学习目标： 理解曲线的方程和方程的曲线的含义，初步掌握求曲线的方程的方法； 了解解析几何的基本思想。 重点： 方程的曲线与曲线的方程的概念，用坐标法求曲线的方程。 难点： 理解方程的曲线与曲线的方程的概念；用坐标法求曲线的方程的方法。 学习策略： 解析几何是在坐标系中用代数方法研究几何问题的一门数学学科，因此学习的时候一定要数形结合，根据图形或者已知条件，建立适当的坐标系，设出点的坐标，再把点满足的几何条件坐标化，实现形数之间的转化。 理解方程的曲线与曲线的方程纯粹性与完备性的含义，体会方程的曲线与曲线的方程的对应关系。 知识要点梳理 知识点一：曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上所有点的坐标都是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线. 注意： （1）如果曲线的方程为，那么点在曲线上的充要条件为 ； （2）曲线可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而正是这一定条件的解析表示.因 此我们可以用集合的符号表示曲线：. （3）曲线也称为满足条件的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性， 即不满足方程 的解的点不在曲线上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的 所有点都在曲线 上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线是否为满足方程的点的轨迹而 言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”． 知识点二：坐标法求曲线的方程 1.定义： 在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法. 2.坐标法求曲线方程的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y). ②写出动点P满足的几何条件. ③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0. ④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。 ⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。 注意： ①求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不 能转化为方程. ②建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使 运算过程简单，所得的方程也较简单. ③根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审 题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列出等式， 并进行化简. ④化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解。 3.解析几何的两个基本问题 数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何. 解析几何的核心：用代数方法(坐标法)研究几何问题 平面解析几何的两个主要问题： （1）根据已知条件，求出表示曲线的方程； （2）根据曲线的方程画出方程的曲线，并研究讨论曲线的性质. 说明：用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和 龙文教育个性化辅导授课案 教师:刘娇学生: 日期: 星期: 时段: 课题曲线与方程 学情分析 教学目标与考点分析1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．利用直接法或定义法求轨迹方程． 3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质． 教学重点难点正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。 教学过程 <基础梳理> 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 四个步骤 对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标； ②代入：即代入圆锥曲线方程； ③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． <双基自测> 1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系， ∵f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件． 答案C 2．(2012·泉州质检)方程x2＋xy＝x的曲线是( )． A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 解析方程变为x(x＋y－1)＝0∴x＝0或x＋y－1＝0.故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.答案C 3．(2012·合肥月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析几何中的曲线与圆锥曲线的方程与关系解析几何是数学中的一个分支，研究了几何图形的性质、变换和方程。其中，曲线和圆锥曲线是解析几何中的重要概念。本文将重点探讨曲线与圆锥曲线的方程与关系，以便更好地理解解析几何的核心内容。 一、曲线的方程 在解析几何中，曲线的方程是用来描述曲线上的点与坐标之间的关系的数学表达式。常见的曲线方程有线性方程、二次方程、三次方程等等。下面我们以直线和抛物线为例，分别介绍它们的方程。 1. 直线的方程 直线的方程可以表示为 y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。直线方程中的斜率和截距可以通过给定的点或一些性质得到。例如，如果已知一条直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过斜率公式（y2-y1）/（x2-x1）来计算斜率k，进而可以通过其中任意一个点和得到的斜率来计算出截距b。 2. 抛物线的方程 抛物线的方程通常可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。抛物线的形状可以根据二次项的系数a来判断。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式 x = -b/2a 来得到。进一步，可以通过给定的顶点或焦点来推导抛物线的具体方程。 二、圆锥曲线的方程与关系 圆锥曲线是解析几何中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。 它们都有各自特定的方程形式和几何性质。 1. 椭圆的方程与关系 椭圆是一个闭合的曲线，其中所有点到两个焦点的距离之和是常数。椭圆的方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中（h，k）表 示椭圆的中心点坐标，a和b分别表示横轴和纵轴的半长轴。椭圆的离 心率可通过 a、b 计算得出，离心率e的值决定了椭圆的形状。 2. 双曲线的方程与关系 双曲线是一条开口朝上或朝下的曲线，其特点是所有点到两个焦点 的距离之差是常数。双曲线的方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1，具体形式取决于是开口朝上还 是朝下。与椭圆类似，（h，k）表示中心点坐标，a和b表示横轴和纵 轴的半长轴。双曲线的离心率也可以根据长轴半长轴计算得出。 3. 抛物线的方程与关系 抛物线既可以作为曲线，又可以作为直线。当抛物线的离心率等于 1时，它退化成一条直线。抛物线的方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。抛物线的焦点和顶点坐标可以通过一些性质和 公式计算得到。 总结： 求曲线方程的六种常用方法 本文介绍了求解曲线方程的六种常用方法，分别是： 1. 寻找基本解析式：通过观察曲线的形状和特征，找到与之相 对应的基本解析式。基本解析式可以是各种函数的特定形式，比如 直线的解析式是 y = kx + b，圆的解析式是 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 等。 2. 根据已知条件确定系数：如果已知曲线通过某些特定点，或 者满足某些特定条件，可以根据这些已知条件来确定方程中的系数。例如，如果已知曲线通过点 (x1, y1)，可以将这个点的 x 值和 y 值 代入方程，然后解方程组得到系数的值。 3. 利用对称性：对于某些曲线，可以利用其对称性来求解方程。比如，若曲线关于 y 轴对称，则它的方程可以写为一个只包含 x 的 函数；若曲线关于原点对称，则它的方程可以写为一个只包含 x^2 和 y^2 的函数。 4. 使用切线和法线方程：对于曲线上的一点，可以求出该点处 的切线和法线方程，从而得到曲线的方程。切线方程可通过求导得到，法线方程可以通过求切线方程斜率的倒数得到。 5. 运用参数方程：对于某些曲线，如果能够表示为参数方程的 形式，那么可以通过求解参数方程中的参数来得到曲线的方程。参 数方程常用于描述曲线的运动或变化，如抛物线的参数方程为 x = at^2，y = 2at。 6. 通过描点法：对于一些复杂的曲线，可以通过描点法来逼近 曲线的方程。具体做法是在平面上选择一些点，然后将这些点的坐 标代入方程，确保曲线经过这些点，进而逐步调整方程的系数，使 得曲线更加贴合这些点，最终求得曲线的方程。 综上所述，求解曲线方程的六种常用方法包括寻找基本解析式、确定系数、利用对称性、使用切线和法线方程、运用参数方程以及 通过描点法。在具体应用中，选择合适的方法取决于曲线的特征和 已知条件。希望本文对您求解曲线方程有所帮助。 平面解析几何中的曲线方程 在平面解析几何中，曲线方程是研究曲线形状的重要工具。通过曲 线方程，我们可以了解曲线的特性、性质以及与其他曲线的关系。本 文将介绍平面解析几何中常见的曲线方程及其应用。 一、直线的方程 直线是最简单的曲线形式，其方程通常用一次函数表示。直线的一 般方程为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。该方程也可以写成斜截式方程y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。 二、圆的方程 圆是由平面上到一定距离的点构成的曲线。圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。 三、椭圆的方程 椭圆是平面上到两个定点之间的距离之和为常数的点构成的曲线。 椭圆的标准方程为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a为横轴的半轴长，b为纵 轴的半轴长。 四、双曲线的方程 双曲线是平面上到两个定点之间的距离之差为常数的点构成的曲线。双曲线的标准方程有两种形式：(x/a)² - (y/b)² = 1和(y/a)² - (x/b)² = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。 五、抛物线的方程 抛物线是平面上到定点与定直线的距离相等的点构成的曲线。抛物 线的标准方程为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。 六、曲线方程的应用 曲线方程在数学和工程学中有着广泛的应用。在几何学中，曲线方 程可以帮助我们确定曲线的形状、位置以及与其他曲线的关系。在物 理学中，曲线方程可以描述物体的运动轨迹，帮助我们研究运动规律。在工程学中，曲线方程可以用于设计建筑物、绘制道路、计算轨迹等。 总结： 平面解析几何中的曲线方程是研究曲线形状的重要工具，包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等。通过曲线方程，我们可以了解曲线的 特性、性质以及与其他曲线的关系。曲线方程在数学、物理和工程学 中都有广泛的应用，可以帮助我们研究和解决各种问题。对于学习平 面解析几何的人来说，熟练掌握曲线方程的原理和应用是非常重要的。通过深入了解曲线方程，我们能够更好地理解和应用解析几何的知识。 曲线及其方程知识点总结 一、直线的方程 1. 斜率和截距法 直线的方程可以用斜率和截距来表示。直线的斜率是指直线上一点的纵坐标和横坐标的变 化率，截距是指直线和y轴或x轴相交的坐标。 若直线的斜率为m，截距为b，则直线的方程可以表示为y=mx+b或者x=my+b。 2. 两点式 直线的两点式表示了通过两个已知点的直线方程。若已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的方程可以表示为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。 3. 截距式 直线的截距式表示了直线和坐标轴的截距关系。若已知直线的x轴截距为a，y轴截距为b，则直线的方程可以表示为x/a+y/b=1。 二、曲线的方程 1. 二次曲线 二次曲线的一般方程可以表示为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。其中A、B、C、D、E、F 为常数。二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。 - 圆的方程 圆的一般方程可以表示为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。 - 椭圆的方程 椭圆的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长。 - 双曲线的方程 双曲线的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1。或者(x-h)^2/a^2-(y- k)^2/b^2=-1。其中(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的 半轴长。 - 抛物线的方程 抛物线的一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c或者x=ay^2+by+c。其中a不等于0。抛物线 的开口方向取决于系数a的正负性。 2. 极坐标方程 极坐标方程是一种表示曲线的方程，它使用极坐标系下的极径r和极角θ来表示曲线上任 意一点的位置。极坐标方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极坐标方程的极坐标函数。 三、参数方程 参数方程是一种用参数的形式表示曲线的方程。参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，t为 参数。通过参数方程，我们可以描述曲线上每个点的位置。 四、曲线的性质 1. 对称性 曲线可以具有关于x轴、y轴或原点的对称性。当曲线方程中的x和y坐标可以互相替换时，说明曲线具有关于原点的对称性。当曲线在曲线方程中有±x和±y的关系时，说明曲 线具有关于x轴或y轴的对称性。 2. 曲线的点和切线 曲线上的点和切线是曲线的重要性质。点和切线的斜率可以通过曲线在该点的导数来表示。 3. 曲率 曲率表示了曲线在某一点附近的弯曲程度，可以用曲线的切线与曲线在该点的夹角的大小 来描述。 4. 曲线的极值 曲线的极值是指曲线的最高点或最低点，极值点在曲线上对应的x坐标称为极值点的横坐标，其y坐标称为纵坐标。 五、曲线方程的性质 1. 对曲线方程的求解 对于特定的曲线方程，我们可以通过一系列的数学方法求解其性质、图像和特征点。比如 求曲线的对称性、极值、拐点、渐近线等。 2. 曲线方程的图像 曲线方程的图像可以用数学软件绘制，或者用手工绘图的方法展示出来。通过曲线的图像，我们可以更直观地了解曲线的形状和性质。 解析几何中的曲线方程与参数方程在解析几何中，我们常常遇到的一个问题是如何用方程来描述一个 曲线。根据曲线的性质和方程的形式，我们可以选择使用曲线方程或 参数方程来表达。本文将对解析几何中曲线方程与参数方程的概念、 应用以及优缺点进行详细解析。 一、曲线方程的基本概念 曲线方程是指使用坐标系中的变量和常数来表示曲线的方程。在二 维坐标系中，曲线方程通常是关于x和y的函数关系，形如f(x, y) = 0。其中，f(x, y)是一个多项式函数，0表示曲线上的点满足该函数的值为零。曲线方程可以是二次曲线、三次曲线、圆、椭圆等各种形式，方 程的形式取决于曲线的几何特征。 二、曲线方程的应用 曲线方程在几何学和物理学等领域中具有广泛的应用。以圆的方程 为例，圆的标准方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r 是半径。通过圆的方程，我们可以求解圆心、半径以及判断两个圆是 否相交或相切。同样，其他曲线方程也可以通过代数运算得到曲线的 各种性质，如焦点、直径、离心率等。 三、曲线方程的优缺点 使用曲线方程来描述曲线的优点是形式简洁、直观易懂。我们可以 通过解方程来求解曲线上的点，进一步研究曲线的性质。然而，曲线 方程存在一些局限性，例如无法直接表示参数方程所能描述的一些曲 线，如螺旋线等。此外，复杂的曲线方程可能难以在坐标系中作图， 给分析造成困难。 四、参数方程的基本概念 参数方程是指使用一个或多个参数表示曲线上的点坐标的方程。在 参数方程中，曲线上的点的坐标是由参数的函数关系来确定的。一般 可以写成x = f(t)，y = g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是两个关于t的函数。通过给定参数的取值范围，我们可以得到曲线上的一系列点，从 而绘制出整条曲线。 五、参数方程的应用 参数方程在描述一些特殊曲线时非常方便。例如，螺旋线的参数方 程可以写成x = a·cos(t)，y = a·sin(t)，其中a是常数，t是参数。通过改 变参数t的取值范围，我们可以绘制出不同角速度、不同大小的螺旋线。参数方程还广泛应用于计算机图形学、动画等领域，可以轻松表示和 绘制各种复杂曲线。 六、参数方程的优缺点 参数方程的优点在于可以灵活地描述各种曲线，包括那些难以使用 曲线方程表示的曲线。通过改变参数的取值范围，我们可以得到曲线 上的每一个点。此外，参数方程也适用于描述曲线的运动轨迹，可以 方便地进行运动的模拟和计算。然而，参数方程的缺点在于对于一些 简单的曲线，参数方程可能显得过于复杂，难以得到准确的图形。 平面曲线的基本方程和性质平面曲线是数学中的基本概念，在几何学、物理学、工程学等领域都得到广泛的运用。平面曲线可以用一条曲线来描述，它是平面上所有点的集合，这些点满足一定的几何条件。本文将着重介绍平面曲线的基本方程和性质。 一、基本概念 1.1 点与坐标系 在平面直角坐标系中，可以用有序数对 $(x,y)$ 来表示平面上的一个点，其中 $x$ 表示点在 $x$ 轴的坐标，$y$ 表示点在 $y$ 轴的坐标。坐标系的原点是 $(0,0)$ 。 1.2 曲线 平面曲线是一些点在平面上的集合。可以用一条曲线来表示，常见的曲线有抛物线、椭圆、双曲线、圆等，它们都拥有自己独特的形状和性质。 1.3 基本方程 平面曲线可以用基本方程表示，不同类型的曲线有不同的基本 方程。下面简单介绍几种常见的基本方程。 二、基本方程和性质 2.1 直线 在直角坐标系中，直线可以用 $y=ax+b$ 表示，其中 $a$ 表示 斜率，$b$ 表示截距。直线的斜率 $a$ 等于直线的倾斜角的正切值，当 $a>0$ 时，直线向右上方倾斜，当 $a<0$ 时，直线向右下方倾斜。 2.2 抛物线 抛物线是一条形如 $y=ax^2+bx+c$ 的曲线，其中 $a\neq 0$，$a>0$ 时为开口向上的抛物线，$a<0$ 时为开口向下的抛物线。抛 物线在抛物线的焦点 $F$ 上有一个反射点 $P$，并且 $PF$ 的长度 等于线段 $PC$ 的长度，其中 $P$ 为某给定点，$C$ 为抛物线上的一个点。 2.3 椭圆 椭圆是一条形如 $\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y- y_0)^2}{b^2}=1$ 的曲线，其中 $a$ 和 $b$ 分别表示椭圆在 $x$ 轴 和 $y$ 轴方向的半轴长度，$(x_0,y_0)$ 表示椭圆的中心。椭圆有 两个焦点 $F_1(x_0+c,y_0)$ 和 $F_2(x_0-c,y_0)$，其中 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，并且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和 等于定值 $2a$。 2.4 双曲线 双曲线是一条形如 $\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\dfrac{(y- y_0)^2}{b^2}=1$ 的曲线，其中 $a$ 和 $b$ 分别表示双曲线在 $x$ 轴和$y$ 轴方向的半轴长度，$(x_0,y_0)$ 表示双曲线的中心。双曲线有两个焦点 $F_1(x_0+c,y_0)$ 和 $F_2(x_0-c,y_0)$，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，并且对于任意一点 $P$，其到两个焦点的距 离之差等于定值 $2a$。 曲线方程公式 曲线方程公式是数学中比较流行的一种类型，是用于表达曲线的公式。曲线的方程可以很好地用来描述一个曲线的特性，它也提供了计算曲线与曲线之间关系的手段。曲线方程公式广泛应用于各个学科，比如数学、物理、化学、天文学等，它们都是对于解决复杂问题的有效手段。 曲线方程公式有以下几种：抛物线方程、圆弧方程、二次曲线方程、椭圆方程、双曲线方程、极坐标曲线方程、复杂曲线方程等。每种曲线方程都有自己的特性和特点。 抛物线方程是最简单的曲线方程，它的方程式为y=ax^2+bx+c及其对称形式，其中a，b，c分别代表三个系数。抛物线的特性是曲线下部分朝向x轴，而上部分则朝向负x轴，抛物线的最高点也叫极大值，最低点叫极小值。抛物线方程有很多应用，例如研究重力场、反弹等现象。 圆弧方程是另一种常用的曲线方程，它的方程为：x^2+y^2=r^2，其中x，y分别代表一个点的横纵坐标，而r表示圆心距离圆心的距离。这种方程用来描述一个圆弧。圆弧方程有两个参数，一个是圆心，另一个是弧的半径。 二次曲线方程是另一种常用的曲线方程，它的方程式为 y=ax^2+bx+c，其中a，b，c分别代表三个系数。二次曲线的特点是 曲线的两条腰线到原点的距离是不等的，它也可以用来表示抛物线。它的用途比较广泛，常常用来求解物理问题、广义四边形面积等。 椭圆方程是一种考虑椭圆的曲线方程，它的方程式为x^2/a^2 + y^2/b^2=1，其中x，y分别代表椭圆的两个长轴，而a，b分别代表 椭圆的短轴和长轴。椭圆这种曲线形状特别有趣，它的特点是宽窄不一，前部相对较宽，而后部则相对较窄，它广泛应用于各个学科。 双曲线方程是一种曲线方程，它的方程式为x^2/a^2 - y^2/b^2=1，其中x，y分别代表双曲线的两个长轴，而a，b分别代表双曲线的短轴和长轴。双曲线的特点是，当短轴相等时，它两条腰线都是向外凸出的，而当短轴不等时，它的一条腰线向外凸出，而另一条则向内凹陷。双曲线方程可以用来学习太阳系，它也可以用来解决复杂物理问题。 极坐标曲线方程是一种比较复杂的曲线方程，它的方程式为 r=f(θ)，其中r为极坐标曲线的极径，而θ则代表极坐标曲线的极角，这种方程可以用来描述不同形状的曲线。极坐标曲线方程有很多应用，它可以用来求解复杂的物理问题或天文学现象。 复杂曲线方程也是一种常见的曲线方程，它的方程式一般包括一些函数求导的结果，例如微分方程、拟合曲线方程等，这类方程的特点是有较复杂的公式，经常被在各个学科中用于求解复杂问题。 以上就是曲线方程公式的介绍，曲线方程公式有很多种，各不相同，有不同的应用特性，可以用到不同的学科当中，曲线方程公式也是一个重要的计算工具，能够有效地解决复杂的问题。 二次曲线的性质与方程 在数学中，二次曲线是指二元二次方程所描述的曲线。二次曲线具有许多有趣的性质和特点，它们可以通过方程的形式来进行描述和研究。本文将深入探讨二次曲线的性质与方程，并探讨它们在几何学和应用数学中的重要性。 一、二次曲线的一般形式 一般来说，二次曲线可以用以下形式的方程来表示： Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 其中A、B、C、D、E和F是实数或复数的系数。根据方程中B²-4AC的值，可以将二次曲线分为以下三种类型： 1. 椭圆：当B²-4AC < 0时，方程表示椭圆。椭圆具有闭合曲线的形状，且在x和y方向上都有有界的范围。它们在几何学中常用于描述椭圆轨道、球体和椭球体等。 2. 抛物线：当B²-4AC = 0时，方程表示抛物线。抛物线具有开口朝上或朝下的形状，它们在几何学中常用于描述天体轨道、反射特性和抛物线反射器等。 3. 双曲线：当B²-4AC > 0时，方程表示双曲线。双曲线具有两个分离的开口，它们在几何学中常用于描述双曲面、双曲线天幕、双曲反射抛物面等。 二、二次曲线的性质 1. 对称性：二次曲线通常具有某种类型的对称性。椭圆和双曲线由 于具有中心对称性，因此它们在中心点处对称。抛物线则具有一条对 称轴，它将曲线分为两个对称的部分。 2. 焦点和直角：椭圆和双曲线都有焦点，并且这些焦点对于曲线具 有重要的性质。焦点是离曲线上的每个点距离的平方和固定的比大小 于常数的点，它们在椭圆和双曲线的定义和性质中起着重要的作用。 而抛物线具有平行于焦点的直角。 3. 切线和法线：二次曲线上的切线和法线也是研究的重点。在特定 点处，通过求解曲线方程的导数，可以得到曲线上的切线和法线方程。切线和法线与曲线的切点和法线点有密切的联系，并且在解决与二次 曲线相关的实际问题时具有重要应用。 4. 离心率：椭圆和双曲线还具有离心率这一重要的性质。离心率在 描述曲线的形状和特征时非常有用。离心率为0表示一个圆，介于0 和1之间表示椭圆，大于1表示双曲线。离心率还与焦点之间的距离 和焦点和曲线上每个点之间的距离有关。 三、应用 二次曲线在几何学和应用数学中有广泛的应用。以下是一些常见的 应用领域： 1. 天体轨道：行星、卫星和彗星的轨道可以近似地用二次曲线来描述。二次曲线理论为研究天体运动和行星轨道提供了基础。 高考数学考点归纳之 曲线与方程 一、基础知识 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线❶. 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系❷，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}❸； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式； (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． (1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0. (2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件. 坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线． 有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程． 考点一 直接法求轨迹方程 1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→ ，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x 解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→， ∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，常用曲线和曲面的方程及其性质
曲线与方程
曲线与方程的概念
曲线和方程知识要点
曲线与方程
曲线与方程
解析几何中的曲线与圆锥曲线的方程与关系
求曲线方程的六种常用方法
平面解析几何中的曲线方程
曲线及其方程知识点总结
解析几何中的曲线方程与参数方程
平面曲线的基本方程和性质
曲线方程公式
二次曲线的性质与方程
高考数学考点归纳之 曲线与方程