高三数学知识点总结35之23：等比数列
等比数列
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，即).(1*+∈=N n q a a n
n 2.等比数列的通项公式：设等比数列}{n a 的首项为,1a 公比为,q 则它的通项.11-=n n q a a
注：公式推广：).,(*-∈⋅=N m n q a a m n m n
3.等比中项：若b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项且ab G ±=. 注意：等比数列}{n a 的,,00≠≠q a n 等比数列的奇数项和偶数项分别同号.
例：等比数列}{n a 中，,9,462==a a 则=4a ________.答：6.
4.等比数列的前n 项和公式
等比数列的公比为),0(≠q q 其前n 项和为,n S 当1=q 时，=n S 1na ；
当1≠q 时，=n S q q a n --1)1(1=q
q a a n --11. 注意（1）在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论.
（2）因为等比数列的前n 项和比较复杂，通项公式比较简单，所以能将“和”化“项”能简化运算，这也是一种重要的解题方法.
例：等比数列}{n a 中，n S 是数列}{n a 的前n 项和，,333a S =则公比=q ______.答：1,2
1-
. 5.等比数列的判定方法 （1）定义法：对于数列{}n a ，若q a a n
n =+1，则数列{}n a 是等比数列. （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若n
n n n a a a a 112+++=，则数列{}n a 是等比数列. 6.等比数列的常用性质
（1）等积性质:若}{n a 为等比数列，且),,,,,(2*
∈=+=+N s n m l k s n m l k 则 .2s n m l k a a a a a =⋅=⋅
（2）片段和性质：等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 则n n n n n S S S S S 232,,--仍为等比数列，
其公比为.n q （注意：此结论要求任意的,0≠n S 如公比为1-的等比数列不满足这个性质.)
（3）隔项成等比：若}{n a 成等比数列，公比为,q 则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 成公比
为m q 的等比数列.（4）单调性：当⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a 时，}{n a 为递增数列；当⎩⎨⎧<<>1
001q a 或⎩⎨⎧><101q a 时，}{n a 为递减数列.（5）奇偶性质：{}n a 是等比数列且项数是偶数，则.q S S =奇
偶 7.一种设法：（1）若三个数成等差数列，则可设为d a a d a +-,,；若四个数成等差数列，
则可设为.3,,,3d a d a d a d a ++--（2）若三个数成等比数列，则可设为aq a q
a ,,. 8.等差数列与等比数列的联系
（1）若数列}{n a 是等差数列，则数列}{n a
b 是等比数列，公比为,d b 其中b 是常数且0>b 且1≠b ，d 是}{n a 的公差.
（2）若数列}{n a 是等比数列，且,0>n a 则数列}{log n b a 是等差数列，公差为,log q b 其中b 为常数且0>b 且1≠b ，q 是}{n a 的公比.
（3）若数列}{n a 既是等差数列又是等比数列，则}{n a 是非零常数列.
1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理
2023年高考数学一轮复习讲义——等比数列
§6.3 等比数列 考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)． (2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，00，0
1，则等比数列{a n }递减． 常用结论 1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，
高三数学知识点总结35之23：等比数列
等比数列 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，即).(1*+∈=N n q a a n n 2.等比数列的通项公式：设等比数列}{n a 的首项为,1a 公比为,q 则它的通项.11-=n n q a a 注：公式推广：).,(*-∈⋅=N m n q a a m n m n 3.等比中项：若b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项且ab G ±=. 注意：等比数列}{n a 的,,00≠≠q a n 等比数列的奇数项和偶数项分别同号. 例：等比数列}{n a 中，,9,462==a a 则=4a ________.答：6. 4.等比数列的前n 项和公式 等比数列的公比为),0(≠q q 其前n 项和为,n S 当1=q 时，=n S 1na ； 当1≠q 时，=n S q q a n --1)1(1=q q a a n --11. 注意（1）在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论. （2）因为等比数列的前n 项和比较复杂，通项公式比较简单，所以能将“和”化“项”能简化运算，这也是一种重要的解题方法. 例：等比数列}{n a 中，n S 是数列}{n a 的前n 项和，,333a S =则公比=q ______.答：1,2 1- . 5.等比数列的判定方法 （1）定义法：对于数列{}n a ，若q a a n n =+1，则数列{}n a 是等比数列. （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若n n n n a a a a 112+++=，则数列{}n a 是等比数列. 6.等比数列的常用性质 （1）等积性质:若}{n a 为等比数列，且),,,,,(2* ∈=+=+N s n m l k s n m l k 则 .2s n m l k a a a a a =⋅=⋅ （2）片段和性质：等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 则n n n n n S S S S S 232,,--仍为等比数列， 其公比为.n q （注意：此结论要求任意的,0≠n S 如公比为1-的等比数列不满足这个性质.) （3）隔项成等比：若}{n a 成等比数列，公比为,q 则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 成公比 为m q 的等比数列.（4）单调性：当⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a 时，}{n a 为递增数列；当⎩⎨⎧<<>1 001q a 或⎩⎨⎧><101q a 时，}{n a 为递减数列.（5）奇偶性质：{}n a 是等比数列且项数是偶数，则.q S S =奇 偶 7.一种设法：（1）若三个数成等差数列，则可设为d a a d a +-,,；若四个数成等差数列， 则可设为.3,,,3d a d a d a d a ++--（2）若三个数成等比数列，则可设为aq a q a ,,. 8.等差数列与等比数列的联系 （1）若数列}{n a 是等差数列，则数列}{n a b 是等比数列，公比为,d b 其中b 是常数且0>b 且1≠b ，d 是}{n a 的公差. （2）若数列}{n a 是等比数列，且,0>n a 则数列}{log n b a 是等差数列，公差为,log q b 其中b 为常数且0>b 且1≠b ，q 是}{n a 的公比. （3）若数列}{n a 既是等差数列又是等比数列，则}{n a 是非零常数列.
高三数学等比数列知识点
高三数学等比数列知识点 数学在高中阶段是一个重要的学科，其中等比数列也是其中的一个重要知识点。等比数列是数学中常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的比值都相等。在高三数学中，学生需要掌握等比数列的基本概念、性质和应用。本文将分为以下几个部分介绍高三数学等比数列的相关知识。 一、等比数列的基本概念 等比数列是指一个数列中的每一项与其前一项的比值相等。具体而言，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ...，相邻的两项之间满足如下关系： a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = ... 这个比值称为等比数列的公比，通常用字母q表示。 此外，等比数列的第一项a₁和公比q也是等比数列的两个重要要素。 二、等比数列的性质 1. 等比数列的通项公式
等比数列的通项公式可以通过观察数列的规律得到。对于一个 等比数列a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁为首项，q为公比，数列的通项 公式为： aₙ = a₁ * q^(n-1) 其中，aₙ表示数列的第n项。 这个公式可以方便地计算数列中任意一项的值。 2. 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和是指数列中前n项的和值。对于一个等比 数列a₁, a₂, a₃, ...，其前n项和Sₙ的计算公式为： Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q) 这个公式是通过数列的首项、公比和项数来计算前n项和的值。 3. 等比数列的性质 等比数列具有一些重要的性质，包括： （1）等比数列中，任意两项的比值都是相等的。 （2）等比数列当公比q大于1时，数列会呈现出递增的规律；当公比q小于1且大于0时，数列会呈现出递减的规律。
高考数学等比数列知识点-等比数列的所有公式
高考数学等比数列知识点|等比数列的所有公式 (1)定义式： 任意两项 的关系为 (5)等比中项： 若 为 或者 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。 (7)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+......+anB=an+1+......+a2n C=a2n+1+ (3) 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n 2.若A=a1+a4+a7+……+a3n- 2 B=a2+a5+a8+……+a3n- 1 C=a3+a6+a9+……+a3n 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q 性质 (1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 (3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G≠0)”。 (4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则 {a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3… {can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为 q1，q1q2，q1/q2。 (5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。 (6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。 (7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n- 1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 (8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。 求通项方法 (1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an? 构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x) a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3
(完整版)等比数列知识点总结
等比数列 知识梳理： 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?= ?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即： 2 A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项 互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列2 11n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列 （2）等比中项：2 1111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：
高三数学数列知识点归纳总结
高三数学数列知识点归纳总结数列是高中数学中的一个重要知识点，对于高三学生来说，熟练掌握数列的概念、性质和应用是至关重要的。为了帮助同学们更好地复习和总结数列知识，下面将对高三数学数列知识点进行归纳总结，希望对同学们的学习有所帮助。 一、基础概念 数列是按照一定的规律排列成的一列数，通常用字母a、b、c 等表示。其中，a1为数列的第一个数，an为数列的第n个数，n 为自然数。 二、等差数列 1. 定义：等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数，该常数称为公差，通常用字母d表示。 2. 求通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项an可表示为an=a1+(n-1)d。 3. 求和公式：等差数列的前n项和Sn可表示为Sn=(a1+an)×n/2 或 Sn=n/2×[2a1+(n-1)d]。
三、等比数列 1. 定义：等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数，该常数 称为公比，通常用字母q表示。 2. 求通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项 an可表示为an=a1×q^(n-1)。 3. 求和公式：等比数列的前n项和Sn可表示为Sn=a1×[1- q^n]/(1-q)。 四、等差数列与等比数列的比较 1. 差别：等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两 项之比为常数。 2. 公式：等差数列的通项公式中含有公差d，等比数列的通项 公式中含有公比q。 3. 求和：等差数列的求和公式中含有首项a1、末项an和项数n，等比数列的求和公式中同样含有首项a1和项数n，但末项an与公 比q有关。 五、数列的应用
1. 等差数列的应用：等差数列常应用于描述一些增长或减少的 情况，如成绩的变化、人口的增长等。 2. 等比数列的应用：等比数列常应用于描述指数增长或指数衰 减的情况，如病毒传播、存款利息等。 六、数列的性质 1. 递推关系：数列的递推关系是指通过前一项与公式计算得出 后一项的关系。 2. 递归公式：数列的递归公式是指通过前一项与前两项计算得 出后一项的关系。 3. 有界性：数列可能是有界的（即存在上界或下界），也可能 是无界的（即没有上界或下界）。 4. 单调性：数列可能是递增的、递减的或者单调不变的。 5. 极限存在性：数列可能存在极限，也可能不存在极限。 以上就是对高三数学数列知识点的归纳总结，希望能够帮助同 学们回顾和梳理数列的概念、性质和应用。在复习过程中，同学 们可以结合教材中的例题进行练习，加深对知识点的理解和掌握。希望同学们都能在数学学习中取得好成绩！
等比数列的知识点总结
等比数列的知识点总结 数列在数学中有着非常重要的地位，尤其是等比数列，更是数学中常见且重要的一种数列。等比数列是数列中的一种，大家可以把它看作是是一连串数的有序排列，每一个数都比前一个数都要大（小）一定的倍数。接下来我们将具体介绍等比数列的基本概念、性质和公式，以及等比数列在数学中的应用。 一、等比数列的基本概念 等比数列是指由首项 a1 和公比 r 组成的数列，即数列的任意一项与它的前一项的比是一个常数，这个常数就是公比。等比数列的通项公式如下： an = a1 × r^(n-1) 其中，an 表示第 n 项，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示第 n 项。 二、等比数列的性质
1.任意两项之商相同，即任意两项的比值都是常量，这个常量就是公比 r。 2.若首项为 a1，公比为 r，等比数列有无限项。 3.等比数列中，若 r>1，则数列单调递增；若0 其中，S_n 表示数列的前 n 项和，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示数列中的项数。 2. 等比数列的通项公式 an = a1 × r^(n-1) 其中，an 表示第 n 项，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示第 n 项。 3. 等比数列中的数列求和公式 Sn = a1(1 - r^n) / (1 - r) 其中，Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示数列中的项数。 四、等比数列在数学中的应用 高三等比数列知识点 解析 数学作为一门重要的学科，在高中阶段占据着至关重要的地位。而在数学学科中，等比数列与等差数列是高三学生最常接触的数 列类型之一，且对学生的数学思维与分析能力有着较大的考验。 在本文中，我们将对高三等比数列的基本概念、性质和解题技巧 进行详细论述。 一、等比数列的基本概念 等比数列是指一个数列中，从第二个数起，每一个数都是前一 个数乘以同一个常数得到的。例如，数列1，2，4，8，16就是一 个等比数列，公比为2。 在等比数列中，每个数与它的前一个数之比是相等的，这个比 值叫做公比。并且，公比的绝对值大于1时，数列的绝对值会呈 现出递增的趋势；而公比的绝对值在0到1之间时，则数列的绝 对值会呈现出递减的趋势。 二、等比数列的性质 1. 前n项和公式 等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。 这个公式可以帮助我们求解等比数列前n项和，其中的（1-q^n）部分是通过公比的n次幂来表示的。需要注意的是，当公比q等 于1时，前n项和公式会退化为等差数列的前n项和公式Sn=n*a1。 2. 通项公式 等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。 通过通项公式，我们可以方便地求得等比数列中任意一项的值。如果已知首项和公比，通过代入数值即可计算出对应的项数的数值。 3. 其他重要性质 （1）对于任意等比数列，首项与公比的乘积等于第二项与公 比的乘积，即a1 * q = a2。这个性质是由等比数列的定义所确定的。 （2）等比数列任意两项的比值都是相等的。这个性质在解题 过程中有着很大的应用价值，可以帮助我们确定未知量的值。 三、等比数列的解题技巧 1. 确定题目所给信息和所求结论 在解题过程中，首先要仔细阅读题目，理解题目所给的条件和 所要求的结果。通过明确题目的要求，可以更加有目的地进行解题，在遇到复杂问题时能够有针对性地选择合适的方法。 2. 掌握运用前n项和公式和通项公式 在解决关于等比数列的问题时，掌握前n项和公式和通项公式 是必不可少的。通过熟练运用这两个公式，可以快速计算出数列 的前n项和和任意一项的值。 3. 运用等比数列的性质进行推导和计算 利用等比数列的性质，我们可以进行相关的推导和计算。例如，通过前n项和公式和通项公式，可以求解一个等比数列从第m项 到第n项的和；通过等比数列的公比特点，可以求解等比数列中 某项的值等。 高中数学数列知识点总结 在现实学习生活中，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是小编精心整理的高中数学数列知识点总结，仅供参考，希望能够帮助到大家。 等比数列公式性质知识点 1.等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数). (2)等比中项： 如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1qn-1. 3.等比数列{an}的常用性质 (1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a. 特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=…. (2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m. 4.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数. (2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验 证a1≠0. 5.等比数列的前n项和Sn (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误. 等比数列知识点 1.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 有关系： 注：两个非零同号的实数的'等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。 2.等比数列通项公式 an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q) an=Sn-S(n-1)(n≥2) 前n项和 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1 3.等比数列前n项和与通项的关系 an=a1=s1(n=1) an=sn-s(n-1)(n≥2) 4.等比数列性质 (1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq; (2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} (4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap， 高三等比数列知识点 数列是数学中非常重要的一个概念，它是由一堆有规律的数按特定顺序排列组成的，可以在数学、物理、经济等领域中得到广泛应用。其中，等比数列是一种重要的数列类型，在高中数学中被广泛应用于数列与数列极限、指数函数、对数函数等知识点的学习中。本文将从等比数列的定义、性质及应用等方面对高三等比数列知识点进行阐述。 一、等比数列的定义与性质 1. 定义 等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，该常数称为等比数列的公比。即对于数列$a_1, a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，若满足 $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(q\neq0)$$ 则称为等比数列，其中$q$为该等比数列的公比。 2. 性质 （1）前$n$项和公式：对于等比数列$a_1, a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，前$n$项和公式为 $$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\\ &=a_1(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1})\\ &=\frac{a_1(1-q^n)}{1- q}\end{aligned}$$ （2）通项公式：对于等比数列$a_1, a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，通项公式为$$a_n=a_1q^{n-1}$$ （3）任意两项之比：对于等比数列$a_1, a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，任意两项之比为 $$\frac{a_m}{a_n}=q^{m-n}(q\neq0)$$ （4）等比数列的性质：等比数列的性质包括以下几点： ①当公比$q>1$时，等比数列为递增数列；当公比$q<1$时，等比数列为递减数列；当公比$q=1$时，等比数列为等差数列； ②取绝对值时，等比数列的每一项都是正数； 高三等比数列知识点总结 高三阶段对于数学知识的掌握和熟练应用尤为重要。在高中数 学的学习中，等比数列是一个基础且常见的概念，掌握等比数列 的性质和运算方法对于解题会起到关键的作用。本文将对高三等 比数列的相关知识点进行总结和探讨。 一、等比数列的定义和性质 等比数列是指其任意两项之比相等的数列。通常用“a1、a2、 a3、...”表示等比数列的各项，而公比则用“q”来表示。等比数列可 表示为：a1、a1*q、a1*q^2、...，其中a1为首项，q为公比。 了解等比数列的定义和性质是掌握该概念的关键。首先，等比 数列的每一项与其前一项的比值是固定的，即a(n+1)/an=q，这一 性质被称为等比数列的比值性质。其次，等比数列的第n项可表 示为通项公式an=a1*q^(n-1)。这一公式在解题过程中常常会用到。 二、等比数列的常见运算方法 1. 等比数列前n项和的计算 等比数列前面n项和的计算是高中数学中经常涉及到的问题。为了解决这类问题，需要学会使用等比数列前n项和的公式 S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)。其中a1为首项，q为公比，n为项数。 2. 等比数列的解法 在高三数学中，经常会遇到需要求解等比数列的问题。对于已知首项和公比的等比数列，可以根据通项公式an=a1*q^(n-1)进行求解。例如要求等比数列的第n项，可以通过代入公式求解。同样地，若已知首项和某一项，需要求解公比，则可以通过相邻项之间的比值关系进行计算。 三、等比数列在实际问题中的应用 除了理论性知识的掌握，高三学生还需要将等比数列的概念应用于实际问题。等比数列在实际生活中的应用很广泛，例如金融领域中的利滚利问题，人口增长和生物增长中的模型计算等。 等比数列知识点归纳总结高中等比数列是高中数学中非常重要的一部分。在学习等比数列时，我 们需要掌握一些关键的知识点。本文将对等比数列的基本概念、通项 公式、前n项和以及求和等内容进行归纳总结。 一、基本概念 等比数列是指数列中连续两个数之间的比是一个常数的数列。该常 数称为公比，通常用字母q表示。在等比数列中，首项一般用字母a表示。 二、通项公式 通项公式是指通过将等比数列的第n项与首项a和公比q联系起来，可以直接计算得到任意一项的数值。等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1) 其中，an表示等比数列的第n项，a表示首项，q表示公比，n表示 项数。 三、前n项和 前n项和是指等比数列中前n个数的和。求等比数列前n项和的公 式如下： Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q) 其中，Sn表示前n项和。 四、性质与应用 1. 若公比q>1，则等比数列呈现出递增的趋势；若0 等比数列高考知识点总结 等比数列是高中数学中一个非常重要的概念，不仅在高考中出现频率较高，而且在数学学习的后续阶段也经常被应用。掌握等比数列的相关知识是高考数学理科考生的必备技能之一。下面就从定义、基本性质、常见应用等方面进行总结。 一、等比数列的定义 等比数列指的是一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项的公比倍。具体地，如果一个数列满足对于任意正整数 n，都有 a_{n+1} = a_n * q (q ≠ 0)，其中 a_n 为数列的第 n 项，q 为数列的公比，那么就称这个数列为等比数列。 二、等比数列的基本性质 1. 等比数列的通项公式 对于等比数列中的任意一项 a_n，都可以通过以下公式计算出来： a_n = a_1 * q^(n-1) 其中 a_1 为数列的首项，q 为公比。 2. 等比数列的前 n 项和 等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过以下公式计算出来： Sn = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q) 其中 a_1 为数列的首项，q 为公比。 3. 等比中项的计算 对于等比数列中的任意两项 a_m 和 a_n，都可以通过以下公式计算出它们的等比中项： amn = sqrt(a_m * a_n) 其中 sqrt 为平方根函数。 三、等比数列的常见应用 1. 等比数列在复利计算中的应用 等比数列经常出现在复利计算中。当我们进行复利计算时，每一期的利息都是上一期利息的公比倍。通过等比数列的通项公式和前 n 项和公式，我们可以轻松计算出复利的总额。 2. 等比数列在几何问题中的应用 等比数列在几何问题中也经常被应用。例如，当我们研究物体的成长、缩减或者某种特性的变化时，经常会遇到等比数列。通过等比数列的性质，我们可以方便地分析物体的发展趋势。 3. 等比数列在数列求和中的应用 等比数列的前 n 项和公式在数列求和中扮演着重要的角色。考生掌握等比数列的前 n 项和公式，可以快速求解高考中出现的相关题型，提高解题效率。 高中数学等比数列知识点总结归纳 高中数学中等比数列是必考之一，等比数列是高中数学的一个重要知识点也是一个难点，很多人在学完等差数列之后再学等比数列就更容易相互混淆了。下面是小编为大家整理的关于高中数学等比数列知识点总结，希望对您有所帮助! 等比数列公式性质知识点 1.等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数). (2)等比中项： 如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1qn-1. 3.等比数列{an}的常用性质 (1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a. 特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=…. (2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m. 4.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的'，公比q 也是非零常数. (2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 5.等比数列的前n项和Sn (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误. 等比数列知识点 1.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 有关系： 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。 2.等比数列通项公式 an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q) an=Sn-S(n-1)(n≥2) 前n项和 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1 3.等比数列前n项和与通项的关系 an=a1=s1(n=1) an=sn-s(n-1)(n≥2) 4.等比数列性质 (1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq; (2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} (4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。 等比数列高考知识点大全 等比数列是高考数学中的重要知识点之一，几乎每年都会在高考 中出现。它不仅仅是一个数列的形式，更是一种数学思维方式的体现。下面，我们将全面地总结和讨论等比数列的相关知识点。 一、等比数列定义 等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每一项都等于前一 项乘以同一个常数。这个常数被称为等比数列的公比，常用字母q表示。 二、等比数列的通项公式 设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an。那么等比数列的通项公式为： an = a1 * q^(n-1) 三、等比数列的前n项和 等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式来计算： Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) 四、等比数列性质 1. 等比数列的公比不能为0，否则数列将全部是0。 2. 如果公比q大于1，数列会呈现出递增的趋势；如果公比q小于1但大于0，数列会呈现出递减的趋势。 3. 如果公比q小于-1或大于1，数列会发散，不存在有限项和。 4. 等比数列可以通过求解方程来确定其首项和公比。 五、等比数列的应用 1. 等比数列可以用来描述一些实际问题，比如传染病的传播过程，利息的复利计算等等。 2. 在概率统计中，等比数列可以用来描述负指数分布和幂律分布等特殊分布。 3. 在金融领域，等比数列可以用来描述复利计算，比如存款的本利和计算。 4. 在几何问题中，等比数列常常与等比比例、相似三角形等概念相联系。 六、等比数列的解题技巧 1. 确定首项和公比，描绘等比数列的特征。 2. 利用通项公式和前n项和公式，计算数列中的特定项和一定范围内的和。 3. 利用等比数列的性质，解决与等比数列相关的应用题。 4. 与等差数列进行比较，利用等差数列与等比数列的区别解决 2023高中数列知识点总结 2023高中数列知识点总结1 等比数列公式性质知识点 1.等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q为非零常数). (2)等比中项： 如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b 的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1qn-1. 3.等比数列{an}的常用性质 (1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a. 特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=…. (2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠ -1);an=amqn-m. 4.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的'，公比q也是非零常数. (2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 5.等比数列的前n项和Sn (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误. 等比数列知识点 1.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 有关系： 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab 是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。 2.等比数列通项公式 an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q) an=Sn-S(n-1)(n≥2) 前n项和 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1) 2020高三一轮基础达标 考点23等比数列及其前n 项和 一、选择题 1．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95 D ．80 2．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 3．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，则a 5＝( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－32 4．等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋log 35 5．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A ．－2 B ．－ 2 C ．±2 D. 2 6．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝( ) A ．10 B ．25 C ．50 D ．75 7．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 8．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13 D ．1 3 9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( ) A ．4n － 1 B ．4n －1 C ．2n － 1 D ．2n －1 10．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n － 1＋b ，则a b ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 11．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) （1）理解等比数列的概念. （2）掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. （3）了解等比数列与指数函数的关系. 一、等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数. 2．等比中项 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时2G ab =． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠． 等比数列通项公式的变形：n m n m a a q -=． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1n n a a q q = ⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q = ⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1x a y q q =⋅的图象上一些孤立的点． ①当101a q >⎧⎨ >⎩ 或10 01a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列； ②当1001a q >⎧⎨ <<⎩或10 1a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列； ③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠； ④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 二、等比数列的前n 项和公式 首项为1a ，公比为q 的等比数列 {} n a 的前n 项和的公式为 111,1.(1),111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪ =--⎨=≠⎪--⎩ （1）当公比1q =时，因为10a ≠，所以1n S na =是关于n 的正比例函数，则数列 123,,,,,n S S S S L L 的图象是正比例函数1y a x =图象上的一群孤立的点． （2）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是1(1) 1n n a q S q -=-，即 11n n a S q q =- ⋅-11a q +-，设11a m q =-，则上式可写成n n S mq m =-+的形式，则数列123,,,,,n S S S S L L 的图象是函数x y mq m =-+图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和n S 是一个关于n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 三、等比数列及其前n 项和的性质 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质： （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ． 推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①L L ②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =． （2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列； 数列1{ }n a 是公比为1 q 的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列； 若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．高三等比数列知识点
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