初一数学绝对值难题解析

绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。

绝对值有两个意义：

(1)代数意义：非负数(包括零)的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

即|a| = a (当 a >0) , |a| = — a (当a v 0)

(2)几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：

(1)|a| >; ( 2) |ab| = |a| |b| ； ( 3) |a/b| = |a|/|b|(b 工0)

(4) |a| —|b| w |a + b| w|a| + |b|; ( 5) |a| —|b| < |a —b| <|a| + |b|;

思考：|a + b| = |a| + |b|，在什么条件下成立？

|a —b| = |a| —|b|，在什么条件下成立?

常用解题方法：

(1)化简绝对值：分类讨论思想(即取绝对值的数为非负数和负数两种情况)

(2)运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。

(3)零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

例题解析：

第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用

1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下

列式子：

旦4 0屮如

(1)|a —b| - |c —b|

解：■/ a v 0, b >0 ??? a —b v 0

c v 0 , b > 0 ? c —b v 0

故，原式=(b —a) —(b —c) = c—a

(2)|a —c| —|a + c|

解：■/ a v 0, c v 0 ? a —c 要分类讨论，a + c v 0

当a—c》0 时，a =^c，原式=(a —c)+ (a + c) = 2a

当 a —c v 0 时，a v c,原式=(c—a)+ (a + c) = 2c

2、设x v —1,化简2 —|2 —|x —2|| o

解：?/ x v—1 ? x—2v 0

原式=2 —|2 —( 2—x) | = 2 —|x| = 2 + x

3、设3 v a v 4，化简|a —3| + |a —6|。

解：3 v a v 4 ?- a — 3 > 0, a —6 v 0

原式=(a—3) —(a—6) = 3

4、已知|a —b| = a + b，则以下说法：(1) a 一定不是负数；(2) b可能是负数；哪个是正确的？答：当 a —b时，a 上b, |a —b| = a —b，由已知|a —b| = a + b，得 a —b = a + b,

解得b = 0,这时a>0;

当 a —b v 0 时，a v b, |a —b| = b —a，由已知|a —b| = a + b，得 b —a = a + b,

解得a = 0,这时b>0;

综上所述，（1）是正确的。

第二类：考察对绝对值基本性质的运用

5、已知2011|x —1| + 2012|y + 1| = 0，求x + y + 2012 的值？解：?/ |x —1| >0, |y + 1| >0 ??? 2011|x —1| + 2012|y + 1| >0 又???已知2011|x —1| + 2012|y + 1| = 0 , ? |x —1| = 0, |y + 1| = 0 ?x = 1 , y=—1，原式=1 —1 + 2012 = 2012

6、设a、b同时满足：

(1) |a —2b| + |b —1| = b —1

(2) |a —4| = 0

那么ab等于多少？

解：?/ |a —2b| >0, |b —1| > ? |a —2b| + |b —1| = b —1 >

?(1 )式=|a —2b| + b —1= b —1 ，得|a —2b| = 0,即卩a = 2b ?/ |a —4| = 0 ? a —4= 0, a = 4

T a = 2b ? b = 2 , ab = 4 X2 = 8

7、设a、b、c 为非零有理数，且|a| + a= 0, |ab| = ab , |c| —c= 0,请化简：|b| —|a + b| —|c—b| + |a —c|。

解：■/ |a| + a = 0, a^0 ? a v 0

■/ |ab| = ab >0 , b 丸,a v 0 ? b v 0, a + b v 0

|c| —c = 0, c 工0 ?? c> 0 , c—b > 0, a —c v 0

?原式=b+( a + b) — ( c—b)+ c — a = b

&满足|a —b| + ab = 1的非负整数(a, b)共有几对？

解：?/ a, b都是非负整数?|a —b|也是非负整数，ab也是非负整数

?要满足|a —b| + ab = 1，必须|a —b| = 1, ab = 0 或者|a —b| = 0, ab = 1

分类讨论：

当|a —b|= 1, a b = 0 时，a = 0, b= 1 或者a = 1, b = 0 有两对（a, b）的取值；

当|a —b|= 0, a b = 1 时，a = 1, b= 1 有一对（a, b）的取值；

综上所述，（a, b）共有3对取值满足题意。

9、已知a、b、c、d 是有理数，|a —b| <9, |c —d| <16，且|a —b —c+ d| = 25,

求|b —a| —|d —c| 的值？

分析：此题咋一看无从下手，但是如果把 a —b和c —d分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|x —y|

解：设x = a —b, y = c —d,贝U |a —b—c+ d| = |x-y|

<9 , |y| <16 /? |x| + |y| <25 ,|x-y| <|x| + |y| <25

???已知|x-y| = 25 = 9, |y| = 16

???|b —a| —|d —c| = | —x| —|—y|= |x| —|y| = 9 —16 = —7

第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论

10.我们知道x沪巴”我们可以用这Fife来化简含有绝对值冊代数式，如l-x (x<0>

化简代数式|丈一1| + |岌+列时*可令宴一丄=0和X+2=0J分别求得工=L尤=乜我们就称1补￡分别论|L1|和卄创的零点值.衽有理数范围内，零点值2=1 ft x=-2可痔全并育理数分成不重复且不遗漏的三个区间*然后进行分类讨论如下*心

(1)当itW-z 时'除式=一(K—1) — (x+a)=—姦一1

2)当-2

C2)当瓷A1 时* 原丈=(览一I) H-(玄+2) = 2x4-l|

(—2x—1 (X < -2)

综上讨论*原式=? 3 ( - 2

(2工十丄(1>1)

以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综

合。

根据以上材料解决下列问题：

(1)化简：2|x - 2| - |x + 4|

(2)求|x - 1| - 4|x + 1| 的最大值。

解：(1 )令x — 2 = 0 , x+ 4 = 0，分别求得零点值：x= 2 , x= -4，分区段讨论：

当x W-4 时，原式=—2 (x —2) + ( x+ 4) = —x + 8

当-4 V x W2 时，原式=—2 ( x —2) — ( x + 4) = —3x

当x>2 时，原式=2 (x—2) — ( x+ 4)= x —8

综上讨论，原式=…(略)

(2) 使用零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。

令X— 1 = 0 , x + 1 = 0，分别求得零点值：x = 1 , x = -1，分区段讨论：

当x W-1时，原式=—(x —1) + 4 (x+ 1 )= 3x + 5，当x=-1时，取到最大值等于2;

当-1 v x W1时，原式=—(x —1) — 4 (x + 1) = —5x —3，此时无最大值；

当x> 1时，原式=(x —1) —4 (x+ 1) = —3x + 3,此时无最大值。

综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。

11、若2x + |4 —5x| + |1 —3x| + 4的值恒为常数，则此常数的值为多少？

解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。

即原式=2x + |5x —4| + |3x —1| + 4

令5x — 4 = 0 , 3x — 1 = 0,分别求得零点值：x= 4/5 , x = 1/3，分区段讨论：

当X W1/3 时，原式=2x —( 5x —4) — ( 3x —1)+ 4 = —6x + 9，此时不是恒值；

当1/3 v x<4/5 时，原式=2x —( 5x —4) + ( 3x —1)+ 4= 7 此时恒为常数7 ;

当x>4/5时，原式=2x +( 5x —4) + ( 3x —1) + 4 = 10x —1，此时也不是恒值。

综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7。

12、若|a| = a + 1 , |x| = 2ax，且|x + 1| + |x —5| + 2|x —m| 的最小值是7,则m 等于多少？解：：?当 a 丸时，|a| = a = a+ 1,得到0 = 1 矛盾二 a v0, |a| = —a= a+ 1 ,解得a =—1/2。■/ |x| = 2ax = —x,即卩x的绝对值等于它的相反数??? x<0

令x+ 1 = 0 , x —5= 0, x—m = 0,分别求得零点值：x =— 1 , x= 5 , x = m

?/x<0 ?要对m进行分类讨论，以确定分段区间：

(1) 若m >0 ,则x取值范围分成x<—1和—1v x<0

当x w —1，原式=—(x+ 1) — ( x —5) —2 (x —m )= —4x + 4 + 2m , x = — 1 时取到最小值8 + 2m

当一1 v x WO，原式=(x + 1) — ( x —5) —2 (x —m) = —2x + 6 + 2m , x = 0 时取到最小值6 + 2m

所以当m >0时，最小值是6 + 2m ,令6 + 2m = 7,得m = 0.5，符合题意

(2)若一1 w m v 0,贝U x取值范围分成x w—1和一1 v x

当x w —1，原式=—(x+ 1) — ( x —5) —2 (x —m ) = —4x + 4 + 2m , x= — 1 时取到最

小值8 + 2m,因为一1 w m v 0 ,所以最小值 >6

当一1 v x w m，原式=(x + 1) — ( x —5) —2 ( x —m) = —2x + 6 + 2m , x = m 时取到最

小值6

所以当—1 w m v 0时，最小值是6，和题意不符。

(3)若m v—1，贝U x取值范围分成x w m和m v x w—1和—1 v x w0

当x w m，原式=—(x + 1) — ( x— 5 ) —2 (x —m) = —4x + 4 + 2m , x= m 时取到最小值 4 —2m

当m v x w—1，原式=—(x + 1) — ( x—5) + 2 (x—m) = 4 —2m，这时为恒值4 —2m 当一1 v x W0，原式=(x + 1) — ( x —5) + 2 (x —m) = 2x —2m + 6，无最小值所以当m v—1时，最小值是4 —2m，令4 —2m = 7,得m = —1.5，符合题意综上所述，m = 0.5或—1.5 。

第四类：运用绝对值的几何意义解题

1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示x的点到原点的距离，

即|x|=|x —0|

|x —1|的几何意义是在数轴上表示x的点到表示1的点的距离，

|x + 2|的几何意义是在数轴上表示x的点到表示一2的点的距离，

|a —b|的几何意义是在数轴上表示a的点到表示b的点的距离。