高考理科数学立体几何(答案详解)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

12.

某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_92___。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

6.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为

答案：几何体的直观图如右，几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥组成，圆锥的高

221534PO =-=,1+=45+94=573

V V V C

πππ=??圆柱圆锥

，故选

15.如图，圆O 的半径为1，A B C 、、是圆周上的三点，满足030ABC ∠=，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，=PA 则

解：连OA 得06021AOP OP PC ∠===，所以，，所以2+213=3PA PC PC PA =?=?∴（），

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

第（12）题图

俯视图24

5

侧（左）视图

正（主）视图4

（4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，122CC =E 为1CC 的中点，则

直线1AC 与平面BED 的距离为

（A ）2（B 3C 2（D ）1 答案：D

（16）三棱柱11

1

ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，

1160BAA CAA ∠=∠=o ，则

异面直线1

AB 与1BC 所成角的余弦值为62012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ B ） A 、

B 、

C 、

D 、

6、下列命题正确的是（ C ）

A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

14、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，

则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____90o ____。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 11．如图2，过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点．若1=PA ，

2=AB ，3=PO ，则⊙O 的半径等于6．

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

5.如图. ∠ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则(A )

A. CE·CB=AD·DB

B. CE·CB=AD·AB

C. AD·AB=CD 2

D.CE·EB=CD 2

【解析】在ACB ?中，∠ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，所以

DB AD CD ?=2,由切割线定理的CB CE CD ?=2,所以CE·CB=AD·DB 。 【答案】A

2012年全国卷新课标——数学理科

11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，

SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为

A.

6

2 B.

6

3 C.

3

2 D.

2

2 【解析】选A.

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为cm 3． 解：由题意得11111221

3326332

A B

B D D ABD A B D V V --==????=

2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（A ） （A ）

55（B ）53（C ）5

5

（D ）35

【解析】设2CA =,则(0,0,0)C ，A(2,0,0)，B(0,0,1)，1C (0,2,0)，1(0,2,1)B ，可得向量

1(2,2,1)

AB =-u u u r

，

1(0,2,1)BC =-u u u u r

，由向量的夹角公式得

115

cos 50+4+14+4+15

AB BC ???u u u r u u u u r （），，故选A （几何选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为

F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ?=5。

由相交弦定理可知2155ED AE EB =?=?=，又易知EBD ?与

FED ?相似，得2DF DB=ED 5?=。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海

D

A

B

C

1

1D 1A

1B

卷）

12．在平行四边形ABCD 中，3

π

=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别

是边BC 、|

||

|CD BC =

AN AM ?的取值范围是.

【答案】[]5,2

【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以5

1(0,0),(2,0),(,1)(,1).2

2

A B C D 设

1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).

22224284423

N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)8

3235,4821(

),1,(x x AM x AN --==→

→

. 所以8

3235)4821(

x x x AN AM -+

-=?→

→???

??≤≤2521x ，所以2 5.AM AN →→≤?≤

14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=， 且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是.

【答案】

13

2

22--c a c 【解析】据题a CD AC BD AB 2=+=+，也就是说，线段

CD AC BD AB ++与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC

互相垂直，当ABD BC 平面⊥时，此时有最大值，此时最大值为：

13

2

22--c a c . CD 6

4

2

2

4

6

10

5

5

10

A

D

C

B

M

N

2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

【解析】：利用三视图得几何体，再求表面积。由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为

4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为

2(43+41+31)-2+2=38ππ???。

（16）已知正三棱锥P-ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为

【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题，如图，满足题意的正三棱锥P ABC -可以是正方体的一部分，其外接球的直径为正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16

，故球心到截面的距离为16?。

解答题：

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

18．平面图形111ABB AC C 如图1所示，其中11BB C C

是矩形，

1111124BC BB AB AC A B AC ======，，现将该

平面图形分别沿BC 和11B C 折叠，使?ABC 与111A B C ?所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,,A A A B AC 得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。 （Ⅰ）证明：1AA BC ⊥；

（Ⅱ）求1AA 的长；

（Ⅲ）求二面角1A BC A --的余弦值。

解析：

（Ⅰ）证明：取BC 、B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 、DD 1、AD 由111111*********

=BB C C DD B C BB C C A B C DD A B AC ⊥⊥⊥为矩形知：，因为平面平面，所以平面。 图2

图1

B

C1B1

知1111A D B C ⊥,故1D 为坐标原点，可建立如图所示的空间之间坐标系1D xyz - 由题设，可得112, 1.A D AD ==

由以上可知11111111//AD CC A D CC AD A D ⊥⊥平面BB ，平面BB ，于是所以

(01,4),(1,0,4)A B -，1(0,2,0)A (1,0,4)C -(0,0,4)D ,故1(0,3-4)AA →=，,(2,00)BC →

=-，.10BC AA →

→

=g ，因此1BC AA →

→

⊥即1BC AA ⊥

（Ⅱ）解：因为1(0,3-4)AA →=，

，所以15AA →

=，即15AA = （Ⅲ）解：连结AD ，由BC AD ⊥,1BC AA ⊥可知1BC AA D ⊥平面,1BC A D ⊥,所以

1A DA ∠为二面角1--A BC A 的平面角，因为(01,0)DA →=-，1(02,-4)DA →

=，,所以

1cos <,DA DA →→

1--A BC A 的余弦值为-5 2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

18.如图所示，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，

PA ABCD E PC PC BDE ⊥⊥平面，点在线段上，平面

（1）证明：BD PAC ⊥平面

（2）12若PA=，AD=，求二面角B-PC-A 的正切值 解析：（1）

,PA ABCD BD ABCD BD PA PC BDE BD BDE BD PC

⊥?∴⊥⊥?∴⊥证明：因为平面，平面，又因为平面，平面，=PA PC P BD PAC ?⊥而，所以平面

21,AC ABCD ABCD AC BD O PC BDE ⊥⊥⊥∠（）由（）BD 平面PAC ，所以BD 又四边形为矩形，所以四边形是正方形。设交于点，因为平面，所以BEO 即二面角B-PC-A 的平面角

12PA BO OC =∴==Q ，AD=，AC=

OC PC OE PC ∴===

=

2

tan 13213

BO

BEO EO

∠==在直角三角形中，BEO=

所以二面角B PC A --132012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

如图，在直三棱柱ABC -111A B C 中，=4AB ，=BC=3AC ，D 为B A 的

中点。

（1）求点C 到平面1

1

B B AA 的距离

（2）若11B C A A ⊥，求二面角11-CD-C A 的平面角的余弦值 解：（1）

111,AC BC D AB CD AA BB =⊥⊥⊥为的中点，得CD AB ，又CD AA ，故面，所以点C 到

面11A AB B 的距离为

22-=5

CD BC BD =（2）取1D 为11A B 的中点，连结1DD ，则111////DD AA CC ，由由（1）知CD ⊥面11AA B B ，故1CD DA ⊥，1CD DD ⊥，所以1ADD ∠为所求的二面角11A CD C --的平面角 因1A D 为1A C 在面11AA BB 上的射影，又已知，由三垂线定理的逆定理知11AB A D ⊥，从

而11A AB ∠、1A DA ∠都与1BAB ∠互余，因此111=A AB A DA ∠∠，所以111Rt A AD Rt B A A ??:，

因此

1111

AA A B AD

AA =

即2

111AA AD A B =?=8.得1=22AA 2211D=23A AA AD +=所以在11Rt A DD V 中，

1111116

cos DD AA A DD A D A D ===

.

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =，

2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；

（Ⅱ）设二面角A PB C --为90o ，求PD 与平面PBC 所成角的大小。 解：（Ⅰ）因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又PC BD ⊥.设

AC BD F =I ,连结EF ，因为22AC =2PA =,2PE EC =，故

23PC =23EC =

,2FC =从而6PC

FC =，6AC EC =.因为PC

AC FC EC

=，FCE PCA ∠=∠，所以FCE PCA ??:，0=90FCE PCA ∠=∠，因此

知PC EF ⊥.

PC 与平面BDE 内两条相交的直线BD ，EF 都垂直，所以PC BED ⊥平面.

（Ⅱ）在平面PAB 内过点A 作AG PB ⊥，G 为垂足。因为二面角--A PB C 为90o ，所以平面PAB ⊥平面PBC ，又平面PAB I 平面PBC PB =，故AG ⊥平面PBC ，AG BC ⊥。 BC 与平面PAB 内两条相交的直线PA ，AG 都垂直，故BC ⊥平面PAB ，于是BC AB ⊥，所以底面ABCD 为正方形，=2AD ，2222PD PA AD =

+=.

设D 到平面PBC 的距离为d.因为//AD BC ，且AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，故

//AD 平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 所成的角为α，则

1sin =2

d PD α=

，所以PD

与平面PBC 所成的角为30o

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

19、(本小题满分12分)

如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=o ，60PAB ∠=o ，AB BC CA ==，平面

PAB ⊥平面ABC 。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。 解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，

AD 的中点为O ，

连结PO 、CO 、CD 。由已知，PAD ?为等边三角形。所以PO AD ⊥。

又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AD =，所以PO ⊥平面ABC 。所以

OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成的角。不妨设4AB =

，则2PD =，23CD =，1OD =，

3PO =。在Rt OCD ?中，2213CO OD CD =+=。

所以在Rt POC ?中，339

tan 1313

PO OCP CO ∠=

==

。故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为39

arctan

（Ⅱ）过D 作DE AP ⊥于E ,连结CE .由已知可得，CD ⊥平面PAB .根据三垂线定理知，CE PA ⊥.所以CEO ∠为二面角B AP C --的平面角。 由（Ⅰ）知，DE =3，在Rt CDE ?中，23

tan ==23

CD CED DE ∠= 故二面角B AP C --的大小为arctan 2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

18．（本小题满分12分）

如图5，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，4AB =，

3BC =，5AD =，90DAB ABC ∠=∠=?，E 是CD 的中

点．

（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；

（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P ABCD -的体积． 【解析】

（Ⅰ）如图，连结AC ，由4AB =，3BC =，90ABC ∠=o 得5AC =，又5AD =，

E 是CD 的中点，所以CD AE ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD .所以

PA CD ⊥，而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .

（Ⅱ）过点B 作//BG CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连结PF ，由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAE ，BG ⊥平面PAE ，于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.由PA ⊥平面ABCD 知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.由题

意PBA BPF ∠=∠，因为sin PA PBA PB ∠=

，sin BF

BPF PB

∠=，所以PA BF =.由90DAB ABC ∠=∠=o 知，//AD BC ，又//BG CD ，所以四边形BCDG 为平行四边

形，故3GD BC ==，于是2AG =，在Rt BAG ?中，4AB =，2AG =，BG AF

⊥所以2

2

25BG AB AG =+=285

25AB BF BG ===

.于是855PA BF ==，又梯形ABCD 的面积为1

(53)4162

S =

?+?=，所以四棱锥P ABCD -的体积为118512851633V S PA =??=?=。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

19.（本题满分12分）

在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 15，BC=4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。

（1）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；

（2）求平面111A B C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值。 解：

（1） 证明：连结AO ，在1AOA ?中，作1OE AA ⊥于点E ，因为11//AA BB ,得1OE BB ⊥，

因为1A O ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥。因为AB AC =，OB OC =，得AO BC ⊥，所以BC ⊥平面1AA O ，所以BC OE ⊥，所以OE ⊥平面11BB C C ，又

2

2

-1AO AB BO =，15AA =得215

AO AE AA ==

. （2） 如图，分别以OA ，OB ，1OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，

则(1,0,0)A ，(0,2,0)B ，(02,0)C -，，1(0,0,2)A ，由115

AE AA =u u u r u u u r

得点E 的坐标

是42(,0)55，，由（1）得平面11BB CC 的法向量是42

(,0)55

OE =u u u r ，，设平面111A B C 的

法向量是=(x,y,z)n ，由1

0n AB n AC ??=???=??u u u r u u u r ,得200x y y z -+=??+=?，令1y =，得，2,1

x z ==-

即(2,1,1)n =-r

，所以cos ,OE n OE n OE n ?<>==

?u u u r r

u u u r r u u u r r .即平面11BB CC 与平面11A B C

是夹角的余弦值是

10

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

16．（本小题共14分）

如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2. (I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

(III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由

解：（1），

平面，

又平面，

又，

平面。

（2）如图建系，则，

，，

∴, 设平面法向量为

Q CD DE ⊥1

A E DE ⊥∴DE ⊥1

ACD Q 1A C ?1

ACD ∴1

A C ⊥DE 1

AC CD ⊥∴1

A C ⊥BCDE C xyz -()200D -，

，(00A ，，()030B ，，()220E -，

，(103A B =-u u u r

，，()

1210A E =--u u u u r ，，1

A BE ()n x y z =r

，，

y

C

则 ∴ ∴ ∴ 又∵

∴ ∴

，

∴与平面所成角的大小。

（3）设线段上存在点，设点坐标为，则

则， 设平面法向量为， 则 ∴ ∴。

假设平面与平面垂直，

则，∴，，，

∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

18.（本小题满分13分）

如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点。

（Ⅰ）求证：1

1AD E B ⊥；

（Ⅱ）在棱1

AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。

1

100A B n A E n ??=???=??u u u r r u u u u r r 323020y z x y ?-=??--=??32z y y x ?=???

?=-??(123

n =-r

，，(103

M -，，(103

CM =-u u u u

r ，，2cos ||||14313222

CM n CM n θ?==?++?+?u u u u r r u u u u r r CM 1

A BE 45?BC P P ()00a ，，[]03a ∈，(1023

A P a =-u u u r ，，()20DP a =u u u

r ，，1A DP ()1111n x y z =u u r ，，1111

23020ay z x ay ?

-=??+=??1111312z x ay ?=???

?=-??()

1363n a a =-u

u r ，，1

A DP 1

A BE 1

0n n ?=u u r r 31230a a ++=612a =-2a =-03a <

A DP 1

A BE

（Ⅲ）若二面角1

1A A B A --的大小为030，求AB 的长。

解：（1）以A 为原点，AB u u u r 、AD u u u r

、1

AA u u u r 的方向分别为x 轴，y

轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB α=，则(0,0,0)A ，(0,1,1)D ，1(0,1,1)D =，(,1,0)

2

E α

，1(,0,1)B α=，

故1(0,1,1)

AD =u

u u u r ，1(,1,1)2a B E =--u u u r

，1(,0,1)AB a =u u u r ，(,1,0)

2

a AE =u u u r . Q 11011(1)10

2

a AD B E ?=-?+?+-?=u u u u r u u u r ，11

B E AD ∴⊥ （2）设在棱1

AA 上存在一点0(0,0,)P x ，使得//DP 平面1B AE ，此时0(0,1,)DP x =-u u u r ，又设平面1B AE 的法向量(,,)n x y z =r ，n ⊥r Q 平面1B AE ，1n AB ∴⊥r u u u r ，n AE ⊥r u u u r

，得

002

ax z ax

y +=??

?+=??取1x =，得平面1

B AE ，只要,n DP ⊥r 有002a ax -=，解得012x =。又DP ?平面1B AE ，∴存在点P ，满足//DP 平面1

B AE ，此时12

AP =

。

（3）连结1A D 、1B C ，由长方体1111ABCD A B C D -及11AA AD ==，得11

AD A D ⊥，

11//B C A D Q ，11AD B C ∴⊥,又由（1）知11AD B E ⊥,且111B C B E B =I ,1AD ∴⊥平面

11DCB A ，1AD ∴u u u u r 是平面11A B E 的一个法向量，此时1=0,1,1AD u u u u r （）。设1AD u u u u r 与n

r 所成的角为θ，

则

11--a cos =a n AD n AD θ?=?u u u u r u u u u r Q 二面角11

A B E A --的大小为30o ，

cos =cos30θ∴o

，即

32

a

，解得=2a ，即AB 的长为2.

2012年全国卷新课标——数学理科

19. （本小题满分12分）

如图，直三棱柱1

1

1C B A ABC -中，

1

2

1AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1

(Ⅰ)证明：BC DC ⊥1

(Ⅱ)求二面角1

1C BD A --的大小.

(Ⅰ)证明：设

112AC BC AA a

===，Q 直三棱柱1

11C B A ABC -，12DC DC a

∴==，1

2CC a =，

22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥Q ，1DC DC D =I ，1

DC ∴⊥平面BDC .

BC ?Q 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

12DC a =，

15BC a

=，又已知BD DC ⊥1

，3BD a ∴=

.

在Rt ABD △中，

3,,90BD a AD a DAB ==∠=o ，2AB a ∴=.

222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.

法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ，

已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1

DC E ，BD ∴⊥DE ，

1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.

在1

Rt C DE △中，

111212sin 2

2a C E

C DE C D

a ∠=

==，

130C DE ∴∠=o .

即二面角1

1C BD A --的大小为30o .

法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1

CC 为z 轴,建立空间直角坐标系

C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B a

D a a C a .

()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-u u u r u u u u r ，设平面1

DBC 的法向量为()1111,,n x y z =u r ， 则111

11100

n DB ax ay az n DC ax az ?=-+-=??=-+=??r u u u r g r u u u u r g ,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =u r . 同理,可求得平面1

DBA 的一个法向量()21,1,0n =u

u r . 设1

n u r 与2

n u u r 的夹角为θ,则1212

3

cos 62n n n n θ?==

=?u r u u r u r u u r 30θ∴=o . 由图可知,二面角的大小为锐角,故二面角1

1C BD A --的大小为30o .

2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄

BC ，0=45ABC ∠，==2PA AD ，=1AC .

(Ⅰ)证明PC 丄AD ；

（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；

（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长. 解析：

（Ⅰ）由PA ⊥平面ABCD ，可得PA AD ⊥，又由AD AC ⊥，PA AC A =I ，故AD ⊥平面PAC ，又PC ?平面PAC ，所以PC AD ⊥。

（Ⅱ）如图，作AH PC ⊥于点H ，连结DH ，由PC AD ⊥，PC AH ⊥，可得PC ⊥平面AHD ，因此DH PC ⊥，从而AHD ∠为二面角A PC D --的平面角，在Rt PAC ?中，

2PA =，1AC =，由此得

5

AH =

，由（1）得AD AH ⊥。故在Rt DAH ?中，

2

2

2305DH AD AH =+=。因此30sin 6

AD AHD DH ∠==

，所以二面角A PC D

--的正弦值为

306

。

（Ⅲ）如图，因为ADC ∠＜45o ，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，

连结BE 、EF 。故FBE ∠或其补角为异面直线BE 和CD 所成的角，由于//BE CD ，故

AFB ADC ∠=∠。在t R DAC ?中，5CD =sin 5ADC ∠，故sin AFB=

5

∠，

在AFB ?中，由

=sin sin BE AB FAB AFB ∠∠，2

AB =，2sin =sin135=

2AFB ∠o

，可得5由余弦定理，222BF =+AF 2cos AB AB AF FAB -??∠，可得12AF =。设AE h =。在Rt EAF ?中，

2221

4

EF AE AF h =

+=+

在Rt BAE ?中，

2

2

2

12

BE AE AB h =+=+

EBF ?中，因为EF ＜BE ，从而

30EBF ∠=o ，由余弦定理得

222cos302BE BF EF BE BF +-=?o

。可解得10=

10

h 。所以

10AE=

10

。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且P A ⊥平

面ABCD ，P A ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点． (Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；

(Ⅱ)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值．

【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。

(Ⅰ)如图连接BD .

∵M ，N 分别为PB ，PD 的中点， ∴在PBD 中，MN ∥BD ． 又MN 平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD ；

2326??

(Ⅱ)如图建系：

A (0，0，0)，P (0，0，，M (

，，0)， N ，0，0)，C ，3，0)．

设Q (x ，y ，z )，则． ∵，∴． 由，得：

．即：．

对于平面AMN ：设其法向量为．

∵． 则

．∴． 同理对于平面AMN 得其法向量为．

记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为， 则

．

∴所求二面角A —MN —Q ．

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为1

1

B C 的中点．

求证：（1）平面ADE ⊥平面11

BCC B ；

（2）直线1

//A F 平面ADE ．

解：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1

CC ⊥平面ABC ,又

2633233(33)(3326)CQ x y z CP =-=--u u u r u u u r ，，，，(3326)CQ CP λλλλ==--u u u r u u u r ，(33336)Q λλλ-，0OQ CP

OQ CP ⊥??=u u u r u u u r u u u r u u u r

13λ=

2326(2Q ，()n a b c =r ，，33

(0)=(300)

2AM AN =u u u u r u u u r ，，，，，333

0012

30300a AM n b b AN n a c ?=??

???=+=??

???

=

???=???

?

=?

=???

u u u u r r u u u

r r 31(0)3n =r ，(316)v =r ，，θ10

cos n v n v

θ?==

?r r r r 10

AD?平面ABC，所以

1

CC AD

⊥。又因为AD DE

⊥，

1

CC，DE?平面

11

BCC B，又

AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面

11

BCC B。

（2）因为

1111

A B AC

=,F为

11

B C的中点，所以

111

A F

B C

⊥.因为

1

CC⊥平面

111

A B C，且

1

A F?平面

111

A B C，所以

11

CC A F

⊥，又因为

1

CC，

11

B C?平面

11

BCC B，1111

CC B C C

=

I，所以

1

A F⊥平面

11

BCC B，由（1）知AD⊥平面

11

BCC B，所以

1

//

A F AD。

又AD?平面ADE，

1

A F?平面ADE，所以

1

//

A F平面ADE。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

（18）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC

⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。

（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

解析：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,

由余弦定理可知2

2

2

23

)

180

cos(

2CD

DAB

CB

CD

CB

CD

BD=

∠

-

?

?

-

+

=,

即AD

CD

BD3

3=

=,在ABD

?中，∠DAB=60°，AD

BD3

=，则ABD

?为直角三

角形，且DB

AD⊥。又AE⊥BD，?

AD平面AED，?

AE平面AED，且A

AE

AD=

I，

故BD⊥平面AED；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知CB

AC⊥，设1

=

CB，则3

=

=BD

CA,建立如图所示的空间直角

坐标系，)0,

2

1

,

2

3

(

),0,1,0(

),

01

,0(-

D

B

F，向量)1,0,0(

=为平面BDC的一个法向量.

设向量)

,

,

(z

y

x

=为平面BDF的法向量，则

??

?

?

?

=

?

=

?

FB

m

BD

m

,即

??

?

?

?

=

-

=

-

2

3

2

3

z

y

y

x

，

z

x y

取1=y ，则1,3==

z x ，则)1,1,3(=为平面BDF 的一个法向量.

5

5

5

1,cos =

=

>=

m n m ，而二面角F-BD-C 的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C 的余弦值为

5

5。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

18. （本小题满分12分）

（Ⅰ）如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真；

（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明） 解：（I ）如图，记c =b A I ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过 P 作PO π⊥，垂足为O ，则O c ∈，PO π⊥Q ，a π?，PO a ∴⊥，

又a b ⊥，b ?平面PAO ，=PO b P I ，a ∴⊥平面PAO ，又c ?平面PAO ，a c ∴⊥ （II ）逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a c ⊥，则a b ⊥。逆命题为真命题。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，

E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：

（1）三角形PCD 的面积；

（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.

[解]（I ）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，又

AD CD ⊥，所以CD ⊥底面PAD ，从而CD PD ⊥。因为

222(22)23PD =+=2CD =,所以三角形PCD 的面

积为1

22323

2

??=

（II ）取PB 的中点F ，连结EF 、AF ，则//EF BC ，从而AEF ∠（或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角，在AEF ?中，由2EF =

2AF =、2AE =知AEF ?是

等腰直角三角形，所以

4

AEF π∠=

.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小为4

π

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

19．（本小题满分12分）

如图1，，，过动点A 作，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿将△折起，使（如图2所示）． （Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；

（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在 棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

解析：

（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则． 由，知，△为等腰直角三角形，所以. 由折起前知，折起后（如图2），，，且， 所以平面．又，所以．于是

， 当且仅当，即时，等号成立，

故当，即时, 三棱锥的体积最大．

由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，． 如图b ，取的中点，连结，，，则∥. 由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如图c ，延长至P 点使得，连，，则四边形为正方形， 所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥， 所以. 因为平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以. 因为当且仅当，而点F 是唯一的，所以点是唯一的. 即当（即是的靠近点的一个四等分点），． 45ACB ∠=o 3BC =AD BC ⊥AD ABD 90BDC ∠=o BD A BCD -A BCD -E M BC AC CD N EN ⊥BM EN BMN ABC (03)BD x x =<<3CD x =-AD BC ⊥45ACB ∠=o ADC 3AD CD x ==-AD BC ⊥AD DC ⊥AD BD ⊥BD DC D =I AD ⊥BCD 90BDC ∠=o 11

(3)22

BCD S BD CD x x ?=

?=-1111

(3)(3)2(3)(3)33212A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=?--3

12(3)(3)2

1233x x x +-+-??≤=????

23x x =-1x =1x =1BD =A BCD -A BCD -1BD =2AD CD ==CD F MF BF EF MF AD AD ⊥BCD MF ⊥BCD FE FP DB =BP DP DBPF DP BF ⊥DF N EN E FP EN DP EN BF ⊥MF ⊥BCD EN ?BCD MF EN ⊥MF BF F =I EN ⊥BMF BM ?BMF EN BM ⊥EN BM ⊥EN BF ⊥N 1

2

DN =

N CD D EN BM ⊥D A

B C A

C D B 图2 图1 M E . ·