2014届高考数学文二轮专题突破：专题一 第4讲不等式及线性规划
第4讲 不等式及线性规划
【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．
1．四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法
①变形?f (x )
g (x )
>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)；
②变形?f (x )
g (x )≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.
(3)简单指数不等式的解法
①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； ②当0a g (x )?f (x ) ①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0log a g (x )?f (x ) (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)． (4)ab ≤(a ＋b 2)2 (a ，b ∈R )． (5) a 2＋ b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b (a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是???? ? a >0，Δ<0. (2)ax 2 ＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是? ???? a <0， Δ<0. 考点一 一元二次不等式的解法 例1 (2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等 式f (x ) 解析 由题意知f (x )＝x 2 ＋ax ＋b ＝????x ＋a 22＋b －a 2 4 . ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 2 4. ∴f (x )＝????x ＋a 22. 又∵f (x ) 22 2 ＋c . ∴??? －a 2 －c ＝m ， ①－a 2＋ c ＝m ＋6. ② ②－①，得2c ＝6，∴c ＝9. 二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考 查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法． (1)已知p ：?x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：?x ∈R ，x 2 ＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真 命题，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．[0,2] (2)设命题p ：{x |0≤2x －1≤1}，命题q ：{x |x 2－(2k ＋1)x ＋k (k ＋1)≤0}，若p 是q 的充 分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (1)C (2)??? ?0，12 解析 (1)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2 2≤x ≤1}，q ：{x |k ≤x ≤k ＋1}， 由p ?q 且qD ?/p ，则????? k ≤12 1≤k ＋1， ∴0≤k ≤1 2，即k 的取值范围是????0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题 例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.24 5 B.285 C ．5 D ．6 (2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)C (2)210 5 解析 (1)∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15????1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝1 5(3x ＋4y )????1y ＋3x ＝15????3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15????3x y ＋12y x ≥135＋1 5×23x y ·12y x ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5. (2)方法一 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1， ∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－3 2·2xy ＝1， ∴(2x ＋y )2－32·????2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤8 5， 即2x ＋y ≤210 5 . 等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝ 1010，y ＝105 时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1， 得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 是实数， 故Δ＝9t 2－24(t 2－1)≥0，解得t 2≤8 5 ， 即－2105≤t ≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值为2105 . 方法三 化已知4x 2＋y 2＋xy ＝1为????2x ＋14y 2＋????154y 2 ＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤210 5 . 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基 本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件． (1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为 ( ) A ．1 B.32 C ．2 D.5 2 答案 B 解析 2x ＋ 2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2(x －a )·2x －a ＋2a ＝4＋2a ， 由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为3 2 ，故选B. (2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为 ( ) A ．0 B.9 8 C ．2 D.94 答案 C 解析 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2， 则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2 xy ＝x y ＋4y x －3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2. 所以当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 考点三 简单的线性规划问题 例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车 辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求 租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 ( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元 答案 C 解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y x 、y 满足????? x ＋y ≤21y －x ≤7 36x ＋60y ≥900， x ，y ≥0，x 、y ∈N 画出可行域如图 直线y ＝－23x ＋z 2 400过点A (5,12)时纵截距最小， ∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元． (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目 标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数． (1)(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0， 3x ＋y －8≤0 所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 ( ) A ．2 B ．1 C ．－1 3 D ．－12 (2)(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组???? ? 2x －y ＋1>0，x ＋m <0， y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0， y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是 ( ) A.? ???－∞，4 3 B.? ???－∞，1 3 C.? ???－∞，－2 3 D.? ???－∞，－5 3 答案 (1)C (2)C 解析 (1)由? ???? x ＋2y －1＝0， 3x ＋y －8＝0 得A (3，－1)． 此时线OM 的斜率最小，且为－1 3 . (2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域． 要使可行域内包含y ＝1 2x －1上的点，只需可行域边界点(－m ， m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－2 3 . 1． 三个“二次”的关系 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2．基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．二元一次不等式表示平面区域的快速判断法： 记为“同上异下”，这叫B 的值判断法． 解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问 题要验证解决． 1．若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋ 1＋2y ＋ 1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是 ( ) A ．0 B ．0 C ．2 D ．t ≥4 答案 C 解析 依题意得，(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y )， 则t 2 －2t ＝2×2x ×2y ≤2×(2x ＋2y 2)2＝t 2 2 ； 即t 2 2－2t ≤0，解得0≤t ≤4； 又t 2－2t ＝2×2x ×2y >0，且t >0， 因此有t >2，故2 2．已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在???? ? x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0， 2x －y －1≤0 所表示的平面区域内，则OP →在OA → 方向 上投影的取值范围是 ( ) A ．[－22，2 2) B ．(－22，22) C ．(－ 22，22 ] D ．[－ 22，22 ] 答案 D 解析 不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几 何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点 C 重合时投影最小． 又C (－1,0)，D (0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD → ＝(0，－1)， ∴OD →在OA → 方向上的投影为OD →·OA →|OA → |＝22， OC →在OA → 方向上的投影为OC →·OA →|OA → | ＝－22， 故OP →在OA → 方向上投影的取值范围是[－22，22 ]． (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( ) A ．lg ????x 2＋1 4>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1 x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C 解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋ ，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注 意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·1 2 ＝x ， 所以lg ????x 2＋1 4≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确； 当x ＝0时，有1 x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b ；②a c log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是 ( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 答案 D 解析 由不等式的基本性质可知①对； 幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减， 又a >b >1，所以②对； 由对数函数的单调性可得log b (a －c )>log b (b －c )， 又由对数的换底公式可知log b (b －c )>log a (b －c )， 所以log b (a －c )>log a (b －c )，故选项D 正确． 3．设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于 ( ) A ．7 B ．－1 C ．1 D ．－7 答案 D 解析 依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]． 所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4， 于是a ＋b ＝－7.故选D. 4．(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a 则 ( ) A ．a B ．v ＝ab C.ab 2 答案 A 解析 由小王从甲地往返到乙地的时速分别为a 和b ， 则全程的平均时速为v ＝ 2s (s a ＋s b )＝2ab a ＋ b ， 又∵a 2ab ＝ab ， ∴a 5．(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件???? ? x ≥1，x ＋y ≤3， y ≥a (x －3)， 若z ＝2x ＋y 的最小值为 1，则a 等于 ( ) A.1 4 B.12 C ．1 D ．2 答案 B 解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由????? x ＝1，y ＝a (x －3)， 得? ???? x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝1 2 ，故选B. 6．已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0， y －1≤0， 若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取 到最大值，则实数a 的取值范围为 ( ) A ．(3,5) B.????1 2，＋∞ C ．(－1,2) D.????13，1 答案 B 解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到 最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时， 在y 轴上的截距达到最大)， 结合图形可知a >1 2. 二、填空题 7．已知p ：x －1 x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [6，＋∞) 解析 由p 得：0 只需m ≥(4x ＋2x )max ，而(4x ＋2x )max ＝6，∴m ≥6. 8．函数y ＝a 1－ x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则 1m ＋1 n 的最小值为________． 答案 4 解析 定点A (1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1 n ＝(m ＋n )????1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n ≥4. 当且仅当m ＝n ＝1 2时取等号． 9．已知实数x ，y 满足???? ? y ≥0，y －x ＋1≤0， y －2x ＋4≥0， 若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个， 则a 的值为________． 答案 1 解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域， 如图所示． 要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个， 则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足???? ? x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0. 若z 的最大值为12，则 实数k ＝________. 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示： 由图可知当0≤－k <1 2时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12， 解得k ＝2(舍去)；当－k ≥1 2时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值 为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2. 三、解答题 11．求解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x |x >1}． (2)当a ≠0时，原不等式可化为a (x －1)????x －1a <0. 若a <0，则上式即为(x －1)??? ?x －1 a >0， 又因为1 a <1， 所以此时不等式的解集为{x |x >1或x <1 a }． 若a >0，则上式即为(x －1)????x －1a <0. ①当1 a <1，即a >1时， 原不等式的解集为? ??? ?? x |1a ②当1 a ＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为?； ③当1 a >1，即0 原不等式的解集为? ?? ? ??x |1 综上所述， 当a <0时，原不等式的解集为? ??? ?? x |x <1a 或x >1； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当0 ?? ? ??x |1 当a ＝1时，原不等式的解集为?； 当a >1时，原不等式的解集为? ??? ?? x |1a 12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行 防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝ k 3x ＋5 (0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和． (1)求f (x )的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值． 解 (1)根据题意得100＝k 3×1＋5，所以k ＝800， 故f (x )＝800 3x ＋5 ＋5＋6x,0≤x ≤8. (2)因为f (x )＝800 3x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5， 当且仅当800 3x ＋5 ＝2(3x ＋5)即x ＝5时f (x )min ＝75. 所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元． 13．已知函数f (x )＝1 3 ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值， 且0 (2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围． (1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b . 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值， 在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根， 所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)． 当x ? f ′(0)>0，f ′(1)<0， f ′(2)>0， 即????? 2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得???? ? 2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0. 此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线： 2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ????47，67，B (2,2)，C (4,2)． z 在这三点的值依次为16 7，6,8. 所以z 的取值范围为(16 7，8)． 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考数学线性规划专题练习 1. “截距”型考题 在线性约束条件下，求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1.【20xx 年高考·广东卷 理5】已知变量满足约束条件，则 的最大值为( ) 2. (20xx 年高考·辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大 值为 A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.(20xx 年高考·全国大纲卷 理13) 若满足约束条件，则 的最小值为 。 4.【20xx 年高考·陕西卷 理14】 设函数，是由轴 和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ． 5.【20xx 年高考·江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 ,x y 241y x y x y ≤?? +≥??-≤? 3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? 2+3x y ,x y 1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??3z x y =-ln ,0 ()21,0x x f x x x >?=?--≤?D x ()y f x =(1,0)2z x y =-D 和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ） A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50 6. (20xx 年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克； 生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元， 每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、 3100元 7. (20xx 年高考·安徽卷 理11) 若满足约束条件：；则的 取值范围为. 8．(20xx 年高考·山东卷 理5)的约束条件24 41x y x y +≤??-≥-?，则目标函数z=3x －y 的取值范围是 A ． [32-，6] B ．[3 2 -，－1] C ．[－1，6] D ．[－6， 3 2 ] 9．(20xx 年高考·新课标卷 理14) 设满足约束条件：； 则的取值范围为 . 2 . “距离”型考题 10.【2010年高考·福建卷 理8】 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥?? ≥??≥?所表示的平面区域是 1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A. 285 B.4 C. 12 5 D.2 11.( 20xx 年高考·北京卷 理2) 设不等式组，表示平面区域为D ， 在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A B A B A B ,x y 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? x y -_____,x y ,013x y x y x y ≥?? -≥-??+≤? 2z x y =-???≤≤≤≤20, 20y x 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1, 0,x y x y y +≤??-≥??≥?则z =x +y 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.【2017全国2，文7】设,x y 满足约束条件2+330 233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3，文5】设x ，y 满足约束条件3260 0x y x y +-≤??≥??≥? ，则z x y =-的取值范围是 A ．[–3,0] B ．[–3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 4．(2016全国1，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 5．(2016全国2，文14)若x ，y 满足约束条件?????x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则z ＝x －2y 的最小值为________． 6．(2016全国3，文13)设x ，y 满足约束条件?????2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____． 7.（2015全国1，文15）若x ,y 满足约束条件20 210220x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ,则z =3x +y 的最大值为 ． 8.（2015全国2，文14）设x ，y 满足约束条件50 210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤?，则2 z x y =+的最大值为__________. 9.（2014全国1，文11）设x ，y 满足约束条件, 1,x y a x y +≥??-≤-?且z x a y =+的最小值为7，则a = A ．-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理（附答案解析） x 3y 3, 1. （ 17 全国卷 I ，文数 ）设 x ，y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为（ ） 7 y 0, A ． 0 B ． 1 C ．2 D ．3 答案： D 解析：如图，由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 （即 x 轴）的交点 A(3,0) 时， z 能取到最大值，把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ，故选 D. x 2 y 1 2.（17 全国卷 I, 理数 14 题）设 x ，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案： 5 x 2 y 1 解析：不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值， 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图，易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时，纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ，此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ，解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5. 2x+3y 30 3. （17 全国卷Ⅱ，文数 7、理数 5）设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是（） A.-15 C.1D9 答案： A 2x+3y 30 解析：不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示， y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ，3 时，目标函数 z2x y 取到最小值，此时有 z min 26315 ，故所求z 最小值为15． ）设，满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. （17 全国卷Ⅲ，文数 5 x0，则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案： B 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 （即x 轴）的交点A0,3处取得最小值， 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值，此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.（17 全国卷Ⅲ，理数13）若 x，y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________． 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 线性规划高考题 1.[2013.全国卷 2.T3]设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥??+-≥??≤? ，则23z x y =-的最小值是（ ） A.7- B.6- C.5- D.3- 2.[2014.全国卷2.T9]设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? ，则2z x y =+的最大值为（ ） A.8 B.7 C.2 D.1 3.[201 4.全国卷1.T11]设1，y 满足约束条件,1, x y a x y +≥??-≤-?且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ） A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3 4. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（ ） A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3) 5.[2010.全国卷.T11]已知 Y ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 Y ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（ ） A.（-14，16） B.（-14，20） C.（-12，18） D.（-12，20） 6. [2016.全国卷3.T13]设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??--≤??≤? 则z =2x +3y –5的最小值为 7．[2016.全国卷2.T14]若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥??+-≥??-≤? ，则z =x -2y 的最小值为 8.[2015.全国卷2.T14]若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤? ，则2z x y =+的最大值为 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) 2010年高考线性规划归类解析 线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-112 2y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1, 10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条 件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件00 24x y y x s y x ≥??≥?? +≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数 32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数 32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即 max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数 32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0 003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x = 围 图 2 图1 C 2015-2019高考数学全国卷真题（不等式选讲） 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ．证明： （1）22211 1 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像； (2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f ． （1）求不等式1)(≥x f 的解集； （2）若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围． 专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质，能利用不等式的性质，特殊值法等判断不等式的正误； 2、熟练的解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，对数不等式，指数不等式，含根式的不等式； 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式； 4、掌握恒成立问题，存在性问题； 5、掌握利用基本不等式求最值的方法； 6、掌握线性规划解决最优化问题； 7、掌握利用线性规划，基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中，不等式无处不在，不论是不等式解法还是线性规划，基本不等式，一般单独出现的是线性规划或基本不等式，而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C． 2、已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 3、，设，则下列判断中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令，则，故选B 4、若，且，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（）.从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个，此时从中任取个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少个，此时从中任取个球是红球的概率记为，则（） A. B. C. D. 【答案】D 6、若，，则下列不等式错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，，所以，，故A、B正确；由已知得， ，所以，所以C错误；由，得，，所以 成立，所以D正确．故选C． 线性规划 基础知识： 一、知识梳理 1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点． 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二：积储知识： 一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0 2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0 3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不． 包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 例题： 1. 如图1所示，已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC ?内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是1y z x -=或z =你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得min z 和max z ？高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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