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曲线拟合及其应用综述

摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。

关键词：曲线拟合最小二乘法故障模式识别柴油机故障诊断

1背景及应用

在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。理论上讲，可以根据插值原则构造n 次多项式Pn(x)，使得Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。

曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。

2 基本原理

2.1 曲线拟合的定义

解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。

2.2 曲线拟合的方法

解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。

2.2.1 有理论模型的曲线拟合

有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。通过实验或者观测得到的数据对（x i,y i）（i=1,2, …,n），可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)来反映x、y之间的依赖关系，y=f(x,c)称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,…c n是待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最小二乘法。

2.2.1.1 线性模型的曲线拟合

线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为：

ε

β

β+

+

=x

y

1

（1）

式中，β0，β1未知参数，ε服从N(0，σ2)。

将n个实验点分别带入表达式（1）得到：

i

i

i

x

yε

β

β+

+

=

1

（2）

式中i=1,2,…n，ε1, ε2,…, εn相互独立并且服从N(0，σ2)。

根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小：

2

1

1

)

(

i

i

n

i

i

x

y

Jε

β

β-

-

-

=∑

=

（3）

将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即：

)

(

2

1

1

=

-

-

-

-

=

?

?∑

=

i

i

n

i

i

x

y

J

ε

β

β

β

（4）

0)(2101

1=----=??∑=i i i n

i i x x y J

εβββ （5） 从而，就能唯一地确定参数β0，β1

的值，

完成了曲线的最小二乘拟合。 2.2.1.2 非线性模型的曲线拟合

非线性模型的问题一般比线性问题的处理要复杂，模型也分为两类。一类是能通过某些数学变换使待求参数以线性形式出现的，一般优先对其进行线性变换将问题转换，这种称为伪线性最小二乘问题；另一类是无法将待求参数线性化的问题，则必须采用较复杂的非线性问题处理方法。

对于第一类问题，其典型代表是多项式模型，设多项式函数为

m m x x x x f αααα++++=...)(2210 （6）

我们令x m =x m ，则解析式变为

m m x x x x f αααα++++=...)(22110 （7）

此时试验点数据为(x i1,x i2,…x im , y i )，将试验点数据代入解析式得：

im m i i i x x x x f αααα++++=...)(22110 （8） 式中i=1,2,…,n 。 此时的目标函数为

2

221101)]...([im m i i n

i i x x x y J αααα++++-=∑=（9）

为使目标函数得到最小值，需使其对各待求参数的偏导数等于零，即

0)]...([2221101

0=++++--=??∑=im m i i n

i i x x x y J

ααααα0)]...([2221101

=++++--=??∑=ij im m i i n i i j x x x x y J

ααααα),...,2,1(m j = （10）

由此便可求得各参数的唯一值，从而完成了曲线的最小二乘拟合。

类似的可以进行线性化的常用曲线如下表所示：

借助求解非线性方程组, 通过最优化方法求得所需参数。最常用的最优化方法有：单纯形下山法、拟牛顿法以及Marquadst 算法。另外, 遗传算法(GA )、免疫算法( IA ) 的研究也为曲线拟合中的优化问题提供了新的思路。 2.2.2 无理论模型的曲线拟合

无理论模型的曲线拟合通常用于工程当中规律性差、理论模型难以确定或者根本不需要理论模型的问题的处理。这种情况下一般采用几何方法或神经网络方法实现曲线拟合。 2.2.2.1 曲线拟合的圆弧法

圆弧拟合是一种描绘通过观测点(型值点) 的几何拟合方法。它用分段圆弧代替曲线, 并且使相邻两个圆弧有公共切线。这种方法归结为以下三种情况:

a. 已知圆O 和圆外两点A 1、A 2, 求圆P ，使它通过A 1、A 2，并且与圆O 相切(外切或内切)。

b. 已知圆O 和圆外一点A 2，求圆P,使它通过A 2，并且和圆O 切于点A 1。

c. 已知圆O 1和圆O 2, 求圆P, 使它和圆O 2相切, 且与圆O 1切于定点A 。

根据上述三种情况可以确定圆的圆心坐标、半径以及切点, 从而唯一的确定拟合曲线。

对于常规的已知实验数据点求拟合曲线问题，圆弧拟合法的示意图如图1所示。分别对试验点连线P 1P 2和P 2P 3做垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为第一段圆弧的圆心，第一段圆弧过前三个试验点，以后的每个试验点的圆弧拟合方法以第q 个

试验点P q为例进行说明。

先做第q个试验点与第q-1个试验点连线P q-1P q 的垂直平分线，它与第q-1个试验点所在前一段拟合曲线的过第q-1个试验点的半径或者半径的延长线的交点，即为第q个试验点所在拟合圆弧的圆心，确定了圆心，便可作出经过该试验点的拟合圆弧。依此对每个试验点使用此法，便可实现对所有试验点的圆弧曲线拟合。

图1 可转化为线性式的曲线类型

2.2.2.1 曲线拟合的神经网络法

如果将人工神经网络的每个结点看成是一个基本函数，则人工神经网络实质上就相当于基本函数族网络(如图2所示)，它们在相应的权值ωi作用下，生成网络函数Y，可以将其看成是泛化了的曲线模型。

图2 人工神经网络简图

针对曲线拟合的问题，激活函数应该是连续的、非线性的(对非线性拟合问题而言)。应用最普遍的是Sigmoid 函数, 其表达式为

(11)

式中，c 为任意常数。而网络结构的选择一般要根据实验数据的形式确定，前馈型神经网络是最常用的网络结构。具体地，如果是单条曲线的拟合,网络结构应该是单输入单输出的；如果是多对曲线的并行拟合，还存在单输入多输出与多输入多输出的网络结构。

常用的神经网络拟合模型有BP网络、径基函数（RBF）神经网络等，这里不再详细叙述。

3 曲线拟合的应用

3.1 运用曲线拟合法进行故障诊断的方法

曲线拟合方法在设备故障诊断方面有着广泛的应用。在故障诊断中，需要根据已知的测试数据找出相应函数的系数。对于每一种故障状态，提取所采集的多组信号的多个特征参数，求每组特征参数的平均值，然后分别将不同的特征参数的平均值作为拟合曲线的纵坐标，即：

]

,...,

,

[

2

1n

u

u

u

y=(12)

同时取自然数横坐标

]

,...,

2

,1[n

x=(13)

然后运用最小二乘法进行多项式曲线拟合，求出拟合系数，这样便可以得到不同故障状态下的多项式拟合系数模式Ｍ。

设对于第k个模式Ｍk对应的多项式拟合系数[a n k,a n-1k,…,a2k,a1k] (n为拟合多项式的阶数)，则有：

]

,

,...,

,

[1

1

1

2

1

1

1

1

a

a

a

a

M

n

n-

=

]

,

,...,

,

[2

1

2

2

1

2

2

2

a

a

a

a

M

n

n-

=

]

,

,...,

,

[

1

2

1

k

k

k

n

k

n

k

a

a

a

a

M

-

=(14)

这样对于每一种模式即可根据采集的大量实验数据求出对应的拟合系数。对于故障模式的一组信号求出其特征参数的拟合系数[b n,b n-1,…,b2,b1],定义故障模式与已知模式的距离为：

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

)

(

...

)

(

)

(b

a

b

a

b

a

d

n

n

n

n

-

+

+

-

+

-

=

-

-

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

)

(

...

)

(

)

(b

a

b

a

b

a

d

n

n

n

n

-

+

+

-

+

-

=

-

-

2

112112)

(...)()(b a b a b a d k n k n n k n k -++-+-=-- (15)

若d i =min(d 1,d 2,…,d k )，则可以判断待检故障模式属于第i 类故障模式。

3.2 运用曲线拟合法进行故障诊断的实例 由上述理论叙述可以知道，运用曲线拟合方法进行故障诊断可分为建立标准故障模式、分析待检信号、故障判断三个步骤进行。现以柴油机故障诊断为例进行分析。 3.2.1 建立标准故障模式

实验时首先从柴油机表面振动信号中提取各种预设工作状态的时域特征参数，绘制各状态的时域特征参数拟合曲线，计算各状态的拟合多项式系数，建立标准故障模式；对柴油机取六种工作状态，每种工作状态取五个时域特征参数, 建立标准故障模式。所选状态及参数如表2 所示。

表2 时域中标准故障时各状态特征参数

图3 标准故障模式的拟合曲线

计算各状态下的拟合多项式系数，计算结果如下：

Ma = [ 0.0533 -0.4292 0.6919 3.7650 - 2.5785]；

用Matlab 绘制故障信号在时域中的拟合曲线如图4所示：

图4 故障信号的拟合曲线

计算故障信号在时域的多项式拟合系数为： M1= [-0.0916 1.0081 -4.3045 10.9138

-6.0745]

M2= [-0.1608 1.7929 -7.3646 14.7527

-7.7107] 3.2.3 进行故障诊断

根据公式求取故障信号与标准故障模式的多项式拟合系数之间的距离，如下表所示：

由表可以看出，故障信号1与d 状态的距离

最小，可以判断是第一气缸进气门漏气故障；故障信号2与f 状态的距离最小，可以判断是供油提前角提前5-6度故障。 4总结及展望

本文主要讲述了曲线拟合的定义、实现方法及在故障模式识别中的应用。详细讲述了最小二乘曲线拟合法，但在实际应用中，有些场合需要保留原数据点，对时效性要求较高，但对拟合精度要求不高，这时使用最小二乘法等常用方法就不合适了，这时考虑与传统插值法结合，实现快速的曲线拟合。

本文中的故障模式识别是对故障信号进行了时域分析，实际上它也可以与小波变换结合，用来实现频域信号的拟合分析。对于存在理论模型

的实际问题，

要根据累积经验多次拟合完善模型，还可将曲线拟合与自适应技术结合，来实现拟合模型的自动选择匹配。此外，通过对以往实验数据进行曲线拟合，可以根据拟合结果进行设备运行状况的预测分析，加强对设备的维护及检测。 致 谢

感谢**老师精心为我们讲解本课程，及在展示及汇报过程中给与的中肯的建议！

参考文献

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油机声信号处理中的应用[N].内燃机工程，2002,23(5):19~22 [5] 张凤娇.快读曲线拟合的方法[N].延边大学学报，2006,

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