离散数学第章复习资料刘玉珍刘永梅

习题11.1

1． 若n 个顶点的简单无向图G 中至少有2个孤立点，则结论自然成立；若G 中只有一个孤立点，而2n ≥，则G 中至少有3个顶点，其中至少有2个非孤立点，可不考虑孤立点；若G 中无孤立点，则G 中n 个顶点度数均不小于1.现设G 中n 个顶点的度数均不小于1，又G 为简单图，故所有顶点的度数均不大于n-1，即n 个顶点的度数的取值只能是1，2，…，n-1,由鸽舍原理知，结论成立。

2． 设G 有x 个顶点，则92)6(36)deg(122>??-+?≤=?∑∈x x v V

v

3． m n k n k n n k n v m k k k V

v 2)1()1()()deg(2-+=?+?-+?==∑∈

4． ∑∈∈?≤=≤∈?V

v V v v n v m V v v n })max {deg()deg(2})deg(min{

故所证不等式成立。

5.（1）非同构的4个顶点的自补图只有一个

；非同构的5个顶点的自补

图有2个

（2）G 为自补图?G 与G 的边数相同，设均为m ，又G 与G 的边数之和为n K 的边数2)1(-n n ，即2

)1(-n n =2m ，亦即)1(-n n =4m ，故n 为4的倍数，即n=4k ，或n-1为4的倍数，即n=4k+1，+∈I k

6.（1）<0,1,1,2,3,3>,<3,3,3,3>均为可图解的，其对应图为 <1,3,3,3>非可图解，否则，设3)deg()deg()deg(,1)deg(4321====v v v v ，由于要构成无向简单图，故，1v ，2v ，3v ，4v 之间必定有边关联，这与1)deg(1=v 矛盾，< 2，3，4，4，5>,<2,2,4>非可图解，以为简单图中所有顶点的度数多为n-1。<1,2,2,3,4,5>z 中有奇数个，故非可图解。

（2）充分性：<1d 2-,1d 3-,…, 1d 1d -,1d 1d 1-+,2d 1d +,…,n d >可图解?添加度数为1d 的顶度，与度数为1d 2-,1d 3-,…, 1d 1d -,1d 1d 1

-+的顶点相邻?<1d ,2d ,…, n d >可图解。

必要性：<1d ,2d ,…, n d >可图解，设度数为1d 的顶点与度数分别为2d ，…，1d 1d +的顶点相邻，删去度数为1d 的顶点?<1d 2-,1d 3-,…, 1d 1d -,1d 1d 1-+,2d 1d +,…,n d >可图解。

7.设6K 的顶点为1V ，2V ，…，6V ，随意用红色和蓝色涂6K 的边，则由1V 引出的5条边中至少有3条同色边，不妨设存在3条红色边，且该3条边的另一端点分别为2V ，3V ，4V 。若2V ，3V ，4V 构成的3K 中的边再有一条，比如（2V ，3V ）为红色边，则1V ，2V ，4V 构成的3K 为红色；若2V ，3V ，4V 的边全为蓝色，则结论已成立。

习题11.2

1. 强分图为： 单向分图为： 弱分图为：

2.（1）G 弱连通?G 对应的无向图连通?至少需要n-1条边连接n 个顶点?n-1≤m.

G 为简单图?m ≤)(E n K =n(n-1),故)1(1-≤≤-n n m n

（2）G 强联通，由定理11.2.3知，G 至少有n 条边，故)1(-≤≤n n m n

3.若G 非基本回路，又G 连通，则G 中必有顶点的度数不等于2，矛盾。

4．设e 含于两个不同的基本回路221e ev v …1v e k ，与,221e ev v …1,v e i 中，则e 不含于

回路

k e v 1…,22e ev …1,v e i 中，由推论11.2.2知，存在从1v 到1v 的基本回路，且e 不含于该基本回路中。

5.设G 不连通，且有2≥k 个连通分支，1G ，2G ，…，k G ，其中i G 有i n 个顶点，i =1，2，…，k 。 则+-+-≤2)1(2)1(2211n n n n m …2)1(-+k k n n +--+--≤2

)1)(1(2)1)(1(21n n n n …2)1)(1(--+k n n =2))(1(k n n --2

)2)(1(--≤n n 。 即≤m 2)2)(1(--n n ，矛盾，故G 连通。

步骤依次对应为1，3，2，5，4，9，6，7，8，11，12，10，13 0V 2V =1

0V 4V =2

10V V ，0V 2V 1V =2

10V V 6V ，0V 2V 1V 6V =4

0V 32V V =3

10V V 76V V 11V ，0V 2V 1V 76V V 11V ，0V 4V 8V 11V =8

10V V 76V V ，0V 2V 1V 76V V =5

0V 4V 8V =5

10V V 5V ，0V 2V 1V 5V ，10V V 6V 5V ，0V 2V 1V 65V V =6

10V V 6V 10V ，0V 2V 1V 6V 10V =9