2020年高考数学三轮微专题突破34 数列中的奇偶性问题(教师版)江苏

专题34 数列中的奇偶性问题

一、题型选讲

题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题

含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论。

例1、(2015扬州期末）设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋????－1

2n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________．

答案：[2,3]

思路分析 求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n

－4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有???

?－1

2n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论． 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－????－1

2n 1－???

?－12－4n ＝23????1－????－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋

????12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1； 当n 为偶数时,f (n )＝23????1－

????12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又

1S n －4n ≤p ≤3

S n －4n

,所以2≤p ≤3. 解后反思 本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的

是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23???

?1＋

????12n ,单调递减,此时f (n )∈????23，1；当n 为偶数时,f (n )＝2

3????1－????12n ,单调递增,此时f (n )∈????12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到????12，1∪????23，1＝????

12，1内的所有值．

例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n }

的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *.

(1) 求a 1,a 2的值；

(2) 证明：数列{a n }是等比数列；

(3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的所有值．

思路分析 (1) 对3S 2n －4S n ＋T n ＝0,令n ＝1,2得到方程,解得a 1,a 2的值．

(2) 3S 2n －4S n ＋T n ＝0中,对n 赋值作差,消去T n ,再对n 赋值作差,消去S n ,从而得到a n ＋1＝－12a n ,证得数列{a n }是等比数列．

(3)先求出a n ＝????－1

2n －1,由(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立,确定λ＝0适合,再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立．

规范解答 (1)因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *

. 令n ＝1,得3a 21－4a 1＋a 21＝0,因为a 1≠0,所以a 1＝1.

令n ＝2,得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0,即2a 22＋a 2＝0,因为a 2≠0,所以a 2＝－12

.(3分) (2)解法1 因为3S 2n －4S n ＋T n

＝0, ① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0, ② ②－①得,3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0,

因为a n ＋1≠0,所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0, ③(5分) 所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2), ④

当n ≥2时,③－④得,3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0,即a n ＋1＝－12a n ,

因为a n ≠0,所以a n ＋1a n ＝－1

2

.

又因(1)知,a 1＝1,a 2＝－12,所以a 2a 1＝－1

2

,

所以数列{a n }是以1为首项,－1

2

为公比的等比数列．(8分)

解法2 因为3S 2n －4S n ＋T n

＝0,① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0,②

②－①得,3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0, 因为a n ＋1≠0,所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0, 所以3(S n ＋1＋S n )－4＋(S n ＋1－S n )＝0,(5分) 整理为S n ＋1－23＝－12????S n －23,又S 1－23＝a 1－23＝1

3, 所以S n －23＝13·????－12n －1,得S n ＝13·????－12n －1＋2

3,

当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝????－1

2n －1

,而a 1＝1也适合此式,

所以a n ＝???

?－1

2n －1

,所以a n ＋1a n ＝－1

2

所以数列{a n }是以－1

2为公比的等比数列．(8分)

(3)解法1 由(2)知,a n ＝???

?－12n －1

.

因为对任意的n ∈N *,(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立, 所以λ的值介于n ????－12n －1

和n ???

?－1

2n

之间． 因为n ???

?－1

2n －1

·n ???

?－1

2n

<0对任意的n ∈N *恒成立,所以λ＝0适合．(10分) 若λ>0,当n 为奇数时,n ????－12n

<λ

2n －1

恒成立,从而有λ

2

n －1恒成立．

记p (n )＝n 2

2n (n ≥4),因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋

1<0, 所以p (n )≤p (4)＝1,即n 22n ≤1,所以n 2n ≤1

n

(*),

从而当n ≥5且n ≥2λ时,有λ≥2n ≥n

2n －1,所以λ>0不符．(13分)

若λ<0,当n 为奇数时,n ????－12n

<λ

?－1

2n －1

恒成立,从而有－λ

2

n 恒成立．

由(*)式知,当n ≥5且n ≥－1λ

时,有－λ≥1n ≥n

2n ,所以λ<0不符．

综上,实数λ的所有值为0.

题型二、数列中奇偶项问题

数列通项中出现奇、偶不同的表达式,需要分奇、偶分别赋值得到关系式,再对关系式相加或相减,得到奇数项或偶数项的关系式,体现减元的思想,考生要能够多观察,多思考,养成良好的逻辑推理的习惯.

例3、例3、(2015苏州期末）已知数列{a n }中a 1＝1,a n ＋1＝?????

13a n ＋n ，n 为奇数，

a n －3n ， n 为偶数.

(1) 是否存在实数λ,使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由． (2) 若S n 是数列{a n }的前n 项和,求满足S n >0的所有正整数n .

规范解答 (1) 由已知,得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1)＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝1

3a 2n ＋1.(2分)

令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ),得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ,所以λ＝3

2.(4分)

此时,a 2－λ＝13＋1－32＝－1

6

.(5分)

所以存在λ＝3

2,使得数列{a 2n －λ}是等比数列．(6分)

(2) 由(1)知,数列??????a 2n －32是首项为－16,公比为1

3的等比数列,

所以a 2n －32＝－16·????13n －1＝－12·1

3n ,

即a 2n ＝1

2???

?3－13n .(8分) 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1),得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝3

2????3－13n －6n ＋3,(10分) 所以a 2n －1＋a 2n ＝32????3－13n －6n ＋3＋1

2???

?3－13n ＝－2????13n －6n ＋9. 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－213＋????132＋…＋????13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2

＋6n －1,(12分)

从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·13n －3n 2＋6n －5

2

.

因为1

3

n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减,所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．(14分)

计算得S 1＝1,S 2＝73,S 3＝－73,S 4＝－8

9

,

所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.(16分)

解后反思 对于通项公式分奇偶不同的数列{a n }求S n 时,一般先把a 2k －1＋a 2k 看做一项,求出S 2k ,再求S 2k －1

＝S 2k －a 2k .

例4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足1

5

(1)()2

n n n n a

a n *+++-=

∈N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ．

（1）求13a a +的值； （2）若15

32a a a +=．

① 求证：数列

{}2n a 为等差数列；

② 求满足224()p m S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．

【思路分析】（1）直接令1,2n =得到关系式,两式相减,求出13a a +的值

（2）

分别赋值21,2n n -,得到关系式,两式相减,得到212112n n a a -++=,结合1532a a a +=,计算出11

4a =

, 从而求

2114n a -=,代入关系式,得出294n a n =+,利用定义法证明{}2n a 为等差数列

（3）求和得到2n S ,代入关系式整理得()

2234322

p m p m +=+,需要转化两个因数相乘的形式,变形处理,利用

平方差公式得到(29)(23)27m p m p ++-+=,因为2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数,则两个因数只能为27和1,从而求出p m ，的值.

规范解答 （1）由条件,得2132372

a a a a -=??

?+=??①

②,②-①得 1312a a +=．……………………… 3分

（2）①证明：因为15(1)2

n n n n a a +++-=,

所以221212242252

n n n n n a a

n a a -++?-=??+?+=?③④, ④-③得 212112n n a a -++=, ……………………………………………… 6分

于是13353111()()422

a a a a a =+=+++=,

所以314a =,从而114a =． ……………………………………………… 8分

所以121231111()(1)()0444n n n a a a ----=--==--=L , 所以2114n a -=,将其代入③式,得294n a n =+, 所以2(1)21n n a a +-=（常数）,

所以数列{}2n a 为等差数列．……………………………………………… 10分 ②注意到121n a a +=,

所以2122n n S a a a =+++L

2345221()()()n n a a a a a a +=++++++L

2

1

25322n

k k n n =+==+∑,…………………………………………… 12分

由224p

m S S =知()

2

234322

p m p m +=+．

所以22(26)(3)27m p +=++,

即(29)(23)27m p m p ++-+=,又*p m ∈N ，,

所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数,

所以2927231m p m p ++=??-+=?

,解得104p m ==，,

所以所求数对为(104)，．………………………………………………… 16分

例5、(2017苏北四市期末）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝a ,(a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝6(S n ＋n ),n ∈N *.

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 若?n ∈N * ,都有S n ≤n (3n ＋1)成立,求实数a 的取值范围；

(3) 当a ＝2时,将数列{a n }中的部分项按原来的顺序构成数列{b n },且b 1＝a 2,证明：存在无数个满足条件

的无穷等比数列{b n }．

规范解答 (1) 当n ＝1时,(a 1＋1)(a 2＋1)＝6(S 1＋1),故a 2＝5；当n ≥2时,(a n －1＋1)(a n ＋1)＝6(S n －1＋n －1),

所以(a n ＋1)(a n ＋1＋1)－(a n －1＋1)(a n ＋1)＝6(S n ＋n)－6(S n －1＋n －1),即(a n ＋1)(a n ＋1－a n －1)＝6(a n ＋1), 又a n ＞0,所以a n ＋1－a n －1＝6,(3分)

所以a 2k －1＝a ＋6(k －1)＝6k ＋a －6,a 2k ＝5＋6(k －1)＝6k －1,k ∈N *, 故a n

＝?????

3n ＋a －3，n 为奇数，

3n －1，

n 为偶数.

)(5分)

(2) 当n 为奇数时,n ＋1为偶数,所以a n ＝3n ＋a －3,a n ＋1＝3n ＋2,所以(3n ＋a －3＋1)(3n ＋2＋1)＝6(S n ＋n ),整理得S n ＝1

2

(3n ＋a －2)(n ＋1)－n ,

由S n ≤n (3n ＋1)得,a ≤3n 2＋3n ＋2

n ＋1

对n ∈N *恒成立．

令f (n )＝3n 2＋3n ＋2n ＋1(n ∈N *

),则f (n ＋1)－f (n )＝3n 2＋9n ＋4(n ＋2)(n ＋1)＞0,所以f (n )＝3n 2＋3n ＋2n ＋1(n ∈N *)单调递

增,f (n )min ＝f (1)＝

3＋3＋2

2

＝4,所以a ≤4.(8分) 当n 为偶数时,n ＋1为奇数,a n ＝3n －1,a n ＋1＝3n ＋a ,

所以(3n －1＋1)(3n ＋a ＋1)＝6(S n ＋n ),整理得S n ＝3n 2＋(a －1)n

2

,由S n ≤n (3n ＋1)得,a ≤3(n ＋1)对n ∈N *恒

成立,所以a ≤9.

又a 1＝a ＞0,所以实数a 的取值范围是(0,4]．(10分)

(3) 当a ＝2时,若n 为奇数,则a n ＝3n －1,所以a n ＝3n －1(n ∈N *)．

解法1 因为数列{a n }的项是b 1＝5的整数倍的最小项是a 7＝20,故可令等比数列{b n }的公比q ＝4m (m ∈N *),

因为b 1＝a 2＝5,所以b n ＝5·4m (n －1)

,

设k ＝m (n －1),因为

1＋4＋42＋…＋4k －

1＝

4k －1

3

, 所以4k ＝3(1＋4＋42＋…＋4k －

1)＋1, 所以5·4k ＝5[3(1＋4＋42＋…＋4k －

1)＋1] ＝3[5(1＋4＋42＋…＋4k －

1)＋2]－1,(14分) 因为5(1＋4＋42＋…＋4k －1)＋2为正整数, 所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列,

因为公比q ＝4m (m ∈N *)有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{b n }有无数个．(16分)

解法2 设b 2＝ak 2＝3k 2－1(k 2≥3),因为b 1＝a 2＝5,所以公比q ＝3k 2－15.

因为等比数列{b n }的各项为整数,所以q 为整数, 取k 2＝5m ＋2(m ∈N *),则q ＝3m ＋1,故b n ＝5·(3m ＋1)n －

1. 由3k n －1＝5·(3m ＋1)n

－1

得k n ＝13

[5(3m ＋1)n －

1＋1](m ,n ∈N *),

而当n ≥2时,k n －k n －1＝53[(3m ＋1)n －1－(3m ＋1)n －2]＝5m (3m ＋1)n －2,即k n ＝k n －1＋5m (3m ＋1)n －

2.(14分)

又因为k 1＝2,5m (3m ＋1)n

－2

都是正整数,所以k n 也都是正整数,所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等

比数列,

因为公比q ＝3m ＋1(m ∈N *)有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{b n }有无数个．(16分)

解后反思 作为数列压轴题,本题三个小题梯度明显,有较好的区分度,其中第(1)(2)小题联系紧密,难度中等,考生应该努力完成这两小题,而不是轻易放弃；而第(3)小题要求高,试题开放,解法1构造特殊数列,而解法2从一般性推理与证明两个角度完成证明,难度都非常大,建议考生果断放弃．

题型三、数列中连续两项和或积的问题

“相邻两项的和是一次式”的特征,联想到数列{a n }中相邻两项的和成等差数列,故考虑采用相邻项作差法,得到数列{a n }中奇数项成等差,偶数项也成等差,而且公差相同的结论,进而求出数列通项公式．

例6、(2018苏州暑假测试）已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1) 若数列{a n }是等差数列,求a 1的值； (2) 当a 1＝2时,求数列{a n }的前n 项和S n ； (3) 若对任意n ∈N *

,都有a 2n ＋a 2

n ＋1a n ＋a n ＋1

≥5

成立,求a 1的取值范围．

规范解答 (1) 若数列{a n }是等差数列,则a n ＝a 1＋(n －1)d,a n ＋1＝a 1＋nd. 由a n ＋1＋a n ＝4n －3,得(a 1＋nd)＋[a 1＋(n －1)d]＝4n －3,(2分) 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3,解得d ＝2,a 1＝－1

2

.(3分)

(2) 由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *),得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)． 两式相减,得a n ＋2－a n ＝4.(5分)

所以数列{a 2n －1}是首项为a 1,公差为4的等差数列． 数列{a 2n }是首项为a 2,公差为4的等差数列, 由a 2＋a 1＝1,a 1＝2,得a 2＝－1,

所以a n ＝?

??

??2n ，

n 为奇数，2n －5，n 为偶数.

(6分)

①当n 为奇数时,a n ＝2n ,a n ＋1＝2n －3. S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n

＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n ＝n －1

2×（1＋4n －11）2

＋2n

＝2n 2－3n ＋52；(8分)

②当n 为偶数时, S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n

＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2

.(10分)

(3) 由(2)知,a n ＝?????2n －2＋a 1，n 为奇数，

2n －3－a 1，n 为偶数.

(11分)

①当n 为奇数时,a n ＝2n －2＋a 1,a n ＋1＝2n －1－a 1.

由a 2n ＋a 2

n ＋1a n ＋a n ＋1

≥5得a 21－a 1≥－4n 2＋16n －10. 令f (n )＝－4n 2＋16n －10＝－4(n －2)2＋6, 当n ＝1或3时,f (n )max ＝2,所以a 21－a 1≥2. 解得a 1≥2或a 1≤－1.(13分)

②当n 为偶数时,a n ＝2n －a 1－3,a n ＋1＝2n ＋a 1.

由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1

≥5得a 21＋3a 1≥－4n 2＋16n －12. 令g (n )＝－4n 2＋16n －12＝－4(n －2)2＋4, 当n ＝2时,g (n )max ＝4,所以a 21＋3a 1≥4, 解得a 1≥1或a 1≤－4.(15分)

综上,a 1的取值范围是(－∞,－4]∪[2,＋∞)．(16分)

例7、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,数列{a n }前n 项和为S n ,且满足S 3＝a 4,a 5＝a 2＋a 3.

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2,求正整数m 的值；

(3) 是否存在正整数m,使得S 2m

S 2m －1

恰好为数列{a n }中的一项？若存在,求出所有满足条件的m 值,若不存在,说明理由．

思路分析 (1)建立方程组,求出公比和公差,用分段的形式写出{a n }的通项公式． (2)对m 分奇、偶数,根据通项公式和a m a m ＋1＝a m ＋2建立方程,求出m 的值．

(3)运用求和公式求出S 2m 和S 2m －1,计算S 2m

S 2m －1

,通过分析其值只能为a 1,a 2,a 3,分情况讨论,解方程,求m

的值．

规范解答 (1)设奇数项的等差数列公差为d,偶数项的等比数列公比为q. 所以数列{a n }的前5项依次为1,2,1＋d,2q,1＋2d.

因为{S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3，所以{4＋d ＝2q ，1＋2d ＝3＋d ，解得{d ＝2，q ＝3.(2分) 所以a n ＝???n ，n 为奇数，2·332－1，n 为偶数.(4分)

(2)因为a m a m ＋1＝a m ＋2. 1° 若m ＝2k(k ∈N *),

则a 2k a 2k ＋1＝a 2k ＋2,所以2·3k －

1·(2k ＋1)＝2·3k ,即2k ＋1＝3,所以k ＝1,即m ＝2.(6分) 2° 若m ＝2k －1(k ∈N *),

则a 2k －1a 2k ＝a 2k ＋1,所以(2k －1)×2·3k －1＝2k ＋1,所以2·3k －

1＝2k ＋12k －1＝1＋22k －1.

因为2·3k

－1

为整数,所以2

2k －1

必为整数,所以2k －1＝1,所以k ＝1,此时2·30≠3.不合题意．(8分)

综上可知m ＝2.(9分)

(3) 因为S 2m ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2m －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2m ) ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m ＋m 2－1.(10分)

S 2m －1＝S 2m －a 2m ＝3m ＋m 2－1－2·3m －

1＝3m －

1＋m 2－1.(11分)

所以S 2m

S 2m －1＝3m ＋m 2－13m －1＋m 2－1＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1≤3.(12分)

若

S 2m

S 2m －1

为数列{a n }中的项,则只能为a 1,a 2,a 3. 1° S 2m S 2m －1＝1,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2

－1＝1,所以3m －

1＝0,m 无解．(13分) 2° S 2m S 2m －1＝2,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2

－1＝2,所以3m －

1＋1－m 2＝0. 当m ＝1时,等式不成立； 当m ＝2时,等式成立；

当m ≥3时,令f (x )＝3x －

1＋1－x 2＝13·3x ＋1－x 2.

所以f ′(x )＝ln33·3x －2x ,f ″(x )＝ln 233·3x

－2.

因为f ″(x )在(14分)

3° S 2m

S 2m －1＝3,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝3,所以m 2－1＝0,即m ＝1.(15分) 综上可知m ＝1或m ＝2.(16分)

解后反思 第(3)问中,解方程3m －1＋1－m 2＝0,其中m 为正整数,体现函数的思想,可以先取m ＝1,m ＝2,…,找出规律,即执果索因,然后用导数的方法研究函数f(x)＝3x －

1＋1－x 2的单调性,也可以用作差法来研究数列c m ＝3m －

1＋1－m 2的单调性来处理．

二、达标训练

1、(2018南京、盐城一模）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若{a n }的前2017项中的奇数项和为2018,则S 2017的值为________．

答案： 4034

解析：因为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝1009a 1009＝2018,所以a 1009＝2,故S 2017＝a 1＋a 2＋…＋a 2017＝2017a 1009

＝4034.

2、(2019常州期末） 数列{a n },{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n ∈N *),且数列{b n }的前n 项和为n 2,已知数列{a n －n }的前2018项和为1,那么数列{a n }的首项a 1＝________．

答案： 3

2

解析：思路分析通项公式中出现(－1)n ,注意分奇、偶项,求和时自然采用分组求和法．

数列{b n }的前n 项和为n 2,所以b n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2),b 1＝1也符合,故b n ＝2n －1,故a n ＋1＋(－1)n a n

＝2n －1,设{a n }的前n 项和为S n ,a 2－a 1＝1.

若n 为奇数,则?????a n ＋1－a n ＝2n －1，

a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，解得a n ＋a n ＋2＝2.

若n 为偶数,则?

????a n ＋a n ＋1＝2n －1，

a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，解得a n ＋a n ＋2＝4n.

S 2018＝a 1＋(a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9)＋…＋(a 2015＋a 2017)＋a 2＋(a 4＋a 6)＋(a 8＋a 10)＋…＋(a 2016＋a 2018)＝2a 1＋1＋1008＋4×(4＋8＋…＋2016)＝2a 1＋1009＋4×504×（4＋2016）

2

＝2a 1＋1＋1008×2021.

又S 2018－2018×20192＝1,所以2a 1＋1＋1008×2021＝1＋1009×2019,得a 1＝3

2.

3、(2015南京、盐城一模）已知数列{a n }满足a 1＝－1,a 2>a 1,|a n ＋1－a n |＝2n (n ∈N *),若数列{a 2n －1}单调递

减,数列{a 2n }单调递增,则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.

【答案】(－2)n －1

3

因为|a n ＋1－a n |＝2n ,所以当n ＝1时,|a 2－a 1|＝2.由a 2>a 1,a 1＝－1得a 2＝1.当n ＝2时,|a 3

－a 2|＝4,得a 3＝－3或a 3＝5.因为{a 2n －1}单调递减,所以a 3＝－3.当n ＝3时,|a 4－a 3|＝8,得a 4＝5或a 4＝－11.因为{a 2n }单调递增,所以a 4＝5.同理得a 5＝－11,a 6＝21.

因为{a 2n －1}单调递减,a 1＝－1<0,所以a 2n －1<0.同理a 2n >0.所以当n 为奇数时(n ≥3),有a n －a n －1＝－2n －

1,a n

－1－a n －2＝2

n －2

.两式相加得a n －a n －2＝－2n －2. 那么a 3－a 1＝－2；a 5－a 3＝－23；…；a n －a n －2＝－2n －

2. 以上各式相加得a n －a 1＝－(2＋23＋25＋…＋2n －

2)． 所以a n ＝a 1－2[1－(22)n －3

2＋1]

1－22＝－2n ＋1

3.

同理,当n 为偶数时,a n ＝2n －1

3

.

所以a n

＝???

－2n ＋13

，n 为奇数，

2n

－1

3， n 为偶数.

也可以写成a n ＝(－2)n －1

3

.

4、(2017镇江期末）已知n ∈N *,数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且a 1＝1,a 2＝2,设b n ＝a 2n －1＋a 2n .

(1) 若数列{b n }是公比为3的等比数列,求S 2n ； (2) 若对任意

n ∈N *,S

n ＝a 2n ＋n

2

恒成立,求数列{a n }的通项公式； (3) 若S 2n ＝3(2n －1),数列{a n a n ＋1}也为等比数列,求数列{a n }的通项公式．

思路分析 第2问,用相邻项作差法可把条件“对任意

n ∈N *

,S n ＝a 2n ＋n 2

”转化为“a n －a n －1＝1

或a n ＋a n －1＝

1”,因为a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立,故有a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立；第3问,由“数列

{a n a n ＋1}为等比数列”知a n ＋2

a n

为同一个常数,即数列{a n }中奇数项和偶数项都是等比数列,且公比相同,不妨设

为q ,在S 2n ＝3(2n －1)中,令n ＝2即可求出q .

规范解答 (1) b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3,(1分)

S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3

＝3(3n －1)

2.(3分)

(2) 当n ≥2时,由2S n ＝a 2n ＋n ,得2S n －1＝a 2

n －1＋n －1,

则2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n ＋n －(a 2n －1＋n －1)＝a 2n －a 2n －1＋1,(a n －1)2－a 2n －1＝0,(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1－1)＝

0,

故a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1.(*)(6分)

下面证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立． 事实上,a 1＋a 2＝3,则a n ＋a n －1＝1不恒成立；

若存在n ∈N *,使a n ＋a n －1＝1,设n 0是满足上式最小的正整数,即an 0＋an 0－1＝1,显然n 0＞2,且an 0－1∈

(0,1),则an 0－1＋an 0－2≠1,则由(*)式知,an 0－1－an 0－2＝1,则an 0－2＜0,矛盾．故a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立．

所以a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立．(8分)

因此{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n ＝1＋(n －1)＝n .(10分)

(3) 因为数列{a n a n ＋1}为等比数列,设公比为q ,则当n ≥2 时,a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1

a n －1＝q .

即{a 2n －1},{a 2n }分别是以1,2为首项,公比为q 的等比数列,(12分) 故a 3＝q ,a 4＝2q .

令n ＝2,有S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋q ＋2q ＝9,则q ＝2.(14分)

当q ＝2时,a 2n －1＝2n －

1,a 2n ＝2×2n －

1＝2n ,b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝3×2n －

1,此时S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n

－1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝

3(1－2n )

1－2

＝3(2n －1)． 综上所述,a n

＝???

2n －1

2

，n 为奇数，2n

2，n 为偶数.

(16分)

易错警示 在第2问中,必须证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立,不是“对任意的n ∈N *不恒成立”,

因为若存在某个n 0∈N *使得a n ＋a n －1＝1成立,由于逻辑连结词“或”的缘故,则此时式子“an 0－an 0－1＝1”可以不成立！也就是说,“a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立”不一定正确．

解后反思 由于“S 2n ＝3(2n －1)”符合特征“S n ＝A －Aq n ”,故数列{a 2n －1＋a 2n }是等比数列,且公比为2,

再由“数列{a n a n ＋1}为等比数列”知a n ＋2

a n

为同一个常数,即数列{a n }中奇数项和偶数项都是等比数列,且公比

相同,不妨设为q ,则有a 2n ＋1a 2n －1＝a 2n ＋2a 2n ＝q ,即a 2n ＋1＋a 2n ＋2

a 2n －1＋a 2n ＝q ,故q ＝2.

5、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数,p ≠0)．

(1) 求p 的值；

(2) 求数列{a n }的通项公式；

(3) 设集合A n ＝{a 2n －1,a 2n },且b n ,c n ∈A n ,记数列{nb n },{nc n }的前n 项和分别为P n ,Q n .若b 1≠c 1,求证：对任意n ∈N *,P n ≠Q n .

规范解答 (1) 由a 1＝－S 1＋p ,得a 1＝p

2.(2分)

由a 2＝S 2＋p 2,得a 1＝－p 2,所以p

2＝－p 2.

又p ≠0,所以p ＝－1

2.(3分)

(2)由a n ＝(－1)n S n ＋???

?－12n ,

得??

?

a n

＝(－1)n S n

＋???

?－1

2n

， ①a n ＋1

＝－(－1)n

S n ＋1

＋???

?－12n ＋1

， ②

①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋1

2×????－12n .(5分) 当n 为奇数时,a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×????12n

,

所以a n ＝－????12n ＋1

.(7分)

当n 为偶数时,a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×???

?12n ,

所以a n ＝－2a n ＋1＋12×????12n ＝2×????12n ＋2＋12×????12n ＝???

?12n , 所以a n

＝???

－1

2

n ＋1，n 为奇数， n ∈N *，1

2n

， n 为偶数，n ∈N *

.

(9分)

(3)A n ＝?

???

??－1

4n ，14n ,由于b 1≠c 1,则b 1 与c 1一正一负,

不妨设b 1＞0,则b 1＝14,c 1＝－1

4

.

则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥1

4－????242＋343＋…＋n 4n .(12分) 设S ＝242＋343＋…＋n 4n ,则14S ＝243＋…＋n －14n ＋n

4

n ＋1,

两式相减得34S ＝242＋143＋…＋14n －n 4n ＋1＝116＋1

16

×

1－????14n －1

1－14

－

n 4

n ＋1

＝748－112×14n －1－n 4

n ＋1＜7

48. 所以S ＜748×43＝736,所以P n ≥14－????242＋34

3＋…＋n 4n ＞14－736＝1

18＞0.(14分) 因为Q n ＝ c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736＝－1

18

＜0,所以P n ≠Q n .(16分)

解题反思 作为压轴题,第(1)小题的分数是较容易得到的；第(2)小题中的主要难点在于对正整数n 的奇偶性进行讨论,特别在求n 为偶数时数列{a n }的通项公式,注意利用n ＋1为奇数时数列a n ＋1的通项公式求解；第(3)小题在思维层面上的难度大,理解题意后还需用错位相减法求和,这也是在数列求和中较容易出错的题型,所以请考生在二轮复习备考中不仅要注重思维提升,而且不能忽视基本数学思想方法以及基本数学运算．

6、(2015扬州期末）已知数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝a ,且a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数都成立,数列{a n }的前n 项和为S n .

(1) 若k ＝1

2

,且S 2 015＝2 015a ,求a 的值．

(2) 是否存在实数k ,使数列{a n }是公比不为1的等比数列,且对任意相邻三项a m ,a m ＋1,a m ＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在,求出所有k 的值；若不存在,请说明理由．

(3) 若k ＝－1

2,求S n .

思路分析 (1) 当k ＝1

2

时,由等差中项法可得数列为等差数列,根据等差数列的前n 项和公式,得到一个关

于a 的方程,可求出a 的值．(2) 假设存在这样的k ,这样根据{a n }是等比数列,就可得a m ,a m ＋1,a m ＋2,然后进行排

序,从而分类讨论来解决问题．(3) 当k ＝－12时,由a n ＋1＝－1

2

(a n ＋a n ＋2)可得a n ＋2＋a n ＋1＝－(a n ＋1＋a n )＝a n ＋a n

－1,从而构造数列{b n },其中b n ＝a n ＋a n ＋1(n 为偶数时)(或b n ＝a n ＋1＋a n ＋2(n 为奇数时),则该数列就是一个常数列,从而求出S n .

规范解答 (1) 当k ＝12时,a n ＋1＝1

2(a n ＋a n ＋2),a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ,

所以数列{a n }是等差数列,(2分)

此时首项a 1＝1,公差d ＝a 2－a 1＝a －1,数列{a n }的前2 015项和是S 2 015＝2 015＋1

2

×2 015(2 015－1)(a －

1)＝2 015a ,解得a ＝1.(4分)

(2) 设数列{a n }是等比数列,则它的公比q ＝a 2

a 1＝a ,

所以a m ＝a m －

1,a m ＋1＝a m ,a m ＋2＝a m ＋

1.(6分)

①若a m ＋1为等差中项,则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2,即2a m ＝a m －

1＋a m ＋

1,解得a ＝1,不合题意；

②若a m 为等差中项,则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2,即2a m －

1＝a m ＋a m ＋

1,化简得a 2＋a －2＝0,解得a ＝－2(舍去a ＝

1),所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋

1＝a 1＋a 2＝－2

5； ③若a m ＋2为等差中项,则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ,即2a m ＋1＝a m ＋a m －

1,化简得2a 2－a －1＝0,解得a ＝－12

(舍去a

＝1),所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a

2＝－2

5.(9分) 综上,满足要求的实数k 有且仅有一个,k ＝－2

5.(10分)

(3) k ＝－12,则a n ＋1＝－1

2

(a n ＋a n ＋2),

a n ＋2＋a n ＋1＝－(a n ＋1＋a n ),a n ＋3＋a n ＋2＝－(a n ＋2＋a n ＋1)＝a n ＋1＋a n .(12分) 当n 是偶数时,

S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝n

2(a 1＋a 2) ＝n

2(a ＋1)； 当n 是奇数时,

S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝a 1＋n －12(a 2＋a 3)

＝a 1＋n －12[－(a 1＋a 2)]

＝1－n －12

(a ＋1)．

当n ＝1也适合上式．(15分)

综上所述,S n

＝???

1－n －1

2

(a ＋1)，n 是奇数，n

2(a ＋1)， n 是偶数.

(16分)

解后反思 考查等差数列与等比数列的相关知识、或将数列转化为等差(等比)数列来加以研究,是江苏高考对数列知识考查的最为典型的形式．本题就具有这样的特征,体现了高考命题的特点．