偏微分方程数值解法试题与答案

x

1 ?若步长趋于零时，差分方程的截断误差

R m 0,则差分方程的解 U i m 趋近于微分方

程的解U m ?此结论 ________ (错或对)；

1

2.一 阶 Sobolev 空间 H ( ) f (x,y) f , f x , f y L ?()

关于内积(f,g )1 _____________________________________ 是Hilbert 空间；

3 ?对非线性(变系数)差分格式，常用 ____________ 系数法讨论差分格式的 ________ 稳定性； 4?写出y x 3在区间［1,2］上的两个一阶广义导数： ______________________________________

_____ ____ ______________ _ ____ ________ ; 5 ?隐式差分格式关于初值是无条件稳定的 ?此结论 ________ (错或对)。

(13分)设有椭圆型方程边值问题

0.1作正方形网格剖分

。

(1) 用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； (2) 用截断误差为 O (h 2)的差分法将第三边界条件离散化; (3)

整理后的差分方程组为

U C

三.(12)给定初值问题

u x,0 x 1

取时间步长

0.1，空间步长h 0.2。试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式)

2 u ~2 x

2

u ~2 y

0 x 0.3

0.2

x 0.3

2y

1, — u n

2x

y 0.2

并以此格式求出解函数u(x,t)在x 0.2,t 0.2处的近似值。

x

1.所选用的差分格式是： 2 .计算所求近似值：

1 a k 1

四.（12分）试讨论差分方程

u l 1

k

k

k 1

u |

r u | 1

u |

, r h a

1 h

逼近微分方程

u

a u 0 t x

的截断误差阶R 。

思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（

l+1/2,k+1/2 ）展开的。

思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。

2

—2 ,考虑 Du Fort-Frankel 格式

X

试论证该格式是否总满足稳定性的 Von-Neumann 条件？

六. （12分）（1 ）由Green 第一公式推导 Green 第二公式:

（2） 对双调和方程边值问题

n 2

选择函数集合（空间）为：

推导相应的双线性泛函和线性泛函:

A （u,v ）

F （v ）

相应的虚功问题为： 极小位能问题为

七. （ 12分）设有常微分方程边值问题

y y f （x ） , a x b

y a 1, y b 1

五.（12分） 对抛物型方程

U |k1 U |k 2

|k

1

(U |k1 U |k1) U |k

1

)

2

(u)vdxdy

G

(u)

u vdxdy :[v

v

u ]ds n

f (x,y) (x,y)

g 1(x , y),

g 2(x, y)

(x,y),

将区间［a , b ］作剖分:

a x 0 x 1 x 2 x n b

1 ?若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条

件： 2.画出基函数在［a , b ］上的图形： 3 ?将有限元解y h 用基函数的形式表示出来： 八.(12分)设有常微分方程边值问题

y y x 2, 0 x 1

y(0) 0, y(1) 1

1.转化为相应的变分问题

选择函数集合(空间)为： 推导相应的双线性性泛函和线性泛函:

A(y,z)

2.将［0,1］ 二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。

参考解答

2U A 4.2U B U D 0.599 ⑺ U B 2U C 4.2U D 0.52 或

1

h 7

(U 01 U c U 10

U B

4U A )

(1) h

A

即

1

(U A U 31 U 20 U D 4U C ) 0.1

h

4U A U B U C 1.8 u A

4u C u D 1.801

4U A 3.2U B 1.04 4U C 3.2U D 1.08

4 1 (3)2

1 1 0 4 4.

2 0 1

2

U A

1 U B 1 U C 4.

2 U D

1.8 1.801 或

0.599 0.52

4 1

1

0 U

A 1.8

1.801 1

2h h

1 0 4 1

U B

1.801

1.04 1 4h 2

4 3.2 0

u c

1.04

1.08 1

8h 2

4 3.2

U

D

1.08

u 21 (1 r)u 11

ru 1) (1 r)2u 0

1 2r(1 r)u ° r u 1

0.25U 01 0.5U ： 0.25U 0 1.1

四. Box 格式，二阶 五. 练习题。总满足。

①将U 与V 位置对换，并进一步换 U U

②在原Green 公式中换u u

1

极小位能：求u

H F ，使 1 u

A u , u 2

虚工问题：求u H

F ，使A u ,v F v

F u

m H n 丨u

七. 1. i (A j )

i

(A j )

0,i

0,1,

,n 1

六.1.在Green 第一公式

G

U Vd

U x V x U y V y d

G

u :——vds

2 .取 H F

u u H 2

, u

u g 1

,

—

n

1

g 2

??2

c u

u u H , u

0,— 1 2 >

n

u v

「

u v d

ds f vd

G 2

n

n

G

ds

A(u,v)

u v d

G

^v ds , n n

F (v) fvd

G

ds

i 0,1,2, ,n 1

1 2

2 0

2 2

v H o ,由 Green 第二公式有

u, v f, v

1 0

192 12 2

八. 2.

i ⑴

(A j )

d i ⑴ dx

1,2, ,n

i 1,2,

,n

2

- y h (x )

1.取 H E

y i

y i

i

(x)

i

(x)

H 1,y

，作内

积

m i

i 0

n

(x)

0,

y,

(1) i

(x)

(1)

y 1

(x)

n

m i

1

⑴/ 、 i

(x)

H

H 1, y 0 y 1 0

分部积分

dx

°

x 2 dx

y,

虚工冋题:

极小位能:

H E ， H E

，

构造分段线性的结点基函数

2

*

y i

i 0

i

(x) y 1

2x 2 2x

0.5

有限兀方程为:

13 *

25

23 + — (理论解为：y(x)

0.5

A(

131 64

,y

m H n I y

1

,并补充

F( 1) Y

1

0.47236

2x

A(

1 , 2

)

0 x 0.5 0.5 x 1

/ x 1 e (e

x

) x 2 2, y(0.5)

0.47636 )