基本不等式知识点总结与例题讲解
基本不等式知识点总结与例题讲解
一、本节知识点 （1）基本不等式.
（2）利用基本不等式求最值.
（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型
（1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解
知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,∈?b a ,R ,有
22b a +≥ab 2.
当且仅当b a =时,等号成立.
特别地,当0,0>>b a 时,分别用b a ,代替上式中的b a ,,可得
2
b
a +≥a
b . 当且仅当b a =时,等号成立. 通常称不等式
2b a +≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2
b
a +叫做正数
b a ,的算术平均数,ab 叫做正数b a ,的几何平均数.
基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意 重要不等式2
2
b a +≥ab 2与基本不等式
2
b
a +≥a
b 成立的条件是不一样的.前者b a ,为任意实数,后者b a ,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是b a =.
基本不等式的变形
（1）b a +≥ab 2,ab ≤2
2??
?
??+b a .其中∈b a ,R +,当且仅当b a =时,等号成立.
（2）当0>a 时,a a 1+
≥2,当且仅当a a 1
=,即1=a 时,等号成立; 当0 a 1 +≤2-,当且仅当1-=a 时,等号成立. 实际上,当0 ??????? ??-+--=+ a a a a 11. ∵()??? ??-+-a a 1≥2,∴()?? ??????? ??-+--a a 1≤2-,即a a 1+≤2-.当且仅当a a 1-=-, 即1-=a （0 b a a b +≥2,当且仅当b a =时,等号成立;当b a ,异号时,b a a b +≤2-,当且仅当b a -=时,等号成立. （4）不等式链: b a 112 +≤ab ≤2b a +≤222 b a +（0,0>>b a ,当且仅当b a =时, 等号成立.） 其中,b a 112 +,ab ,2b a +,22 2b a +分别叫做正数b a ,的调和平均数、几何平均数、 算术平均数、平方平均数. 知识点 利用基本不等式求最值 设0,0>>y x ,则有 （1）若S y x =+（和为定值）,则当y x =时,积xy 取得最大值42 S ; （∵∈?y x , R +,有xy ≤2 2S y x =+,∴xy ≤ 42S .） 和定积最大. （2）若P xy =（积为定值）,则当y x =时,和y x +取得最小值P 2. （∵∈?y x , R +,有y x +≥xy 2,∴y x +≥P 2.） 积定和最小. 说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可 求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值. 利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数; 二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足. （1）对于函数()x x x f 4+ =,当0>x 时,x x 4 +≥44242==?x x ,即()x f ≥4,当 x x 4= ,即2=x 时,等号成立;当0 ??????? ??-+--=+x x x x 44≤4-,()x f ≤4-,当2-=x 时,等号成立. 由此可见,对于函数()x x x f 4 +=,0>x 和0 3 0< 23?-=-,即 可求出其最大值. ∵()()x x x x 22321 23?-=-≤8923212223212 2 =??? ???=?? ? ??+-?x x ∴()x x 23-的最大值为89,当且仅当x x 223=-,即43 =x 时,取得最大值. （3）求2 122 2++ +x x 的最小值时,虽然22+x 与 2 12 +x 都是正数,且乘积为 定值1,但是当=+22x 2 12+x 时,有122=+x ,显然是不成立的,所以此时不能 用基本不等式求其最小值. 知识点 基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式 一般地,∈?c b a ,,R +,有 3 c b a ++≥3ab c . 当且仅当c b a ==时,等号成立. 上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 设0,0,0>>>z y x ,则有 （1）若M xyz =,则当z y x ==时,和z y x ++取得最小值为3 3M ; （2）若N z y x =++,则当z y x ==时,积xyz 取得最大值27 3 N . 关于三个正数的不等式链 若c b a ,,均为正数,则有 c b a 1113++≤3ab c ≤3c b a ++≤3222c b a ++. 当且仅当c b a ==时,等号成立. n 个正数的基本不等式 对于n 个正数n a a a a ,,,,321 ,则有 n a a a a n ++++ 321≥n n a a a a 321. 当且仅当n a a a a ==== 321时,等号成立. 上面的不等式表明: 对于n 个正数（n ≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数. 四、例题讲解 例1. 若0,0>>b a ,证明: b a 112 +≤ab ≤2b a +≤222b a +. 分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链. 证明: ∵0,0>>b a ∴ ()ab b a b a 22 -+=-≥0 ∴b a +≥ab 2 ∴ab ≤ 2 b a +（当且仅当 b a =时,等号成立） ∴ 2 1 1b a +≥ab ab b a 1111==? ∴ b a 112+≤a b （当且仅当b a =时,等号成立）. ∵22b a +≥ab 2 ∴2222b a b a +++≥ab 222b a ++ ∴()222b a +≥()2 b a + ∴ ()2 2 24 ??? ??+=+b a b a ≤()2422222b a b a +=+,即2 2?? ? ??+b a ≤ 222b a +. ∴根据正数可开方性得:2 2??? ??+b a ≤ 222b a +. ∴2 b a +≤222 b a +（当且仅当b a =时,等号成立）. 综上所述,b a 112 +≤ab ≤2b a +≤222 b a +. 例2. 函数x x y 4 1+-=（0>x ）的最小值为_________,此时=x _________. 解: ∵0>x ∴14 41-+=+-=x x x x y ≥3142142=-=-?x x ,即y ≥3. 当且仅当x x 4 = ,即2=x 时,取等号. ∴当2=x 时,函数x x y 4 1+-=（0>x ）取得最小值3. 例3. 已知3>a ,求3 4 -+a a 的最小值. 分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和 的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等. 解: ∵3>a ,∴03>-a . ∴334334+-+-=-+ a a a a ≥()733432=+-? -a a ,当且仅当3 4 3-=-a a ,即 5=a 时,等号成立. ∴3 4 -+ a a 的最小值为7. 例4. 已知1>x ,且1=-y x ,则y x 1 + 的最小值是_________. 解: ∵1=-y x ,∴1+=y x . ∵1>x ,∴01>+y ,∴0>y . ∴11111++=++=+ y y y y y x ≥311 2=+?y y . 当且仅当y y 1 = ,即1=y 时,等号成立. ∴y x 1 + 的最小值是3. 另解: ∵1=-y x ,∴1-=x y . ∵1>x ,∴01>-=x y ∴11 1 1111+-+-=-+=+ x x x x y x ≥()311112=+-? -x x . 当且仅当1 1 1-=-x x ,即2=x 时,等号成立. ∴y x 1 + 的最小值是3. 例5. 已知0,0>>y x ,且12=+y x ,求 y x 1 1+的最小值. 解: ∵12=+y x ,0,0>>y x ∴ y x x y y y x x y x y x ++=+++=+232211≥223223+=?+y x x y . 当且仅当y x x y =2,且12=+y x ,即221,12-=-=y x 时,等号成立. ∴y x 1 1 + 的最小值为223+. 点评 本题若由 ()y x y x y x 21111+??? ??+=+≥2422112=??xy y x ,得y x 11+的最小值为24,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性. 所以有下面的警示. 易错警示 连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同. 例6. 已知0,0>>y x ,且 19 1=+y x ,求y x +的最小值. 解: ∵0,0>>y x , 19 1=+y x ∴()x y y x x y y x y x y x y x ++=+++=?? ? ??++=+91099191≥169210=?+x y y x . 当且仅当 x y y x =9,且19 1=+y x ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16. 另解（消元法）: ∵ 191=+y x ,∴9-=y y x ∵0,0>>y x ,∴ 09 >-y y ,∴9>y . ∴999 919999+-+-+=+-+-=+-= +y y y y y y y y y x 99910-+-+ =y y ≥()1699 9 210=-?-+y y . 当且仅当 999-=-y y ,且9 -=y y x ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16. 例7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,则y x 43+的最小值是 【 】 （A ） 524 （B ）5 28 （C ）5 （D ）6 解: ∵xy y x 53=+,∴ 15351=+x y . ∵y x ,均为正数 ∴()x y y x x y y x x y y x y x 512535135125459535351 4343++=+++=?? ? ??++=+ ≥ 55 6 2513512532513=?+=?+x y y x . 当且仅当 x y y x 51253=,且xy y x 53=+,即2 1,1==y x 时,等号成立. ∴y x 43+的最小值是5. ∴选择答案【 C 】. 例8.（1）已知45> x ,求代数式541 24-+-x x 的最小值; （2）已知45 41 24-+-x x 的最大值. 分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一 正、二定、三相等. 解:（1）∵4 5 > x ,∴054>-x . ∴35 41 5454124+-+-=-+ -x x x x ≥()53541542=+-? -x x . 当且仅当54154-=-x x ,即23 =x 时,等号成立. ∴代数式541 24-+-x x 的最小值为5; （2）∵45 ∴34514535415454124+??? ?? ?-+--=+-+-=-+ -x x x x x x ≤()1323451 452=+-=+-?--x x 当且仅当x x 45145-= -,即1=x 时,等号成立,5 41 24-+-x x 取得最大值1. 例9. 已知实数0,0>>b a ,且 11 1 11=+++b a ,则b a 2+的最小值是 【 】 （A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2 解: ∵ 11 111=+++b a ∴ ()() 1111 1=+++++b a a b ,整理得:1=ab . ∵0,0>>b a ∴b a 2+≥221222222=?==?ab b a . 当且仅当b a 2=,即2 2 ,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】. 另解: ()()31212-+++=+b a b a . ∵0,0>>b a , 11 111=+++b a ∴()()[]()132112111111131212?-+++++++=?? ? ??+++-+++=+a b b a b a b a b a () 1 1211+++ ++= a b b a ≥()22112112=++?++a b b a . 当且仅当 ()11211++=++a b b a ,且11 111=+++b a ,即22,2= =b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. 例10. 设0,0>>y x ,且53=+y x ,则 y x 3 11++的最小值为 【 】 （A ） 2 3 （B ）2 （C ）32 （D ）3 解: ∵53=+y x ∴()813=++y x ,∴ ()18 813=++y x . ∵0,0>>y x ∴ ()()()8 3 188198331188 13311+++++=??? ??++??????++=++x y y x y x y x y x ()()4318819++++= x y y x ≥()()2 3 4383243188192=+?=++?+x y y x . 当且仅当 ()()18819+=+x y y x ,且53=+y x ,即4,3 1==y x 时,等号成立. ∴ y x 311++的最小值为2 3. ∴选择答案【 A 】. 另解: ∵53=+y x ,∴x y 35-=. ∵0,0>>y x ,∴???>->0350x x ,解之得:350< ∴x 的取值范围为?? ? ??35,0. ()()52383518353113112++-=-+=-++=++x x x x x x y x . 设()3163135232 2 +??? ? ?--=++-=x x x x f ∵??? ??∈35,0x ,∴()?? ? ??∈316,0x f . ∴当31= x 时,2 33 168311 min ==??? ??++y x . ∴选择答案【 A 】. 例11. 代数式1 10 72+++x x x （1->x ）的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）7 （C ）9 （D ）10 分析: 形如e dx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++ 的形式. 解: 可设()()n x m x x x ++++=++111072 2 . ∴()1071222++=+++++x x n m x m x ∴???=++=+10172n m m ,解之得:???==4 5n m . ∴()()41511072 2++++=++x x x x . ∴ ()()51 4 11415111072 2++++=+++++=+++x x x x x x x x ∵1->x ,∴01>+x ∴51 4 1+++ +x x ≥()951412=++? +x x . 当且仅当1 4 1+= +x x ,即1=x 时,等号成立. ∴代数式1 10 72+++x x x （1->x ）的最小值为9. ∴选择答案【 C 】. 另解: ()()()[]()[] 1 411115211072+++++=+++=+++x x x x x x x x x ()()51 4 11 4 1512+++ +=+++++= x x x x x . ∵1->x ,∴01>+x ∴51 4 1+++ +x x ≥()951412=++? +x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立,91107min 2 =??? ??+++x x x . ∴选择答案【 C 】. 例12. 求函数2 2 216 3x x y ++=的最小值. 解: ∵022 >+x ∴()62162321632 2 22-+++=++ =x x x x y ≥()638621623222-=-+?+x x . 当且仅当()2 2216 23x x += +,即 2334-±=x 时,等号成立.638min -=y . 例13. 已知函数()x a x x f +=4（0,0>>a x ）在3=x 时取得最小值,则=a ______. 解: ∵0,0>>a x ∴()x a x x f + =4≥a x a x 442=?. 当且仅当x a x = 4,即2a x =时,等号成立,函数()x f 取得最小值a 4. ∴ 32 =a ,解之得:36=a . 实际上,函数()? ????? ??+=+=x a x x a x x f 444（0,0>>a x ）,当2 4a a x ==时,函数()x f 取得最小值.所以 32 =a ,从而求得36=a . 例14. 设正实数y x ,满足xy y x =+2,若y x m m 222 +<+恒成立,则实数m 的取 值范围是_____________. 分析: 利用基本不等式可求出y x 2+的最小值.要使y x m m 222 +<+恒成立,只 需()min 222y x m m +<+即可. 解: ∵y x ,为正实数,xy y x =+2 ∴ 12 12=+=+x y xy y x ∴()y x x y y x x y y x y x y x ++=+++=+?? ? ??+=+442422122≥8424=?+y x x y 当且仅当 y x x y =4,即2,4==y x 时,等号成立. ∴()82min =+y x . ∵y x m m 222+<+恒成立 ∴只需()min 222y x m m +<+即可 ∴822<+m m ,解之得:24<<-m . ∴实数m 的取值范围是()2,4-. 例15. 已知()()x x x f 22-=（10< 分析: 当两个正数的和为定值S 时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最 大值,简称为：和定积最大. 本题中,观察到()2222=-+x x 为定值,故考虑用基本不等式求函数()x f 的最大值,但要对原解析式解析等价变形. 解: ∵10< ∴()()()x x x x x f 22221 22-?=-=≤211212222212 =?=? ? ? ??-+?x x . 当且仅当x x 222-=,即2 1 =x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为 2 1. 另解: ∵10< ∴()()()x x x x x f -?=-=1222≤212122122 2=?? ? ???=??? ??-+?x x . 当且仅当x x -=1,即2 1 =x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为 2 1. 例16. 求代数式1 2 -x x （1 分析: 形如e dx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++ 的形式. 解: ∵1 ∴()()21111111111111122+-+-=-++=-+-+=-+-=-x x x x x x x x x x x ()2111+??? ?? ?-+--=x x ≤()02221112=+-=+-?--x x 当且仅当x x -= -11 1,即0=x 时,等号成立. ∴代数式1 2 -x x （1 注意 使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. 例17. 已知210< 1 -=的最大值. 解: ∵2 1 0< 2121-?=-=≤16121412212412 2 =? ?? ???=?? ? ??-+?x x . 当且仅当x x 212-=,即4 1 =x 时,等号成立. ∴16 1max = y . 例18. 设210< m 2121-+≥k 恒成立,则k 的最大值为_________. 分析: 只需min 2121? ?? ??-+m m ≥k 即可,这样问题就转化为求m m 2121-+的最小值的 问题. 解: ()() m m m m m m m m 211 212212121-=-+-=-+. ∵2 1 0< ()()m m m m 212211 211-?=-≥84121122122112 =?=?? ? ??-+?m m . 当且仅当m m 212-=,即41=m 时,等号成立.（注意,当2 1 0< m m 212 1-+的最小值为8. ∵ m m 212 1-+ ≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8. 另解: ∵2 1 0< ()[]221214221212122121+-+-+=?? ? ??-+-+=-+m m m m m m m m m m m m m m 212144-+ -+=≥82121424=-?-+m m m m . 当且仅当 m m m m 21214-= -,即41 =m 时,等号成立. ∴m m 2121-+的最小值为8. ∵m m 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8. 例19. 若对任意0>x ,1 32++x x x ≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 解: ∵0>x ∴ 3111 32++= ++x x x x x ≤ 51 3213 121=+=+?x x 当且仅当x x 1 = ,即1=x 时,等号成立. ∴5 113max 2=? ?? ??++x x x . ∵对任意0>x , 1 32++x x x ≤a 恒成立 ∴a ≥max 213??? ??++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是?? ????+∞,51. 例20. 已知0,0>>y x ,y x xy 2+=,若xy ≥2-m 恒成立,则实数m 的最大值是 __________. 分析: 可求出m 的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法. 解: ∵y x xy 2+= ∴ 11 22=+=+y x xy y x . ∵0,0>>y x ∴xy y x 2 2 122 =?≤112=+y x ∴ xy 8 ≤1,∴xy ≥8. 当且仅当 y x 1 2=,即2,4==y x 时,等号成立.()8min =xy . ∵xy ≥2-m 恒成立 ∴2-m ≤()min xy ,即2-m ≤8,解之得:m ≤10. ∴实数m 的最大值是10. 例21. 若不等式x a x 2 9+≥1+a （常数0>a ）对一切正实数x 恒成立,求实数a 的 取值范围. 解: ∵0>x ,0>a ∴x a x 2 9+≥a x a x 6922=?. 当且仅当x a x 29=,即3a x =时,等号成立. ∴a x a x 69min 2=??? ? ? +. ∵x a x 2 9+≥1+a 对一切正实数x 恒成立 ∴只需min 29??? ? ? +x a x ≥1+a 即可 ∴a 6≥1+a ,解之得:a ≥5 1 . ∴实数a 的取值范围是?? ????+∞,51. 方法总结 解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决. 例22. 已知b a ,是正实数,且032=-+ab b a ,则ab 的最小值是_________,b a +的 最小值是_________. 解: ∵032=-+ab b a ∴ab b a 32=+,∴13132=+b a . ∵ b a ,是正实数 ∴()b a a b b a a b b a b a b a 332131332323132++=+++=+?? ? ??+=+ ≥3 2 213322 1+=?+b a a b . 当且仅当 b a a b 332= ,即3 1 2,322+=+=b a 时,等号成立. ∴b a +的最小值为3 221+. ∵b a ,是正实数,13132=+b a ∴a b b a 92231322 =?≤13132=+b a ∴a b ≥ 98 . 当且仅当b a 3132=,即3 2,34==b a 时,等号成立. ∴ab 的最小值是98 . 例23. 已知0,0>>y x ,且32=+y x ,则xy 的最大值是_________, xy y x +3的最小值是_________. 解: ∵0,0>>y x ,32=+y x ∴xy y x 2222=?≤32=+y x ∴xy ≤89,当且仅当y x 2=,即4 3 ,23==y x 时,等号成立. ∴xy 的最大值是89 . ∵32=+y x ,∴1323=+y x . ∴ 3 7 322323131323313++=+++=??? ??+??? ??+=+=+x y y x x y y x y x y x y x xy y x ≥3 7 623732237322 += +=+?x y y x . 当且仅当 x y y x 32=,即106318,5363-=-=y x 时取等号. ∴ xy y x +3的最小值是3762+. 例24. 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造 价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是 【 】 （A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m 2,设底面长为x m,则底面宽为 x 4 m,容器的总造价为y 元.则有 804204102420+??? ? ?+=??? ??+??+?=x x x x y ≥160804220=+??x x （元） 当且仅当x x 4 = ,即2=x 时,等号成立. ∴该容器的最低总造价是160元. ∴选择答案【 C 】. 例25. 设0,0>>y x ,52=+y x ,则 ()() xy y x 121++的最小值为_________. 解: ∵52=+y x ∴ ()() ???? ? ?+=+ =+= +++= ++xy xy xy xy xy xy xy y x xy xy y x 326 2621 22121. ≥343 2 2=? ?xy xy . 当且仅当xy xy 3=,且52=+y x ,即1,3==y x 或2 3 ,2= =y x 时,等号成立. ∴ ()() xy y x 121++的最小值为34. 注意 注意与下面的例25做比较. 例26. 设0,>b a ,且1=+b a ,则ab ab 1 + 的最小值为_________. 分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. ∵0,>b a ,∴ab ab 1 + ≥212=?ab ab . 当且仅当ab ab 1=时,等号成立,此时??? ??=+=1 1 b a ab ab 无实数解. ∴上面的等号是取不到的,即ab ab 1 + 的最小值不是2. 解: ∵0,>b a ,且1=+b a ∴ab ≤ 212=+b a ,∴ab <0≤4 1 . 设t ab =,则?? ? ??∈41,0t . ∵t t y 1 +=在?? ? ??∈41,0t 上单调递减 ∴417 44 14 114141min =+=+=??? ??=f y . ∴ab ab 1+的最小值为4 17 . 例27. 设20< 24x x -的最大值. 解: ∵20< ∴02>-x ∴()()x x x x x x -?=-=-2222242≤22 22=-+?x x 当且仅当x x -=2,即1=x 时,等号成立. ∴代数式224x x -的最大值2. 例28. 已知0,0,0>>>z y x ,求证:??? ??+x z x y ??? ??+y z y x ? ? ? ??+z y z x ≥8. 证明: ∵0,0,0>>>z y x ∴ x z x y +≥02>x yz ,y z y x +≥02>y xz ,z y z x +≥02>z xy . 当且仅当z y x ==时,上面三个等号同时成立. ∴??? ??+x z x y ??? ??+y z y x ??? ??+z y z x ≥888==??xyz xyz xyz xy xz yz . 当且仅当z y x ==时,等号成立. 例29. 已知0,0,0>>>c b a ,且1=++c b a . 求证: c b a 1 11++≥9. 证明: ∵0,0,0>>>c b a ,1=++c b a ∴ c c b a b c b a a c b a c b a +++ +++++=++111 ?? ? ??++??? ??++??? ??++=c b b c c a a c b a a b 3 ≥92223222 3=+++=?+?+?+c b b c c a a c b a a b 当且仅当c b a ==时,等号成立. 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞ 例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。 基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： 基本公式 （1）R b a ab a a ∈≥+、,222（2）ab b a 2≥+，一定二正三相等（3 ）b a a b b a b a 1122222+≥≥+≥+，当b a =时，等号成立（4）33abc c b a ≥++推广： n n n x x x n x x x 2121≥+++，0>i x 题型 （1）对勾函数:x b ax y +=当x b ax =时，函数取得极值点 （2）1的代换 当题目中有b a b a 11、、、时。例1：正数n m 、满足12=+n m ，求m n 11+的最小值解：223212)21111+≥+++=+?+=+m n n m n m m n m n （）（ （3）xy y x 、、型 例2：已知2=++xy y x ，求y x +最小值①因式分解（提取公因式）2 3232113 )1)(1(2 -≥+∴≥+++=++∴=++y x y x y x xy y x 又②求谁留谁 22208)(4)())(2(4)())(2(44)(2222-≥+≥-+++∴+-≥+∴+-=≥+∴≥+y x y x y x y x y x y x xy y x xy y x 解得： ③?判别法：0 ≥?2 320 )2(40 22 )(,22-≥≥--=?=-+-∴=-+∴-=+=z z z z zy y z y y z z y x y x z 解得则令④技巧、完全对称为最值 解得：原式完全对称和式子中2322 22-==+=∴=∴x x x y x y x （4）xy y x 、、22型①完全对称 ②求谁留谁 ③?判别法：0≥?④配方，三角换元例3：已知1422=++xy y x 求y x +2的最大值配方： 1)2(41522=++x y x ；则：12(21522=++x y x ）（换元： ]2,0[cos 2;sin 215πθθθ∈=+=。x y x θθθsin 15 1cos ,sin 152-==∴y x )sin(58cos sin 15 32?θθθ+=+=+∴y x 510 22≤+∴y x 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式常见考试题型总结 Prepared on 22 November 2020 《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式 高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查： ①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大； ②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题； ③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查． 二、常见考试题型 （1）求解不等式解集的题型 （分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题 （不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合 法） （3）不等式大小比较 常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。 （4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例. 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 技巧四：换元 例. 求2710 (1)1x x y x x ++= >-+的值域。 技巧五：函数的单调性 （注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。） 例：求函数22 4 y x = +的值域。 技巧六：整体代换 （多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。） 例：（1）已知0,0x y >>，且19 1x y +=，求x y +的最小值。 （2）若+ ∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值 (3)已知+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标 期末复习之不等式知识点 2 3 1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x2–(a+a2)x+a3>0； （3）2x2 +ax +2 > 0； 注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有： 1、讨论a与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小；运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题： 例1．已知关于x的不等式 在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围． ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象 分离参数后用最值 函数 、 、 、 3 2 1 例2．关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围. 4 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 （1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）,a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 总结：已知y x ,都是正数，则有 （1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正，则要加负号，若不定，则要凑定值，若不等，则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z += The shortest way to do many things is 专题 基本不等式 编者：高成龙 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：) 0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）；（2）；()24a b ab +≤(),a b R ∈)+0,0a b a b ≥>>【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=41x y +【变式1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=4x x y +【变式2】（2013年天津）设， 则的最小值为 .2,0a b b +=>1||2||a a b +【例2】（2012河西）已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b +【变式】已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b ab ++ 【例3】已知，且，则的最小值为 . 0,0x y >>280x y xy +-=x y +【例4】已知正数满足，则的最小值为 .,x y 21x y +=8x y xy +【例5】已知，若不等式总能成立，则实数的最大值为 . 0,0a b >>212m a b a b +≥+m 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）与圆相交于两点，()1,0by a b +=≠22 1x y +=,A B 为坐标原点，且△为直角三角形，则的最小值为 . O AOB 22 12a b + 【例7】（2012年南开二模）若直线始终平分圆的周长，()2200,0ax by a b -+=>>22 2410x y x y ++-+=则的最小值为 . 11a b +【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足 12,e e 12,F F P ，则的最小值为 120PF PF ?= 22214e e +【例9】已知，则的最小值是（ ）0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=11x y + A ．6 B ．5 C ． D ．3+【例10】已知函数，若，且，则的最小值为 .()4141 x x f x -=+120,0x x >>()()121f x f x +=()12f x x + 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+≤≤ 【注意】： a b 、 同向或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0).高中数学不等式知识点总结
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