变形与断裂总结

变形与断裂总结
变形与断裂总结

第一章:

单向静拉伸试验:是应用最广泛的力学性能试验方法之一。

1)可揭示材料在静载下的力学行为(三种失效形式):即:过量弹性变形、塑性变形、断裂。

2)可标定出材料最基本力学性能指标:如:屈服强度、抗拉强度、伸长率、断面收缩率等。 拉伸力-伸长曲线

拉伸曲线:

拉伸力F -绝对伸长△L 的关系曲线。

在拉伸力的作用下,退火低碳钢的变形过程四个阶段:

1)弹性变形:O ~e

2)不均匀屈服塑性变形:A ~C

3)均匀塑性变形:C ~B

4)不均匀集中塑性变形:B ~k

5)最后发生断裂。k ~

第二章:

弹性变形:当外力去除后,能恢复到原形状或尺寸的变形。

特点:可逆性、单值线性、同相位、变形量小

本质:都是构成材料的原子(离子)或分子从平衡位置产生可逆位移的反映。

弹性模量E :是表征材料对弹性变形的抗力,工程称材料的刚度.

E 值越大,在相同应力下产生的弹性变形就越小。

弹性模量是结构材料的重要力学性能指标之一。

影响因素:1、键合方式 2、原子结构 3、晶体结构 4、化学成分 5.微观组织 6.温度 弹性模量 E 与切变模量 G 关系:(其中: ν-泊松比。)

比例极限σp :是材料弹性变形按正比关系变化的最大应力,即拉伸应力一应变曲线上开始偏离直线时的应力值。

弹性极限:材料由弹性变形过渡到弹-塑性变形时的应力,当应力超过弹性极限σe 后,便开始产生塑性变形。

(比例极限σp 和弹性极限σe 与屈服强度的概念基本相同,都表示材料对微量塑性变形的抗力,影响因素也基本相同。)

弹性比功ae :(弹性比能、应变比能)表示材料在弹性变形过程中吸收弹性变形功的能力。一般用材料开始塑性变形前单位体积吸收的最大弹性变形功表示。

物理意义:吸收弹性变形功的能力。

几何意义:应力σ -应变ε曲线上弹性阶段下的面积。

欲提高材料的弹性比功:提高σe ,或降低 E

2E G ν=(1+)

弹簧钢:含碳较高并添加Si 、Mn 等合金元素强化基体,经淬火+中温回火获得回火托氏体组织及冷变形强化,以提高其弹性极限,使弹性比功ae 和弹性提高。

纯弹性体的弹性变形:只与载荷大小有关,而与加载方向和加载时间无关。

材料的非理想弹性行为:可分为滞弹性、粘弹性、伪弹性及包申格效应等几种类型。

滞弹性:是指材料在弹性范围内快速加载或卸载后,随时间的延长而产生的附加弹性应变的现象。

金属的循环韧性:金属材料在交变载荷(振动)下吸收不可逆变形功的能力

伪弹性材料的应力一应变曲线如图:

AB 段-为常规弹性变形阶段;

B 点应力-为诱发马氏体相变开始的应力;

C 点-处马氏体相变结束,

CD 段-为马氏体弹性应变阶段。

CD 段卸载,马氏体作弹件恢复。

-开始逆向相变的应力,马氏体相变回原来的组织;

G 点-完全恢复初始组织。

GH -为初始组织的弹性恢复阶段,恢复到初始组织状态,没有任何残留变形。

包申格(Bauschinger)效应:金属材料经预加载产生少量塑变 (残余应变约1%~4%),卸载后再同向加载,规定残余伸长应力(弹性极限或屈服强度)增加;反向加载,规定残余伸长应力降低(特别是弹件极限在反向加载时几乎降低到零)的现象。

消除包申格效应方法:(包申格效应:是一种对材料微观组织结构变化的结果,所以可通过热处理加以消除。)

(1)对材料预先进行较大的塑性变形;

(2)在第二次反向受力前,对材料进行回复再结晶退火。

第三章:

位错增殖机制:弗兰克-瑞德(Frank-Rend )源,简称F-R 源、双边(或双轴) F-R 源(U 型平面源)、单边F-R 源、双交滑移增殖

第四章:

金属材料常见的塑性变形方式:滑移 孪生

塑性变形:当材料所受应力超过弹性极限后,开始发生不可逆的永久变形。

滑移:指晶体的一部分沿一定的晶面(滑移面)和晶向(滑移方向)相对于另一部分发生滑动的现象。

滑移机理:滑移是通过滑移面上位错的运动来实现的。

单滑移:对有多组滑移系的晶体,当其与外力轴取向不同时,处于软位向的一组滑移系首先开动。

多滑移:若两组或几组滑移系处在同等有利的位向,在滑移时,各滑移系同时开动,或因滑移中晶体的转动使两个或多个滑移系交替滑移。

交滑移:是指两个或多个滑移面沿同一个滑移方向滑移。

滑移变形的特点 :1)滑移只能在切应力的作用下发生。

2)滑移常沿晶体中原子密度最大的晶面和晶向发生。

3)一个滑移面和其上的一个滑移方向构成一个滑移系。

4)滑移时,晶体两部分的相对位移量是原子间距的整数倍。

5)滑移的同时伴随着晶体的转动

M B σP F σ

孪生:在切应力作用下,晶体的一部分沿一定晶面和晶向相对于另一部分所发生的均匀切变。此切变并未使晶体点阵发生变化,但却使切变区晶体取向与未切变区晶体呈镜面对称。

孪生变形特点:1)孪生也是在切应力作用下发生的

2)孪生使一部分晶体发生均匀切变

3)孪生使晶体变形部分位向发生改变,孪晶面两侧晶体位向呈镜面对称

4)孪生时相邻原子面的相对位移量小于一个原子间距

5)孪生对塑变的直接贡献比滑移小很多

6)孪生变形的拉伸应力-应变曲线呈锯齿状

7)孪生变形与晶体结构

8)孪生使表面出现浮凸

晶界及晶粒位向差的影响:1、晶界的影响:双晶在室温下拉伸变形后,呈现竹节状。即晶界处晶体变形较小,而晶内变形量则大得多,整个晶粒的变形不均匀。这表明:晶界强度高于晶内。晶界对塑性变形的影响:晶体在外力作用下变形,当滑移的位错运动到晶界附近时,受到阻碍而堆积,称位错塞积。要使变形继续进行, 须增加外力, 而使金属变形抗力提高。

2、晶粒位向的影响:因各相邻晶粒位向不同,当一晶粒发生塑变时,为保持金属的连续性,周围晶粒若不发生塑变,则必以弹性变形来与之协调。这便成为塑性变形晶粒的变形阻力。因各晶粒间的相互约束,使多晶体金属的变形抗力提高。

多晶体金属塑性变形特点:1)各晶粒变形不同时性:当多晶体受外力作用时,因各晶粒取向不同,软取向晶粒先滑移变形,而硬取向晶粒可能仍处于弹性变形状态。只有外力继续增大,才能使滑移从某些晶粒传播到相邻晶粒,并不断传播下去,从而产生宏观可见的塑性变形。

2)各晶粒的变形不均匀:多晶体各晶粒变形不同时性,也反映了各晶粒变形不均匀。变形不均匀性:不仅存在于各晶粒间、基体与第二相间,也存在于同一晶粒内部。因晶界对滑移的阻碍作用,使得靠近晶界区域的滑移变形量明显小于晶粒中心区域。当宏观塑变量还不大时,个别晶粒或晶粒局部塑变量可能已达极限,加上变形不均匀产生较大内应力,就有可能使这些晶粒中形成裂纹,导致金属材料早期断裂。

3)各晶粒变形的相互协调:多晶体作为一个整体,不允许各个晶粒任意自由变形,否则将造成晶界开裂,这就要求各晶粒间能协调变形。为此,各晶粒须能同时沿几个滑移系进行滑移(多滑移)。一般认为,各晶粒至少应有5个独立滑移系启动,才能确保产生任何方向不受约束的塑性变形,即其形状才能相应地作各种改变,而不引起晶界开裂。

细晶强韧化:通过细化晶粒来同时提高金属的强度、塑性和韧性的方法

屈服:金属材料在拉伸时,当应力超过弹性极限,即使外力不再增加,甚至下降情况下,而变形继续进行的现象

应变时效现象:若将低碳钢经少量预变形,去载后立即加载,则暂不出现屈服现象。但若预变形后,将试样放置一段时间或稍微加热(200℃)后再加载拉伸,则又出现屈服现象,且屈服强度会有所提高

屈服的解释:一般认为,在固溶体中溶质或杂质原子造成点阵畸变所产生应力场和位错应力场发生交互作用,使溶质原子将聚集在位错线附近,形成所谓的柯垂尔(Cottrell)气团。因此交互作用,使体系能量处于较低状态;只有在较大应力作用下,位错才能脱离溶质原子的钉扎;表现为应力-应变曲线上的上屈服点;当位错继续滑移时,就不需要开始时那么大的应力,表现为应力-应变曲线上的下屈服点;当继续变形时,因应变硬化作用,应力又出现升高的现象。

应变时效解释:1)当卸载后,短时间内因位错已经挣脱溶质原子束缚,故继续加载时不会出现屈服现象。2)当卸载后经较长时间或短时加热,溶质原子又会扩散重新聚集到位错线附近,故继续拉伸,又会出现屈服现象。

影响金属材料屈服强度的因素:

1)内因

1.金属本性及晶格类型

(1)位错运动所受的各种阻力①晶格阻力(P-N力)②位错间交互产生的阻力

2.晶粒大小和亚结构

3.溶质元素

4.第二相

2)外因

5.温度

6.应变速率与应力状态。

弥散强化:当第二相以弥散分布形式存在时,将产生显著的强化作用,若借助粉末冶金或其它方法加入,则为弥散强化。

第二相颗粒可分为“可变形的”和“不可变形的”

1)弥散强化的颗粒属不可变形的;

2)沉淀强化的颗粒多属可变形,但当沉淀粒子长大到一定程度后,也会变为不可变形的。单相固溶体合金:随溶质含量增加,固溶体强度、硬度提高,塑性、韧性下降,称固溶强化。弥散强化机理:当运动位错与不可变形颗粒相遇时,位错线因受阻挡而发生弯曲;随着应力增加,弯曲加剧,最终绕颗粒的位错相遇,并留下一个位错环,而位错线将继续前进。显然,此过程需额外做功,且位错环将对后续位错产生进一步阻碍作用,这都将使材料强度的上升。当第二相在晶内呈颗粒状弥散分布时,颗粒越细,分布越均匀,合金的强度、硬度越高,塑性、韧性略有下降,这种强化方法称弥散强化或沉淀强化。

应变硬化指数n :反映了材料抵抗继续塑性变形的能力。也是表征材料应变硬化行为的性能指标。

应变硬化指数n 对材料结构、组份与状态变化敏感。应变硬化指数n 也与层错能有关,层错能低的材料应变硬化程度大。

第五章:

机件的三种主要失效形式:磨损、腐蚀、断裂。

断裂:又可分为完全断裂和不完全断裂。

断裂的类型:断裂过程大都包括裂纹的形成与扩展两个阶段。按照不同的分类方法,将断裂分为以下几种:

1)按宏观塑性变形程度:韧性断裂、脆性断裂。

2)按裂纹扩展途径:穿晶断裂、沿晶断裂。

3)按断裂机理:纯剪切断裂、微孔聚集型、解理断裂。

4)按断裂面取向分类:正断;切断。

韧性断裂:材料断裂前及断裂过程中产生明显宏观塑性变形的断裂。

特点:1)断裂有一个缓慢撕裂过程,且消耗大量塑性变形能。

2)断裂面一般平行于最大切应力并与主应力成45°角。

3)断口呈纤维状,灰暗色。

4)典型宏观断口特征呈杯锥状。

杯锥状断口:有纤维区、放射区、剪切唇(断口三要素)。

脆性断裂:材料断裂前基本不产生明显宏观塑性变形,无明显预兆,表现为突然发生的快速断裂,故有很大危险性。

特点:1)断裂面一般与正应力垂直,断口平齐而光亮,常呈放射状或结晶状。

2)矩形截面板状试样脆性断口可见“人字纹花样”。

3)人字纹放射方向与裂纹扩展方向平行,其尖顶指向裂纹源。

微孔聚集型断裂:(纯剪切断裂另一种形式)通过微孔形核、长大聚合而导致材料分离,是韧性断裂的普遍方式。

宏观断口:常呈现暗灰色、纤维状,

微观断口特征:则是断口上分布大量“韧窝”。

微孔聚集型断裂断口微观特征:韧窝

韧性断裂主要过程:微孔形核长大和聚合。在断口上留下痕迹即为电镜下观察到的大小不等的圆形或椭圆形韧窝。

韧窝-是韧性断裂的微观基本特征。

解理断裂:金属材料在一定条件(如低温、高应变速率,或有三向拉应力状态)下,当外加正应力达到一定数值后,以极快速率沿一定晶体学平面(解理面)产生的穿晶断裂。解理常见于:体心立方(bcc)和密排六方(hcp)金属中。

解理面:一般是低指数面或表面能最低的晶面。

解理裂纹的形成和扩展:裂纹形成必与塑性变形有关,而塑变又是位错运动的反映。因此,裂纹形成与位错运动有关-提出裂纹形成位错理论。

解理断裂:是沿晶体特定界面发生的脆性穿晶断裂。

基本微观特征:解理台阶、河流花样、舌状花样。

微观断口:由许多大致相当于晶粒大小的解理(刻)面集合而成的。

解理台阶和河流花样:

在解理刻面内部,解理裂纹一般要跨越若干相互平行且位于不同高度的解理面,而出现解理台阶和河流花样。

河流花样:实际上是解理台阶的一种标志。

解理台阶、河流花样、舌状花样是解理断裂基本微观特征。

准解理断裂:

常见于淬火+回火的高强度钢,或贝氏体组织钢中。因弥散细小碳化物质点影响了裂纹形成与扩展,当裂纹在晶粒内扩展时,难于严格沿一定晶体学平面扩展。

断裂路径:不再与晶粒位向有关,而主要与细小碳化物有关。

微观特征:似解理河流但又非真正解理,故称准解理。

第六章:

应力腐蚀断裂(SCC):金属构件在静载拉应力和特定化学介质共同作用下,经过一段时间后,因电化学腐蚀所导致的正常延性材料发生早期低应力脆性延迟破坏现象

应力腐蚀断裂:并不是应力作用下的机械性破坏与化学介质作用下的腐蚀性破坏的简单迭加所致。而是在两者联合作用下,按特有机理产生的断裂。其断裂强度比单因素分别作用后再迭加的还要低得多。

应力腐蚀断裂产生条件:应力、化学介质、金属材料

应力腐蚀断裂机理:是滑移-溶解理论(或称钝化膜破坏理论)和氢脆理论。

氢致延滞断裂:在高强度钢或其他材料(如α+β钛合金)中固溶有适量的氢(原来存在或从环境介质中吸收),在低于屈服强度的应力持续作用下,经过一段时间(孕育)后,在金属内部,特别在三向拉应力区形成裂纹,裂纹逐步扩展,最后突然发生脆性断裂。这种因氢的作用而产生的延迟断裂称为“氢致延迟断裂”。工程上所说“氢脆”:大多数是指这类氢脆。氢脆断口宏观特征:具有脆性断裂特征。断口面平齐而光亮,呈放射状或颗粒状。

氢脆断口微观特征:①沿晶断裂:大多沿原奥氏体晶界的沿晶断裂,晶界面上较平坦,且

无附着物,并有二次裂纹。②随氢脆类型、H含量、材料成分、晶粒度、应力大小、应变速度等不同而变化;

除沿晶外,还有穿晶断裂(微孔型、解理、准解理型)。

第七章:

疲劳:金属机件或构件在变动应力和应变长期作用下由于累积损伤而引起的断裂现象

疲劳分类:

1)按应力状态:弯曲疲劳、扭转疲劳、拉压疲劳及复合疲劳;

2)按环境和接触:大气疲劳、腐蚀疲劳、高温疲劳、热疲劳、接触疲劳等;

3)按断裂寿命和应力高低:高周疲劳和低周疲劳,这是最基本的分类方法。

高周疲劳:断裂应力水平较低,σ<σs ,断裂寿命较长,Nf >105周次。也称低应力疲劳,一般疲劳多属这类。

低周疲劳:断裂应力水平较高,σ>σs,断裂寿命较短,Nf =(102~105)用次,往往有塑性应变,也称高应力疲劳或应变疲劳。

疲劳的特点

(1)疲劳是低应力循环延时断裂,即具有寿命的,

(2)疲劳是脆性断裂

(3)疲劳对缺陷(缺口、裂纹及组织缺陷)十分敏感

疲劳断口:保留了断裂过程的很多信息,有明显形貌特征。并受材料性质、应力状态、大小及环境等因素的影响,

疲劳断口分析是研究疲劳断裂过程和原因的重要方法之一。

典型断口:有三个不同区域——疲劳源、疲劳区及瞬断区

(1)疲劳源:是疲劳裂纹萌生的策源地。

(2)疲劳区:疲劳裂纹亚稳扩展区,是判断疲劳断裂的重要证据。

(3)瞬断区:裂纹最后失稳快速扩展区。

疲劳过程:包括疲劳裂纹萌生、裂纹亚稳扩展及最后失稳扩展三个阶段

机理:宏观疲劳裂纹是由微观裂纹的形成、长大从连接而成的。

疲劳条带是疲劳断口微观特征,贝纹线是断口的宏观特征。

疲劳裂纹扩展第二阶段是在应力循环下,裂纹尖端钝锐反复交替变化的过程。

应力集中:机件表面缺口应力集中,常是引起疲劳破坏的主要原因。

残余应力及表面强化的影响

残余应力状态对疲劳强度(高周疲劳)有显著影响:残余压应力提高疲劳强度;残余拉应力则降低疲劳强度。

残余压应力的有利影响与外加应力的应力状态有关:a)弯曲疲劳时,残余压应力的效果比扭转疲劳大;b)拉压疲劳时,影响较小。

残余压应力:可有效降低缺口根部的拉应力峰值,显著提高机件的疲劳强度。

当然,还和残余压应力值大小、深度及分布,以及在疲劳过程中是否会发生松弛等因素有关。表面强化方式:通常有表面喷丸、滚压、表面淬火及表面化学热处理等。

表面热处理及化学热处理

表面淬火:有火焰淬火、感应淬火和低淬透性钢的整体加热薄壳淬火等。

表面化学热处理:有渗C、渗N及C-N共渗等。

都是利用组织相变,获得表面强化的常用的工艺方法。

表面强化方法:能使机件获得表硬心韧的综合力学件能,还可利用表面组织相变及组织应力、热应力变化,使机件表面层获得高强度和残余压应力。在有效提高机件疲劳强度和疲劳寿命

同时,还能提高表面耐磨性和耐蚀性。

冶金及其加工缺陷:

钢材在冶炼和轧制生产中还有气孔、缩孔、偏折、白点、折叠等冶金加工缺陷;零件在铸造、锻造、焊接及热处理中也会有缩孔、裂纹、过烧及过热等缺陷。这些缺陷常是疲劳裂纹的发源地,严重地降低疲劳强度。钢材在轧制和锻造时,因夹杂物沿压延方向分布而形成流线,流线纵向的疲劳强度高,横向的疲劳强度低。

第八章:

蠕变:指金属在长时间恒温、恒载荷作用下缓慢地产生塑性变形的现象。

蠕变断裂:由于蠕变而最后导致金属材料的断裂。

按蠕变速率变化情况,蠕变过程分为三个阶段。

(1)减速蠕变阶段

(2)恒速蠕变阶段

(3)加速蠕变阶段

金属蠕变:主要是通过位错滑移、原子扩散等机理进行的,且随温度及应力的变化而有所不同。

位错滑移蠕变(在蠕变过程中,位错滑移仍然是一种重要的变形机理)

在常温下,若滑移面上位错运动受阻产生塞积,滑移便不能继续进行。需更大切应力作用才能使位错重新运动和增殖。在高温下,位错可惜助外界提供的热激活能和空位扩散来克服某些短程障碍,从而使变形不断产生。

位错热激活方式:有多种,高温下主要是刃位错的攀移。

刃位错攀移克服障碍的几种模型:塞积在某障碍前的位错

a)通过热激活,可越过固定位错与弥散质点,在新的滑移面上运动;

b)与临近滑移面上的异号位错相遇,而对消;

c)形成亚晶界;

d)被晶界所吸收。

扩散蠕变:是在较高温度(约比温度(T/Tm)远超过0.5)下的一种蠕变变形机理。它是在高温下大量原子和空位定向移动造成的。

晶界滑动:另外,在高温条件下,由于晶界上的原子容易扩散,受力后晶界易产生滑动,也促进蠕变进行。但晶界滑动对蠕变的贡献并不大,一般为10%左右。不是独立的蠕变机理。因为晶界滑动一定要和晶内滑移变形配合进行,否则就不能维持晶界的连续性,会导致晶界上产生裂纹。

蠕变断裂机理

金属材料在长时高温载荷作用下的断裂,大多为沿晶断裂。

一般认为,这是由于晶界滑动在晶界上形成裂纹并逐渐扩展而引起的。

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换 α/4

题型一:公式的简单运用 例1: 题型二:公式的逆向运用 例2: 题型三:升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型: 题型一:合一变换 例1 方法:角不同的时候,能合一变换吗? . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简:化简下列各式: πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中,在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值:化简下列各式: 求下列各式的值:. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值?并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π

8-第八章组合变形时的强度概论

第八章组合变形 8.1 组合变形和叠加原理 一、组合变形的概念 1. 简单基本变形:拉、压、剪、弯、扭。 2. 组合变形:由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如:烟囱、传动轴、吊车梁的立柱等。 烟囱:自重引起轴向压缩+ 水平方向的风力而引起弯曲; 传动轴:在齿轮啮合力的作用下,发生弯曲+ 扭转 立柱:荷载不过轴线,为压缩= 轴向压缩+ 纯弯曲

P h g 水坝 q P h g 二、组合变形的计算方法 1. 由于应力及变形均是荷载的一次函数,所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 2. 求解步骤

①外力分解和简化 ②内力分析——确定危险面。 ③应力分析:确定危险面上的应力分布,建立危险点的强度条件。 §8.2 斜弯曲 一、 斜弯曲的概念 1. 平面弯曲:横向力通过弯曲中心,与一个形心主惯性轴方向平行,挠曲线在纵向对称面内。 2. 斜弯曲:横向力通过弯曲中心,但不与形心主惯性轴平行挠曲线不位于外力所在的纵向平面内。 二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解 对于任意分布横向力作用下的梁,先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解,得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算 形心主惯性平面 xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ,按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样,形心主惯性平面xOz 内所有平行于z M 矩方程y M 或画出其弯矩图。 合成弯矩:2 Z 2y M M M += 合成弯矩矢量M 与y 轴的夹角为: y z M M tan =? 以上弯矩z M 和y M 均取绝对值计算, 由力偶的矢量表示法可知,合成弯矩M 3. 计算 x

三角恒等变换~最全的总结·学生版

三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式: 考点分析:(1)基本识别公式,能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等,余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”(2)二倍角公式的灵活应用,特别是降幂、和升幂公式的应用。(3)结合同角三角函数,化为二次函数求最值 (4)角的整体代换 (5)弦切互化 (6)知一求二 (7)辅助角公式逆向应用

(1)熟悉公式特征:能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等,余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子 1、(二倍角公式)(2007文)下列各式中,值为 3 2 的是( ) A .2sin15cos15 B .2 2 cos 15sin 15- C .2 2sin 151- D .22 sin 15cos 15+ 2、(二倍角公式+平方差公式)(2008六校联考)(sin 75sin15)(cos15cos 75)-+的值是 A.1 B. 1 2 C. 22 D. 32 3、(两角和差公式+诱导公式)(2009四校联考) 84cos 54sin 6cos 36sin -等于 A .-1 2 B .12 C .- 32 D . 32 4.(两角和差公式)下列各式中值为的是(). A . s in45°cos15°+cos45°sin15° B . sin45°cos15°﹣cos45°sin15° C . cos75°cos30°+sin75°sin30° D . 5、(拆角+两角和差公式)(一中2014届高三10月段考数学(理)试题)化简三角式=- 5 cos 5sin 355cos 2() A . 2 3 B .1 C .2 D .3 6、(补全公式)(2013六校联考回归课本题)cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=( ) A . 14 B .18 C .116 D .1 32 常见变式:计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的=__. 7、(构造两角和差因子+两式平方后相加)若sin α-sin β=32,cos α-cos β=12,则cos(α-β)的值为()A.1 2 B. 32C.3 4 D .1 8.(诱导公式)【2015高一期末】sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 B A .- 12 B. 12 C 33 9、(构造两角和差因子+两边平方)【2015高考,理12】=+ 75sin 15sin .. 10、(逆向套用公式)tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°的值是________.

变形测量技术总结

变形测量技术设计书

第一部分、测量项目概述 一、任务来源 为了保证黄河水利职业技术学院的建筑物安全,小组接到了对10、11宿舍楼建筑物垂直度监测的任务。 该几栋楼建筑地基为中密卵石土,属中压缩土,地基设计等级为乙级,建筑物变形测量的级别按《建筑变形测量规范》JGJ 8-2007第3.0.4条的规定为二级,沉降观测精度指标为“观测点测站高差中误差为±0.5mm”。 测区概况 河南省开封市东京大道西段(黄河水利职业技术学院新校区); (4)测区内地势平坦,地形并不复杂,但杂草较多。 (5)黄河水院内设有小卖部食堂开水房洗浴中心理发店住宿区,基本符合一般城市生活标准。 测量现有2011年生产的1:500数字化地形图,其坐标北京坐标系,高程为1985年国家高程基准。经现场踏勘,该地形图内测区现有地形基本没改变,可作高程基准点点位设计用。 二、测量项目内容 按照委托方要求,测量项目内容为: 10#、11#楼施工期、使用期头三年的建筑物沉降测量: 沉降测量周期为两天,每两天观测一次,工期为一周共测量测量2次。 三、测量项目所执行的技术标准 建筑物沉降测量依据《建筑变形测量规范》JGJ 8-2007执行;

建筑物垂直度测量依据《工程测量规范》GB50026—2007中8.3.11相关内容执行。 第二部分设计方案 一、高程基准点的布设与测量设计 1、高程基准点应距建筑物施工场地有一定距离,又能保证用较短的水准路线连测到高程工作基点,更重要的是要稳固和安全。根据现场踏勘,建筑物施工场地东面为宿舍区,人员较复杂,很难保证点位稳固和安全,水准路线增长,宿舍区内人员较复杂,点位安全难以保障,因此,我们将高程基准点选择在西面的环路边,且满足《建筑变形测量规范》JGJ 8-2007 “高程基准点点位与邻近建筑物基础最大宽度的2倍”的要求。 2、高程控制网测量方案及点位埋设要求 闭合的水准路线组成高程控制网,为什么我们要布似乎多于的宿舍楼高程基准点呢?一是宿舍楼东面无可靠的布点位置,二是多一组高程基准点能使基准点更安全,不致于发生被破坏后无法实施沉降观测的情况,三是便于对基准点的稳定性进行检验。因此,高程控制网测量时,环路高程基准点为起点,先设站测量两个基点的高差后,再以该站测向工作基点, 高程控制系统采用1985国家高程基准,起算数据从施工控制网引测。 高程基准点的布设及高程控制网测量路线见《工程平面位置图及基准点分布图》 根据《建筑变形测量规范》4.4.1第2、3条的规定,高程控制网水准支线应进行往返测,水准测量作业的基本方法应符合国家标准《国家一、二等水准测量规范》GB/T12897—2006相应规定。

三角恒等变换---最全的总结_-学生版

精品文档 三角恒等变换---完整版 三角函数 —— 三角恒等变换公式: 升幂公式 - 2 1+cos = 2 cos — 2 1-cos =2 si n 2 2 1 ± sin =( sin — 2 2 cos — ) 2 2 2 1=sin + cos sin =2 sin cos 2 2 降幂公式 .2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 2 + cos =1 sin 2 2 1 . sin cos = —sin 2 2 考点分析:(1)基本识别公式,能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。 “互补两角正弦相 等,余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。 ”(2) 二倍角公式的灵活应用,特别是降幕、和升幕公式的 两角和与差的三角函数关系 sin( 1 )=sin cos cos sin cos( )=cos cos sin sin ■丄 . 、 tan tan tan( )’ 1 tan tan 倍角公式 sin2 =2sin cos 2 2 cos2 =cos -sin =2cos 2 -1=1-2sin 2 tan 2 2ta n 1 tan 2 sin — 2 i1 cos 1 cos \ 2 ,c °s 2 : 2 tan — 2 1 cos _ 1 cos sin \ 1 cos sin 1 cos :cos Gi HJ"I" UffTI! ! I I ! I ■— —?■ 应用。(3)结合同角三角函数,化为二次函数求最值 一求二 (7)辅助角公式逆向应用 (4)角的整体代换 (5)弦切互化 (6 )知 半角公式 平方关系 2 2 sin + cos =1, 商数关糸 sin -------- =ta n

金属塑性变形与断裂

金属塑性变形与断裂集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

金属材料塑性变形与断裂的关系 摘要:金属的断裂是指金属材料在变形超过其塑性极限而呈现完全分开的状态。材料受力时,原子相对位置发生了改变,当局部变形量超过一定限度时,原于间结合力遭受破坏,使其出现了裂纹,裂纹经过扩展而使金属断开。任何断裂都是由裂纹形成和裂纹扩展两个过程组成的,而裂纹形成则是塑性变形的结果。金属塑性的好坏表明了它抑制断裂能力的高低。 关键词:塑性变形解理断裂准解理断裂沿晶断裂冷脆疲劳应力腐蚀 氢脆高温断裂 一、解理断裂与塑变的关系 解理断裂在主应力作用下,材料由于原子键的破断而产生的沿着某一晶面的快速破断过程。解理断裂的的产生条件是位错滑移必须遇到阻力,且位错滑移聚集到一定程度。断裂面沿一定的晶面发生,这个平面叫做解理面。解理台阶是沿两个高度不同的平行解理面上扩展的解理裂纹相交时形成的。形成过程有两种方式:通过解理裂纹与螺型位错相交形成;通过二次解理或撕裂形成。 第一种,当解理裂纹与螺型位错相遇时,便形成一个台阶,裂纹继续向前扩展,与许多螺型位错相交便形成众多台阶,他们沿裂纹前端滑动而相互交汇,同号台阶相互汇合长大,异号台阶相互抵消,当汇合台阶足够大的时候便在电镜下观察为河流状花样。

第二种,二次解理是指在解理裂纹扩展的两个互相平行解理面间距较小时产生的,但若解理裂纹的上下两个面间距远大于一个原子间距时,两解理裂纹之间的金属会产生较大的塑性变形,结果由于塑性撕裂而形成台阶,称为撕裂棱晶界。舌状花样是由于解理裂纹沿孪晶界扩散留下的舌头状凹坑或凸台。 从宏观上看,解理断裂没有塑性变形,但从微观上看解理裂纹是以塑性变形为先导的,尽管变形量很小。解理断裂是塑性变形严重受阻,应力集中非常严重的一种断裂。 二、准解理断裂与塑变的关系 准解理断裂介于解理断裂和韧窝断裂之间,它是两种机制的混合。产生原因: (1)、从材料方面考虑,必为淬火加低温回火的组织,回火温度低,易产生此类断裂。 (2)、构件的工作温度与钢材的脆性转折温度基本相同。 (3)、构件的薄弱环节处处于平面应变状态。 (4)、材料的尺寸比较粗大。 (5)、回火马氏体组织的缺陷,如碳化物在回火时的定向析出。 准解理断裂往往开始是因为碳化物,析出物或者夹杂物在外力作用下产生裂纹,然后沿某一晶面解理扩展,之后以塑性变形方式撕裂,其断裂面上显现有较大的塑性变形,特征是断口上存在由于几个地方的小裂纹分别扩展相遇发生塑性撕裂而形成的撕裂岭。准解理断裂面不是一

第八章 材料的变形和断裂

名词解释 (1)加工硬化(变形强化):当金属外加应力超过屈服强度后,随着变形程度的增加,变形的抗力也增加,要继续变形,必须增加外力,这种现象就叫加工硬化。 (2)颈缩:当应力达到抗拉强度时,试样不在均匀伸长,而是试样局部地方截面开始变细。 (3)位错宽度: (4)孪晶变形:晶体在切应力作用下沿着一定的晶面和晶向,在一个区域内发生连续顺序的切变,变形导致这部分的晶体取向改变了。 (5)多滑移:在多个滑移系上同时或交替进行的滑移。 (6)交滑移:晶体在两个或者多个滑移面上沿同一滑移方向进行的滑移。 (7)发生多系滑移时,在两个相交滑移面上运动的位错必然会互相交截,原来一直线位错经过交截后就会出现弯折部分,如果弯折部分仍在滑移面上,就叫扭折,若弯折部分不再滑移面上,就叫割阶。 (8)派纳力:在理想晶体中位错在点阵周期场中运动时所需克服的阻力 (9)纤维组织:金属经过冷变形后,等轴状晶粒沿受力方向拉长,其中的夹杂物或者第二相也随之拉长。 (10)形变织构:金属在形变时,晶体的滑移面会移动,使滑移层逐渐转向与拉力轴平行。 原来的各个晶粒是任意取向的,现在由于晶粒的转动使各个晶粒的取向趋于一致,这就形成了晶体的择优取向。 (11)回复:在加热温度较低时,由于金属中的点缺陷及位错近距离迁移而引起的晶体某些变化。 (12)再结晶:冷变形金属由拉长的变形晶粒生成无畸变的新的等轴晶粒的过程。(13)二次再结晶: (14)热变形:金属在再结晶温度以上的加工变形。 (15)蠕变:材料在高温下的变形不仅与应力有关,而且和应力作用的时间有关。(16)应变时效:低碳钢经过少量预变形后,如果去载后立即再行加载则不会出现明显的屈服平台;若在室温下放置一较长的时间或在低温下经过短时加热后在进行拉伸试验,则屈服点又复出现,且屈服应力提高。 (17)第二相强化:当第二相以细小弥散的微粒均匀分布于基体相中时,将会产生显著的强化作用。 (18)固溶强化:合金在形成单向固溶体后,变形时的临界切应力都高于纯金属,这叫做固溶强化。 (19)再结晶后晶粒的大小由变形度和退火温度决定。 (20)回复和再结晶的驱动力是弹性畸变能,晶粒长大的驱动力是自身界面能。 填空 (1)位错宽度越窄,界面能越小,弹性畸变能越高,位错运动需克服的能垒越大,位错越难运动,派纳力越大。 (2)位错宽度主要取决于结合键的本性和晶体结构。 (3)位错只有沿着原子排列最紧密的面及原子密排方向上运动,派纳力才最小。面心立方金属和沿几何面(0001)滑移的密排六方金属,派纳力最小。 (4)最容易发生交滑移的是体心立方结构。 (5)任意两种类型位错相互交割时,只要形成割阶,一定为刃型割阶,割阶的大小和方向取决于穿过位错的柏氏矢量。 (6)固溶强化,两者原子的尺寸差别越大,溶解度越小,强化效果越大。

变形监测总结(20200528080747)

第一章 变形的概念:指变形体(根据变形监测区域大小,可将变形监测对象分为三大类:全球性的、区域性的、工程与局部性的,本文统称其为变形体)在各种致变因素 的作用下,其形状、大小及位置在时间域和空间域中的变化。 变形观测的概念:指为了解变形量大小,通过定期测量观测点相对于基准点的变 化量,从历次观测结果比较了解变形随时间与空间的发展情况。这个过程即是变形观测。 产生变形原因:1.自然原因:地震、板块运动、日照、风震 2.人为的原因:(1)地下水的过量抽采(2)地下矿物的开采(3)建筑物的荷载(4)其它因素 变形的危害与控制:变形的危害:1)地面建(构)筑物裂缝、倒塌;2)交通、通讯设施损害管线损害;3)港口设施失效4)桥墩下沉,净空减小,水上交通 受阻5)滨海城市海水侵蚀 6)诱发地震 控制:(1)控制地下水开采;(2)进行地下水回灌,保持地下水位;(3)加固建筑物进行等。 变形观测的目的:确保工程安全运营进行变形分析,建立预报变形的理论和方法 变形观测的主要内容:沉降观测、水平位移观测、裂缝观测、倾斜观测、挠度监 测、滑坡监测等 变形观测的意义:实用上:检查各种工程建筑物及其基础的稳定性,及时掌握变形情况,为安全性诊断提供必要的信息,以便及时发现问题并采取措施 科研上:更好地理解变形机理,验证有关工程设计的理论和地 壳运动假说,进行反馈设计以及建立有效的变形预报模型 变形观测的主要技术方法: 1.常规测量方法 2.GPS的应用3.摄影测量方法 4.特殊测量手段法 5.综合各种技术方法。 变形观测的特点:1.精度要求高 2.重复观测3.数据处理要求高 4.多学科的配合5.责任重大 变形的分类:一般情况,变形可分为静态变形和动态变形两大类。 静态变形主要指变形体随时间的变化而发生的变形,这种变形一般速度较慢,需要较长的时间才能被发觉。 动态变形主要指变形体在外界荷载的作用下发生的变形,这种变形的大小和速度与荷载密切相关,在通常情况下,荷载的作用将使变形即刻发生。 根据变形体的变形特征,变形可分为变形体自身的形变和变形体的刚体位移。 变形体自身形变包括:伸缩、错动、弯曲和扭转四种变形; 刚体位移包含整体平移、整体转动、整体升降和整体倾斜四种变形。 变形观测的精度与观测周期:制定变形监测精度取决于监测目的、允许变形的大小、仪器和方法所能达到的精度。 一般而言,实用目的观测中误差应小于允许变形值的1/10~1/20,科研目的观测中误差应小于允许变形值的1/20~1/100 变形观测的周期:观测周期的概念:相邻两次变形观测的间隔时间 观测周期的确定 基本原则:根据建(构)筑物的特征、变形速率、观测精度要求和工程地质条件 及施工过程等因素综合考虑。 变形观测周期的确定应以能系统反映所测建筑变形的变化过程、且不遗漏其变化时刻为原则,并综合考虑单位时间内变形量的大小、变形特征、观测精度要求及

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍,3α是 “二倍角”的

题型一:公式的简单运用 例1: 题型二:公式的逆向运用 例2: 题型三:升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型: 题型一:合一变换(利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形) 例1 方法:角不同的时候,能合一变换吗? .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简:化简下列各式: πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中,在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值:化简下列各式:求下列各式的值:.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值?并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ

三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结

三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合,角的始边与 重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是 . 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则L= . S= 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是 () 220r r x y =+>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限 余弦为正. 10、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT . 11、同角三角函数的基本关系:(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式: ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ???.()6sin cos 2παα??+= ???,cos sin 2παα??+=- ???. 口诀:奇变偶不变,符号看象限. 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+); ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).

变形与断裂 2 江苏大学

单向静拉伸试验:是应用最广泛的力学性能试验方法之一。 1)可揭示材料在静载下的力学行为(三种失效形式):即:过量弹性变形、塑性变形、断裂。 2)可标定出材料最基本力学性能指标:如:屈服强度、抗拉强度、伸长率、断面收缩率等。 拉伸力-伸长曲线 拉伸曲线: 拉伸力F -绝对伸长△L 的关系曲线。 在拉伸力的作用下,退火低碳钢的变形过程四个阶段: 1)弹性变形:O ~e 2)不均匀屈服塑性变形:A ~C 3)均匀塑性变形:C ~B 4)不均匀集中塑性变形:B ~k 5)最后发生断裂。k ~ 弹性变形:当外力去除后,能恢复到原形状或尺寸的变形。 特点:可逆性、单值线性、同相位、变形量小 本质:都是构成材料的原子(离子)或分子从平衡位置产生可逆位移的反映。 弹性模量E :是表征材料对弹性变形的抗力,工程称材料的刚度. E 值越大,在相同应力下产生的弹性变形就越小。 弹性模量是结构材料的重要力学性能指标之一。 影响因素:1、键合方式 2、原子结构 3、晶体结构 4、化学成分 5.微观组织 6.温度 弹性模量 E 与切变模量 G 关系:(其中: ν-泊松比。) 比例极限σp :是材料弹性变形按正比关系变化的最大应力,即拉伸应力一应变曲线上开始 偏离直线时的应力值。 弹性极限:材料由弹性变形过渡到弹-塑性变形时的应力,当应力超过弹性极限σe 后,便 开始产生塑性变形。 (比例极限σp 和弹性极限σe 与屈服强度的概念基本相同,都表示材料对微量塑性变形的 抗力,影响因素也基本相同。) 弹性比功ae :(弹性比能、应变比能)表示材料在弹性变形过程中吸收弹性变形功的能力。 一般用材料开始塑性变形前单位体积吸收的最大弹性变形功表示。 物理意义:吸收弹性变形功的能力。 几何意义:应力σ -应变ε曲线上弹性阶段下的面积。 欲提高材料的弹性比功:提高σe ,或降低 E 弹簧钢:含碳较高并添加Si 、Mn 等合金元素强化基体,经淬火+中温回火获得回火托氏体 组织及冷变形强化,以提高其弹性极限,使弹性比功ae 和弹性提高。 纯弹性体的弹性变形:只与载荷大小有关,而与加载方向和加载时间无关。 2E G ν=(1+)

变形与断裂总结

第一章: 单向静拉伸试验:是应用最广泛的力学性能试验方法之一。 1)可揭示材料在静载下的力学行为(三种失效形式):即:过量弹性变形、塑性变形、断裂。 2)可标定出材料最基本力学性能指标:如:屈服强度、抗拉强度、伸长率、断面收缩率等。 拉伸力-伸长曲线 拉伸曲线: 拉伸力F -绝对伸长△L 的关系曲线。 在拉伸力的作用下,退火低碳钢的变形过程四个阶段: 1)弹性变形:O ~e 2)不均匀屈服塑性变形:A ~C 3)均匀塑性变形:C ~B 4)不均匀集中塑性变形:B ~k 5)最后发生断裂。k ~ 第二章: 弹性变形:当外力去除后,能恢复到原形状或尺寸的变形。 特点:可逆性、单值线性、同相位、变形量小 本质:都是构成材料的原子(离子)或分子从平衡位置产生可逆位移的反映。 弹性模量E :是表征材料对弹性变形的抗力,工程称材料的刚度. E 值越大,在相同应力下产生的弹性变形就越小。 弹性模量是结构材料的重要力学性能指标之一。 影响因素:1、键合方式 2、原子结构 3、晶体结构 4、化学成分 5.微观组织 6.温度 弹性模量 E 与切变模量 G 关系:(其中: ν-泊松比。) 比例极限σp :是材料弹性变形按正比关系变化的最大应力,即拉伸应力一应变曲线上开始偏离直线时的应力值。 弹性极限:材料由弹性变形过渡到弹-塑性变形时的应力,当应力超过弹性极限σe 后,便开始产生塑性变形。 (比例极限σp 和弹性极限σe 与屈服强度的概念基本相同,都表示材料对微量塑性变形的抗力,影响因素也基本相同。) 弹性比功ae :(弹性比能、应变比能)表示材料在弹性变形过程中吸收弹性变形功的能力。一般用材料开始塑性变形前单位体积吸收的最大弹性变形功表示。 物理意义:吸收弹性变形功的能力。 几何意义:应力σ -应变ε曲线上弹性阶段下的面积。 欲提高材料的弹性比功:提高σe ,或降低 E 2E G ν=(1+)

三角恒等变换题型总结

1.两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±; βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= 。 2.二倍角公式 αααcos sin 22sin =; ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=; 22tan tan 21tan ααα =-。 3.三角函数式的化简 常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。 (2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式 ααα2sin 21cos sin =;22cos 1sin 2αα-=;2 2cos 1cos 2αα+=。 (2)辅助角公式 ()sin cos sin a x b x x ?+=+, sin cos ??==其中 4.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 5.三角等式的证明 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同”; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明。

金属塑性变形与断裂

金属材料塑性变形与断裂的关系 摘要:金属的断裂是指金属材料在变形超过其塑性极限而呈现完全分开的状态。材料受力时,原子相对位置发生了改变,当局部变形量超过一定限度时,原于间结合力遭受破坏,使其出现了裂纹,裂纹经过扩展而使金属断开。任何断裂都是由裂纹形成和裂纹扩展两个过程组成的,而裂纹形成则是塑性变形的结果。金属塑性的好坏表明了它抑制断裂能力的高低。 关键词:塑性变形解理断裂准解理断裂沿晶断裂冷脆疲劳应力腐蚀 氢脆高温断裂 一、解理断裂与塑变的关系 解理断裂在主应力作用下,材料由于原子键的破断而产生的沿着某一晶面的快速破断过程。解理断裂的的产生条件是位错滑移必须遇到阻力,且位错滑移聚集到一定程度。断裂面沿一定的晶面发生,这个平面叫做解理面。解理台阶是沿两个高度不同的平行解理面上扩展的解理裂纹相交时形成的。形成过程有两种方式:通过解理裂纹与螺型位错相交形成;通过二次解理或撕裂形成。 第一种,当解理裂纹与螺型位错相遇时,便形成一个台阶,裂纹继续向前扩展,与许多螺型位错相交便形成众多台阶,他们沿裂纹前端滑动而相互交汇,同号台阶相互汇合长大,异号台阶相互抵消,当汇合台阶足够大的时候便在电镜下观察为河流状花样。 第二种,二次解理是指在解理裂纹扩展的两个互相平行解理面间距较小时产生的,但若解理裂纹的上下两个面间距远大于一个原子间距时,两解理裂纹之间的金属会产生较大的塑性变形,结果由于塑性撕裂而形成台阶,称为撕裂棱晶界。舌状花样是由于解理裂纹沿孪晶界扩散留下的舌头状凹坑或凸台。 从宏观上看,解理断裂没有塑性变形,但从微观上看解理裂纹是以塑性变形为先导的,尽管变形量很小。解理断裂是塑性变形严重受阻,应力集中非常严重的一种断裂。 二、准解理断裂与塑变的关系 准解理断裂介于解理断裂和韧窝断裂之间,它是两种机制的混合。产生原因:

三角恒等变换 知识点总结

三角恒等变换 知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+); ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ ++=- ? (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-). 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 22sin cos ααα=.222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 122α ααα=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2 αα-=. 3、 22tan tan 21tan ααα= -. 4、 ?(后两个不用判断符号,更加好用) 5、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B =+,其中tan ?B =A . 6、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角 与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的 αα半角公式2t an 2cos :==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :2 22αααααα万能公式+-=+=

三角恒等变换知识总结(最新整理)

三角恒等变换知识点总结 2014/10/24 一、基本内容串讲 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下: sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= 对其变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β),有时应用该公式比较方便。2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下: sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 2 2tan tan 21tan α αα = -.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次).特别注意公式的三 角表达形式,且要善于变形, 2 2cos 1sin ,22cos 1cos 22α -= αα+=α 这两个形式常用。 3.辅助角公式:sin cos 4x x x π??+=+ ???cos 2sin 6x x x π? ?±=± ? ? ? . ()sin cos a x b x x ρ+=+4.简单的三角恒等变换 (1)变换对象:角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质。(2)变换目标:利用公式简化三角函数式,达到化简、计算或证明的目的。 (3)变换依据:两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 (4)变换思路:明确变换目标,选择变换公式,设计变换途径。5.常用知识点: (1)基本恒等式:(注意变形使用,尤其‘1’的灵活应用,22sin sin cos 1, tan cos α αααα +==求函数值时注意角的范围); (2)三角形中的角:,; A B C π++=sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+(3)向量的数量积:,cos ,a b a b a b = A ,;1212a b x x y y =+ A 12120a b x x y y ⊥?+= 1221//0a b x y x y ?-= 二、考点阐述 考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sin 20cos 40cos 20sin 40+ 的值等于( )

精选题8弯曲变形

弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI为常数,今欲使梁的挠曲线 在x=l/3处出现一拐点,则比值M e1/M e2为: (A) M e1/M e2=2;(B) M e1/M e2=3; (C) M e1/M e2=1/2;(D) M e1/M e2=1/3。 答:C 2. 外伸梁受载荷如图示,其挠 曲线的大致形状有下列(A)、 (B)、(C),(D)四种: 答:B 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示,则弯矩M、剪力F S与分布载荷q之间的关系以及挠曲线近似微分方程为: (A) 2 S S2 d d d() ,, d d d F M w M x F q x x x EI ===; (B) 2 S S2 d d d() ,, d d d F M w M x F q x x x EI =-=-=; (C) 2 S S2 d d d() ,, d d d F M w M x F q x x x EI =-==-; (D) 2 S S2 d d d() ,, d d d F M w M x F q x x x EI ==-=-。 答:B 4. 弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示,自由端的 挠度 2 3 e 32 B M l Fl w EI EI =+(↓) 则截面C处挠度为: (A) 32 e 22 3323 M F l l EI EI ???? + ? ? ???? (↓);(B) 32 2/32 3323 F Fl l l EI EI ???? + ? ? ???? (↓); (C) 32 e (/3) 22 3323 M Fl F l l EI EI + ???? + ? ? ???? (↓);(D) 32 e (/3) 22 3323 M Fl F l l EI EI - ???? + ? ? ???? (↓)。 答: C

8组合变形

第八章 组合变形 )是正确的。 ][σ≤ (C )][2 2 σ≤?? ? ??+??? ??+W T W M A F (D )][42 2σ≤??? ??+??? ??+ W T W M A F 4 偏心压缩实际上是 和 的组合变形问题。 5 在组合变形中,当使用第三强度理论进行强度计算时,其强度条件可以写成三种公式,其中][313σσσσ≤-=r 适用于 杆;][4223στσσ≤+= r 适用于 杆; ][/223σσ≤+=W T M r 适用于 杆。

6 图示空间折杆AB是变形,BC段是变形。 7 图示承受弯曲与扭转组合变形的圆杆,绘出截面上1,2两点的应力状态。 B 1 题1.6图题1.7图 )。 (A)(B)(C)(D)

二、计算题(解题要求:①分析外力和内力,画内力图确定危险截面位置;②分析危险点位置,画出应力分布图,分别计算各内力对应的应力;③叠加进行强度计算。) 1.试求图示T形截面的悬臂梁内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。

2. 偏心拉伸杆受力如图所示,弹性模量为E 。试求: (1) 最大拉应力和最大压应力值及其所在位置; (2) 线AB 长度的改变量。 3. 图示水平直角折杆受铅直力F 作用。圆轴AB 的直径100mm d =,400mm a =,200GPa E =,0.25ν=。在截面D 顶点K 处,测得轴向线应变40 2.7510ε-=?。试求该折杆 危险点的相当应力r3σ。

4. 图示水平的直角刚架ABC ,各杆横截面直径均为60mm d =,400mm l =,300mm a =,自由端受三个分别平行于x 、y 与z 轴的力作用,材料的许用应力[]120MPa σ=。试用第三强度理论确定许用载荷[F ]。 5. 图示圆杆的直径100mm d =,长度1m l = 1120kN F =,250kN F =,360kN F =,[]160MPa σ=

高三第一轮复习三角恒等变换

三角恒等变换 【提纲挈领】 主干知识归纳 1.常用的三角公式 (1)同角公式. (2)诱导公式. (3)和差角公式. (4)二倍角公式. (5)降幂公式:2 1cos 2sin 2 α α-= ,2 1cos 2cos 2 α α+= ,2 1cos 2tan 1cos 2ααα -= +. (6)万能公式:2 2tan 2 sin 1tan 2 α α α =+,2 2 1tan 2cos 1tan 2 αα α -=+,2 2tan 2 sin 1tan 2 α α α =-. (7)辅助角公式 : () sin cos a b ααα?+=+ , cos ?= 、 sin ?= . 方法规律总结 1. 三角恒等变换的主题是求值、化简、证明. 2.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点. 3.三角变换包括变换的对象、目标、依据和方法;三角变换思维起点是角:盯住未知与已知角的关系(互余、互补、和、差、倍、分);三角变换的基本思想是转化与化归思想;三角变换的策略是:找“差异”,立足“化异为同”、消除差异找方法. 【指点迷津】 【类型一】求值 【例1】:已知角α的终边与单位圆相交于点1cos ,2P α? ? - ??? ,则cos 2α=(). A .12 - B . 12 C . 【解析】:因为角α的终边与单位圆相交于点? ? ?? ? 1P cos α,-2,所以1sin α=- 2 . 故?? ??? 2 112 cos2α=1-2sin α=1-2-=22. 答案:B

基本不等式的八种变形技巧

基本不等式的八种变形技巧 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值,即所谓“和定积最大,积定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值,有的需要对待求式作适当变形后才可求最值.常见的变形技巧有以下几种: 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )=4 x -3+x (x <3)的最大值是( ) A .-4 B .1 C .5 D .-1 【解析】 因为x <3,所以3-x >0,所以f (x )=-???? ?? 43-x +(3-x )+3≤-24 3-x ·(3-x )+3=-1.当且仅当43-x =3-x ,即x =1时等号成立,所以f (x )的最大值是-1. 【答案】 D 平方后再使用基本不等式 一般地,含有根式的最值问题,首先考虑平方后求最值. 若x >0,y >0,且2x 2 +y 2 3 =8,求x 6+2y 2的最大值. [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ,y 的式子均为平方式,而所求式中x 是一次的,且根号下y 是二次的,因此考虑平方后求其最值. 【解】 (x 6+2y 2)2=x 2(6+2y 2)=3·2x 2????1+y 2 3≤3·? ?? ??2x 2 +1+y 2322=3×??? ?922.当且仅当2x 2=1+y 23,即x =32,y =42 2 时,等号成立.故x 6+2y 2的最大值为9 2 3. 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值,可以考虑展开后求其最值. 已知a >0,b >0且a +b =2,求????1a +1???? 1b +1的最小值. [思路点拨] 由于待求式是一个积的形式,因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值. 【解】 由题得????1a +1????1b +1=1ab +1a +1b +1=1ab +a +b ab +1=3 ab +1,

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