湘教版数学八年级上册分式知识点总结

分式知识点总结

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0；

分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.）

（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）

4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不

变。

用式子表示为（），其中A、B、C是整式

注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；

（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一

整式C；

（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成

相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母

分解因式，然后再约分；

（2）找公因式的方法：

①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就

是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；

（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前；

（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

7.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示是：

提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，

然后约去公因式，化为最简

分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，

然后再相乘；

（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

（

4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺

序，有括号先算括号

里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符

号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公

因式）或整式的形式。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

用式子表示是：（其中n是正整数）

注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；

（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂

为正，奇次幂为负；

（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解

因式，再约分。

分式的加减法则：

法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示为：±＝

法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

用式子表示为：±＝±＝

注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括

号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，

特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

（4）运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算

乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，

（

注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

9. 整数指数幂：

若m、n为正整数，a≠0，a m ÷a m＋n＝＝

又因为a m ÷a m＋n＝a m－﹙m＋n﹚＝a－n,所以a－n＝

一般地，当n是正整数时，a－n＝（a≠0），即a－n（a≠0）是a n的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体

整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n是整数)

（1）同底数的幂的乘法：；

（2）幂的乘方：;

（3）积的乘方：；

（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；

（5）商的乘方：；(b≠0)

规定：a0＝1（a≠0），即任何不等于0的零次幂都等于1.

10. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

去分母

分式方程的解法：

转化

（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程－－－－－→整式方程.

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；

②解这个整式方程；

③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0

的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

解分式方程的步骤：

(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；

(4)验根．

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

11.含有字母的分式方程的解法：

在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，

解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的

限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。

12.列分式方程解应用题的步骤是：

(1)审：审清题意；(2)找:找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；

(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。

应用题有几种类型；基本公式是什么？

基本上有五种： (1)行程问题基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．

(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．

11.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式,其中1≤︱a︱＜10,n 为原整数部分的位数减1；

用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a×10－n的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a︱＜10.