等效应力-应变理论与仿真实际结合

1. ABAQUS 仿真结果应力说明：

三维空间中任一点应力有6个分量yz xz xy z y ,,,σσσσσσ，，x ，ABAQUS 仿

真结果默认查看到的是Mises 应力，空间的六个分量分别对应ABAQUS 结果中的S11，S22，S33，S12，S13，S23。选用四面体单元和六面体单元，都可以测量出单元的S11，S22，S33，S12，S13，S23。这里特别注明的是有限元中的网格单元与材料力学（弹性与塑性力学）中的单元是不一样的，没有联系，详细见下面有限单元法概念。

2. 有限单元法概念：

实质上是把具有无限自由度的连续系统，近似等效为只有有限自由度的离散系统，使问题转化为适合数值求解的数学问题。

首先，把连续系统离散为数目有限的单元，单元之间仅有数目有限的指定点（称为节点）处相互连接，构成一个单元集合体以代替原来的连续系统。把实际作用于结构上的载荷或边界条件向节点上移植，以和原载荷或边界条件等效。

然后，对每个单元采用分块近似的思想，选择一个插值函数建立待求节点位置与单元内部的关系，引入几何方程、物理方程等对每个单元的特性进行分析。

把所有单元的这种特性关系按一定条件（连续条件、变分原理或能量原理）集合起来，引入边界条件，构成一组以节点变量（位移、温度、电压等）为未知量的代数方程，求解方程组即可得到有限个节点处的待求变量。

3. ABAQUS 仿真结果中的网格单元应力补充说明：

从自己做的仿真实验看，有六面体单元和四面体单元，测量出某一单元上的节点应力各个值都相等，各个面上的应力也相等。所以根据以上分析和自我理解，网格单元是连续体的离散化，与材料力学中取出的微面单元不一样，这个网格单元好像就是一个点，既然是一个点，当然就没有面和其余更小的说法，所以各个节点上的力相等，各个面上的力相等。

一般情况下，通过该点的任意截面上有正应力及其剪应力作用。但有一些特殊截面，在这些截面上仅有正应力作用，而无剪应力作用。称这些无剪应力作用的面为主截面，其上的正应力为主应力，主截面的法线叫主轴，主截面为互相正交。主应力分别以321,,σσσ表示，按代数值排列（有正负号）为321σσσ≥≥。其中321,,σσσ在ABAQUS 中分别对应Max. Principal 、Mid. Principal 、Min. Principal ，这三个量在任何坐标系统下都是不变量。

4. 一点应力的理解：

应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法

线方向n 的方向改变而变化（见下图），这种性质称为应力状态。凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力，一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态，不可能也不必要写出一点所有截面的应力。

5. 等效应力理解及材料塑性变形准则（依据）：

5.1 首先，回顾一下上面知识，在仿真结果里面我们能查到任何一个点（实质上是单元：可以直接理解为材料力学中我们熟知的单位力，也即应力）的yz xz xy z y ,,,σσσσσσ，，x ，这是已知的。等效应力就是把空间已知的六个应力

等效为一个应力，这个应力相当于单向拉伸时的应力，具体公式见下面分析。 对于平面问题，我们可以直接利用公式求出最大主应力和最大剪应力，见下：

这是材料力学中熟悉公式，不赘述。

5.2 等效应力表述：见下公式

5.3 屈服准则：一般材料在外力作用下产生塑性变形，以流动形式破坏时，应该采用第三或第四强度理论，第四强度理数学表达式论见下：

()()()()2222222621 3zx yz xy x z z y y x e I τττσσσσσσσ+++-+-+-='=

米塞斯应力是一种等效应力，数学表达式见下：

可以用主应力表示为：

式中σs ——材料的屈服点， K ——材料的剪切屈服强度

与等效应力比较，可得：

所以，米塞斯屈服准则也可以表述为：在一定的变形条件下，当受力物体内一点的等效应力达到某一定值时，该点就开始进入塑性状态。如果是做金属成型等大变形的话，进入塑性阶段后，变形的等效应力会比屈服应力大，并随着变形的增加，等效应力也会增加。

米塞斯屈服准则的物理意义：在一定的变形条件下，当材料的单位体积形状改变的弹性位能（又称弹性形变能）达到某一常数时，材料就屈服。

总结：现在回到力学理论与仿真结果相结合的知识上来。

仿真前处理，输入材料应力——应变曲线，初始屈服点应力348.7MPa，指的是单向拉伸时，应力达到348.7材料就开始屈服。仿真过程中的材料受力情况显然不像单向拉伸那么简单，那么怎么去判断一个点是否达到屈服呢？一个点究竟有没有达到屈服，我们必须得有一个准则，就是用什么去衡量和判别。由上面知识知道，能够测出仿真中一个点的六个应力分量，在根据5.3屈服准则知道，一般材料在外力作用下产生塑性变形，应该采用第四强度理判别材料是否达到屈服，也就是米塞斯屈服准则。

一句话：不论材料处于何种状态和变形，只要满足公式：

我们就认为材料屈服了，这也是米塞斯屈服准则的表述。当然这是用米塞斯准则去衡量材料的屈服，还有屈雷斯加准则，或许将来还会有更好的去衡量材料是否达到屈服的准则，至少现在比较有名的就这两个。

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——2012年11月21日燕山大学杨建总结编辑