弹性力学作业总结

一、综述

这学期我们有幸跟着邱老师学习了弹性力学这门课程，虽然我本科是学习机械专业的，但经过这学期的系统学习，使我对弹性力学的认识也越发的清晰，我对平面问题、空间问题等基本知识有了较为清晰的了解与掌握，会用逆解法、半逆解法、差分法、变分法和有限元法解决一些基础的弹性力学问题。

弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。它是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件，并对一些问题进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。二、绪论

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。通过对弹性力学的学习，我感觉整本书就讲了十五个控制方程解十五个未知数。而剩下的问题就是如何求解这些方程的问题，这也是数学和力学结合最紧密的地方。而求解的方法无外乎有:基于位移的求解（位移法）和基于应力的求解（应力函数法），差分法、变分法。而前人的研究大部分都是如何使这些方程求解起来更方便。弹性力学思路清晰，但是方程和公式复杂。

1.工程力学问题建立力学模型的过程，一般要对三方面进行简化：结构简化、材料简化及受力简化。建模过程如右图：

结构简化：如空间问题向平面问题的简

化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、

壳结构的简化。

受力简化：根据圣维南原理，复杂力系

简化为等效力系。

材料简化：根据各向同性、连续、均匀

等假设进行简化。

在建立数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化：线性化和实验验证。

2．弹性力学的基本内容就是研究研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。应用在工程中的实例有比赛斜塔，水轮机以及各种齿轮等等。但是我们需要对工程实例中的问题进行假设，具体如下： （1）连续性假设：这样物体内的一些物理量，例如应力、应变和位移等可用连续函数表示。

（2）线弹性假设：假定物体服从胡克定律。

（3）均匀性假设：假定物体由同一材料组成，这样材料常数不随位置坐标变化。

（4）各向同性假设：物体内一点的弹性性质在各个方向上相同。

（5）小变形假设：假定位移和应变是微小的。这样，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，在考察物体的应变和位移时，可以略去高阶小量，这对于方程的线性化十分重要。

在上述简化的基础上，我们现在的问题是要得出普遍的描述上述问题的力学和数学模型。

3.几个基本概念：

①外力：分为体力和表面力。

体力：是分布在物体体积内的力。物体内个点受体力的情况一般不

相同。 物体在一点的体力的集度：

V F

f v ??=→?0lim

。

面力：是分布在物体表面上的力，物体在其表面上各点受面力的情

况一般也不相同。物体在一点的面力的集度：

S F

f s ??=→?0lim

。

方向：沿坐标轴正向则为正。 ②应力：包括正应力σ和切应力τ。

方向：正面正向为正，负面负向为正。（正面：截面外法线方向为正方向的截面）

注意下标字母的含义：正应力x σ是作用在垂直于x 轴的面上，同

时也是沿着x 轴的方向作用的。切应力τ有两个下标字母，前一个表示作用面垂直于哪个坐标轴，后一个字母表示作用方向沿哪个轴。

切应力互等性：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是大小相等，正负相同的。（区别于材料力学中的正负号相反）

③形变：包括线应变和切应变。

线应变：各线段的每单位长度的伸缩。（x ε，y

ε，z ε）正负判定：

伸长为正。

切应变：各线段之间的直角的改变。（xy

γ，

yz

γ，zx γ）正负判定：

直角变小为正。

④位移：u ,v ,w （三个坐标的投影表示）。

三．平面问题的基本理论 3.1平衡微分方程

微元体尺寸：dx, dy, 1。

推导利用：①泰勒公式：

dx x

y x y x y dx x x x x ??+

=+),(),(),(σσσ

②∑=0x F ；∑=0y F 。 求得平面应力表示的平衡微分方程： 0=+??+??x yx x f y x τσ；

0=+??+

??y xy y f x

y

τσ。

说明：1.平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。

2.平衡方程也反映了应力分量与体力的关系。

3.2几何方程

P 点的位移为（u,v ）。 PA 的线应变为x ε。 PB 的线应变

x y ()

o z x f y f c x σy σxy τyx

τdx dy x x dx x σσ?+?y y dy y σσ?+?xy

xy dx x ττ?+

?yx yx dy

y ττ?+?

为y ε。PA 与PB 之间的直角改变为xy γ。推得平面问题的几何方程：x

u x ??=

ε

；y v y ??=

ε；y

u x v xy ??+??=+=βαγ。 说明：1.几何方程反映了位移和应变之间的关系。

2.当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变确定时，位移不一定确定。

刚体位移：与形变无关的位移。由0=x ε，0=y ε，0=xy γ，得到y u u ω-=0，

x v v ω+=0。

说明：当物体发生一定的形变时，由于约束条件的不同，它可能有不同的刚体位移，因而它的位移并不完全确定。必须有适当的刚体约束条件来确定其中不确定的常数。 3.3物理方程

由广义胡克定律公式推导：

①在平面应力问题中，0=z σ，0=zx τ，0=zy τ。代入胡克定律，得到物理方程：

)(1y x x E μσσε-=

，)(1x y y E μσσε-=，xy xy E

τμγ)

1(2+=。 ②在平面应变问题中，0=z ε，0=zx γ，0=zy γ。其物理方程为平面应力情况下，将方程中的2

1μ-→

E E ，μμ

μ-→

1进行转换即可。 3.4平面问题的边界条件

应力边界条件 位移边界条件 混合边界条件 在应力边界S σ上

在位移边界S u 上

在S σ上

在S u 上 3.5圣维南原理

如果将物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢、主矩相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

(1) 利用静力等效力系

x yx x xy y y

l m f l m f σττσ+=+=u u

v v

==x yx x xy y y l m f l m f σττσ+=+=u u v v ==

(2)局部边界用近似边界条件

3.6按位移求解平面问题

位移法：取位移分量为基本未知函数，从基本方程和应力边界条件中消去应力和应变分量，导出用位移表示的平衡微分方程和用位移表示的应力边界条件。并由此求出位移分量，通过几何方程求出应变分量，再由物理方程求出应力分量。

按位移求解平面为题时，位移分量（u ，v ）必须满足以下全部条件： （1）用位移表示的平衡微分方程（平面应力问题） （2）用位移表示的应力边界条件（平面应力问题）

（3）位移边界条件 s s u u v v ==

对于平面应变问题，只需将（1）（2）的式子中的E 、μ分别换成2

1E μ-和1μ

μ

-。 3.7按应力求解平面问题

应力法：它是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，由此解出应力分量，然后再求形变分量和位移分量。 关键问题：如何得到方程组

),,(=xy y x f τσσ。

()x x

x l f σ==±()

xy y

x l

f τ==±222222222222110

122110

122x y E u u v f x y x y E v v u f y x x y μμμμμμ??

?-?+?+++= ?-????????

?-?+?+++= ?-??????

22

112112x

s y

s E u v u v l m f x y y x E v u v u m l f y x x y μμμμμμ????????-??+++=?? ? ?-?????

?????????????-??+++=?? ? ?-?????

?????

解决思路：平衡方程中有两个方程，三个未知数，需引入一个补充方程：

①相容方程：y x x y xy

y x ???=??+??γεε2

2

222，说明了连续体的形变分量x ε，

y

ε，

xy

γ不 是相互独立的，而是相关的，它们之间必须满足相容方程才能保

证对应的位移分量的存在。

②将物理方程代入相容方程中，再利用平衡方程化简，就得到补充方程：

)

)(1())((22

22y f x f y x y x y x ??+??+-=+??+??μσσ

注意：分清所用的物理方程是关于平面应力问题还是平面应变问题的，其他方程及条件都是相同的，平面应力与应变问题的转换：2

1μ-→

E

E ，μμ

μ-→

1。

3.8常体力情况下的简化及应力函数

在体力为常量的情况下，平衡微分方程、相容方程和应力边界条件都不包含弹性常数，从而对于两种平面问题都是相同的。因此，当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么不管这两个弹性体材料是否相同和处于那种平面问题状态，应力分量

x σ， y σ，

xy

τ的分布是相同的（z σ以及形变和位移却不一定相同）。

求解体力为常数时的平衡微分方程： 0=+??+??x yx

x f y x τσ， 0

=+??+??y xy y f x

y

τσ。注意求通解的时候要利用性质：)

()(x f

y y

f x ????=????。可得到通解形如：22y x ?Φ?=σ，

22x y ?Φ?=σ，y x xy ??Φ?-

=2τ。其中Φ称为应力函数。将上述通解代入相容方程，得到：024422444=?Φ

?+??Φ?+?Φ?y y x x ，即04=Φ?，这就是用

22222x x y y xy f x f y y x x y ???σστ???=-=-=-????，，应力函数表示的相容方程。 （注：2?代表22

22y x ??+??）。 四、平面问题的直角坐标解答

4.1逆解法与半逆解法 逆解法的基本思路：

（1）设定各种形式的应力函数 ? ，要求：满足相容方程

444422420x x y y

???

???++=???? （2）由下式求得应力分量

（3）由应力边界条件式和弹性体的边界形状找到应力分量对应的面力， 从而得知所选取的应力函数? 可以解决的问题。 半逆解法的基本思路：

（1）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；

（2）推出应力函数的形式；

（3）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式； （4）再按相容方程式由应力函数求得应力分量；

（5）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）； （6）满足是问题的解，不满足重新假设求解。

注（1）线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的状态； （2）把平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。 4.2矩形梁的纯弯曲

如右图所示，建立应力函数3

ay ?=

（1）上下两个主要边界：

()

()

2

2

0,

0h

h y

xy

y y στ=±

=±

=

=

（2）左右两个次要边界切应力：

()

()

0,

0xy xy x x l

ττ====

（3）左右两个次要边界正应力（引入圣维南原理）：

h

()

()

220,0,2

2

0,

h h h h x

x l

x

x l

dy ydy M

σσ==--==??

因此应力分量为：31200x y xy yx M

y h

σσττ=

=== 小结：（1）弹性力学的解和材料力学的解完全一致；

（2）只有在纯弯曲的情况下，解才是完全精确的；

（3）两端的面力按其它分布时，根据圣维南原理，在梁两端附近时 有显著误差，在离开梁较远处，误差可以忽略不计。 4.3位移分量的求出

（1）把应力分量带入物理方程求得应变分量；

,,0x y xy M M y y EI EI

μεεγ=

=-= （2）把应变分量带入几何方程得到用应变分量表示的位移方程组；

22

0022M M M u xy y u v y x x v EI EI EI

μωω=

-+=--++， 其中：,,u v w 是表示刚体位移的常量，可由位移约束条件求出。

小结：（1）弹性力学验证了材料力学的平截面假定是正确的；

铅直线段的转角u M

x y EI

βω?=

=-? （2）梁纵向纤维的曲率 和材料力学完全相同；

（3）相对于材料力学而言，弹性力学的位移分量更全面的表示了梁的变形情况；

（4）对于平面应变情况，只要2,11E E μ

μμμ

→→

--。 4.4简支梁受均布载荷

221v M

x EI ρ?=-=

?ql