(完整版)高中数学必修五第一章测试题
必修五阶段测试一(第一章 解三角形)
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC 中,a =2,b =3,B =60°,那么∠A =( ) A .45° B .90° C .130°或45° D .150°或30° 2.在△ABC 中,B =π
3,AB =8,BC =5,则△ABC 外接圆的面积为( )
A.49π3 B .16π C.47π
3
D .15π 3.(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC 的面积为33,BC =4,CA =3,则角C 的大小为( )
A .75°
B .60°
C .45°
D .30° 4.在△ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin B ·sin C +sin 2C ,则A 等于( ) A .30° B .60° C .120° D .150°
5.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且a >b >c, a 2
A.????π2,π
B.????π4,π2
C.????π3,π2
D.????0,π2 6.(2017·阆中中学质检)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,如果b cos C +c cos B -a sin A =0,那么△ABC 的形状为( )
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .不确定
7.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知8b =5c ,C =2B ,则cos C =( )
A.725
B.2425 C .-725 D .±725
8.(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC 中,A =30°,B =60°,C =90°,那么三边之比a ∶b ∶c 等于( )
A .1∶2∶3
B .3∶2∶1
C .1∶3∶2
D .2∶3∶1 9.在△ABC 中,b =8, c =83, S △ABC =163,则∠A 等于( )
A .30°
B .60°
C .30°或150°
D .60°或120° 10.(2017·莆田六中期末)如图,已知A ,B 两点分别在河的两岸,某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ,测得AC =50 m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°,则A ,B 两点的距离为( )
A .50 3 m
B .25 3 m
C .25 2 m
D .50 2 m 11.在锐角△ABC 中,B =2A ,则AC
BC
的取值范围是( )
A .(-2,2)
B .(2,2)
C .(0,3)
D .(2,3)
12.A ,B 两地相距200 m ,且A 地在B 地的正东方.一人在A 地测得建筑C 在正北方,建筑D 在北偏西60°;在B 地测得建筑C 在北偏东45°,建筑D 在北偏西15°,则两建筑C 和D 之间的距离为( )
A .200 2 m
B .1007 m
C .100 6 m
D .100(3-1)m 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若b +c =2a,3sin A =5sin B ,则角C =________.
14.(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若b a +a
b =
6cos C ,则tan C tan A +tan C
tan B
=________.
15.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°,另两边之比为8∶5,则这个三角形的面积为________.
16.已知△ABC 的面积为
32,AC =3,∠ABC =π
3
,则△ABC 的周长等于_________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)在四边形ABCD 中,AD ⊥CD ,AD =5,AB =7,∠BDA =60°,∠CBD =15°,求BC 的长.
18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,S 是△ABC 的面积,已知a =4,b =5,S =5 3.
(1)求角C ;
(2)求c 边的长度.
19.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且b 2+c 2-a 22=8
3S △ABC (其
中S △ABC 为△ABC 的面积).
(1)求sin 2
B +C
2
+cos2A ; (2)若b =2,△ABC 的面积为3,求a .
20.(12分)(2017·河北开滦一中期末)如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,BD 交AC 于E ,AB =2.
(1)求cos ∠CBE 的值; (2)求AE .
21.(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a =4,cos A =34,sin B =5716
,c >4.
(1)求b ; (2)求证:C =2A .
22.(12分)如图所示,一辆汽车从O 点出发,沿海岸一条直线公路以100 km/h 的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O 点南偏东方向距O 点500 km ,且与海岸距离为300 km 的海上M 处有一快艇,与汽车同时发出,要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机,问快艇至少必须以多大的速度行驶,才能把物品送到司机手中,并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM 所成的角.
答案与解析
1.A 由正弦定理a sin A =b
sin B ,
得sin A =a sin B b =2sin60°3=2
2.
又a
2.A 由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B =64+25-2×8×5×1
2=49,∴AC
=7.
由正弦定理得AC sin B =2R (R 为△ABC 外接圆的半径),∴R =AC 2sin B =72×
3
2=73
3.∴△ABC
外接圆的面积S =πR 2=49π
3
.
3.B S △ABC =1
2BC ·CA ·sin C ,
∴1
2×4×3·sin C =33, ∴sin C =
32
, 又△ABC 是锐角三角形,∴C =60°,故选B. 4.C 由正弦定理,得sin A =
a 2R , sin B =
b 2R , sin C =c
2R
(其中R 为△ABC 外接圆半径),代入sin 2A =sin 2B +sin B ·sin C +sin 2C ,得a 2=b 2+bc +c 2=b 2+c 2+bc ,即b 2+c 2-a 2=-bc ,由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =-bc 2bc =-1
2
.
又0°<∠A <180°,∴∠A =120°.故选C. 5.C 解法一:cos A =b 2+c 2-a 2
2bc ,
∵a 2b >c, cos A <
a 2+c 2-a 22bc =c 2
b 0,且cos A <1
2
. ∴∠A 的范围为????
π3,π2,故选C.
解法二:∵a >b >c, ∴a 为最长边,∠A >π3.
又a 2
2.故选C.
6.A b cos C +c cos B -a sin A =0, ∴sin B cos C +sin C cos B -sin 2A =0. ∴sin(B +C )-sin 2A =0.
∴sin A -sin 2A =0,∴sin A =0(舍去)或sin A =1,
∴A =π
2
.故选A.
7.A ∵C =2B ,∴sin C =sin2B =2sin B cos B .又∵8b =5c ,c sin C =b sin B ,∴c b =sin C sin B =8
5
.∴cos B =sin C 2sin B =12×85=4
5
.
∴cos C =cos2B =2cos 2B -1=2×????452-1=7
25
. 8.C a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =12∶3
2∶1=1∶3∶2,故选C.
9.C ∵S △ABC =1
2bc sin A, ∴sin A =2S △ABC bc =12.
∴∠A =30°或150°,经检验均满足已知条件,故选C.
10.D ∠CBA =180°-∠ACB -∠CAB =180°-45°-105°=30°, ∴
AB sin ∠BCA =AC sin ∠CBA ,∴AB =AC ·sin ∠BCA sin ∠CBA
=50×sin45°sin30°=50 2 m .故选D.
11.D ∵B =2A ,
∴AC BC =sin B sin A =sin2A
sin A =2cos A , ∵△ABC 是锐角三角形,
∴???
2A <π
2,π-3A <π
2
,
∴π6<A <π4
, ∴2<2cos A <3,故选D.
12.C 由题可知△BCA 是等腰直角三角形, ∴AB =AC =200,BC =2002, ∠DBC =15°+45°=60°, ∵∠DAB =90°-60°=30°, ∴∠BDA =45°,∴AB sin45°=DB sin30°.
∴DB =AB ·sin30°
sin45°=1002,
∴DC 2=DB 2+BC 2-2DB ·BC ·cos60°
=(1002)2+(2002)2-2×1002×2002×12
=6×1002,
∴DC =100 6 m ,故选C.
13.2π3
解析:由3sin A =5sin B ,得3a =5b . 又b +c =2a ,∴a =5c 7,b =3c
7
.
在△ABC 中,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-1
2.
∴C =2π
3.
14.4
解析:b a +a
b =6cos C ,∴b 2+a 2=6ab cos C =3(a 2+b 2-
c 2),
∴3c 2=2a 2+2b 2.
tan C tan A +tan C
tan B
=tan C ????cos A sin A +cos B sin B = sin C cos C sin (A +B )sin A sin B =sin 2C cos C sin A sin B =c 2
ab cos C =
23
(a 2+b 2)16(a 2+b 2)=4.
15.40 3
解析:设另两边分别为8t,5t (t >0),则由余弦定理得 142=(8t )2+(5t )2-2·8t ·5t ·cos60°, ∴t 2=4, ∴t =2.
∴S △ABC =12×16×10×3
2=40 3.
16.3+ 3 解析:由已知得
32=12AB ·BC sin π
3
,∴AB ·BC =2.又AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B =AB 2+BC 2-AB ·BC =(AB +BC )2-3AB ·BC =(AB +BC )2-6.又AC =3,∴AB +BC =3.∴AB +BC +AC =3+ 3.
17.解:在△ABD 中,由余弦定理得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos60°,又AD =5,AB =7,
∴BD 2-5BD -24=0,解得BD =8.
在△BCD 中,∠BDC =30°,∠BCD =135°,由正弦定理得BC =BD sin ∠BDC sin ∠BCD =
8sin30°
sin135°=4 2.
18.解:(1)由题知S =53,a =4,b =5. 由S =1
2ab sin C 得,
53=1
2×4×5sin C ,
解得sin C =
32
, 又C 是△ABC 的内角,所以C =π3或C =2π
3
.
(2)当C =π3时,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos π3=16+25-2×4×5×1
2=21,解得c
=21;
当C =2π3时,c 2=a 2+b 2-2ab cos 2π
3=
16+25+2×4×5×1
2=61,解得c =61.
综上得,c 边的长度是21或61.
19.解:(1)由已知得2bc cos A 2=83×1
2bc sin A ,即3cos A =4sin A >0,又∵sin 2A +cos 2A =1,
∴sin A =35,cos A =4
5
.
sin 2B +C 2+cos2A =1+cos A 2+cos2A =2cos 2A +cos A 2-12=2×1625+42×5-12=59
50.
(2)由(1)知sin A =35,S △ABC =1
2bc sin A =3,b =2,
∴c =5.又∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A , ∴a 2=4+25-2×2×5×4
5=13,
∴a =13.
20.解:(1)∵∠BCD =90°+60°=150°,CB =AC =CD , ∴∠CBE =15°,∴cos ∠CBE =cos(45°-30°)=
6+2
4
.
(2)在△ABE 中,AB =2,由正弦定理得AE sin (45°-15°)=2
sin (90°+15°),
故AE =
2sin30°
cos15°=2×1
26+2
4=6- 2.
21.解:(1)∵cos A =3
4,
可得sin A =1-cos 2A =
74
, ∴由正弦定理可得b =a ·sin B
sin A =4×
57167
4=5.
(2)证明:∵由(1)可得a =4,cos A =3
4,b =5,
∴由余弦定理可得16=25+c 2-2×b ×c ×3
4,
整理可得2c 2-15c +18=0, ∴解得c =6或3
2(c >4,故舍去),
∴由正弦定理可得sin C =c sin A
a =
6×
7
44=378
. 又∵sin2A =2sin A cos A =2×74×34=378
, ∴可得sin C =sin2A , ∵C ∈(0,π),2A ∈(0,π),
∴C =2A ,或C +2A =π(A ≠B 故舍去). ∴C =2A ,得证.
22.解:如图,设快艇从M 处以v km/h 的速度出发,沿MN 方向航行,t 小时后与汽车相遇.
在△MON 中,MO =500, ON =100t, MN =v t .
设∠MON =α.由题意知sin α=35,则cos α=4
5.
由余弦定理知
MN 2=OM 2+ON 2-2OM ·ON ·cos α,
即v 2t 2=5002+1002t 2-2×500×100t ·4
5.
v 2=5002·1t 2-2×500×80·1
t +1002
=???
?500·1
t -802+3 600. 当1t =80500,即t =25
4时, v 2min =3 600,即快艇必须至少以60 km/h 的速度行驶.此时MN =60×25
4
=15×25.
MQ 是M 到ON 的距离,且MQ =300,设∠MNO =β, ∴sin β=30015×25=4
5
.
∴α+β=90°, ∴MN 与OM 成直角.
∴快艇至少必须以60 km/h 的速度行驶,才能把物品送到司机手中,其行驶方向与OM 成直角.