古诺均衡及其扩展
古诺均衡及其拓展
假设市场反需求函数为()p Q a Q =-，企业的生产成本为()C Q cQ =， 求：（1）完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润； （2）完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润； （3）双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润；
（4）n 家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润，并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。
（5）双寡头勾结下的产量、价格和利润；
（6）如果双寡头中有一方遵守配额协议，另一方违反协议时，各自的产量、价格和利润；
（7）比较（3）（6）的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡，而勾结的配额是不稳定的；
（8）求双寡头产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？ （9）求n 家企业产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？比较结果（8）（9），你会得出什么结论。
（10）求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg 均衡解。并与古诺竞争均衡解对比，说明first-mover advantages ，并通过反应函数图来解释这两个均衡。
（1）完全垄断结构下，只有一家企业，
()()Q
Max p Q Q C Q π=?-，
利润最大化的一阶条件为： 2a Q c -=
2M a c
Q -=
2
M a c p +=
()2
4
M a c π-=
（2）完全竞争结构下，有n 家相同企业，总需求函数1
()N
i i p Q a Q a q ==-=-∑，
每一家的边际成本为c ，而且完全竞争情形下价格是给定的（price-taker ），对一家企业来说，边际收益就是p ，根据利润最大化的条件MR=MC ，这时最优的价格
p c =
带入总需求函数()p Q a Q =-，可以得到 Q a c =- 根据对称性假设，每家企业的均衡产量为 i a c
q n
-= 每一家的利润 0i π=
（3）双寡头结构下，12()()p Q a Q a q q =-=-+，边际成本都为c 。 企业1的利润函数为
1111211()(())p Q q c q a q q q c q π=?-?=-+?-?
1
111()q Max p Q q c q π=?-?
利润最大化的条件为 2
12
a c q q --=
容易看出，这一结果表明，企业1的最优产量取决于企业2的产量， 这也正是博弈论中战略依存（strategic-interdependence ）这一核心理念的反映。我们把这一结果称为企业1的反应函数。
同样道理，我们可以得出企业2的反应函数 1
22
a c q q --=
若存在一个战略组合（1c q ，2c
q ）同时满足这两个反应函数，则这个博弈存在
一个古诺-纳什均衡解(Cournot-Nash Equilibrium)，容易得出
123c c a c q q -== 3c a c p += ()2
129
c c
a c ππ-== (4) n 家企业结构下，总需求函数1()N
i i p Q a Q a q ==-=-∑，每一家的边际成
本为c 。企业1的利润函数为
11111
1
()N
i i p q c q a q q c q π-=?-?=-?-?∑
利润最大化的一阶条件：
2
12
N
i
i a c q q =--=
∑
这就是企业1的反应函数。根据对称性假设，每一家企业存在一个类似的反应函数。如果存在一个纳什均衡的战略组合，那么
,1,...,,...,1c i a c q i i N n -=
=+ 1a nc p n +=+ 2
(),1,...,,...,1c i a c i i N n π-==+
当n 分别等于1、2时，这一结果等同于垄断和双寡头的结果，当n →∞时， lim lim
01c i n n a c q n →∞→∞-==+ lim lim 1n n a nc p c n →∞→∞+==+ 2
lim lim()0
1c i n n a c n π→∞→∞-==+ 这一结果和完全竞争情形下结果相同。 由此可见，古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。 （5）双寡头勾结情形下（串谋、卡特尔），相当于两家企业像一家独占企业一样行事，分配垄断产出配额和利润，维持垄断价格，所以
1
1
24
M collusion
collusion Q a c q
q
-=== 2
collusion M a c p p +==
()2
122
8
M
collusion collusion
a c πππ-==
=
（6）假设企业遵守卡特尔协议，则 2
24
M collusion
Q a c
q
-== 而企业1则把企业2这一产量看做给定，去生产自己利润最大化的产量，所以企业1背叛情形下的利润最大化为
1111211()betray collusion
p q c q a q q q c q π=?-?=--?-? 13()
8
betray a c q -=
可以看出，这一产量大于遵守勾结协议下的产量，而总产量的增加必然会导致均衡价格低于垄断价格，容易知道
358betray a c p +=
8
betray collusion c a
p p --= 因为市场存在的前提是保留价格大于边际成本，所以上式小于0。
21
9()64
betray
a c π
-=